文档内容
重难点突破 07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................4
1
题型一：三角形的面积问题之S = ⋅底·高....................................................................................4
△ 2
题型二：三角形的面积问题之分割法..............................................................................................10
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化......................................................................15
题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型..........................................................................25
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型..................................................................................30
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型..............................................................................37
题型七：四边形的面积问题之一般四边形......................................................................................44
03 过关测试.........................................................................................................................................541、三角形的面积处理方法
（1） 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2） 水平宽·铅锤高 或
（3）在平面直角坐标系 中，已知 的顶点分别为 ， ， ，三角
形的面积为 ．
2、三角形面积比处理方法
（1）对顶角模型
（2）等角、共角模型3、四边形面积处理方法
（1）对角线垂直
（2）一般四边形
（3）分割两个三角形
4、面积的最值问题或者取值范围问题
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般
处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求
最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法
计算面积，尽可能降低计算量．1
题型一：三角形的面积问题之S = ⋅底·高
△ 2
【典例1-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）记椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上
顶点为 ，直线 ， 的斜率满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知椭圆 上点 处的切线方程是 .若点 为直线 上的动
点，过点 作椭圆 的切线 ， ，切点分别为 ， ，求 面积的最小值.
【解析】（1）由椭圆 上顶点为 ，可得 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，
则椭圆C在点 的切线方程分别为 ， ，
又 在两条切线上，则 ， ，
则直线 的方程为 ，
由 整理得 ，
则 ，
则，
又点P到直线 的距离 ，
则 的面积为 ，
令 ， ，则 ， ，
则 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
所以 ，当且仅当 即点P坐标为 时等号成立，
则 面积的最小值为 .
【典例1-2】（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线 ： 与直线 ： 交于 、 两点（ 在
左侧），过点 的两条关于 对称的直线 、 分别交双曲线 于 、 两点（ 在右支， 在左支）．
(1)设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；
(2)若直线 与双曲线 在点 处的切线交于点 ，求 的面积．
【解析】（1）由题意知直线 斜率为1， 直线 的倾斜角 ，
设直线 、 的倾斜角分别为 、 （ 、 ），
直线 、 关于直线 对称， ，
．（2）联立 ，
双曲线 在点 处的切线方程为 ．
不妨设直线 为 ， ， ，
联立 得 ，
整理得 ，将等式看作关于 的方程：
两根之和 ，两根之积 ，
而其中 ，
由（1）得 ，
直线 为 ，过定点 ，
又 双曲线 在点 处的切线方程为 ，过点 ， ，
．
【变式1-1】（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆 的短轴长为2，点 在椭
圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 在椭圆 上（点 不在坐标轴上），证明：直线 与椭圆 相切；
(3)设点 在直线 上（点 在椭圆 外），过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 为坐标原
点，若 和 的面积之和为1，求直线 的方程.【解析】（1）由题知， ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程 .
（2）因为点 在椭圆 上，所以 ，即 ，
联立 消去 整理得 ，
即 ，即 ，显然方程有唯一解，
所以直线 与椭圆 相切.
（3）设 ，
将 代入 ，解得 ，
因为点 在椭圆 外，所以 或 ，所以 ，
由（2）可得，切线 的方程分别为 ，
因为点 在切线 上，所以 ，
所以点 在直线 ，即直线 的方程为 ，
联立 得 ， ，
则 ，
所以
记点 到直线 的距离分别为 ，则 ，
因为 和 的面积之和为1，
所以 ，
解得 ，所以 的方程为 或 .
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C
交于A，B两点，且 （其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意可得 ，即 ，所以抛物线方程为
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
及 ，又由题意可知 ，所以
又 ，且
所以 ，
即 ，
又因为点D在直线AB上，且 ，
所以 ，即 ，所以 ，
由①②式可得，
当 时， ，解得 ； ，此时 ；
当 时，消 可得， ，即 ，
点 同样满足该方程，
显然D与O不重合，所以 ，
综上，点D的轨迹E的方程为 ；
（2）因为 ，结合题意可得切线斜率存在且都不为0，
设切线的斜率为 ， 的斜率分别为 ，则
切线方程为 ，即 ，
令 ，得 ，
，
又 ，消元得
因为相切，所以 ，
即
易知 的斜率分别为 是方程③的两个根，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
，当且仅当 ，即 时，取等号.
综上， 面积的最小值为8.题型二：三角形的面积问题之分割法
【典例2-1】已知椭圆 的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，离心率 ，且过点
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 两点，且直线 的倾斜角互补，点 ，求三角形 面积的最大值．
【解析】（1） ，
设椭圆的标准方程为 ，即 ，
过点 ，
椭圆的标准方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在，且不过点 ，
设直线 的方程为 ， ，
由 消去 整理得 ，
， ，
，
，，
，
将 ， 代入整理得 ，
，
又因为 ，
解得： ，
三角形 的面积 ，
令 ，
导函数 ，
当 ， ，
当 ， ，
增区间为 ，减区间为 ，
当 时，三角形 的面积取得最大值，最大值为18．
【典例2-2】（2024·高三·安徽蚌埠·开学考试）已知椭圆 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，
且经过点 和 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与坐标轴平行的直线 交曲线 于 ， 两点，过点 ， 分别向 轴作垂线，垂足分
别为点 ， ，直线 与直线 相交于 点．
①求证：点 在定直线上；
②求 面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，代入已知点的坐标，
得： ，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）如图：①设直线 的方程为 ，并记点A(x ,y )，B(x ,y )，P(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
由 消去 ，得 ，
易知
则 ， ．
由条件， ， ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立解得 ，
所以点 在定直线 上．
②
而 ，所以 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 面积的最大值为 ．
【变式2-1】（2024·天津南开·二模）已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，且C的左、右
焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为 .当的面积取得最大值时，求直线l的方程.
