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4.4 三角函数诱导公式（讲义）
目录
1
知识点01 大角化小角................................................................................2
2
知识点02 诱导公式....................................................................................2
3
知识点03 常用的诱导公式........................................................................3
4
题型一、利用诱导公式求值.....................................................................3
5
题型二、给值求值.....................................................................................6
6
题型三、化简求值.....................................................................................9
1 知识点01 大角化小角
(1) 大角：大于π
2 的角为大角，例如π
6 ，π
4 ，π
3
小角：小于π
2 的角为小角，例如2π
3 ，3 π
4 ，5 π
6
(2) 将三角函数式中的角统一写作k ⋅π
2 ±α，当α未知时，将α视为锐角
(3) 例如：
2 知识点02 诱导公式
诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
(1)
奇变偶不变
①奇变：在大角化小角的公式中，当k为奇数时，函数名需要改变，即：
若函数名原来为正弦，则需要变为余弦；若函数名原来为余弦，则需要变为正
弦
②偶不变：在大角化小角的公式中，当k为偶数时，函数名不能改变，
即：若函数名原来为正弦，则依旧为正弦；若函数名原来为余弦，则依旧为余
弦
(2)
符号看象限
通过判断角的终边在哪个象限，判断原三角函数值的正负，最终确定
方法二
k =2，α =- π
4
3 π
4 = π - π
4
k =1，α = π
4
3 π
4 = π
2 + π
4
在sin 3 π
4 中
方法一
方法二
k =2，α =- π
6
5 π
6 = π - π
6
k =1，α = π
3
5 π
6 = π
2 + π
3
在cos 5 π
6 中
方法一
所求结果的正负
3 知识点03 常用的诱导公式
(1)
诱导公式一
sin (π +α )=-sin α
sin (π -α )=sin α
sin (2π +α )=sin α
sin (2π -α )=-sin α
(2)
诱导公式二
sin(
π
2 +α)=cosα
sin(
π
2 -α)=cosα
sin(
3 π
2 +α)=-cosα
sin(
3 π
2 -α)=-cosα
(3)
诱导公式三
cos(π +α )=-cosα
cos(π -α )=-cosα
cos(2π +α )=cosα
cos(2π -α )=cosα
(4)
诱导公式四
cos(
π
2 +α)=- sinα
cos(
π
2 -α)= sinα
cos(
3 π
2 +α)= sinα
cos(
3 π
2 -α)=- sinα
(5)
诱导公式五
tan (π +α )= tan α
tan (π -α )=- tan α
tan (2π +α )= tan α
tan (2π -α )=- tan α
4 题型一、利用诱导公式求值
1．sin300° =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】sin300° =sin (360° -60°)=-sin 60° =-
❑√3
2 .
故选：D.
2．tan(- 2π
3 )=（ ）
A．-
❑√3
3
B．
❑√3
3
C．- ❑√3
D．❑√3
【答案】D
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】tan(- 2π
3 )= tan(
π
3 -π)= tanπ
3 = ❑√3.
故选：D
3．cos 26π
3
的值为（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式可得出所求代数式的值.
【详解】cos 26π
3
=cos(9π-π
3 )=-cosπ
3 =- 1
2．
故选：B.
4．cos(-π
3 )=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√3
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案.
【详解】cos(-π
3 )=cosπ
3 = 1
2.
故选：B
5．cos855
∘的值是（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√2
2
D．-
❑√2
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式求值.
【详解】
cos855
∘=cos(720
∘+135
∘)=cos135
∘=cos(180
∘- 45
∘)=-cos 45
∘=-
❑√2
2 .
故选：D
6．sin2025
∘的值是（ ）
A．-
❑√2
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式求值.
【详解】sin 2025
∘ =sin(5×360
∘+225
∘) =sin 225
∘
=sin(180
∘+ 45
∘) =-sin 45
∘ =-
❑√2
2 .
故选：A
7．tan(180°+60°)+sin(270°+30°)=（ ）
A．-
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．- 3 ❑√3
2
D．3 ❑√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】tan(180
∘+60
∘)+sin(270
∘+30
∘)= tan 60
∘-cos30
∘= ❑√3-
❑√3
2 =
❑√3
2 .
