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专题03 共点力的平衡
[题型导航]
题型一 受力分析 整体法与隔离法的应用.........................................................................................1
题型二 三力及多力平衡问题...............................................................................................................4
题型三 动态平衡问题......................................................................................................................... 10
题型四 平衡中临界与极值问题.........................................................................................................16
[考点分析]
题型一 受力分析 整体法与隔离法的应用
1．受力分析的定义
把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图，这个过
程就是受力分析．
2．受力分析的一般顺序
先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力．
[例题1]
如图所示，传送带沿逆时针方向匀速转动．小木块a、b 用细线连接，用平行于
传送带的细线拉住a，两木块均处于静止状态．关于木块受力个数，正确的是（ ）
A．a 受4 个，b 受5 个
B．a 受4 个，b 受4 个
C．a 受5 个，b 受5 个
D．a 受5 个，b 受4 个
【解答】解：先对物体b 受力分析，受重力、支持力、细线的拉力和沿着斜面向下的滑动摩擦力，
共4 个力；
1
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再对物体a 受力分析，受重力、支持力、两侧细线的两个拉力和沿着斜面向下的滑动摩擦力，共
5 个力；
故ABC 均错误，D 正确；
故选：D。
[例题2]
在恒力F 作用下，a、b 两物体一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动，则关于它们受
力情况的说法正确的是（ ）
A．a 一定受到4 个力
B．b 可能受到4 个力
C．a 与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．a 与b 之间不一定有摩擦力
【解答】解：对物体b 受力分析，b 受重力、斜面的支持力和摩擦力的作用而处于平衡，故b 受
3 个力；
对物体a、b 整体受力分析，受重力、恒力F，由于水平方向墙壁对a 没有支持力，否则整体不
会平衡，墙壁对a 没有支持力，也就没有摩擦力；
所以物体a 受重力、恒力F、物体b 对其的压力和静摩擦力，共受4 个力；故A 正确，BCD 错误；
故选：A。
[例题3]
如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C 将两个相同的小球连接并悬挂，小球
处于静止状态，弹簧A 与竖直方向的夹角为30°，弹簧C 水平，则弹簧A、C 的伸长量之比为
（ ）
A．√3：4
B．4：√3
C．1：2
D．2：1
【解答】解：将两球和弹簧B 看成一个整体，整体受到总重力G、弹簧A 和C 的拉力，如图，
设弹簧A、C 的拉力分别为F1和F2．由平衡条件得知，F2和G 的合力与F1大小相等、方向相反
2
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则得：F2＝F1sin30°＝0.5F1。
根据胡克定律得：F＝kx，k 相同，则 弹簧A、C 的伸长量之比等于两弹簧拉力之比，即有
xA：xC＝F1：F2＝2：1
故选：D。
[例题4]
两相同的楔形木块A、B 叠放后分别以图1、2 两种方式在水平外力F1和竖直外
力F2 作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B 受力个数分别为（
）
A．4；4
B．4；3
C．5；3
D．5；4
【解答】解：图1 中，根据整体法可知，木块B 除了重力外，一定受到墙面水平向右的弹力和
竖直向上的静摩擦力，隔离B 分析，其一定还受到A 的弹力（垂直于接触面向左上方），但A
