文档内容
知识点 8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力F ＝0。
N
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1a基础题】（多选）如图所示，一根L形轻杆OAB用铰链固定在天花板上，且
OA与AB相互垂直，在A点下方用一根轻质细线悬挂重力为G的物体．现在B点施加拉
力F，使轻杆的OA段由竖直向下的位置缓慢转到偏离竖直方向60°角的位置．若拉力F始
终沿AB方向，则在变化过程中( )
A．拉力F逐渐增大 B．轻杆OA段中的作用力不断增大
C．铰链对轻杆OAB的作用力不断减小 D．轻杆OA段中的最小作用力为
【典例1a基础题】【答案】AC
【解析】由题意知拉力F与OA始终垂直，且A点在重力G、拉力F和轻杆作用力F′的作
用下平衡，故此三力可构成一个封闭的矢量三角形，如图所示，由正弦定理，＝＝
(0<θ≤60°)，θ↑，F↑，F′↓，θ＝60°，F′＝最小．
【典例1a基础题对应练习】如图所示，两质量均为m的小球a、b固定在轻杆两端，用等
长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形。用力F缓慢拉动小球
b，保持两细线张紧，最终使连接a球的细线竖直。重力加速度大小为g。则连接a球的细
线竖直时，力F的最小值是( )
学科网（北京）股份有限公司A．mg B．mg C．mg D．mg
【典例1a基础题对应练习】【答案】B
【解析】受力分析如图，轻杆对a的作用力只能沿杆方向，因为连接a球的细线竖直，所
以为了保持a受力平衡，杆对a无作用力，则杆对b也无作用力，对b受力分析有F ＝
min
mgsin 60°＝mg，B项正确。
题型二：应用数学分析法解决涉及弹力的临界与极值问题
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a基础题】如图所示，游乐场中有一半球形的碗状装置固定在水平地面上，装置的
内半径为R，在其内表面有一个小孩(可视为质点，图中未画出)从底部向上爬行，小孩与
内表面之间的动摩擦因数为0.75，设小孩所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小孩沿
该装置缓慢向上爬行的最大高度是( )
图4
A．0.2R B．0.25R C．0.75R D．0.8R
【典例1a基础题】【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【解析】如图所示，当小孩爬至最高处时，所受摩擦力为最大静摩擦力，由平衡条件知，
mgsin θ＝μmgcos θ，得θ＝37°，可求得最大高度为h＝R－Rcos θ＝0.2R，故A选项正确．
【典例1a基础题对应练习】某位同学用筷子将均匀球夹起悬停在空中，如图所示，已知球
心O与两根筷子在同一竖直面内，小球质量为m，筷子与竖直方向之间的夹角均为θ，筷
子与小球表面间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度为g.每根筷
子对小球的压力至少为( )
mg mg
A. B.
2(μsinθ−cosθ) 2(μcosθ−sinθ)
mg mg
C. D.
2(μcosθ+sinθ) 2(sinθ−μcosθ)
【典例1a基础题对应练习】【答案】B
【解析】对小球受力分析如图所示，2Fcos θ＝mg＋2F sin θ
f N
mg
F＝μF 解得F ＝ ，故选B.
f N N 2(μcosθ−sinθ)
类型二：连接体模型
【典例1b基础题】北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由
于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支
撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为 ，木棍重力不计，
粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧
滑，则木棍的长度最多为( )
学科网（北京）股份有限公司A. 1.5 m B. m C. 2 m D. 2 m
【典例1d基础题】【答案】C
【解析】设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，设粮仓对木棍的作用力大小为F，则
为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcos θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝
，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最多为2 m，故A、B、D错误，C正确．
【典例1b基础题对应练习】如图所示，在竖直墙壁间有半圆球A和圆球B，其中圆球B的
表面光滑，半圆球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为.两球心之间连线与水平方向成30°的
夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半球圆A和圆球B的质量之
比为( )
A. B． C． D．
【典例1b基础题对应练习】【答案】C
【解析】设A的质量为m，B的质量为M，以B为研究对象，受力分析如图所示，由平衡
条件得F ＝Mgcot 30°，以A、B为研究对象，由平衡条件得(M＋m)g＝μF ，由以上两式
N N
解得＝，A、B、D错误，C正确．
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
类型一：静—静突变模型
【知识思维方法技巧】
静—静突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发