故选：B.
8．sin3720° =（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．- 1
2
D．-
❑√3
2
【答案】B
【分析】由诱导公式化简即可直接得答案．
【详解】sin3720° =sin (10×360°+120°)=sin120° =
❑√3
2 ．
故选：B.
9．cos330
∘+tan600
∘=（ ）
A．1- ❑√3
2
B．1+ ❑√3
2
C．
❑√3
2
D．3 ❑√3
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简即可求出.
【详解】cos330
∘+tan600
∘=cos(360
∘-30
∘)+tan(360
∘+180
∘+60
∘)
=cos(-30
∘)+tan(180
∘+60
∘)
=cos30
∘+tan60
∘
=
❑√3
2 + ❑√3= 3 ❑√3
2 ,
故选：D
10．2cos(-840
∘)=（ ）
A．- ❑√3
B．-1
C．1
D．❑√3
【答案】B
【分析】利用诱导公式求解即可
【详解】2cos(-840
∘)=2cos840
∘=2cos(360
∘×2+120
∘)=2cos120
∘=-1.
5 题型二、给值求值
1．已知sinα = 2
3，则cos(α +π
2 )=（ ）
A．2
3
B．- 2
3
C．
❑√5
3
D．-
❑√5
3
【答案】B
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】因为sinα = 2
3，所以cos(α +π
2 )=-sinα =- 2
3.
故选：B
2．若角α的终边过点P(1,- ❑√2)，则sin(α + π
2)=（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√6
3
C．-
❑√3
3
D．-
❑√6
3
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角α的终边过点P(1,- ❑√2)，
所以cosα =
1
❑√1
2+(- ❑√2)
2 =
❑√3
3
，
所以sin(α +π
2 )=cosα =
❑√3
3 .
故选：A
3．已知角α ∈(
π
2 ,π)，且sinα = 2
3，则cos(α +π
2 )=（ ）
A．2
3
B．- 2
3
C．
❑√5
3
D．-
❑√5
3
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为sinα = 2
3，所以cos(α +π
2 )=-sinα =- 2
3.
故选：B
4．若cosα =m，则cos(-α )=（ ）
A．m
B．-m
C．|m|
D．m
2
【答案】A
【分析】运用诱导公式化简即可.
【详解】cos(-α )=cosα =m，
故选：A．
5．已知tan(π - x)= 1
3，x为第二象限角，则cos x =（ ）
A．
❑√10
10
B．-
❑√10
10
C．3 ❑√10
10
D．- 3 ❑√10
10
【答案】D
【分析】根据诱导公式计算可得tan x =- 1
3，结合同角的三角函数关系建立
方程组，解之即可求解.
【详解】由tan(π- x)=-tan x = 1
3，得tan x =- 1
3，
∵ x是第二象限角，
∴¿，解得cos x =- 3 ❑√10
10
.
故选：D
6．已知sin(π + x)=- 1
2，则tan x =（ ）
A．±
❑√3
3
B．
❑√3
3
C．± ❑√3
D．❑√3
【答案】A
【分析】首先利用诱导公式求得sin x，再利用sin
2 x +cos
2 x =1，求得cos x，
利用商数关系得答案.
【详解】解：sin(π + x)=-sin x =- 1
2 ⇒sin x = 1
2，
则cos x =±
❑√1-sin
2 x =±
❑√3
2 ，
则tan x =sin x
cos x =±
❑√3
3 .
故选：A.
7．已知sinα = 1
2，则sin(2π+α )=（ ）
A．
❑√3
2
B．1
2
C．- 1
2
D．-
❑√3
2
【答案】B
【分析】根据诱导公式计算即可.
【详解】因为sinα = 1
2，则sin(2π+α )=sinα = 1
2.
故选：B.
8．已知sin(
3π
2 +α)= 2
7
，则cosα =（ ）
A．- 2
7
B．- 5
7
C．2
7
D．5
7
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简即可求解.
【详解】由诱导公式可得sin(
3
2 π+α)=-sin(
π
2 +α)=-cosα = 2
7
，则
cosα =- 2
7.
故选：A.
9．若cos(π
6 +α )= 1
3，则cos( 5 π
6 -α )=（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．- 2❑√2
3
D．2❑√2
3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解.