对B 有无静摩擦力暂不确定，需再隔离A 分析，A 确定受到重力、水平向左的推力、B 对齐垂
直于接触面向右下的弹力，这样的三个力不可能使A 平衡，所以A 一定还要受到B 对其沿接触
面斜面右上的静摩擦力才能平衡，至此可确定B 一定受到A 沿接触面斜向左下的静摩擦力，及
B 共受5 个力；图2 中，据整体法可知B 与墙面间即无弹力也无摩擦力，所以木块B 受重力，A
的弹力和摩擦力共3 个力的作用，故C 正确，ABD 错误；
故选：C。
题型二 三力及多力平衡问题
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方
3
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向相反．
2．分解法：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个
力满足平衡条件．
3．正交分解法：物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两
组，每组力都满足平衡条件．
[例题5]
（多选）如图所示，A、B 两球用轻杆相连，用两根细线将其悬挂在水平天花板
上的O 点．现用一水平力F 作用于小球B 上，使系统保持静止状态且A、B 两球在同一水平线
上．已知两球重力均为G，轻杆与细线OA 长均为L．则（ ）
A．细线OB 的拉力为√2G
B．细线OB 的拉力为G
C．水平力F 的大小为2G
D．水平力F 的大小为G
【解答】解：对AB 球和杆整体受力分析，受已知拉力F、重力2mg、OA 绳子的拉力和OF 绳子
的拉力，如图所示：
根据共点力平衡条件，有：
水平方向：F＝FBO•sin45° ①
竖直方向：FAO+FBO•cos45°＝2mg ②
根据力矩平衡条件，有：
F•AO＝mg•AB ③
由于轻杆与细线OA 长均为L，故联立①②③可以解出：
F＝mg＝G
FAO＝mg＝G
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FB0=√2mg=√2G，故AD 正确，BC 错误。
故选：AD。
[例题6]
（多选）如图所示，A、B 两球用轻杆相连，用两根细线将其悬挂在水平天花板
上的O 点．现用外力F 作用于小球B 上，使系统保持静止状态，细线OA 保持竖直，且A、B
两球在同一水平线上．已知两球的重力均为G，轻杆和细线OB 的夹角为30°，则（ ）
A．轻杆对A 球的作用力方向水平向左
B．轻杆对B 球的作用力方向水平向右
C．外力F 的最小值为√3
2
G，最大值为√3G
D．细绳OB 的拉力可能为零
【解答】解：AB、先对A 球分析，受重力和拉力，杆的弹力为零，否则不能平衡，故A 错误；
杆对A 球的弹力为零，则对B 球的弹力也为零，故B 错误；
C、对B 球分析，受力如图所示：
根据平衡条件，当拉力F 与OB 垂直时，拉力F 最小，为：
Fmin＝Gsin60°= √3
2 G；
当拉力F 水平向右时，F 最大，为Fmax=√3G；
故C 正确；
D、当拉力F 竖直向上时，细线OB 的拉力为零，故D 正确；
故选：CD。
[例题7]
一不可伸长的柔软轻绳左端固定于O 点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂
一重量为G 的重物，OO′段水平，长度为4m，在绳上与点相距2m 的M 点固定连接一轻挂钩。
在挂钩上添加钩码，直到重物上升2m（绳子足够长），平衡后绳子的OM 段中的张力为（
5
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）
A．1.5G
B．√3G
C．2G
D．3.5G
【解答】解：在挂钩上添加钩码，直到重物上升2m，则M 点移动的距离为2m 到M′，如图所
示。
根据几何关系可知，O′M′＝OO′＝4m，
设OM′与竖直方向的夹角为α，则O′M′与水平方向的夹角等于∠OO′M′＝2α
则sinα=
1
2 OM '
OO' = 1
4
；
平衡时水平方向受力平衡，则有Fsinα＝Tcos2α，
其中T＝G，cos2α＝1﹣2sin2α= 7
8
解得F＝3.5G。
故D 正确、ABC 错误。
故选：D。
[例题8]
（多选）如图，两个半径均为r 的光滑球a、b 放在半径为R（R＞2r）的半球形
容器内，均静止时a、b 与半球的接触点P、Q 与半球球心O 的连线与水平方向的夹角为α 和β
（a＜β）。若两球的质量用ma、mb，两球对容器的压力大小用FNa、FNb表示，则（ ）
A．ma
mb
= sinβ
sinα
B．ma
mb
= cosβ
cosα
6
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C．F Na