【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，依题意， ， ，又 ，
解得 ， ， ，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）由题意可得直线 的斜率不为 ，故可设直线l的方程为 ，
， ，则 ，
联立直线l与椭圆C的方程 ，得 ，
由于直线过椭圆内一点，故必有 ，则 ．
又 ， ，
易知 与 同号，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 面积的最大值为 ，此时直线l的方程为 ．
【变式2-2】设动点M与定点 的距离和M到定直线l： 的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线 交于点A，B．求
面积的最大值．【解析】（1）设 ，则 ，
化简得 ， ，
当 时， ，轨迹为一条直线；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时， ，此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
综上：当 时，轨迹方程为 ，轨迹为一条直线，
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的椭圆；
当 时，轨迹方程为 ，轨迹为焦点在 轴上的双曲线；
（2）当 时， ，
当直线 斜率不存在时，又与 相切，故此时直线 ，此时 三点共线，不合要求，舍去，
设直线 ，联立 得 ，
由 得 ，显然 ，
联立 得， ，
由 ，结合 ，解得 ，
设 ，
则 ，设直线 与 轴交于点 ，则 ，
则
，
将 代入得 ，
因为 ，令 ，则 ，
，
设 ，则设 ，则
， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 最大值为 .
题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化
【典例3-1】如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，若点 为双曲线 在第一象限上
的一点，且满足 ，过点 分别作双曲线 两条渐近线的平行线 、 与渐近线的交点分别
是 和 .（1）求四边形 的面积；
（2）若对于更一般的双曲线 ，点 为双曲线 上任意一点，过点 分别作双
曲线 两条渐近线的平行线 、 与渐近线的交点分别是 和 .请问四边形 的面积为定值吗？
若是定值，求出该定值（用 、 表示该定值）；若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线 ，由双曲线的定义可得 ，
又因为 ， ， ，
因为 ，所以， ， 轴，
点 的横坐标为 ，所以， ， ，可得 ，即点 ，
过点 且与渐近线 平行的直线的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，
且 ，因此，四边形 的面积为 ；
（2）四边形 的面积为定值 ，理由如下：
设点 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
则直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
点 到直线 的距离为
，且 ，
因此， （定值）.
【典例3-2】（2024·四川达州·二模）已知抛物线 ，直线 与 交于 两点，
线段AB中点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)直线 与 轴交于点 为原点，设 的面积分别为 ，若
成等差数列，求 .
【解析】（1）设 ，
，
，故 ，
， ，
，
（2） ，∴ ，
故 ，成等差数列， 成等差数列.
， ，故 ，
，即 ，
.
【变式3-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知抛物线 ：y2=2px(p>0)，焦点 在直线 上．
过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，以焦点 为圆心， 为半径的圆 分别与直线 、
交于 、 两点．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)求 面积 的取值范围．
【解析】（1）由题可得焦点 在 轴的正半轴，在直线 上，令 ，解得 ，
即焦点 坐标为 ，所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为：
（2）设过点 的直线 的方程为： ， ， ，联立： ，可得 ，
所以 ，
以焦点 为圆心， 为半径的圆 的方程为：
直线 的方程为： ,
联立： ，解得 ，
同理可得 ，
设直线 与 轴的交点 为 ，所以 ，
由于 ， ，
所以 ，
化简可得： ，
由于 ，所以 ，解得 ，
则直线 恒过点 ，
所以 ，
将 ，代入化简可得：，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
所以 ，即 .
故 面积 的取值范围为 .
【变式3-2】（2024·河北保定·三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，离心率为 ，
且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆上异于 的两动点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，已知 .直线
与 轴相交于点 ，求 的面积的最大值.
【解析】（1）因为 ，
所以 解得
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）由 可得点 ，
设 ，直线 ，直线 ，联立 消去 得 ，解得 .
联立 消去 得 ，解得 .
因为 ，且 ，
此时 ，
设 ，由 三点共线，所以 ，
则
，
所以 .
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 的最大值为 .
【变式3-3】（2024·河北保定·三模）已知抛物线 ： 上一点 到坐标原点 的距
离为 .过点 且斜率为 的直线 与 相交于 ， 两点，分别过 ， 两点作 的垂线，并
与 轴相交于 ， 两点.
(1)求 的方程；(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1）由抛物线 上一点 到坐标原点 的距离为 ，
可得 ，解得 ，
所以抛物线的标准方程为 .
（2）由题意，设直线 的方程为 ，且A(x ,y )，B(x ,y ).
1 1 2 2
联立方程组 ，消去 整理得 ，
则 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 .
（3）根据抛物线对称性，不妨令 ，
由（2）中 ， ，得直线 的方程为 ，
令 ，得 ，同理可得 ，
则 ， ，
且 ， ，
故
，
令 ，则 ，
显然 在[1,2]上恒成立，所以 在[1,2]上单调递增，由 ， ，可得 的取值范围为 .
【变式3-4】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点
为 ，过 的直线交 于 ， 两点（其中点 在第一象限），过点 作 的切线交 轴于点 ，直线
交 于另一点 ，直线 交 轴于点 .
(1)求证： ；
(2)记 ， ， 的面积分别为 ， ， ，当点 的横坐标大于2时，求 的最小值
及此时点 的坐标.
【解析】（1）设点 ，则 .因为点 在第一象限，
可设函数 ，则 ，所以 ，
所以直线 方程为 ，令 ，则 ，即点 .