【详解】由cos(π
6 +α )= 1
3，得
cos( 5 π
6 -α )=cos[ π -( π
6 +α )]=-cos( π
6 +α )=- 1
3.
故选：A
10．若cos(α +π
6 )= 3
5，则sin(
π
3 -α)=（ ）
A．- 4
5
B．4
5
C．- 3
5
D．3
5
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及整体带入思想即可求得结果.
【详解】因为(α +π
6 )+(
π
3 -α)=π
2 ，所以
sin(
π
3 -α)=sin[
π
2 -(α +π
6 )]=cos(α +π
6 )= 3
5
，
故选：D.
11．已知cos(53
∘-α )= 1
5，则cos(127
∘+α )=（ ）
A．± 1
5
B．2❑√6
5
C．1
5
D．- 1
5
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简即得.
【详解】由cos(53
∘-α )= 1
5，得
cos(127
∘+α )=cos[180
∘-(53
∘-α )]=-cos(53
∘-α )=- 1
5.
故选：D
12．若cos(
π
3 -θ)=- 1
2，则sin(θ+π
6 )的值为（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．-
❑√3
2
D．- 1
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】若cos(
π
3 -θ)=- 1
2，则
sin(θ+π
6 )=sin[
π
2 -(
π
3 -θ)]=cos(
π
3 -θ)=- 1
2
.
故选：D.
6 题型三、化简求值
1．已知tan a=-2，则
cos(
π
2 +a)
sin (π-a)-sin(
3π
2 -a)
＝（ ）
A．-2
3
B．2
3
C．-2
D．2
【答案】C
【分析】根据条件，利用诱导公式及齐次式，即可求解.
【详解】因为tan a=-2，所以
cos(
π
2 +a)
sin (π-a)-sin(
3π
2 -a)
=-sinα
sinα +cosα =-tanα
1+tanα =
2
1-2 =-2，
故选：C.
2．已知cos(
3π
2 -α)
cos(π+α )
=-2
，则2sinα +cosα
sinα -cosα
=（ ）
A．1
B．-1
C．5
D．-5
【答案】A
【分析】先根据诱导公式求出tanα =-2，然后将所求式2sinα +cosα
sinα -cosα
化弦
为切代值计算即得.
【详解】cos( 3 π
2 -α )
cos(π +α ) =-sinα
-cosα =tanα =-2，
则2sinα +cosα
sinα -cosα
=
2sinα
cosα +1
sinα
cosα -1
= 2tanα +1
tanα -1
=1.
故选：A.
3．已知tan α =-2，则
cos(
π
2
+α)
sin(π-α )-sin(
3π
2
-α)
=（ ）
A．- 2
3
B．2
3
C．-2
D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.
【详解】
cos(
π
2
+α)
sin(π-α )-sin(
3π
2
-α)
=-sin α
sin α +cosα
=- tan α
tan α +1 =
2
-2+1 =-2.
故选：C
4．若tanα =- 4，则sin(π-α )
cosα
=（ ）
A．4
B．1
4
C．- 4
D．- 1
4
【答案】C
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的商数关系化简可得结果.
【详解】sin(π-α )
cosα
=sinα
cosα =tanα =- 4.
故选：C.
5．若tan (α -π)= 1
2，则
cosα
2sin α -3cosα =（ ）
A．- 1
4
B．1
C．- 1
2
D．- 1
4或- 1
2
【答案】C
【分析】根据诱导公式可得tanα = 1
2，化弦为切即可求解.
【详解】由题意得，tan(α -π)=tanα = 1
2，
则
cosα
2sinα -3cosα =
1
2tanα -3 =
1
2× 1
2 -3
=- 1
2.
故选: C.
6．设tan(5π+α )=m(α ≠k π+ π
2 ，k ∈Z)，则sin(α -3π)+cos(π-α )
sin(-α )-cos(π+α )
的
值为（ ）
A．m+1
m-1
B．m-1
m+1
C．-1
D．1
【答案】A
【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再利用弦化切，代入即可求解．
【详解】解：∵tan(5π+α )=m，
∴tanα =m，又sin (α -3π)=-sin (3π-α )=-sin (π-α )=-sin α
所以原式=-sin α -cosα
-sin α +cosα =- tan α -1
- tan α +1 =-m-1
-m+1 = m+1
m-1，
故选：A．
7．已知锐角α满足
1
cos
2(π+α )
+
3
sin(
3π
2 -α)
= 4
．则
1
cosα =（ ）
A．-1
B．4
C．1
2
D．2
【答案】B
【分析】利用诱导公式对给定条件化简，再结合换元法求解即可.