F Nb
=1
D．F Na
F Nb
= cosβ
cosα
【解答】解：分别对光滑球a、b 的受力分析如图所示，其中：Fab与Fba是球a、b 之间相互作用
的弹力，这两个力均沿着两球圆心的连线AB，容器对两球的支持力分别为F′Na、F′Nb，两球
的重力分别为mag、mbg。
根据平衡条件，球a 受到的三个力可围成力的矢量三角形（图中蓝色三角形），此矢量三角形与
几何三角形△OAC 相似（点A、B 分别为球a、b 的球心，OC 沿竖直方向），则可得：
ma g
OC = F ' Na
OA = Fab
AC
同理，球b 受到的三个力也可围成力的矢量三角形（图中红色三角形），此矢量三角形与几何三
角形△OBC 相似，则可得：
mb g
OC = F ' Nb
OB = Fba
BC
由几何关系得：OA＝r﹣R，OB＝r﹣R，可得：OA＝OB
又有Fab与Fba是一对相互作用力，即Fab＝Fba
可得：ma
mb
= F ' Na
F ' Nb
= BC
AC
根据正弦定理，
在△OAC 中有：
AC
sin(90° -α ) =
OA
sin ∠OCA
在△OBC 中有：
BC
sin(90° - β) =
OB
sin ∠OCB
因为∠OCA+∠OCB＝180°，所以sin∠OCA＝sin∠OCB
可得：BC
AC = cosβ
cosα
则有：ma
mb
= F ' Na
F ' Nb
= cosβ
cosα
由牛顿第三定律可得：F Na
F Nb
= F ' Na
F ' Nb
= cosβ
cosα
，故BD 正确，AC 错误。
故选：BD。
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[例题9]
（多选）如图所示，倾角为α＝30°的粗糙斜劈放置在水平面上，连接物体a、c
的轻质细线绕过两个光滑小滑轮，其中a 和滑轮1 间的细线平行于斜面，滑轮1 固定在斜劈上，
滑轮2 下吊物体b，c 穿在水平横杆上，系统静止。物体a 受到斜劈的摩擦力大小为Ff1，c 受到
横杆的摩擦力大小为Ff2，a，b，c 三物体的质量均为m，a 与斜面c 与横杆之间的动摩擦因数μ
= √3
3
，β＝60°，若将c 向右缓慢移动，a 物体仍处于静止状态，则在该过程中，以下说法正确
的是（ ）
A．Ff1和Ff2，都将变大
B．Ff1由沿斜面向上改为沿斜面向下，Ff2始终沿横杆向右
C．图中的β≤120°
D．斜劈受到地面的摩擦力和横杆受到物体c 的摩擦力都变大
【解答】解：1．以滑轮2 为研究的对象，受力如图1：
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若将c 向右移动少许，两个绳子之间的夹角β 增大。由于b 对滑轮的拉力不变，两个绳子之间的
夹角变大，所以看到绳子的拉力F 一定变大。
2．斜面的倾角为α，设物体a 的质量为m，以a 为研究的对象。
初状态：a 的重力沿斜面向下的分力为mgsinα＝0.5mg，绳子拉力大小为F，则有：2Fcos30°＝
mg，解得：F= mg
√3 ＞0.5mg，所以开始a 受到的摩擦力方向沿斜面向下；当F 逐渐增大时，Ff1
也逐渐增大；
3．以c 为研究的对象，受力如图2
则沿水平方向：Fsin β
2 -Ff2＝0。
由于将c 向右移动少许，细线的拉力将变大，β 增大，所以Ff2＝Fsin β
2
一定增大。
4．以物体a 与斜劈组成的整体为研究的对象，整体受到重力、地面的支持力、绳子对a 的拉力、
两根绳子对滑轮1 的向下的压力以及地面的摩擦力的作用，其中是水平方向上系统受到的摩擦力
与a 受到的绳子在水平方向的分力是相等的，即：f′＝Fsin β
2
。
由于将c 向右移动少许，细线对a 的拉力F 变大，所以地面对斜劈的摩擦力增大。
5．以b 为研究对象，绳子拉力F=
mg
2cos β
2
；
当c 打滑时，以c 为研究对象，水平方向根据平衡条件可得：Fsin β
2 =μ•（mg+Fcos β
2
），解得：
β＝120°；
当a 打滑时，F＝mgsinα+μmgcosα，解得β＝120°，所以图中的β≤120°
综上所述，可知B 错误，ACD 正确。
故选：ACD。
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题型三 动态平衡问题
1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以
叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．
2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”．
3．基本方法：图解法和解析法．