设直线 ，与 联立得 ，所以 ，同理 .
因为 ， ，所以 ，则 ，
设直线 ，与 联立得 ，
又因为直线 与抛物线交于 两点，所以 .因为点 ，所以 ，代入抛物线 ，
又因为 在第四象限，可知 .
因为 ， ，
所以 ，
即 ，原命题得证.
（2）由（1）知 ，所以 ，得 ，即 .
所以 ，
另由（1）知 ， ， ，
所以 ，即 ；
， ，
设函数 ， ，
则 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值为 ，此时点 的坐标为 .题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型
【典例4-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆 的方程；
(2) 为直线 上一动点，记椭圆 的上下顶点为 ，直线 分别交椭圆 于点 ，当
与 的面积之比为 时，求直线 的斜率.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）
因为 ，
设 ，
则直线 的方程的方程为 ，联立 ，消去 可得 ，
，
解得 ，代入直线方程可得 ，故 ，
直线 的方程为 ，由 ，消去 可得 ， ，
解得 ，故 ，
设 与 的面积分别为 ，则 ，
因为 ，且 三点共线， 三点共线，结合距离公式化简可得
，
由 ，化简解得 ，
当 时， ， 的斜率为 ，
当 时， ， 的斜率为 ，
综上，直线 的斜率 .
【典例4-2】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知双曲线 的焦距为 且左右顶点分
别为 ，过点 的直线 与双曲线 的右支交于 两点．
(1)求双曲线的方程；(2)记直线 的斜率分别为 ，证明： 是定值；
(3)设 为直线 和 的交点，记 的面积分别为 ，求 的最小值．
【解析】（1）由双曲线 的焦距为 ，得 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x并整理得 ，
由直线 与双曲线的右支交于 两点，得可得 ，
解得 ，
则 ， ，即 ，而 ，
所以
为定值.
（3）由（2）知 ，直线 ： ，直线 ： ，
则点 的横坐标为 ，于是
，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
【变式4-1】（2024·河北·统考模拟预测）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于
两点，当直线 与 轴垂直时， （其中 为坐标原点）.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 在第一象限，直线 的倾斜角为锐角，过点 作 的切线与 轴交于点 ，连接 交 于另一点
为 ，直线 与 轴交于点 ，求 与 面积之比的最大值.
【解析】（1）将 代入 ，则 ，
由 ，故 为等腰直角三角形，故 ，即 ，
所以 ，故准线方程为 .
（2）设 ，直线 ，联立抛物线得 ，
所以 ，则 ，故 ，
由 ，则 ，故 ，直线 ，
令 ，则 ，故 ，
设直线 ，联立抛物线得 ，
所以 ，则 ，故 ，
综上，直线 ，令 ，则 ，故 ，
由直线 的倾斜角为锐角，故 ，则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，则 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 与 面积之比的最大值 .
【变式4-2】已知抛物线C： 上一点 到焦点F的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一交点分别为
为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．
【解析】（1）依题意得 ，解得 ，所以抛物线方程为 .
（2）抛物线 的焦点为 ，直线 与 轴不重合，
设直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 .
，由 ，而 ，故解得 .同理可求得 .
，
同理 ，
所以
，
故当 时， 取得最小值为 .
题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型
【典例5-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）已知椭圆 过点 ，且 的右
焦点为 .
(1)求 的方程：
(2)设过点 的一条直线与 交于 两点，且与线段 交于点 .（i）证明： 到直线 和 的距离相等；
（ii）若 的面积等于 的面积，求 的坐标.
【解析】（1）根据题意有 ，
且由椭圆的几何性质可知 ，
所以 .
所以 的方程为 .
（2）（i）显然 的斜率存在，设 的方程为 ，代入 的方程有：
，其中 .
设 ，则 ，
若 到直线 和 的距离相等，则直线 平分 ，
易知 轴，故只需满足直线 与 的斜率之和为0.
设 的斜率分别为 ，则：
，
，
代入 ，
有 ，故命题得证.
（ii）由（i）知直线 平分 ，即 .
因为 的面积等于 的面积，
故 ，即 ，故 .
故 在线段 的垂直平分线上.
易知线段 的垂直平分线为 ，与 的方程联立有 ，
故 的坐标为 或 .【典例5-2】在平面直角坐标系 中，点B与点 关于原点O对称，P是动点，且直线 与 的
斜率之积等于 ．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线 和 分别与直线 交于点M，N,问：是否存在点P使得 与 的面积相等？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为点B与点 关于原点O对称，所以点B的坐标为 .
设点P的坐标为 ，则由直线 与 的斜率之积等于 ，得 ，
化简得 ，故动点P的轨迹方程为 .
（2）若存在点P使得 与 的面积相等，
设点P的坐标为 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 .
作直线 ，作 于 ， 于 ，则 ，
所以 ，同理 ，所以可得 ，
整理得 ，解得 ；
因为 ，所以 .
故存在点P使得 与 的面积相等，此时点P的坐标为 .【变式5-1】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆 和圆 经过 的右焦点
，点 为 的右顶点和上顶点，原点 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 的左、右顶点，过 的直线 交 于 ， 两点（其中 点在 轴上方），求
与 的面积之比的取值范围．
【解析】（1）设椭圆焦距为 ，
由题意可得 ，有 ①，
又因为直线 方程为 ，
所以 ②，
联立①②解得： ， ，
故椭圆方程为 .
