文档文本内容
第08 讲 动态平衡问题 平衡中的临界和极值问题
目录
01 考情解码·命题预警...........................................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视...........................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 动态平衡问题...................................................................................................................................4
知识点1 动态平衡............................................................................................................................4
知识点2 分析动态平衡问题的常用方法........................................................................................4
考向1 解析法....................................................................................................................................7
考向2 图解法....................................................................................................................................8
考向3 相似三角形法..........................................................................................................................9
考向4 辅助圆法（正弦定理法）........................................................................................................ 10
考点二 平衡中的临界和极值问题......................................................................................... 11
知识点1 平衡中的临界问题.......................................................................................................... 11
知识点2 平衡中的极值问题..........................................................................................................................12
考向1 恰好发生相对滑动的临界问题 ................................................................................................12
考向2 平衡中的极值问题.................................................................................................................. 14
04 真题溯源·考向感知....................................................................................................................... 15
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
动态平衡问题
选择题
非选择题
\
\
\
平衡中的临界、
极值问题
选择题
非选择题
\
\
\
考情分析：
高考动态平衡问题是高考考查的重点，平衡中的临界和极值问题考查频度相对较低，但也时有出现。
两者均主要出现在选择题部分，偶尔也可能在计算题中作为其中的一个小问出现，整体难度不是太大。动
态平衡问题，主要考查解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法等。平衡中的临界和极值问题，主要考
查图解法和数学解析法，常涉及根据物体的平衡条件作出力的矢量图，通过分析物理过程确定最大值与最
小值，或依据平衡条件写出物理量之间的函数关系，用数学方法求极值。
预计动态平衡问题仍是未来高考中考查的热点，且在对共点力的平衡条件进行考查的过程中可能会涉
及临界和极值问题，会更加注重考查学生对物理概念和规律的理解，以及运用物理方法解决实际问题的能
力。
复习目标：
目
一：学会用
解法、解析法
标
图
、相似三角形法、
助
法
辅
圆
等解决
平衡
动态
问题，正确画出受力分析
和矢量
图
三角形，通
分析力的
化来求解
。
过
变
问题
目
二：理解
界
