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模型07 动态平衡及极值问题（原卷版）
学校：_________班级：___________姓名：_____________
1.动态平衡问题
动态平衡是指研究对象的某些参量在变化，如速度、受力状态等，但是非常缓慢，可以看成平衡状态，
因此题目中有关键词「缓慢」、「轻轻地」等
(1) 解析法,
①解题步骤：
a、对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件，列平衡方程求出未
知量与已知量的关系表达式，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)。
b、根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况．
(2)图解法
①适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个
力的方向不变，第三个力大小、方向均变化．
②解题步骤：
a、对研究的对象进行受力分析
b、画出受力分析的平行四边形或者头尾相连的三角形
c、找出一个大小方向都不变的力，找出一个方向不变的力，结合
平行四边形各边或者角度的变化确定力的大小及方向的变化情况
(3)相似三角形法
①适用情况：在物体所受的三个力中，一个力是恒力，大小、方向均不变,另外两个力是变力，
大小、方向均改变，且方向不总是相互垂直,通过相似，转移力三角形到结构三角形中求解.
②解题步骤：
a、对物体受力分析
b、若处于平衡状态且受三个力，构成首尾相接的力学三角形
c、寻找与力学三角形相似的几何三角形
d、根据几何三角形长度及夹角的变化判断力的大小和方向的
变化
2.临界及极值问题
01 模型概述
1
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(1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出
现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述.
临界问题常见的种类：
①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
②绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
③刚好离开接触面，支持力FN＝0.
(2)极值问题:平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.
(3)解决极值问题和临界问题的方法
①极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必
须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小.
②数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图
像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值).
③物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形
定则进行动态分析,确定最大值与最小值.
a、若已知F 合的方向、大小及一个分力F1的方向,则另一个分力F2取最小值的条件为F2⊥F1;
b、若已知F 合的方向及一个分力F1的大小、方向,则另一个分力F2取最小值的条件为F2⊥F 合.
1. 动态平衡问题
【典型题1】（2024·广西贵港·模拟预测）有一上表面光滑、下表面粗糙的半圆柱体放在粗糙的水平地面上，
其横截面如图所示，质量为m 的光滑小球（可视为质点）在F 的作用下静止在半圆柱体表面上A 点，A
点与截面圆心O 连线与水平面成30°角，现将F 由水平方向逆时针缓慢旋转至竖直向上，半圆柱体和小
球始终保持静止状态，重力加速度为g，在此过程中，下列说法错误的是（ ）
A．F 先变小后变大
B．半圆柱体对小球的支持力保持不变
C．地面对半圆柱体的摩擦力一直变小
02 典题攻破
2
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D．F 的最大值为
【典型题2】（22-23 高三下·江苏·阶段练习）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O 与拖车相连，另
一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的连绳保持水平，小船与拖车的运动在同一竖直平面内，拖
车沿平直路面水平向右运动带动小船，使小船以速度v 沿水面向右匀速运动，若船在水面上运动受到的
阻力保持不变．则在上述运动过程中（ ）
A．当拉船的轻绳与水平面的夹角为
时，拖车运动的速度为
B．小船受到绳的拉力不断减小
C．小船受到绳的拉力的功率不断增大
D．拖车的动能不断减小
2. 临界及极值问题
【典型题3】（23-24 高三上·山东青岛·阶段练习）（多选）质量为M 的木楔倾角θ 为37°，在水平面上保
持静止。当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如图所示，当用与木楔斜面成α
角的力F 拉木块，木块匀速上升（已知木楔在整个过程中始终静止）。可取sin37°=0.6。下列说法正确
的有（ ）
A．物块与斜面间的动摩擦因数为0.75
B．当α=37°时F 有最小值
C．当α=30°时F 有最小值
D．F 的最小值为0.96mg
03 针对训练
3
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1．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为
的相框对称地悬挂在墙壁
上，画框上两个挂钉间的距离为
。已知绳能承受的最大张力为
，为使绳不断裂，绳子的最短
长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一上·云南曲靖·阶段练习）如图所示，能承受最大拉力为10N 的细线OA 与竖直方向成45°角，
能承受最大拉力为5N 的细线OB 水平，细线OC 能承受足够大的拉力，为使OA，OB 均不被拉断，OC
下端所悬挂物体的最大重力是（ ）
A．15N B．10N C．5N D．
3．（23-24 高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图是15kg 的正棱台形金砖，a、b 侧面与底面的夹角为
78.5°。某大力士可用单手的食指和拇指按住金砖的a、b 面，保持c 面水平将其提起。已知手指与金砖
之间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin78.5°=0.98，cos78.5°=0.2，g 取
。
提起金砖，手指施加给金砖单侧的压力至少为（ ）
4
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A．150N
B．259N
C．300N
D．518N
4．（23-24 高一上·辽宁·阶段练习）筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：
“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m
