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知识点 8：弹力与摩擦力的临界极值问题
考点一：弹力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平
衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”
等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力F ＝0。
N
（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题
【典例1提高题】如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面
成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O
放在两板间，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g，在使BP板由水平位置缓慢转
动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A．平板AP受到的压力先减小后增大
B．平板AP受到的压力先增大后减小
C．平板BP受到的最小压力为0.6mg
D．平板BP受到的最大压力为mg
【典例1提高题对应练习】轻质弹簧A的两端分别连在质量均为m的小球上，两球均可视
为质点．另有两根与A完全相同的轻质弹簧B、C，且B、C的一端分别与两个小球相连，
B的另一端固定在天花板上，C的另一端用手牵住，如图所示．适当调节手的高度与用力
的方向，保持B弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，当
弹簧C的拉力最小时，B、C两弹簧的形变量之比为( )
A．1∶1 B．3∶5 C．4∶3 D．5∶4
题型二：应用数学分析法解决涉及弹力的临界与极值问题
【典例2提高题】（多选）如图所示，竖直墙壁与光滑水平地面交于B点，质量为m 的光
1
滑半圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上，O 为半圆柱体截面所在圆的圆心，质量为m
1 2
且可视为质点的均匀小球O 用长度等于A、B两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A点，
2
学科网（北京）股份有限公司 1小球静置于半圆柱体上，当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙
壁的夹角θ就会跟着发生改变。已知重力加速度为g，不计各接触面间的摩擦，则下列说
法正确的是( )
A．当θ＝60°时，半圆柱体对地面的压力大小为mg＋mg
1 2
B．当θ＝60°时，小球对半圆柱体的压力大小为mg
2
C．换用不同的半圆柱体时，半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为mg
2
D．换用半径更大的半圆柱体时，半圆柱体对地面的压力保持不变
考点二：摩擦力的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。
（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：
①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过
程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过
程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．
②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函
数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值
类型一：单个物体模型
【典例1a提高题】如图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°
时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块与木板间的动摩擦因数为( )
A. B. C. D.
【典例1a提高题对应练习】如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用
下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动
摩擦因数为μ ，A与地面间的动摩擦因数为μ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的
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质量之比为( )
A． B． C． D．
类型二：连接体模型
学科网（北京）股份有限公司 2【典例1b提高题】如图所示，有10块完全相同的长方体木板叠放在一起，每块木板的质
量为100 g，用手掌在这叠木板的两侧同时施加大小为F的水平压力，使木板悬空水平静止．
若手与木板之间的动摩擦因数为0.5，木板与木板之间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，则F至少为( )
A．25 N B．20 N C．15 N D．10 N
【典例1b提高题对应练习】如图，一粗糙斜面固定于水平面上，一质量为m的滑块通过
一跨过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳与一钩码相连．能使滑块在斜面上保持静止的钩码质量
的最大值和最小值分别为m 和m.设轻绳与斜面保持平行，滑块所受到的最大静摩擦力等
1 2
于滑动摩擦力．斜面倾角为θ，则滑块与斜面之间的动摩擦因数为( )
A. B. C. D.
题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题
【知识思维方法技巧】
分析摩擦力突变问题的方法：
①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受
力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
类型一：静—静突变模型
【知识思维方法技巧】
静—静突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发
生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。
【典例2a提高题】如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平面上，一质量M＝1 kg的物
块C受平行于斜面向上的轻质橡皮筋拉力F＝9 N的作用，有一平行于斜面的轻绳一端固
定在物块C上，另一端跨过光滑定滑轮连接A、B两个小物块，物块C处于静止状态．已
知物块C与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，m ＝0.2 kg，m ＝0.3 kg，g取10 m/s2.剪断A、B
A B
间轻绳后，关于物块C受到的摩擦力的说法中正确的是(sin 37°＝0.6)( )
A. 滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为4 N
B. 滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为5 N
C. 静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N
D. 静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为3 N
学科网（北京）股份有限公司 3类型二：静—动突变模型
【知识思维方法技巧】
静—动突变模型的特点：
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止
状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，“突变”点为静摩擦力达到最大
值时。
【典例2b提高题】(多选）如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均
水平，A物体与一拉力传感器相连接，连拉力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时
刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B物体上，力传感器的示数随时间变化的
图线如图乙所示，已知k、t、t，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求( )
1 2
A．A、B之间的最大静摩擦力 B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μ D．B与水平面间的动摩擦因数μ
AB
【典例2b提高题对应练习】如图所示，一木箱放在水平地面上，现对箱子施加一斜向上的
拉力F，保持拉力的方向不变，在拉力F的大小由零逐渐增大的过程中．关于摩擦力F 的
f
大小随拉力F的变化关系，下列四幅图可能正确的是( )
A. B. C. D.
类型三：动—静突变模型
【知识思维方法技巧】
动—静突变模型的特点：
物体在摩擦力和其他力作用下，两物体相对做减速滑动的过程中，若相对速度变为0，则
物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力，“突变”点为两物
体相对速度为0时。
【典例2c提高题】把一重为G的物体用一个水平的推力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖
立的足够高的平整的墙上，如图所示。从t＝0开始物体所受的摩擦力F 随t的变化关系是(
f
)
学科网（北京）股份有限公司 4【典例2c提高题对应练习】如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8)。质量为1 kg的滑块以初速度v 从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够
0
长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力F 随时间变化的图象是选
f
项图中的(取初速度v 的方向为正方向，g＝10 m/s2)( )
0
类型四：动—动突变模型
【知识思维方法技巧】
动—动突变模型的特点：
在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止
则物体将继续受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向．
【典例2d提高题】(多选）如图所示，足够长的传送带与水平面间的夹角为 θ，以速度v
0
逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的
动摩擦因数μ