的含
，能
准确判断
界状
，如物体
好离开接触面、
子恰好
等，会利用数
标
临
问题
义
够
临
态
刚
绳
绷紧
学的方法和物理概念相
合
理
界
，找出
界条件
结
处
临
问题
临
。
目标三：掌握求解极
的方法，包括物理分析方法、数学分析法和极限
值问题
分析法等，会根据物体的平衡条
件列出物理量之
的函数关系，并用合适的数学方法求出极
，如二次函数极
、三角函数极
等。
值
值
值
间
考点
一
动态平衡问题
知识点1 动态平衡
1、动态平衡
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为
状态。
2、做题流程
核心思想是：“化动为
，静中求动”。
知识点2 分析动态平衡问题的常用方法
1、解析法
（1）解题方法：对研究对象的任一状态进行受力分析，列平衡方程，写出函数关系式，再根据自变量的
变化进行分析，得出结论。
（2）举例：例如，将一个与水平方向成θ 角的推力F 作用在物块上，随着θ 角不断变化的过程中，物块始
终沿水平面做匀速直线运动，求解力F 大小的变化。对物体进行受力分析，建立直角坐标系。可得出
2、图解法（矢量三角形法）
（1）适用情况：①物体只受三个力作用；②其中一个力 ；③另一个力 ；④第三个力大
小、方向均变化。
（2）解题方法
①先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量箭头首尾相连构成闭合三角形。
②将方向不变的力沿矢量箭头所指方向延长，根据物体所受三个力中两个力变化而又维持平衡关系，可知
这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就
一目了然了。
③当第三个力与第二个力垂直时，第三个力最小。
3、相似三角形法
（1）适用情况：①物体受 个力作用；②其中一个力 ；③另外两个力的 都发生
变化，且三力构成的矢量三角形与某个实际几何三角形相似。
（2）解题方法
①对物体受力分析，若处于平衡状态且受到三个力，构成首尾相接的力学三角形。
②寻找与矢量三角形相似的几何三角形，如图中三个力构成的矢量三角形和△AOC 相似，则对应边的比值
相等，
。
③根据几何关系可知，在向上拉动物体的过程中，R、H 均不变，L 变短，则FN ，FT 。
4、正弦定理法（拉密定理）
（1）适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变。另两个力大小、方向都在改变，但
这两个力的 不变。
（2）解题方法：物体在三个力的作用下平衡时，三个共点力的合力为零，其中任一个力与其它两个力夹
角正弦的比值相等，即
。
5、辅助圆法
（1）适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变。另两个力大小、方向都在改变，但
这两个力的 不变。
（2）解题方法：
①已知条件：F1恒定，F2、F3的夹角一定
②在圆中画出力的矢量三角形，以恒定力为弦，另外两个力的交点在圆周上移动，由三角形各边长度及方
向的变化判定力的变化。
③两个力的夹角分大于90°（如图甲）和小于90°（如图乙）两种情况。
得分速记
：
共点力动态平衡的求解方法
考向1 解析法
例1 如图所示是工人师傅搬运货物所使用的“老虎车”，该车底板和背板相互垂直，工人师傅缓慢下压车
把手，使背板由竖直转向水平。不计货物与老虎车间的摩擦力，则该过程中货物对底板的压力FN1、对背
板的压力FN2的大小变化情况是（ ）
A．FN1逐渐增大、FN2逐渐减小
B．FN1逐渐减小、FN2逐渐增大
C．FN1先增大后减小、FN2先减小后增大
D．FN1先减小后增大、FN2先增大后减小
【变式训练1】如图，一圆柱体三分之一露出路面，一只质量为m 的蜗牛沿圆柱体表面从A 点缓慢地爬到
C 点，关于该过程蜗牛受到的支持力和摩擦力大小变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．支持力一直增大，摩擦力一直减小
B．支持力先增大后减小，摩擦力先减小后增大
C．支持力先减小后增大，摩擦力先增大后减小
D．支持力、摩擦力均先增大后减小
【变式训练2】如图所示，A、B 两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮
的质量和一切摩擦均不计。分别做以下三种改变：①增大A 物体的质量；②减小B 物体的质量；③绳的左
端由Q 点缓慢地向左移到P 点。整个系统重新平衡后，下列说法正确的是（ ）
A．对于改变①，物体A 的高度将降低，θ 角将增大
B．对于改变②，物体A 的高度将降低，绳间张力变小
C．对于改变③，物体A 的高度将降低，θ 角将减小
D．对于改变③，P 点与定滑轮间的绳长变大，θ 角不变
考向2 图解法
例2 （多选）水平地面上固定着倾角为45°的足够长的斜面，一足够长的直挡板通过O 处铰链与斜面相连
接，将一个质量为4kg 的铅球放在挡板与斜面之间，铅球处于静止状态，如图所示。挡板与斜面间的夹角
为θ，挡板对铅球的弹力和斜面对铅球的弹力分别用F1和F2表示，不考虑铅球受到的摩擦力，重力加速度
g=10m/s²，下列说法正确的是（ ）
A．当θ=45°时，
B．当θ=90°时，F1=20N
C．θ 由30°缓慢增大至135°的过程中，F1先减小后增大
D．θ 由30°缓慢增大至135°的过程中，F2先增大后减小
【变式训练1】如图所示，OA、OB、OC 都为轻绳，OA 绳水平，OC 绳下悬挂一个可视为质点的小球。现
对小球施加一水平力F，使小球被缓慢拉高，此过程中OA、OB 两绳位置不变，下列说法正确的是
（ ）
A．水平力F 保持不变
B．绳OA 的拉力保持不变