生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
【典例2a基础题】兴趣课堂上，某同学将完全相同的甲、乙两个条形磁铁水平放在粗糙的
水平木板上(N极正对)，如图所示，并缓慢抬高木板的右端至倾角为θ，这一过程中两磁铁
均保持静止状态。请对该同学提出的说法进行分析，其中正确的是( )
学科网（北京）股份有限公司A．甲受到的摩擦力相对木板的方向可能发生变化
B．乙受到的摩擦力相对木板的方向可能发生变化
C．继续增大倾角，甲、乙将会同时发生滑动
D．若减小甲、乙间距，重复上述过程，增大倾角时乙会先发生向上滑动
【典例2a基础题】【答案】B
【解析】因两条形磁铁N极正对，相互排斥，在θ较小时，乙有沿斜面向上运动的趋势，
且随θ的增大，乙所受的摩擦力沿斜面向下逐渐减小，可能出现反向增大的情况；而甲一
定具有沿斜面向下运动的趋势，且随θ的增大，甲所受摩擦力增大，不可能出现摩擦力方
向变化的情况，故A错误，B正确；增大倾角θ或减小甲乙间距时，最易发生相对滑动的
为甲，故C、D均错误。
【典例2a基础题对应练习】如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧
一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动，
则(g＝10 m/s2)( )
图8
A.物体A相对小车向右运动 B.物体A受到的摩擦力减小
C.物体A受到的摩擦力大小不变 D.物体A受到的弹簧的拉力增大
【典例2a基础题对应练习】【答案】C
【解析】由题意得，物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力F ≥5 N，小车加速运动时，
fm
假设物体A与小车仍然相对静止，则物体A所受合力F ＝ma＝10 N，可知此时小车对物
合
体A的摩擦力为5 N，方向向右，且为静摩擦力，所以假设成立，物体A受到的摩擦力大
小不变，故选项A、B错误，C正确；物体A受到的弹簧的拉力大小不变，故D错误。
类型二：静—动突变模型
【知识思维方法技巧】
静—动突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止
状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，“突变”点为静摩擦力达到最大
值时。
【典例2b基础题】（多选）将力传感器A固定在光滑水平桌面上，测力端通过轻质水平
细绳与滑块相连，滑块放在较长的小车上，如图(甲)所示。传感器与计算机相连接，可获
得力随时间变化的规律。一水平轻质细绳跨过光滑的定滑轮，一端连接小车，另一端系沙
桶，整个装置开始处于静止状态。在滑块与小车分离前缓慢向沙桶里倒入细沙，力传感器
采集的Ft图象如图(乙)所示。则( )
学科网（北京）股份有限公司A．2.5 s前小车做变加速运动 B．2.5 s后小车做变加速运动(假设细沙仍在加注
中)
C．2.5 s前小车所受摩擦力不变 D．2.5 s后小车所受摩擦力不变
【典例2b基础题】【答案】BD
【解析】由题图乙可知，在F的变化阶段，沙桶质量在由小变大，如果小车是运动的，小
车与滑块间应是滑动摩擦力。由F＝μF 可得F 应恒定不变，假设错误，则小车是静止的。
f N f
滑块与小车之间没有相对滑动，二者之间的摩擦力为静摩擦力，所以2.5 s前，小车、滑块
均静止；2.5 s后小车受恒定摩擦力，但是外力增加，因此做变加速直线运动。根据上述分
析，2.5 s前滑块受静摩擦力，且静摩擦力在变化，2.5 s后受滑动摩擦力，且大小不变。
选项B、D正确。
【典例2b基础题对应练习】(多选)某同学用如图所示的装置开展探究实验，固定在墙壁上
的一个力传感器通过一根水平绳与小木块B相连，A、B都放在质量可以忽略的长薄板C
上，地面光滑。已知A的质量为0.8 kg，B的质量为0.4 kg，A、C间与B、C间的动摩擦
因数都为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度g＝10 m/s2，当施加一个力F作
用在A上，下列说法正确的是( )
A．F＝1 N时，力传感器示数为1 N B．F＝3 N时，力传感器示数为3 N
C．F＝4 N时，力传感器示数为4 N D．F＝5 N时，力传感器示数为2 N
【典例2b基础题对应练习】【答案】AD
【解析】对于轻质薄板C，合力一定为零。A、C间的最大静摩擦力为4 N，B、C间的最
大静摩擦力为2 N。当F＝1 N时，C与A、B都保持相对静止，由平衡条件知道力传感器
示数为1 N，A项正确；当F＝3 N，拉力超过B、C间的最大静摩擦力，发生相对滑动。
B、C间的摩擦力为2 N，A、C间摩擦力也是2 N，是静摩擦力，从而保持轻质薄板C的
合力零。同理分析知道，拉力F超过2 N，力传感器示数总是2 N，保持轻质薄板C的合
力零，A、C不可能发生相对滑动。所以B、C两项错误，D正确。
类型三：动—静突变模型
【知识思维方法技巧】
动—静突变模型的特点：
物体在摩擦力和其他力作用下，两物体相对做减速滑动的过程中，若相对速度变为0，则
物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力，“突变”点为两物
体相对速度为0时。
【典例2c基础题】如图所示，质量为1 kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0
时刻开始以初速度v 沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F＝1 N的作用，
0
取向右为正方向，该物体受到的摩擦力 F 随时间变化的图象是下列图中的(g＝10 m/s2)(
f
学科网（北京）股份有限公司)
【典例2c基础题】【答案】A
【解析】开始物体受到水平向左的滑动摩擦力：F＝μmg＝0.2×1×10 N＝2 N，物体速度减
f
为0后，F