（2）①当 斜率不存在时，易知 ；
②当 斜率存在时，设 ，
， ，
由 ，得 ，
显然 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，
又 ，
设 ，则 ，
解得 且 ，
所以 ，
综上可得 的取值范围为 ．
【变式5-2】（2024·高三·山东·开学考试）已知抛物线 .过抛物线焦点F作直线 分别在
第一、四象限交 于 两点，过原点O作直线 与抛物线的准线交于E点，设两直线交点为S.若当点P
的纵坐标为 时， .
(1)求抛物线的方程.
(2)若 平行于x轴，证明：S在抛物线C上.
(3)在（2）的条件下，记 的重心为R，延长 交 于Q，直线 交抛物线于 （T在右侧），
设 中点为G，求 与 面积之比n的取值范围.
【解析】（1）因为若当点P的纵坐标为 时， ,
不妨设 ，则 ，即 ，
代入抛物线方程有 ，所以 ；（2）由（1）知 ，C的准线 ，
不妨设 ， ，
若 平行于x轴，则 ，
所以 ，整理得 ，
联立 方程有 ，
又 在抛物线C和直线 上，即 ，
则有 ，此时 ，即 ，
则S在抛物线C上，证毕；
（3）在（2）的条件下可知 两点重合，由重心的性质不难知Q为线段 的中点，
同（2），仍设 ， ，
则 ，
联立 ，
所以 ，
且 ，
则 ，
可知 ，整理得 ，
设 ，
与C联立有 ，
所以 ，即 ，由于Q为线段 的中点，所以 到直线 的距离相等，
则 ，
设 ，
若 ，则 ，显然 ，所以 ；
若 ，则 ；
若 ，则 ，所以 ；
综上 .
【变式5-3】（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，
且 经过点 ．
(1)求椭圆 方程；
(2)直线 与椭圆 交于点 为 的右焦点，直线 分别交 于另一点 、 ，
记 与 的面积分别为 ，求 的范围．【解析】（1）由离心率为 ，且 经过点 可得 ，又 ，
解得 ，所以椭圆 ；
（2）设 ，则 ， ，
令 ， ，
可得 ，
代入 ，得 ，
又 ，得 ，
设 ， ，
可得 ，
代入 ，得 ，
又 ，得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ．
题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型
【典例6-1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆 的上顶点为B，右焦点为F，点B、
F都在直线 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若圆 的两条相互垂直的切线 均不与坐标轴垂直，且直线 分别与 相交于点A，C和
B，D，求四边形 面积的最小值．【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，由已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
因为点B、F都在直线 上，所以 ， ，又 ，
所以 ， ， ，
所以椭圆 的方程为： ，
（2）
由题知 的斜率存在且不为0．
设 ．
因为 与圆 相切，所以 ，得 ．
联立 与 的方程 ，
可得 ，
设A(x ,y )， ，
1 1
，
则 ， ．
所以 ，
将 代入，可得 ．
用 替换 ，可得 ．
四边形 的面积 ．令 ，则 ，可得 ，
再令 ， ，则 ，
可得 ，等号成立当且仅当 ，即 ，即 ，
即四边形 面积的最小值为 ．
【典例6-2】（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆 经过 ， 两
点．
(1)求 的方程；
(2)若圆 的两条相互垂直的切线 均不与坐标轴垂直，且直线 分别与 相交于点A，C和
B，D，求四边形 面积的最小值．
【解析】（1）因为 过点 ， ，
所以 解得
故 的方程为 ．
（2）由题知 的斜率存在且不为0．
设 ．
因为 与圆 相切，所以 ，得 ．
联立 与 的方程，可得 ，
设A(x ,y )， ，则 ， ．
1 1
所以 ，
将 代入，可得 ．用 替换 ，可得 ．
四边形 的面积 ．
令 ，则 ，可得 ，
再令 ， ，则 ，可得 ，
即四边形 面积的最小值为 ．
【变式6-1】已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在实数 ，使椭圆 上存在不同两点 、 关于直线 对称？若存在，求 的取值范
围；若不存在，请说明理由；
(3)椭圆 的内接四边形 的对角线 与 垂直相交于椭圆的左焦点， 是四边形 的面积，求
的最小值.
【解析】（1）联立 ，消去 得
直线 与椭圆 有且只有一个公共点，
，解得
即椭圆 的方程为 ；
（2）假设存在实数 ，使椭圆 上存在不同两点 、 关于直线 对称，
设 ，联立 ，消去 得 ，
则 ，解得 ，
由韦达定理得 ，
，
，
，
存在实数 ，使椭圆 上存在不同两点 、 关于直线 对称，且 的取值范围是
.
（3）椭圆的左焦点为 ，
当对角线 与 中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，
，
当对角线 与 的斜率即存在，又不为零时，
设 ，
则 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，
，
同理： ，令 ，
则 ，
因为 ，
，
综合得 ，当且仅当 时，等号成立.
即 的最小值为 .
【变式6-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知 分别为椭圆 的左､右焦点，直
线 过点 与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)直线 过点 ，且与 垂直， 交椭圆 于 两点，若 ，求四边形 面积的范围.
【解析】（1）设 ，由椭圆的定义可知 的周长为 ，所以
，所以离心率 .
（2）由（1）可知 ，又 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
①当直线 中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形 的面积
.
②当直线 的斜率都存在，且都不为0时，设 的方程为 ，由 ，
可得 ， .所以 .
所以 .设 的方程为 ，同理可得 .
所以四边形 的面积
，
因为 ，当且仅当 时取等号.所以 ，
即此时 .
由①②可知，四边形 面积的范围为 .