的小球，两根筷子均在竖直平面内，且小球静止，筷子和竖直方向的夹角均为
。已知小球与筷子之间
的动摩擦因数为
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球受到3 个力作用
B．当
增大时，筷子对小球的作用力增大
C．当
减小时，筷子对小球的作用力减小
D．使小球不掉落，筷子对小球的最小压力是
5．（23-24 高一上·重庆渝中·期中）如图所示，物体所受重力为40N，用细绳OC 悬于O 点，绳OC 所能承
受的取大拉力为50N。现用细绳AB 绑住绳OC 的A 点，再用缓慢增大的水平力牵引A 点，当OA 段刚
好被拉断时，以下说法正确的是（ ）
5
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A．细绳AB 上的拉力为50N
B．细绳AB 上的拉力为30N
C．此时OA 绳与初始位置的夹角为45°
D．此时OA 绳与初始位置的夹角为53°
6．（22-23 高一上·江苏无锡·期中）汽车45°极限爬坡时的照片如图所示，汽车缓慢逐步沿斜坡攀爬，坡的
倾角逐渐增大至45°。下列关于汽车在这一爬坡过程的说法正确的是（ ）
A．汽车受到沿坡面向上、大小不断增大的静摩擦力作用
B．汽车受到沿坡面向下、大小不断减小的滑动摩擦力作用
C．坡的倾角越大，汽车对坡面的压力也越大
D．汽车上坡时，汽车对坡面的压力大于坡面对汽车的支持力
7．（23-24 高一上·江苏无锡·期中）如图所示，固定有光滑竖直杆的三角形斜劈放置在水平地面上，放置
于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一
个竖直向上的拉力F，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则（ ）
A．小球对斜劈的压力先减小后增大
B．竖直向上的拉力F 先增大后减小
6
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C．斜劈对地面的压力逐渐减小
D．斜劈对地面的摩擦力逐渐减小
8．（20-21 高二下·上海·期末）（多选）如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为
圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而
处于静止状态。现在从球心O 处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动。设
乙对挡板的压力大小为F1，甲对斜面的压力大小为F2，在此过程中下列说法错误的是（ ）
A．F1缓慢增大，F2缓慢增大
B．F1缓慢增大，F2缓慢减小
C．F1缓慢减小，F2缓慢增大
D．F1缓慢减小，F2保持不变
9．（2024·河北邯郸·三模）（多选）放风筝是春天时大人、小孩都爱玩的一项活动。有一个小朋友将一只
风筝放飞到空中后，当他缓慢的释放拉线，风筝越飞越高，先后经过同一竖直面的a、b 两点，如图所
示。风筝所受风力方向不变，拉线的质量不计，风筝受到的重力不可忽略但浮力不计，小孩受到的风力
不计，拉线始终处于绷紧状态，则前后两个位置相比（ ）
A．拉线的张力减小
B．风对风筝的作用力增加
C．小孩对地面的压力变大
D．小孩对地面的摩擦力变大
10．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m 的石墩，石墩与水
平地面间的动摩擦因数为
，工作人员用轻绳按图示方式在水平地面上匀速移动石墩时，两平行轻绳
与水平面间的夹角均为
，不计绳与石墩之间的摩擦。则下列说法正确的是（ ）
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A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力最小值为0.5mg
C．轻绳的合拉力最小时，
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力最小
11．（23-24 高二下·浙江宁波·期末）如图，倾角为30°的斜面静置于粗糙水平面。物块A 由一轻绳与小球B
相连，轻绳跨过光滑定滑轮，O 点为轻绳与定滑轮的接触点。初始时小球B 受到水平向右的拉力F，轻
绳OB 段与F 的夹角
，整个系统处于静止状态。现改变拉力F，将小球向右上方缓慢拉起，并
保持夹角θ 不变。从初始状态到轻绳OB 段水平的过程中，斜面与物块A 均保持静止，则在此过程中（
）
A．拉力F 先增大后减小
B．轻绳OB 段的张力先增大后减小
C．地面对斜面的支持力逐渐增大
D．地面对斜面的摩擦力先增大后减小
12．（23-24 高二下·重庆渝中·期末）（多选）如图所示，倾角为30°、质量
的斜面体C 置于粗糙
水平地面上，小物块B 放在粗糙斜面上，质量
，连接B 的轻绳与斜面平行，轻绳跨过光滑轻质
小滑轮O 与质量为
的物块A 相连。开始时A 静止在滑轮正下方，现对A 施加一个拉力F 使A 缓
慢移动，F 与连接A 的轻绳OA 的夹角始终保持120°，直至轻绳OA 水平。此过程中B、C 始终保持静止
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状态。g 取
，则（ ）
A．开始时，B 所受摩擦力大小为5N
B．OA 水平时，轻绳拉力为
C．OA 水平时，地面对C 的支持力为
D．A 缓慢移动过程中，轻绳拉力的最大值为
13．（24-25 高一·全国·课堂例题）生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。
如图所示，悬吊重物的细绳，其O 点被一水平绳BO 牵引，使悬绳AO 段和竖直方向成θ 角。若悬吊物
所受的重力为G，则：
(1)悬绳AO 和水平绳BO 上的拉力各等于多少？
(2)若保持O 点不动，缓慢向上转动BO 绳，直到竖直方向，两条绳中的拉力大小如何变化？
(3)若保持
不变，逆时针缓慢转动两绳，直到BO 绳竖直的过程中，两条绳中的拉力大小如何变
化？
9
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14．（23-24 高一上·四川成都·期末）如图，三根轻绳系于O 点，其中OA 绳的另一端固定于A 点，OB 绳
的另一端与放在固定粗糙斜面上的物体乙相连，OC 绳的另一端悬挂着质量为2kg 的物体甲。系统平衡
时OA 绳与竖直方向的夹角为
，OB 绳水平。已知斜面的倾角为
，物体乙与斜面间的动
摩擦因数为
。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取
，
，
。求：
（1）系统平衡时OA 绳、OB 绳的拉力大小；
（2）要维持系统的平衡，物体乙的最小质量。
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15．（21-22 高一上·湖南张家界·期末）如图所示，建筑工地上一质量为
人正在用图示装置缓慢拉
升质量
的重物，在某一时刻，OA 绳与竖直方向夹角
，OA 与OB 绳恰好垂直。已知
可将此人视为质点,并视最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度
。则：
（1）此时OA 绳的拉力为多大；
（2）此时OB 绳的拉力为多大；
（3）此时若要使人不被拉动，则人与地面间的动摩擦因数
至少为多大？
11
