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知识点 8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力F ＝0。
N
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1拔尖题】将三个质量均为m的小球a、b、c用细线相连后(b、c间无细线相连)，
再用细线悬挂于O点，如图所示．用力F拉小球c，使三个小球都处于静止状态，且细线
Oa与竖直方向的夹角保持为θ＝30°，则F的最小值为( )
A．mg B．2mg C．mg D．mg
【典例1拔尖题】【答案】C
【解析】静止时将三球视为一个整体，重力为3mg，当作用于c球上的力F垂直于Oa时，
F最小，由正交分解法知，水平方向Fcos 30°＝F sin 30°，竖直方向Fsin 30°＋F cos 30°＝
T T
3mg，解得F＝mg，故选C.
【典例1拔尖题对应练习】（多选）如图，弹性轻绳一端固定于O点，另一端连有一质量
m的小球a，小球a通过不可伸长的细绳连接质量相同的小球b，两小球均处于静止状态．
现给小球b施加一个力F，使弹性轻绳与竖直方向成30°角，两球依然保持静止．下列说法
正确的是( )
A．弹性绳的长度一定增加 B．a、b间细绳上的张力可能减小
C．力F的值可能大于mg D．力F的值可能小于mg
【典例1拔尖题对应练习】【答案】BC
学科网（北京）股份有限公司 1甲 乙
【解析】以小球b为研究对象，分析受力，作出力图如图甲，根据作图法分析得到a、b间
细绳上的张力可能减小，故B正确．以小球ab为研究对象，分析受力，作出力图如图乙．
根据作图法分析得到弹性绳的张力可能减小，所以弹性绳的长度可能减小；当小球施加的
力F与弹性轻绳垂直时，所用的力F最小，F ＝2mgsin30°＝mg，故C正确，A、D错误．
min
故选B、C.
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a拔尖题】（多选）如图甲所示，截面为直角三角形的木块A质量为m ，放在倾
0
角为θ的固定斜面上，当θ＝37°时，木块A恰能静止在斜面上。现将θ改为30°，在A与
斜面间放一质量为m的光滑圆柱体B，如图乙所示，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速
度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则( )
A．A与斜面之间的动摩擦因数为0.75
B．A、B仍一定静止于斜面上
C．若m＝m，则A受到的摩擦力大小为mg
0
D．若m＝4m，则A受到斜面的摩擦力大小为2.5mg
0
【典例1a拔尖题】【答案】AD
【解析】由题意可知，当θ＝37°时，木块恰能静止在斜面上，则有：μmgcos 37°＝mgsin
0 0
37°，解得：μ＝0.75，故A正确；现将θ改为30°，在A与斜面间放一质量为m的光滑圆
柱体B，对A受力分析，则有：f′＝μN′，N′＝mgcos 30°；而F＝mgsin 30°，当f′mgsin 30°＋mgsin 30°，则A相对斜面不
0 0
学科网（北京）股份有限公司 2滑动，因此A、B是否静止在斜面上，由 B对A弹力决定，故 B错误；若m ＝m，则
0
mgsin 30°＋mgsin 30°＝mg；f′＝μN′＝0.75×m gcos 30°＝mgmg，A不滑动，A受到斜面的静摩擦力，大小为mgsin 30°＋
0
mgsin 30°＝mg，故D正确。
0
【典例1a拔尖题对应练习】 如图所示，质量m＝1 kg的物块在与水平方向夹角为θ＝37°
的推力F作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数 μ＝0.5，推力F应满足什么条
件？(取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2)
【典图例101 a拔尖题对应练习】【答案】10 N≤F≤50 N
【解析】当F较大时，物块会有向上滑动的趋势，摩擦力向下，当物块恰不上滑时，力 F
有最大值(受力如图1所示)
所以F ＝F cos θ，F sin θ＝F＋mg
N max max f
又因为F＝μF ，解得F ＝50 N
f N max
当力F较小时，物块有向下滑动的趋势，摩擦力向上，所以当物块恰不下滑时，力F有最
小值(受力如图2所示)，由平衡条件可得出：F ′＝F cos θ
N min
F sin θ＋F′－mg＝0
min f
又因为F′＝μF ′
f N
解得：F ＝10 N
min
所以使物块静止于墙上推力F的取值范围为10 N≤F≤50 N。
类型二：连接体模型
【典例1b拔尖题】如图所示，在水平杆MN上套上两个质量不计的小环A和B，一长度为
l、不可伸长的细线两端分别系在环A、B上，并在细线中点挂一个质量为m的物块．已知
环A、B与杆间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．那么系统平衡时小环
A、B间的最大距离为( )
A． B． C． D．
【典例1b拔尖题】【答案】A
【解析】对A、B及m的整体分析：mg＝2F ，则环与杆间的最大静摩擦力 f ＝μF ＝
N m N
学科网（北京）股份有限公司 3μmg；设细绳与杆的夹角为θ，则对圆环：Tcos θ＝f ；对物块：2Tsin θ＝mg.解得tan θ
m
＝；设A、B间的最大距离为x，则＝tan θ＝，解得x＝，故选A.
【典例1b拔尖题】如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m
的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．
A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与
水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为( )
A． B． C． D．
【典例1b拔尖题】【答案】C
【解析】A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．
对A：F ＝mgsin 45°＋μmgcos 45° 对B：2mgsin 45°＝F ＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45°
T T
整理得，μ＝，选项C正确．
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
【典例2拔尖题】如图所示，完全相同的A、B两物体放在水平地面上，与水平地面间的
动摩擦因数均为μ＝0.2，每个物体重G＝10 N，设物体A、B与水平地面间的最大静摩擦
力均为F ＝2.5 N，若对A施加一个向右的由0均匀增大到6 N的水平推力F，有四位同
max
学将A物体所受到的摩擦力F 随水平推力F的变化情况在图中表示出来。其中表示正确
fA
的是( )
学科网（北京）股份有限公司 4【典例2拔尖题】【答案】D
【解析】推力F由0均匀增大到2.5 N，A、B均未动，而F 由0均匀增大到2.5 N。推力
fA
F由2.5 N增大到5 N，F ＝2.5 N。推力F由5 N增大到6 N，A处于运动状态，F ＝μG
fA fA
＝2 N，故D项正确。
【典例2拔尖题对应练习】长木板上表面的一端放有一个物块，物块与木板接触面上装有
摩擦力传感器，木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ变大)，另一端不动，
如图甲所示，摩擦力传感器记录了物块受到的摩擦力F 随角度θ的变化图像如图乙所示．
f
重力加速度为g，下列判断正确的是( )
A. 物块与木板间的动摩擦因数μ＝tanθ
1
B. 物块与木板间的动摩擦因数μ＝
C. 木板与地面的夹角为θ 时，物块做自由落体运动
2
D. 木板由θ 转到θ 的过程中，物块的速度变化越来越快
1 2
【典例2拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】由题图乙可知，当木板与地面的夹角为θ 时物块刚刚开始滑动，物块重力沿木板
1
向下的分力等于F ，则F ＝mgsinθ ，刚滑动时有F ＝μmgcosθ ，则μ＝ ，由题
f2 f2 1 f1 1
图乙知F
