文档内容
知识点 8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力F ＝0。
N
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1提高题】如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面
成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O
放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g，在使BP板由水平位置缓慢转
动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A．平板AP受到的压力先减小后增大
B．平板AP受到的压力先增大后减小
C．平板BP受到的最小压力为0.6mg
D．平板BP受到的最大压力为mg
【典例1提高题】【答案】D
【解析】小球受重力、平板AP的弹力F 和平板BP的弹力F ，根据平衡条件，三力构成
1 2
一封闭矢量三角形，如图．从图中可以看出，在平板PB逆时针缓慢地转向竖直位置的过
程中，F 越来越大，F 先变小后变大，结合牛顿第三定律可知，选项A、B错误．由几何
1 2
关系可知，当F 的方向与AP的方向平行(即与F 的方向垂直)时，F 有最小值为：F ＝
2 1 2 2min
mgsin 53°＝0.8mg；当平板BP竖直时，F 最大为：F ＝mg·tan 53°＝mg，选项C错误，
2 2max
D正确．
【典例1提高题对应练习】轻质弹簧A的两端分别连在质量均为m的小球上，两球均可视
为质点．另有两根与A完全相同的轻质弹簧B、C，且B、C的一端分别与两个小球相连，
学科网（北京）股份有限公司 1B的另一端固定在天花板上，C的另一端用手牵住，如图所示．适当调节手的高度与用力
的方向，保持B弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，当
弹簧C的拉力最小时，B、C两弹簧的形变量之比为( )
A．1∶1 B．3∶5 C．4∶3 D．5∶4
【典例1提高题对应练习】【答案】C
【解析】以两球和弹簧A组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由合成法知当 C弹
簧与B弹簧垂直时，弹簧C施加的拉力最小，由几何关系知F ∶F ＝4∶3.
TB TC
题型二：应用数学分析法解决涉及弹力的临界与极值问题
【典例2提高题】（多选）如图所示，竖直墙壁与光滑水平地面交于B点，质量为m 的光
1
滑半圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上，O 为半圆柱体截面所在圆的圆心，质量为m
1 2
且可视为质点的均匀小球O 用长度等于A、B两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A点，
2
小球静置于半圆柱体上，当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙
壁的夹角θ就会跟着发生改变。已知重力加速度为g，不计各接触面间的摩擦，则下列说
法正确的是( )
A．当θ＝60°时，半圆柱体对地面的压力大小为mg＋mg
1 2
B．当θ＝60°时，小球对半圆柱体的压力大小为mg
2
C．换用不同的半圆柱体时，半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为mg
2
D．换用半径更大的半圆柱体时，半圆柱体对地面的压力保持不变
【典例2提高题】【答案】AC
【解析】 对小球进行受力分析如图甲所示，连接 OB和OO ，由几何关系可知θ＝α，小
2 1 2
学科网（北京）股份有限公司 2球受力平衡，有F ＝mgsin θ，F ＝mgcos θ，对小球和半圆柱体整体进行受力分析，整
N1 2 T 2
体受地面的支持力F 、墙壁的弹力F、细线的拉力F 、重力(m ＋m)g，如图乙所示，整
N T 1 2
体受力平衡，则在竖直方向上有F ＋F cos θ＝(m ＋m)g，水平方向上有F＝F sin θ。当
N T 1 2 T
θ＝60°时，F ＝mg，由牛顿第三定律得小球对半圆柱体的压力大小为mg，B错误；F＝
N1 2 2
F sin θ＝mgsin 2θ，当θ＝45°时，F ＝mg，C正确；F ＝(m ＋m)g－mgcos2θ，当θ＝
T 2 max 2 N 1 2 2
60°时，F ＝mg＋mg，当换用半径更大的半圆柱体时，θ改变，F 改变，由牛顿第三定律
N 1 2 N
可知A正确，D错误。
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a提高题】如图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°
时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块与木板间的动摩擦因数为( )
A. B. C. D.
【典例1a提高题】【答案】C
【解析】由题意可以判断，木板的倾角α为30°时物块静止，所受摩擦力为静摩擦力，由沿
斜面方向二力平衡可知其大小为mgsin 30°；木板的倾角α为45°时物块滑动，所受摩擦力
为滑动摩擦力，大小为μmgcos 45°，由二者相等可得物块与木板间的动摩擦因数为μ＝
，故选C.
【典例1a提高题对应练习】如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用
下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动
摩擦因数为μ ，A与地面间的动摩擦因数为μ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的
1 2
质量之比为( )
A． B． C． D．
【典例1a提高题对应练习】【答案】B
学科网（北京）股份有限公司 3【解析】对滑块A、B整体在水平方向上有F＝μ (m ＋m )g；对滑块B在竖直方向上有
2 A B
μ F＝m g，联立解得：＝，选项B正确．
1 B
类型二：连接体模型
【典例1b提高题】如图所示，有10块完全相同的长方体木板叠放在一起，每块木板的质
量为100 g，用手掌在这叠木板的两侧同时施加大小为F的水平压力，使木板悬空水平静止．
若手与木板之间的动摩擦因数为0.5，木板与木板之间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，则F至少为( )
A．25 N B．20 N C．15 N D．10 N
【典例1b提高题】【答案】B
【解析】先将所有的木板看成一个整体，竖直方向受重力、静摩擦力，二力平衡，有：
2μ F≥10mg再以除最外侧两块板(中间8块板)为研究对象，竖直方向受重力、静摩擦力，
1
二力平衡，有：2μ F ≥8mg，且F ＝F联立解得F≥20 N，选项B正确，A、C、D错误．
2 N N
【典例1b提高题对应练习】如图，一粗糙斜面固定于水平面上，一质量为m的滑块通过
一跨过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳与一钩码相连．能使滑块在斜面上保持静止的钩码质量
的最大值和最小值分别为m 和m.设轻绳与斜面保持平行，滑块所受到的最大静摩擦力等
1 2
于滑动摩擦力．斜面倾角为θ，则滑块与斜面之间的动摩擦因数为( )