[例题10] 如图所示，一圆环套在固定的倾斜光滑杆AB 上，轻绳绕过光滑定滑轮与圆环相
连，整个装置处于同一竖直平面内，用力F 拉动轻绳使圆环从图示位置沿杆向上缓慢运动，圆
环对杆的弹力大小为FN，在圆环运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．F 一直增大，FN一直减小
B．F 一直增大，FN先减小后增大
C．F 先减小后增大，FN一直增大
D．F 先减小后增大，FN先减小后增大
【解答】解：对圆环受力分析如图1 所示：
图1
圆环受到F、G、FN三个力的作用，三个力平衡，三个力恰组成一个闭合的三角形，由图1 可知，
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在拉力F 达到竖直方向之前，其与竖直方向夹角越来越小，则F 增大，FN减小至0；
在拉力F 越过竖直方向之后，支持力反向，如图2：
图2
则F 仍增大，FN则反向增大，故B 正确；ACD 错误；
故选：B。
[例题11] 如图所示，在一水平面上放置了一个顶端固定有滑轮的斜面，物块B、C 重叠放
置在斜面上，细绳的一端与B 物块相连，另一端有结点O，结点处还有两段细绳，一段连接重
物A，另一段用外力F 拉住。现让外力F 将物块A 缓慢向上运动，拉至OO′水平，拉动过程
中始终保证夹角α＝120°，且绳子OO'始终拉直，物块B 和C 以及斜面体始终静止，则下列说
法正确的是（ ）
A．绳子OO′的拉力始终增大
B．B 对C 的摩擦力可能在减小
C．斜面对B 的摩擦力可能先增大后减小
D．地面对斜面体的摩擦力可能先减小后增大
【解答】解：A、以结点O 为研究对象，受到两段细绳的拉力和外力F，其中OA 段的拉力大小
等于mg，如图所示；
根据平衡条件解得正弦定理可以推导出：T
sinβ = mg
sinα
，由于α 和mg 不变，则T
sinβ
为定值；
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让外力F 将物块A 缓慢向上运动，拉至OO'水平的过程中，β 的变化范围为60°～150°，所以
sinβ 先增大后减小，所以绳子OO'的拉力先增大后减小，故A 错误；
B、对C 受力分析，B 对C 的摩擦力始终等于C 的重力沿斜面向下的分力，一直不变，故B 错误；
C、对B、C 整体受力分析可知，沿斜面方向根据平衡条件可知，斜面对B 的摩擦力大小等于绳
子OO'的拉力与B、C 重力沿斜面向下分力的合力，绳子OO'的拉力先增大后减小，所以斜面对
B 的摩擦力可能先增大后减小，故C 正确；
D、对B、C 以及斜面整体分析，绳子对整体水平方向的拉力先增大后减小，则地面对斜面体的
摩擦力先增大后减小，故D 错误。
故选：C。
[例题12] 如图1，一杂技演员利用动滑轮让自己悬挂在细绳的最低点以完成各种杂技表演。
绳子两端分别固定在两根竖直杆上的a、b 两点，绳子的质量可忽略不计，绳子不可伸长。已
知杂技演员的质量为m，重力加速度为g。当杂技演员静止不动时，绳与水平方向夹角为α。
不计动滑轮重力和动滑轮与绳间的摩擦。
（1）若保持绳子a 端、b 端在杆上位置不变，将右侧杆向左缓慢平移到虚线位置，使两杆之间
的距离减小。请分析判断此过程中：①夹角α 大小的变化情况，并画出杆在虚线位置时，绳子
和杂技演员的位置分布图景；②两绳上张力F 的合力的变化情况；③每根绳子上张力F 大小的
变化情况。
（2）若保持杆不动，将绳的右端缓慢上移到b′位置，请分析判断此过程中：①夹角α 大小的
变化情况，并画出绳的右端在b′位置时，绳子和杂技演员的位置分布图景；②两绳上张力F
的合力的变化情况；③每根绳子上张力F 大小的变化情况。
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【解答】解：（1）①夹角α 变大。如图3 所示：
分析过程：由于滑轮与绳子间没有摩擦力，对演员受力分析可知，合力为零，水平和竖直合力
都为零，所以两边绳子与水平方向的夹角相等。
设改变前两边绳子的长度分别为L1、L2，绳子与水平方向的夹角为α，两杆之间的水平距离为
x；改变后两边绳子的长度分别为L1′、L2′，绳子与水平方向的夹角为α′，两杆之间的水平
距离为x′。根据数学几何关系可得：x＝L1cosα+L2cosα＝（L1+L2）cosα，x′＝L1′cosα′
+L2′cosα′＝（L1′+L2′）cosα′
已知x＞x′，绳子总长度相等故L1+L2＝L1′+L2′
则cosα＞cosα′，根据三角函数得α＜α′，故夹角α 变大。
②两绳上张力F 的合力保持不变。
分析过程：由力的平衡条件可知，两绳上张力F 的合力等于杂技演员的重力，故两绳上张力的
合力保持不变。
③每根绳子上张力F 变小。