【详解】因为
1
cos
2(π+α )
+
3
sin(
3π
2 -α)
= 4
，
所以
1
cos
2α
-
3
cosα = 4，因为α是锐角，所以cosα >0，
令
1
cosα =t >0，则t
2-3t - 4 =0，解得t = 4或t =-1，
当t =-1时，不符合题意，故舍去，当t = 4时，符合题意，故B 正确.
故选：B
8．已知tanα =2，则
-sin(-α )+2sin(
π
2 +α)
3sin(
3π
2 +α)+sin(π-α )
的值为（ ）
A．- 4
B．0
C．4
5
D．4
【答案】A
【分析】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【详解】因为tanα =2，则
-sin(-α )+2sin(
π
2 +α)
3sin(
3π
2 +α)+sin(π-α )
= sin α +2cosα
sin α -3cosα =
sin α +2cosα
cosα
sin α -3cosα
cosα
= tan α +2
tan α -3 = 2+2
2-3 =- 4.
故选：A.
9．已知
f ( x)=
sin(
π
2 - x)cos(
3π
2 + x)tan(π- x)
cos(3π- x)sin(π- x)
，若f (α )=-2，则
sin α cosα +1
cos
2α +sin α cosα
=（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
【答案】B
【分析】由诱导公式化简函数f (x)，由f (α )=-2，得到tan α的值，将所求
代数式转换为齐次式后分子分母同除cos
2α，然后代入tan α的值即可得到答案.
【详解】
f ( x)=
sin(
π
2 - x)cos(
3π
2 + x)tan(π- x)
cos(3π- x)sin(π- x)
= cos x⋅sin x⋅(- tan x)
(-cos x)sin x
= tan x
，
∴f (α )= tan α =-2，
sin α cosα +1
cos
2α +sin α cosα
= sin α cosα +sin
2α +cos
2α
cos
2α +sin α cosα
= tan α + tan
2α +1
1+ tan α
=-2+ 4+1
1-2
=-3
.
故选：B
10．已知tan β =- 4
3
，则
- 4cos(3π- β)+3cos(
π
2 + β)
2sin(
3π
2 - β)-sin(π+ β)
=（ ）
A．4
B．0
C．- 12
5
D．- 25
11
【答案】C
【分析】利用诱导公式先对所求式子化简，再利用弦化切即可求得结果.
【详解】
- 4cos(3π- β)+3cos(
π
2 + β)
2sin(
3π
2 - β)-sin(π+ β)
=
- 4 cos(π- β)-3sin β
-2cos β +sin β
= 4 cos β -3sin β
-2cos β +sin β = 4 -3 tan β
-2+ tan β
=
4 -3×(- 4
3)
-2+(- 4
3)
=- 12
5
.
故选：C
11．已知角α的终边经过点P(❑√5,-2)，则
sin(6π-α )cos(5π+α )cos(
π
2 +α)
cos(3π-α )sin(-π-α )sin(
3π
2 +α)
的值为（ ）
A．- 2❑√5
5
B．-
❑√5
2
C．2❑√5
5
D．
❑√5
2
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得sin α，cosα的值，再利用诱导公式进行
化简求值.
【详解】因为角α的终边经过点P(❑√5,-2)，
所以sin α =-2
❑√(❑√5)
2+(-2)
2 =- 2
3
，cosα =
❑√5
❑√(❑√5)
2+(-2)
2 =
❑√5
3
，
所以
sin(6π-α )cos(5π+α )cos(
π
2 +α)
cos(3π-α )sin(-π-α )sin(
3π
2 +α)
=-sin α(-cosα )(-sin α )
-cosα sin α(-cosα )
=- sin α
cosα =-
- 2
3
❑√5
3
= 2❑√5
5 .
故选：C.