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的动弦
过椭圆 的右焦点 ，当 垂直 轴时，椭圆 在 ， 处的两条切线的交点为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若直线 的斜率为 ，过点 作 轴的垂线 ，点 为 上一点，且点 的纵坐标为 ，直线
与椭圆 交于 ， 两点，求四边形 面积的最小值．
【解析】（1）由题意知， ，解得 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 ， ，
将 代入椭圆方程得 ，
不妨取 ，
设椭圆 在点 处的切线方程为 ，联立 ，得 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以在点 处的切线方程为 ，
由椭圆的对称性知，点 在 轴上，
令 ，则 ，
即点 的坐标为 , ．
（2）根据题意可设直线 的方程为 ， , ， , ，
联立 ，得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
因为 轴，且点 的纵坐标为 ，所以 , ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，
同理可得， ，所以 ，
故 为定值 ．
故 ,当且仅当 时等号成立，
由于 故 ，即 ,
故 ，当且仅当 时等号成立，
题型七：四边形的面积问题之一般四边形
【典例7-1】（2024·辽宁·模拟预测）给出如下的定义和定理：
定义：若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点 ，且 与 的对称轴不平行，则称直线 与抛物线 相切，
公共点 称为切点．
定理：过抛物线 上一点 处的切线方程为 ．
完成下述问题：
已知抛物线 ，焦点为 ，过 外一点 （不在 轴上），作 的两条切线，切点分别为 ，（
在 轴两侧）直线 分别交 轴于 两点，
(1)若 ，求线段 的长度；
(2)若点 在直线 上，证明直线 过定点，并求出该定点；
(3)若点 在曲线 上，求四边形 的面积的范围．
【解析】（1）由题意知 ，直线 ， 的斜率均不为零，其斜率都存在且异号，
设 ，因为 ， ，
不妨设 ，则 方程为 ，即 ， ， ，
所以线段CF的长度为 .（2）设 ，直线 ，
联立 ，可得 .
在 轴两侧， ， ，
所以 点处的切线方程为 ，整理得 ，
同理可求得 点处的切线方程为 ，
由 ，可得 ，
又 在直线 上， ， 直线 过定点 .
（3）由（2）可得 在曲线 上， .由（1）可知 ，
，
令 在 单调递减，
四边形 的面积的范围为
【典例7-2】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线 与直线 ，分别与抛物线
交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当 经过T的焦点F且垂直于x轴时，
．
(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若 ，求四边形ABCD的面积．
【解析】（1）因为当 经过抛物线 的焦点F且垂直于x轴时，且 ，
可得 ，解得 ，所以抛物线的标准方程为 .
（2）①设A(x ,y ),B(x ,y )是抛物线上任意两点，
1 1 2 2
则 ，所以 ，
同理设 是抛物线上任意两点，
则 ，所以 ，又因为 ，可得 ，所以 ，
同理 ，令 ，可得 ，
，令 ，可得 ，
所以点 ，H，N三点共线.
②由①知 ，同理 ，
所以 ，可得
，可得
两式相减，可得 ，可得 ，（ 交CD于 ），
因为 且 ，所以 ，
可得 ，又 为中点，则 平分 ，
所以 ，且 ，
所以 .
【变式7-1】（2024·高三·四川达州·开学考试）定义：若椭圆 上的两个点
满足 ，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”，记作 ．已知椭圆
的一个焦点坐标为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点 满足“共轭点对” ，并求出 的坐标；
(3)设（2）中的两个点 分别是 ，设 为坐标原点，点 在椭圆 上，且 ， 顺时针排列且 ，证明：四边形 的面积小于 ．
【解析】（1）由题，椭圆 的另一焦点为F (1,0)，
2
因此 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2）设“共轭点对” 中点 的坐标为B(x,y)，
根据“共轭点对” 定义：
点 的坐标满足 所以 或
于是有两个点满足，且点 的坐标为 ．
（3）设 ．
设 所在直线为 ，则 的方程为 ．
设点 ，则
两式相减得 ．
又 ，于是 ，则 ，所以线段 的中点在直线 上．
所以线段 被直线 平分．
设点 到直线 的距离为 ，
则四边形 的面积 ．
又 ，则有 ．设过点 且与直线 平行的直线 的方程为 ，则当 与 相切时， 取得最大值．
由 消去 得
令 ，解得 ．
当 时，方程 为 ，即 ，解得 ，
则此时点 或点 必有一个和点 重合，不符合条件 ，
从而直线 与 不可能相切，
即 小于直线 和平行直线 （或 ）的距离 ，
所以 ．
【变式7-2】已知椭圆 的离心率为 ，过其右焦点 且与 轴垂直的直线交椭圆
于 ， 两点，且满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知过点 的直线 与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点 ， ，弦 的中点为 ，直线 与椭圆交
于点 ， ，求四边形 面积 的取值范围.
【解析】（1）由 得 ，且 ，
令 代入椭圆方程可得 ，故 ，所以 ， ，
所以椭圆 .
（2）由题可知 ，设直线 ，
由 消 得 ，
恒正， ， ，
，
又 ，
，（此处也可以用点差法，由 得 ，
，所以 ）
由 ，得 ， ，即为 ， 两点的坐标，
所以点 ， 到直线 的距离之和为
，
则
，
因为 ，
所以 的取值范围 .【变式7-3】已知曲线 的焦点是F，A，B是曲线C上不同的两点，且存在实数 使得⃗AF=λ⃗FB，
曲线C在点A，B处的切线交于点D．
(1)求点D的轨迹方程；
(2)点E在y轴上，以EF为直径的圆与AB的另一个交点恰好是AB的中点，当 时，求四边形ADBE的
面积．
【解析】（1）曲线 就是抛物线 ，它的焦点坐标为 ，
存在实数 使得⃗AF=λ⃗FB，则 、 、 三点共线，
显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ， ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，由 ，求导得 ，切线斜率 ，
曲线 在点 处的切线方程是 ，即 ，
同理得曲线 在点 处的切线方程是 ，
由 ，得 ，因此点 的坐标为 ，
所以点 的轨迹方程为 .