分析过程：由力的平衡可知，两边每根绳子上的张力F 大小相等。
设改变前每根绳子上的张力为F，改变后每根绳子上的张力为F′。则有：
2Fsinα＝mg
2F′sinα′＝mg
得Fsinα＝F′sinα′
由于α＜α′，则F＞F′
故每根绳子上张力F 变小。
（2）①夹角α 不变。如图4 所示。
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分析过程：由于滑轮与绳子间没有摩擦力，所以两边绳子与水平方向的夹角相等。
设改变前两边绳子的长度分别为L1、L2，绳子与水平方向的夹角为α，两杆之间的水平距离为
x；改变后两边绳子的长度分别为L1′、L2′，绳子与水平方向的夹角为α′，两杆之间的水平
距离为x′。根据数学几何关系可得：
x＝L1cosα+L2cosα＝（L1+L2）cosα
x′＝L1′cosα′+L2′cosα′＝（L1′+L2′）cosα′
已知x＝x′，L1+L2＝L1′+L2′
故cosα＝cosα′，根据三角函数得α＝α′
故夹角α 不变。
②两绳上张力F 的合力保持不变。
分析过程：由力的平衡条件可知，两绳上张力F 的合力等于杂技演员的重力，故两绳上张力的
合力保持不变。
③每根绳子上张力F 不变。
分析过程：由力的平衡可知，两边每根绳子对演员的张力F 大小相等。
设改变前每根绳子上的张力为F，改变后每根绳子上的张力为F′。则有：
2Fsinα＝mg
2F′sinα′＝mg
得Fsinα＝F′sinα′
又因为α＝α′，故F＝F′，故每根绳子上张力F 不变。
答：（1）若保持绳子a 端、b 端在杆上位置不变，将右侧杆向左缓慢平移到虚线位置，使两杆
之间的距离减小。分析判断此过程中：①夹角α 大小变大，绳子和杂技演员的位置分布图景见
解析图3；②两绳上张力F 的合力不变；③每根绳子上张力F 大小变小。
（2）若保持杆不动，将绳的右端缓慢上移到b′位置，分析判断此过程中：①夹角α 大小不变，
绳子和杂技演员的位置分布图景见解析图4；②两绳上张力F 的合力不变；③每根绳子上张力
F 大小不变。
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[例题13] 《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1000kV 的高压线上带电作业
的过程。如图所示，绝缘轻绳OD 一端固定在高压线杆塔上的O 点，另一端固定在兜篮D 上。
另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C 点的定滑轮，一端连接兜篮，另一端由工人控制。身穿屏蔽
服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C 点运动到处于O 点正下方E 点的电缆处。绳OD 一直处于伸
直状态，兜篮、王进及携带的设备总质量为m，可看作质点，不计一切阻力，重力加速度大小
为g。关于王进从C 点运动到E 点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳OD 的拉力一直变小
B．工人对绳的拉力一直变大
C．OD、CD 两绳拉力的合力小于mg
D．当绳CD 与竖直方向的夹角为30°时，工人对绳的拉力为√3
3 mg
【解答】解：
AB.对兜篮、王进及携带的设备整体受力分析如图所示，
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绳OD 的拉力为F1，与竖直方向的夹角为θ，绳CD 的拉力为F2，与竖直方向的夹角为α.
根据几何知识知：θ+α+α＝90°，可知θ+2α＝90°，由正弦定理可得
F1
sinα = F2
sinθ =
mg
sin( π
2 +α )，α 增大，θ 减小，则F1增大，F2减小，故AB 错误；
C.王进处于平衡状态，两绳拉力的合力大小等于mg，故C 错误；
D.α＝30°时，θ＝30°，则2F2cos30°＝mg，可得F2= √3
3
mg，故D 正确。
故选：D。
题型四 平衡中临界与极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或
“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．
常见的临界状态有：
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)．
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中的张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中的张力为
0.