C．绳OB 的拉力保持不变
D．绳OC 的拉力保持不变
【变式训练2】如图所示，将一个铅球放在倾角为
的斜面上，并用竖直挡板挡住，铅球处于静止状态，
现将挡板从竖直状态绕O 点缓慢转动至与斜面垂直。不考虑铅球受到的摩擦力，挡板转动过程中铅球对挡
板的压力和对斜面的压力大小分别为
、
。则（ ）
A．
逐渐变大
B．
先变小后变大
C．
逐渐变小
D．
先变小后变大
考向3 相似三角形法
例3 如图所示为某建筑工地的简易起吊装置的示意图，AC 是质量不计的轻杆，A 端与竖直墙用光滑铰链
连接，一光滑小滑轮固定在A 点正上方，C 端吊一重物P，BC 绳绕过滑轮与C 端连接。现施加一拉力 F
缓慢将重物P 向上拉，在AC 杆从图中位置达到接近竖直位置的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．BC 绳中的拉力
越来越大
B．BC 绳中的拉力
先增大后减小
C．AC 杆中的支撑力 FN越来越大
D．AC 杆中的支撑力 FN大小不变
【变式训练1】如图所示，木板
放置在粗糙的水平地面上，
为光滑铰链。轻杆一端与铰链
固定连接，
另一端固定连接一质量为
的小球A。现将轻绳一端拴在小球A 上，另一端通过光滑的定滑轮
由力
牵引，定滑轮位于
的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力
的大小，使小球
和轻杆从图示位置
缓慢运动到
的正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．轻杆对小球的作用力大小不变
B．力
逐渐增大
C．地面对木板的支持力逐渐减小
D．地面对木板的摩擦力逐渐增大
【变式训练2】（2025·湖南·三模）如图所示，一个重力为mg 的小环套在竖直的半径为R 的光滑大圆环上，
一劲度系数为
，自然长度为
的轻质弹簧的一端固定在小环上，另一端固定在大圆环的最高点A，当小
环静止时，弹簧与竖直方向之间的夹角为
，已知
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．弹簧的长度为
C．小环受到大环的支持力为
D．弹簧弹力大小是
考向4 辅助圆法（正弦定理法）
例4 如图所示，质量
的三角形斜劈C 放在水平地面上，一根轻绳跨过固定的定滑轮，其一端连接
位于C 表面上的物块A，另一端连接小球B，绳子与滑轮顶端的接触处为
点。开始时系统处于静止状态，
轻绳左段部分与竖直方向夹角为
。现对小球B 施加一个拉力
使其缓慢移动，
的方向与轻绳右
段部分之间的夹角始终保持
，直至OB 处于水平。在此过程中A 和C 始终保持静止状态，已知物
块A 的质量
，小球B 的质量
，不计定滑轮与绳子之间的摩擦，则在小球B
缓慢移动过程中，轻绳拉力达到最大值时，地面对C 的摩擦力大小为（ ）
A．5N
B．10N
C．
D．
【变式训练1】
在工地上，经常用如图甲所示的推车搬运水泥，为保证水泥不滑落，推车的支
架与底板会设计成钝角，且为
，其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为
的水泥横放在推车底
板上，水泥袋和支架接触工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为
。不计这袋水泥与支
架及底板间的摩擦，并把这袋水泥简化为圆柱体，重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．当底板与水平面间的夹角为
时，底板对这袋水泥的支持力为
B．当底板与水平面间的夹角为
时，支架对这袋水泥的支持力为
C．缓慢压下把手的过程中，支架对这袋水泥的支持力一直增大
D．缓慢压下把手的过程中，底板对这袋水泥的支持力一直增大
【变式训练2】如图甲，铲车是生产生活中不可缺少的工具。某次铲车装载一个球形石块可以简化为图乙。
铲斗A 板与B 板内壁视为光滑，顶角
为锐角。在装载的过程中，铲斗缓慢逆时针旋转，使
的角平分线竖直。下列说法正确的是（ ）
A．A 板受到的压力一直增加，B 板受到的压力先增加后减小
B．A 板受到的压力一直增加，B 板受到的压力一直增加
C．A 板受到的压力先增加后减小，B 板受到的压力一直增加
D．A 板受到的压力先增加后减小，B 板受到的压力一直减小
考点二 平衡中的临界和极值问题
知识点1 平衡中的临界问题
1、临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不
出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。
2、临界问题常见的几种情况
（1）由静止到运动，摩擦力达到 。
（2）绳子恰好绷紧，拉力F＝ 。
（3）刚好离开接触面，支持力FN＝ 。
知识点2 平衡中的极值问题
1、极值问题
平衡中的极值问题，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值的问题。
2、解决平衡中极值问题的常用方法
（1）物理分析法：根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则或三
角形定则进行动态分析，确定最大值或最小值。
（2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件列出物理量之间的函数关系，用数学方法求
极值（如二次函数求极值、三角函数求极值等）。
（3）极限分析法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点;临界条件必