（2）当 时，由 ，得 ，则 ，
于是 ，解得 ， ， ，由对称性不妨取 ，
，
设 的中点为 ，则 ， ，
由点 在以点 为直径的圆上，得 ，
设 ，则 ，即 ，解得 ，则 ，将直线 的方程 ，即 ，
则点 到 的距离 ，
因此 ，
由（1）点 ，即 ，点 到 的距离
因此 ，
显然 、 在 两侧，所以四边形ADBE的面积 ．
【变式7-4】（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆 ：
（ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，当 ， 斜率均
存在时， ，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ： ，直线 与椭圆 交于
， 两点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
【解析】（1）设 ，因为 ，
，代入椭圆 得： ，
点 的轨迹方程 为： .
（2）设 ，由（1）则 ，
①当直线 不与坐标轴重合时，由 ，知 为 中点，
，
直线 ： ，
代入椭圆 ： 的方程得：
即： ，设 ， ，
由根与系数关系，
，
设 表示点 到直线 的距离， 表示点 到直线 的距离，
；
它法：利用比例关系转化： ，酌情给分.
②当直线 与坐标轴重合时，
不妨取 ， ， ，
或 ， ， ，
综上所述：四边形 的面积是 .1．（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知椭圆 的左、右焦点为 ，离心率为
，点 为椭圆 上任意一点，且 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与直线 分别交椭圆 于 和 两点，求四边形 的面积．
【解析】（1）由题意知 ，
解得 ，
则椭圆 的方程为 ．
（2）易知四边形 为平行四边形，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线 与椭圆 消去 并整理得 ，
由韦达定理得
，
因为 与 平行，所以这两条直线的距离 ，
则平行四边形 的面积 ．2．（2024·河北·模拟预测）已知 ，平面内动点 满足直线 的斜率之积为 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)过点 的直线交 的轨迹 于 两点，以 为邻边作平行四边形 （ 为坐标原点），
若 恰为轨迹 上一点，求四边形 的面积.
【解析】（1）设 ,则 ,化简可得
（2）以 为邻边作平行四边形 ,则直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为 ，直线
的方程与椭圆方程联立，
设A(x ,y )， ，
1 1
联立 ，消去x得 ，
所以 ，
则
.
求得O到直线AB的距离 ，
因为平行四边形 的对角线互相平分
所以
所以 在椭圆 上，可得
所以平行四边形 面积所以四边形 面积是 .
3．（2024·重庆·模拟预测）已知 分别是椭圆 的左右焦点，如
图，抛物线 的焦点为F (−c,0)，且与椭圆在第二象限交于点 ，延长
1
与椭圆交于点 ．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设 和 的面积分别为 ，求 ．
【解析】（1）由抛物线 的焦点为F (−c,0)，知 ，
1
所以抛物线方程为 ，准线方程为 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以点 的坐标为 ，点 在椭圆上，
所以 ， ，所以 ， ，
化简整理得 ，
所以 ， ，
解得 （舍去），或 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
所以椭圆方程为 ，
因为 的坐标为 ，F (−c,0)，
1
所以 ，
所以直线 为 ，
由 ，得 ，
化简整理得 ，
所以 ，得 ，或 ，
所以 ， ，
所以 .
4．（2024·高三·山东烟台·开学考试）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，斜率分别为
的直线 均过点 ，且分别与 交于 和 （其中 在第一象限）， 分别为
的中点，直线 与 交于点 ， 的角平分线与 交于点 .
(1)求直线 的斜率（用 表示）；
(2)证明： 的面积大于 .
【解析】（1）抛物线 的焦点 的坐标为(0,1)，准线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由已知方程 的判别式 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，
所以
故 中点 的坐标为 ，
同理可得 ，
故 .
（2）设直线 的倾斜角分别为 ，
则有 ，
的倾斜角为 ，斜率为 ，
故FQ： ，
当 时， ，
故 .
，
即 ，
当 ，且 时，令 可得， ，
所以 ，
，
当 时，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
此时 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
记点 到 的距离为 ，
当 时，由于 ，
故 ，故 ，又 ，
故此时 的面积 ；
当 时， ，又 ，
故此时 的面积 ；
综上所述， 的面积大于 .
5．（2024·高三·河南·开学考试）已知椭圆 ： ，点 （ ）与 上的点之间的距离的
最大值为6．
(1)求点 到 上的点的距离的最小值；
(2)过点 且斜率不为0的直线 交 于 ， 两点（点 在点 的右侧），点 关于 轴的对称点为 ．①证明：直线 过定点；
②已知 为坐标原点，求 面积的取值范围．
【解析】（1）设P(x ,y )是椭圆 上一点，则 ，所以 ，
0 0
所以 （ ），
因为 ，所以当 时， ，
，解得 或 （舍去），
所以 ，所以当 时， ．
（2）①证明：由题意可知直线 的斜率存在且不为0，设直线 的方程为 （ ），
M(x ,y )，N(x ,y )， ，联立直线 和 的方程，
1 1 2 2
得 消去 并化简，得 ，
所以 ，
解得 ，且 ．
又点 在点 的右侧，则 ，且 ， ，
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
因为
，所以 ，所以直线 过定点(1,0)．
②由①知直线 的方程为 ，设 ，则 ，
，将 ， 代入，
可得 ，由 ，且 ，
得 的取值范围为 ．
由 消去 并化简得 ，
则 ，
， ．
，
原点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
令 ，由 的取值范围为 ，得 的取值范围为(1,+∞)．
又函数 在(1,+∞)上单调递增，所以 ， 的值域为 ．
所以 的取值范围是 ，
所以 面积的取值范围为 ．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ， ，平面内动点P满足 .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)动直线 交C于A、B两点，O为坐标原点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，若 ，求证直线 过定点，并求出该定点坐标；
(3)设（2）中定点为Q，记 与 的面积分别为 和 ，求 的取值范围.
