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4.4 正余弦定理（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（24-25 江苏）在
中，内角
，
，
所对应的边分别为
，
，．若
，且
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得：
，所以
，
所以
，故选：C
2．（24-25 江苏常州·期中）在
中，已知
，则△ABC 的形状是（ ）.
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】在
中，因为
，
由正弦定理，可得
又因为
，所以
，
即
，所以
，
因为
，可得
，所以
，
又因为
，所以
，所以
为直角三角形.
故选：B.
3．（2025·甘肃嘉峪关·三模）在锐角△ABC 中，设
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
边上的高是
C．△ABC 面积是
D．△ABC 内切圆的面积是
【答案】D
【解析】在锐角
中，
，所以
，
由余弦定理可得
，所以
；
由
，可得
；
设
边上的高为h，由
可得
；
设
内切圆的半径为r，由
，可得
，
所以
内切圆的面积为
，综上可知D 错误．
故选：D．
4．（2025·河北·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，由余弦定理可得
，
所以
，由正弦定理可得
，
所以
①，
因为
②，
联立①②可得
，故
.
故选：C.
5．（2025·湖南长沙·二模）已知
的面积为
，
，
，
的内角平分线交边
于点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
的面积为
，
，
，
所以
，解得
.
在
中，由余弦定理得
，
解得
.
因为
平分
，所以
.
故选：A.
6．（2025 高三·全国·专题练习）在△ABC 中，内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，
其中有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由
，
，可得
，所以三角形只有一解；
对于B，由
，可得
，所以
，此时三角形有唯一的解；
对于C，由正弦定理
，可得
，可得B 有两解，所以三角形有两解；
对于D，由余弦定理得
，可得c 有唯一的解，所以三角形只有一解．
故选：C．
7．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，则
，
设
，则
，
，
在
中，
，
，故
，
由正弦定理可得
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，解得
，故
.
故选：C.
8．（2025·甘肃·模拟预测）在锐角
中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且
，
的周长为12，面积为6，则说法错误的是（ ）
A．
内切圆的半径为1
B．
外接圆的半径为6
C．
D．
【答案】C
【解析】令
的内切圆半径为，面积为，所以
，
所以
，即
，故A 正确；
因为
，所以
，
，
所以
，
又
所以
又
，所以
令
的外接圆半径为
，由正弦定理可知，
,
所以
，所以
，故B 正确；
因为由选项B 知，
，
所以
，故C 错误；
由正弦定理和正弦倍角公式得：
,
又由选项B 知
，所以
，故D 正确；
故选：C
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·江苏苏州·三模）记
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为
，
是三角形内角，则
.
所以
，
已知
，由正弦定理可得：
，
又因为
，所以
.
因为
，所以
，且
，那么
或
.
若
，又
，则
，这与
矛盾，所以
，故选项
正确，
错误.
由余弦定理可得：
，即
，
即
，得
，则
或
.
因为
，所以
，故选项
正确，
错误.
故选：BD.
10．（2024·浙江·三模）已知
的内角
的对边分别为
，且
，下列结论
正确的是（ ）
A．
B．若
，则
有两解
C．当
时，
为直角三角形
D．若
为锐角三角形，则
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，
所以由
及正弦定理得，
，
由诱导公式得，
，
因为
，故
，所以
，
化解得
，即
，
所以
或
，即
（舍）或
，故A 正确；
对于B，由余弦定理得
，即
，得
，
由
，所以
(负值舍)，即
有一解，故B 错误；
对于C，因为
，两边平方得
，
由余弦定理得
，
由两式消
得，
，解得
或
，
由
解得
，
由
解得
;
故
为直角三角形，故C 正确；
对于D，因为
为锐角三角形，且
，
所以
，
即
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
11．（24-25 江苏盐城·期中）在锐角
中，角A，B，C 所对边分别为a，b，c，且
.则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．角B 的范围是
C．若
的平分线交BC 于D，
，
，则
D．
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由正弦边角关系有
，
所以
，又
且
，
所以
，A 对；
由上
，可得
，B 错；
对于C，如下图示，设
，则
，
，
由
，则
，且
，则
，
所以
，
而
，且
，则
，所以
，C 对；
由
，
而
，且
在
上单调递增，则值域为
，D 对.
故选：ACD
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·宁夏银川·三模）在△ABC 中，
，
，点D，E 是BC 边上的两点，点D 在B，E 之间，
，则
的值为 .
【答案】
/0.6
【解析】
，
即
，
所以
，
故答案为：
.
13．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线AD=
，那么BC= ．
【答案】9
【解析】由
(
)，得
，
所以
，
即
，
即
．
由余弦定理，得
，
所以
．
故答案为：9.
14．（2025·湖北·模拟预测）锐角
中，角A，B，C 所对的边为a，b，c，
，
，则边c 的取
值范围是 .
【答案】
【解析】因为
，则
由
得，
，
又
，
所以
，化简得
，
锐角
中
，可得
，即
，
因此边的取值范围是
.
故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·浙江温州·三模）已知
的内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)点
在边
上，且
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由
及正弦定理得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
．
（2）在
中，
，解得
，
在
中，
，所以
，
所以周长
．
16．（2025·河南·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得:
，
整理得
，
即
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）设
，则
，
在
中，由
，
，得
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，则
，
所以
的周长为
.
17（2025·天津河西·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，
，
．
（ⅰ）求
和的值；
（ⅱ）求
的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
，
；（ⅱ）
【解析】（1）由余弦定理
，
，
由
，得
，
由正弦定理
，得
，
则
，又
，所以
，
又
，所以
．
（2）（ⅰ）由（1）知，
，得
①．
由余弦定理
，所以
②．
由①②，得
，解得
，
由
，解得
，
．
（ⅱ）由正弦定理
，所以
，
为锐角，
，
．
18．（2025·江西新余·模拟预测）已知
、
、分别为斜
中角
、
、
的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
即
，
因为
为斜三角形，所以
，故
，
由正弦定理可得
．
（2）由（1）知，
，所以
，
所以
，
即
，
因为
，则
，故
，所以
，
所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时，
取最小值
．
19．（2025·四川成都·三模）记斜
的内角
的对边分别为
，已知
，且
.
(1)求角
；
(2)
为边
的中点，若
，求
的面积；
(3)如图所示，
是
外一点，若
，且
，记
的周长为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由
可得，
，
而
，故
，
因为
为斜三角形，故
，故
，
而
，故
即
.
（2）因为
的中线
，所以
.
两边同时平方，得
，即
.
在
中，
，由余弦定理可得
，
解得
，所以
.
（3）在
中，由正弦定理可得
即
.
在
中，由正弦定理可得
即
.
因为四边形
的内角和为
，且
，所以
.
在
中，
，
所以
，则
，
.
因为在
中
，所以
，
则
在
上单调递增.
因为
，
所以
的取值范围为
.