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大．
研究的基本思维方法：假设推理法．
2．极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分
析．
[例题14] 摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦
力）Ff＝μFN，支持面的支持力FN的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用
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力F（以下讲到的平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力F 与支持力FN的方向成
φ 角，而这个角就称之为摩擦角如图．由摩擦公式：Ff＝μFN，μ= Ff
F N
=tanφ．因此当摩擦因
数一定时，摩擦角不变．
问题：有一重量为G 的木块平放在水平地面上，木块与水平地面间的动摩擦因数为μ= √3
3
，一
人欲用最小的作用力Fn使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
【解答】解：对物体受力分析，受重力、拉力、支持力和摩擦力，将支持力和摩擦力合成，由
于Ff＝μFN，故不论FN如何改变，Ff与FN的合力F1的方向都不会发生改变，设与竖直方向的夹
角为φ，如下图所示：
平面对物体的作用力F1与竖直方向的夹角一定为φ，由于tanφ= √3
3
，故φ＝30°；
又由于F1、Fn 和G 三力平衡，应构成一个封闭三角形，当改变Fn与水平方向夹角时，Fn和F1的
大小都会发生改变，且Fn与F1方向垂直时Fn的值最小；
故拉力的最小值为：Fn=mgsin30° = 1
2 mg，与水平方向成30°斜向上．
答：最小作用力的大小为1
2
mg，方向与水平方向成30°斜向上．
[例题15] （多选）倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A，
物体A 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5．现给A 施以一水平力F，如图所示．设最大静摩擦力与
滑动摩擦力相等（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8），如果物体A 能在斜面上静止，水平推力F 与
G 的比值可能是（ ）
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A．3
B．2
C．1
D．0.05
【解答】解：设物体刚好不下滑时F＝F1，作出力图如图。则由平衡条件得：
F1•cosθ+f1＝G•sinθ，
N1＝F1•sinθ+G•cosθ。
又 f1＝μN1
联立得：F1
G = sin37° -0.5×cos37°
cos37°+0.5×sin37° = 2
11
；
设物体刚好不上滑时F＝F2，则：
F2•cosθ＝μN2+G•sinθ，
N2＝F2•sinθ+G•cosθ，
得：F2
G = sin37°+0.5×cos37°
cos37° -0.5×sin37° =2
即得2
11 ≤F
G ≤2．则AD 错误，BC 正确。
故选：BC。
[例题16] （多选）如图所示，长为L 的刚性直轻杆的B 端用铰链固定在竖直墙上，C 端与
轻滑轮连接（滑轮大小可忽略不计），绕过滑轮的轻绳上端固定于墙上A 点，下端悬挂一个重
力为G 的重物，轻杆与竖直方向的夹角为60°时，系统处于静止状态。若将绳的上端从A 处沿
墙在竖直方向移动D 点，使系统重新处于平衡状态，此时轻杆与竖直方向的夹角为45°，已知
轻绳的长度为2L，不计一切摩擦，则（ ）
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A．D 点一定在A 下方
B．轻杆与竖直方向的夹角为45°时，轻杆上的弹力大小为√2G
C．系于D 点时杆的弹力小于A 点时杆的弹力
D．系于D 点时重物所在的高度比A 点时低(3-2√2)
2
L
【解答】解：A、受力示意图如下所示
以滑轮C 为研究对象，分析受力情况，系统处于静止状态时，滑轮的合力为零；由于刚性直轻
杆的B 端用铰链固定在竖直墙上，所以滑轮受到的轻杆的支持力N 的方向一定沿杆的方向，而
且两侧绳子拉力合力的方向也沿杆的方向，如图；当轻杆与竖直方向的夹角为45°，两侧绳子拉
力合力的方向仍然沿杆的方向，所以此时DC 的方向一定沿水平方向，所以D 点一定位于A 点
的下方。故A 正确；
B、重物处于平衡状态，所以绳子的拉力绳子绳子等于重物的重力，即T＝G，轻杆与竖直方向
的夹角为45°时，轻杆上的弹力大小等于两侧绳子的拉力的合力，由于此时DC 的方向一定沿水
平方向，所以两侧绳子之间的夹角为直角，所以杆上的弹力：F =√2T =√2G，故B 正确；
C、结合A 的分析可知，开始时轻杆上的弹力也是等于两侧绳子拉力合力，但开始时两侧绳子之
间的夹角大，由平行四边形定则可知，系于D 点时杆的弹力大于A 点时杆的弹力，故C 错误；
D、当轻杆与竖直方向的夹角为60°时，三角形ABC 为等边三角形，则根据几何关系可知重物距
离B 点的竖直高度为h1= BC ⋅cos＜＞60＜/＞° -(2 L- AC )
解得h1=- 1
2 L
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当为45° 时，为等腰直角三角形，根据几何关系可知重物距离B 点的竖直高度为
h2= BC ⋅cos＜＞45＜/＞° -(2 L- DC )
其中：DC = BC ⋅sin＜＞45＜/＞°
解得h2=-(2-√2)L
可知系于D 点时重物所在的高度比A 点时低，高度差：Δh ＝h1﹣h2
=(2-√2)L- 1
2 L= 3-2√2
2
L，故D 正确。
故选：ABD。
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