【解析】（1）设点 的坐标为 .
由题意 ，
由 ，得 ，
化简得
所求曲线 的方程为 .
（2）因为过点 的直线 与曲线 有两个不同的交点 、 ，所以 的斜率不为零，
故设直线 的方程为
联立方程组 ，消 并整理得 ，
设 ， ， ， ，
于是 ， ， ，
由于 ，不妨设直线 的斜率为 ，
则 ，
所以 ，即 ，
进而 ，
整理得 ，
将 ， 代入可得 ，
化简得 ，
由于 ，所以 ，
则直线方程为 ，
故直线 过定点 ，
（3）由题意可知 ，则直线 方程为 ，且 ，
，其中 分别为 到直线 的距离，所以
代入 ， ， ，
由于 且 ，故 ，
解得 或 ，故 ，
故 .
.
x2 y2
7．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
为坐标原点，直线 与 交于 两点，点 在第一象限，点 在第四象限且满足直线 与直线 的斜
率之积为 ．当 垂直于 轴时， ．
(1)求 的方程；
(2)若点 为 的左顶点且满足 ，直线 与 交于 ，直线 与 交于 ．
①证明： 为定值；
②证明：四边形 的面积是 面积的2倍．
【解析】（1）当 垂直 轴时，由直线 与直线 的斜率之积为 ，故 ，
设 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，解得 ，
故 的方程为 ；（2）（2）①设 ，
由 知 ，
将 得 ，
即 ．
由 为 上点，则
．
又直线 与直线 的斜率之积为 ，故 ，即 ．
因此 ；
②由题直线 斜率不为0，设
由①联立 ，
消去 得 ，
，
由 ，
即 ，
即 ．
因此有 ．
面积 ，
四边形 的面积 ，
即若要证 ，只需证 ．
设 ，故只需证 即可．
直线 ，
联立解得 ，
同理得 ．故 故问
题得证．
8．（2024·高三·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为
.上、下顶点分别为 ，且 面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线 与x轴交于点M，直线 、 分别与直线 交
于点N、D，求证： 与 的面积相等.
【解析】（1）由题意可得 ，注意到 ， ，解得 ，故椭圆方程为
；
（2）
由题意 ，
因为点 不与椭圆顶点重合，所以直线 斜率存在且不为0，且不等于 ，
所以设 ，联立 ，显然 ，
由韦达定理可知 ，从而 ，
所以 ，
在 中令 ，得 ，所以 ，
易知 ，联立 ，所以 ，
注意到直线 的斜率为 ，
所以 ，
联立 ，所以 ，
记点 到 的距离、点 到 的距离依次为 ，
则 ，
同理 ，
综上所述， 与 的面积相等，命题得证.
9．定义：若椭圆 上的两个点 满足 ，则称 为
该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， 为椭圆 的“共轭点对”，已知 ，且点 在直线 上，直线 过原点．(1)求直线 的方程；
(2)已知 是椭圆 上的两点， 为坐标原点，且 ．
（i）求证：线段 被直线 平分；
（ii）若点 在第二象限，直线 与 相交于点 ，点 为 的中点，求 面积的最大值．
【解析】（1）由已知，点 在直线 上，
又因为直线 过原点，
所以所求直线 的方程为： ．
（2）（i）方法1：因为 ，所以
设 ，则 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
即 ，所以线段 的中点在直线 上．
所以线段 被直线 平分．
方法2：因为 ， ，
所以设 ，由 ，
由韦达定理得 ，于是 ，
从而 ，所以线段 的中点在直线 上．
（ii）由（i）可知 为 的中点，而 为 的中点，
所以 ．
由 解得 ，设 ，
由 ，
由 ，
由韦达定理得 ．
点 到直线 的距离 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 ，所以 的最大值为 ．
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ， ， 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点，设线段 的中
点为 ，线段 的中点为 ，求 面积的最小值．
【解析】（1）由题意可设点 ，则 ，得 ，①
因为 ，所以由抛物线的定义得 ，得 ．②将②代入①中，得 ，解得 ，
故抛物线 的标准方程为 ．
（2）
如图，易得F(1,0)，不妨设直线 的方程为 ，代入 ，得 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，点 坐标为
1 1 2 2
则 ， ，
从而 ，
因直线 ，故直线 的方程为 ，
则同理可得 ．
所以 的面积为
，当且仅当 ，即 时取等号，
故 面积的最小值为4．
11．（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 到点 的距离与到直线 的距离
之比为 ，记 的轨迹为曲线 ，直线 交 右支于 ， 两点，直线 交 右支于 ， 两点， ．
(1)求 的标准方程；
(2)证明： ；
(3)若直线 过点 ，直线 过点 ，记 ， 的中点分别为 ， ，过点 作 两条渐近线的垂线，
垂足分别为 ， ，求四边形 面积的取值范围．
【解析】（1）设点 ，因为点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ，所以 ，整理得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则均不为0且不为 ，
①直线 的斜率不存在时，则可设直线 方程为 ， ，
则 且由点A和点B在曲线E上，故 ，
所以 ，
同理可得 ，所以 ；
②直线 斜率存在时，则可设方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
则 即 ，
且 ， 且 ，
所以
，
同理 ，所以 ，
综上， .