须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，要把某个物理量推向极端，即极大或极小。
考向1 恰好发生相对滑动的临界问题
例1 如图所示，倾角为
的斜面固定在水平地面上，两个物块A、B 用轻质弹簧连接，两物块都恰好
静止在斜面上。物块A 与斜面间的动摩擦因数为0.4，物块B 与斜面间的动摩擦因数为0.8，两物块受到的
摩擦力方向相同，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，取重力加速度大小
（
，
），下列说法正确的是（ ）
A．弹簧可能处于压缩状态
B．A、B 两物体所受摩擦力均沿斜面向下
C．当
时物块B 受到的摩擦力大小为48N
D．物块A 和物块B 的质量之比为1 7∶
思维建模
的相对滑动
接触物
1、题型识别：①物体处于平衡状态；②力的矢量三角形发生变化；③物体恰好不滑动。
2、临界条件：物体所受摩擦力为最大静摩擦力。
（1）Ff ≤μFN是所有受静摩擦力物体平衡的必要条件。
（2）斜面问题中，μ＝tanθ 表示重力沿斜面向下分力等于最大静摩擦力的临界情况。
（3）研究传送带问题时，物体和传送带的速度相同的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质的突变
点。
（4）题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。
【注意】静摩擦力一般随外力的变化而变化，注意静摩擦力方向的判断。
【变式训练1】如图所示，某同学将半径为R 的半球形饭碗扣在水平桌面上，之后将一个橡皮擦轻放在碗
底附近，慢慢轻推橡皮擦，当橡皮擦被推到距离桌面的高度为h 时，撤去推力，橡皮擦恰好能静止在碗上。
若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则橡皮擦与碗面间的动摩擦因数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2·变考法】如图所示，三根细轻绳系于O 点，其中OA 绳另一端固定于A 点，OC 绳的另一端
与放在粗糙水平面上质量为
的物体M 相连，OB 绳的另一端绕过固定的光滑定滑轮悬挂一质量为
的物体N。平衡时OA 竖直、OB 与水平方向的夹角
、OC 水平，已知重力加速度取
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）求轻绳OA 和OC 上的拉力
、
的大小；
（2）求定滑轮对轻绳的作用力；
（3）如果物体M 恰好没有滑动，求物体M 与水平面间的动摩擦因数。
考向2 平衡中的极值问题
例2（2025·陕西·三模）在一个倾角为
的足够长粗糙斜面上，放置一个质量为
的物块，物块
与斜面间的动摩擦因数
。现对物块施加一个大小和方向都可以改变的外力
，使物块在斜面上以恒
定速度
沿斜面向上运动。已知重力加速度
，则外力
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．12N
D．16N
【变式训练1】
我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运
出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为
，方
形矿石与斜面间的动摩擦因数为
，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m 的矿石沿斜面匀速上滑，
所需的拉力最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】三个相同的足球按照如图所示的方式静止在一端有垂直挡板的平板上，平板与水平面的夹
角为
，现逐渐减小
，三个足球仍能按图示状态保持静止，不计所有摩擦，则
正切值的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
1．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于
30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能
小于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面
内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对
其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F 的最大
值为（ ）
A．
B．
C．G
D．
3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的
点，将木板以底
边
为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在
转动过程中（ ）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
4．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水平地面间的动
摩擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为
，则下
列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角
，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