A. B. C. D.
【典例1b提高题对应练习】【答案】C
【解析】当钩码的质量为最大值m 时，滑块所受的静摩擦力沿斜面向下，则：μmgcos θ＋
1
mgsin θ＝mg；当钩码的质量为最小值 m 时，滑块所受的静摩擦力沿斜面向上，则：
1 2
mgsin θ＝mg＋μmgcos θ；联立解得μ＝，故C正确，A、B、D错误．
2
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
类型一：静—静突变模型
【知识思维方法技巧】
静—静突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发
生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
学科网（北京）股份有限公司 4【典例2a提高题】如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平面上，一质量M＝1 kg的物
块C受平行于斜面向上的轻质橡皮筋拉力F＝9 N的作用，有一平行于斜面的轻绳一端固
定在物块C上，另一端跨过光滑定滑轮连接A、B两个小物块，物块C处于静止状态．已
知物块C与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，m ＝0.2 kg，m ＝0.3 kg，g取10 m/s2.剪断A、B
A B
间轻绳后，关于物块C受到的摩擦力的说法中正确的是(sin 37°＝0.6)( )
A. 滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为4 N
B. 滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为5 N
C. 静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N
D. 静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为3 N
【典例2a提高题】【答案】C
【解析】开始时物块C受静摩擦力作用，大小为F＝(m ＋m )g＋Mgsin 37°－F＝2 N，方
f A B
向沿斜面向上；剪断A、B间轻绳后，假设C仍静止，则此时C所受的静摩擦力F′＝m g
f A
＋Mgsin 37°－F＝－1 N，即F′沿斜面向下，因为1 N＜2 N，故可知物块C仍然处于静止
f
状态，即C受到静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N．故选C.
类型二：静—动突变模型
【知识思维方法技巧】
静—动突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止
状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，“突变”点为静摩擦力达到最大
值时。
【典例2b提高题】(多选）如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均
水平，A物体与一拉力传感器相连接，连拉力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时
刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B物体上，力传感器的示数随时间变化的
图线如图乙所示，已知k、t、t，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求( )
1 2
A．A、B之间的最大静摩擦力 B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μ D．B与水平面间的动摩擦因数μ
AB
【典例2b提高题】【答案】AB
【解析】当B被拉动后，力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为F ＝kt ，A、B
fm 1
相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则F ＝kt －F ＝k(t －t)，A、B正确；由于
fAB 2 fm 2 1
A、B的质量未知，则μ 和μ不能求出，C、D错误。
AB
【典例2b提高题对应练习】如图所示，一木箱放在水平地面上，现对箱子施加一斜向上的
拉力F，保持拉力的方向不变，在拉力F的大小由零逐渐增大的过程中．关于摩擦力F 的
f
学科网（北京）股份有限公司 5大小随拉力F的变化关系，下列四幅图可能正确的是( )
A. B. C. D.
【典例2b提高题对应练习】【答案】B
【解析】设F与水平方向的夹角为θ，木箱处于静止状态时，根据平衡条件得：木箱所受
的静摩擦力为F＝Fcosθ，F增大，F 增大；当拉力达到一定值，箱子运动瞬间，静摩擦力
f f
变为滑动摩擦力，由于最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力有个突然减小的过程；
木箱运动时，所受的支持力F ＝G－Fsinθ，F增大，F 减小，此时木箱受到的是滑动摩擦
N N
力，大小为F＝μF ，F 减小，则F 减小，故B正确，A、C、D错误．
f N N f
类型三：动—静突变模型
【知识思维方法技巧】
动—静突变模型的特点：
物体在摩擦力和其他力作用下，两物体相对做减速滑动的过程中，若相对速度变为0，则
物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力，“突变”点为两物
体相对速度为0时。
【典例2c提高题】把一重为G的物体用一个水平的推力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖
立的足够高的平整的墙上，如图所示。从t＝0开始物体所受的摩擦力F 随t的变化关系是(
f
)
【典例2c提高题】【答案】B
【解析】根据滑动摩擦力F＝μF ＝μF，随着压力F均匀增大，摩擦力F 均匀增大，当摩
f N f
擦力增大到大于重力以后，物体做减速运动直到静止，摩擦力变为静摩擦力，始终等于受
到的重力，故选项B正确。
【典例2c提高题对应练习】如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8)。质量为1 kg的滑块以初速度v 从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够
0
长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力F 随时间变化的图象是选
f
项图中的(取初速度v 的方向为正方向，g＝10 m/s2)( )
0
学科网（北京）股份有限公司 6【典例2c提高题对应练习】【答案】B
【解析】滑块上升过程中受滑动摩擦力，由F＝μF 和F ＝mg cos θ联立，得F＝6.4
f N N f
N，方向沿斜面向下。当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mg sin θ＜μmg cos θ，
滑块将静止，滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得F＝mg sin θ，代入可得F＝
f f
6 N，方向沿斜面向上，故选项B正确。
类型四：动—动突变模型
【知识思维方法技巧】
动—动突变模型的特点：
在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止
则物体将继续受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向．
【典例2d提高题】(多选）如图所示，足够长的传送带与水平面间的夹角为 θ，以速度v
0
逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的
动摩擦因数μ