（3）由题意可知直线 和直线 斜率若存在则斜率大于1或小于 ，
且曲线E的渐近线方程为 ，
故可分别设直线 和直线 的方程为 和 ，且 ，联立 得 ，设A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ，
， ，
故 ，
因为P是 中点，所以 即 ，
同理可得 ，
所以P到两渐近线的距离分别为 ，
，Q到两渐近线的距离分别为 ，
，
由上知两渐近线垂直，故四边形 是矩形，连接 ，
则四边形 面积为
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以四边形 面积的取值范围为 .
12．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，抛物线 的焦点为
点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点， ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC
的中垂线交x轴于点G，若 ， 的面积分别记为 ， ，且 ，点A在第一象限，求点A
的坐标．
【解析】（1）由 ，可知焦点 ．
不妨设点P在第一象限，由题意可知点 ．由点P在椭圆上，得 ．
又因为 ，即 ，则 ，可得 ，解得 ．
所以 ， ，椭圆的标准方程为 ．
（2）设点 ，由 得， ，所以切线l的方程为，即 ．
代入椭圆方程，得 ．
由 ，得 ．
设点 ， ， ，则 ．
，
则GE的方程为 ，即 ，
令 ，得 ．
在直线l的方程中令 ，得 ．
， ，
， ，可得 ．于是 ，
可得 ．
化简得 ，解得 ，
符合 ．
所以 （ 舍去），进而 ，可得点A的坐标为 ．
13．（2024·天津·二模）设椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为， ，且 ，离心率为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆交于点 ，与 轴交于点 ，且满足 ，若三角形 （ 为坐标原
点）的面积是三角形 的面积的 倍，求直线 的方程．
【解析】（1）依题意， ， ，令椭圆半焦距为c，由 ，得 ， ，
所以椭圆的方程为 .
（2）显然直线 的斜率存在且不为零，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得： ，
则 ，解得 ， ，又 ，
由（1）知， ， ，
由 ，得 ，
即 ，解得 ，满足 ，
所以直线 的方程 .
14．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）已知双曲线 的焦距为4，离心率为
分别为 的左､右焦点，两点 都在 上.
(1)求 的方程；(2)若 ，求直线 的方程；
(3)若 且 ，求四个点 所构成的四边形的面积的取值范围.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故曲线 的方程为 ，
（2）根据题意知直线 的斜率不为零，设直线 的方程为 ，
得 ， 都在右支上，
由 ，消去 可得 ，
易知 ，其中 恒成立，
，
代入 ，消元得 ，
所以 ，解得 ，满足 ，
所以直线 的方程为 ，
（3）A(x ,y ),B(x ,y )， ，则 分别在两支上，且 都在 的上方或 的下方，
1 1 2 2
不妨设都在 的上方，又 ，则 在第二象限， 在第一象限，如图所示，延长 交双曲线与点 ，延迟 交双曲线于点 ，由对称性可知四边形 为平行四边形，且面积为
四边形 面积的2被，由题设 直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由第（2）问易得 ，
因为 ，所以 ，
两条直线 与 间的距离 ，
所以 ，
令 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，在 上恒为减函数，
所以 在 上恒为增函数，
当 时即 ，取得最小值为12，
所以当 且 ，求四个点 所构成的四边形的面积的取值范围为 .
15．（2024·湖北·一模）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为椭圆的左顶点和上
顶点， 为左焦点，且 的面积为 ．(1)求椭圆 的标准方程：
(2)设椭圆 的右顶点为 、 是椭圆 上不与顶点重合的动点．
（i）若点 ，点 在椭圆 上且位于 轴下方，直线 交 轴于点 ，设 和 的面积分
别为 ， 若 ，求点 的坐标：
（ii）若直线 与直线 交于点 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值，并求出此定值
（其中 、 分别为直线 和直线 的斜率）．
【解析】（1）由题意得 ，又 ，解得 ，
椭圆 的标准方程为
（2）（i）由（1）可得 ，
连接 ，因为 ， ，
所以 ，
，
，所以 ，
所以直线 的方程为 ，联立 ，
解得 或 （舍去），.
（ii）设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，
又 ，A(−2,0)，直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
由 ，得 ，
由 ，
则 ，所以 ，
则 ，
，
依题意 、 不重合，所以 ，即 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，令 即 ，解得 ，
，
，
为定值.
16．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，矩形 中，|AB|=4， ， 分别是矩形四
条边的中点，设 ， ，设直线 与 的交点 在曲线 上.
(1)求曲线 的方程；
(2)直线 与曲线 交于 ， 两点，点 在第一象限，点 在第四象限，且满足直线 与直线 的斜率
之积为 ，若点 为曲线 的左顶点，且满足 ，直线 与 交于 ，直
线 与 交于 .
①证明： 为定值；
②是否存在常数 ，使得四边形 的面积是 面积的 倍？若存在求出 ，若不存在说明理由.
【解析】（1）显然 ，设 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立消去 得 ，即 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）①显然直线 不垂直于 轴，设直线 ， ，而 ，
显然 ，由 ，得 ，
则 ，
整理得 ，
又直线 与直线 的斜率之积为 ，则 ，即 ，
因此 ，所以 ，即 为定值.
②由①， 消去 并整理得 ，
， ，
，即有 ，则 ，
，
的面积 ，
四边形 的面积 ，
设 ，则 ，
直线 ，直线 ，联立解得 ，同理 ，
，因此 ，
所以存在常数 ，使得四边形 的面积是 面积的 倍， .
