4.7 正弦函数的图像与性质（练习）
目录
1
题型一、正弦函数的周期性.....................................................................2
2
题型二、正弦函数的奇偶性.....................................................................5
3
题型三、正弦函数的最值.........................................................................9
4
题型四、正弦函数的对称性...................................................................13
5
题型五、正弦函数的单调性...................................................................19
1 题型一、正弦函数的周期性
1．下列函数最小正周期为π的是（ ）
A．y = 1
2 sin(
1
2 x)
B．y = 1
2 cos(2 x)
C．y =2tan(
1
2 x)
D．y =tan(2 x)
【答案】B
【分析】根据三角函数的性质计算可得；
【详解】解：对于A，y = 1
2 sin(
1
2 x)的最小正周期T = 2π
1
2
= 4 π，故A 错误；
对于B：y = 1
2 cos(2 x)的最小正周期T = 2π
2 = π，故B 正确；
对于C：y =2tan(
1
2 x)的最小正周期T = π
1
2
=2π，故C 错误；
对于D：y =tan(2 x)的最小正周期T = π
2 ，故D 错误；
故选：B
2．已知函数f ( x)=cos(π - x)-cos( 3
2 π + x)+1，则函数f ( x)的最小正周期为
（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】D
【分析】利用诱导公式以及辅助角公式化简f ( x)，再根据T = 2π
|ω| 即可得出
答案.
【详解】由题意得
f ( x)=cos(π - x)-cos( 3
2 π + x)+1=-cos x -sin x +1=- ❑√2sin( x + π
4 )+1
在由T = 2π
|ω| =2π.
故选：D
3．函数f ( x)=sin( x
2 - π
4 )的最小正周期是（ ）
A．π
2
B．π
C．2π
D．4π
【答案】D
【分析】利用正弦函数的周期求解．
【详解】f(x)的最小正周期为T = 2π
1
2
= 4 π．
故选：D．
4．函数y = 4 sin(3 x +π
4 )+3cos(3 x +π
4 )的最小正周期是( )
A．6 π
B．2π
C．2π
3
D．π
3
【答案】C
【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y = A sin(ωx +φ)的形式，
再由T = 2π
|ω| 可得到答案．
【详解】∵y = 4sin(3 x +π
4 )+3cos(3 x +π
4 )=5sin(3 x +π
4 +φ)(其中
tanφ = 3
4 )，
∴T = 2π
3 ．
故选：C．
5．函数f ( x)= sin2 x
cos x 的最小正周期是（ ）
A．π
2
B． π
C．2π
D．4π
【答案】C
【分析】求出定义域后，先化简，进而求出最小正周期.
【详解】f ( x)= sin 2 x
cos x 的定义域为{x| x≠π
2 +k π,k ∈Z}.
因为f ( x)= sin 2 x
cos x =2sin x ,(x≠π
2 +k π,k ∈Z).
所以函数f ( x)= sin 2 x
cos x 的最小正周期是为2π.
故选：C
6．函数y =sin(3 x -π
3 )的最小正周期是（ ）
A．π
2
B．π
C．2π
D．2π
3
【答案】D
【分析】利用正弦函数的最小正周期公式T = 2π
|ω| 即可得解．
【详解】因为函数y =sin(3 x -π
3 )，所以T = 2π
|ω| = 2π
3 .
故选：D．
7．函数y =2sin x -cos x( x∈R)的最小正周期为（ ）
A．2π
B．π
C．3π
2
D．π
2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数化成y = A sin (ωx +φ)的形式，代入周期公
式可得结论.
【详解】易知y =2sin x -cos x = ❑√5sin (x +φ)，其中tan φ=- 1
2，
由周期公式可得其最小正周期为T = 2π
ω =2π.
故选：A
8．函数f ( x)=
❑√2
4 sin 4 x +
❑√2
4 cos 4 x +
❑√2
4 的最小正周期为（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】B
【分析】利用辅助角公式及三角函数的周期性计算即可.
【详解】f ( x)=
❑√2
4 sin 4 x +
❑√2
4 cos 4 x +
❑√2
4 = 1
2 sin(4 x +π
4 )+
❑√2
4 ，
由正弦函数的周期性公式知最小正周期为T = 2π
4 =π
2 .
故选：B
9．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y =sin(2 x +π
2 )
B．y =cos(2 x +π
2 )
C．y =sin 2 x +cos2 x
D．y =sin x +cos x
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简，再结合三角函数的性质判断A、B，利用辅助
角公式化简，再结合三角函数的性质判断C、D.
【详解】对于A：y =sin(2 x +π
2 )=cos2 x，可知其最小正周期为π且为偶
函数，故A 错误；
对于B：y =cos(2 x +π
2 )=-sin 2 x，可知其最小正周期为π且为奇函数，故
B 正确；
对于C：y =sin 2 x +cos2 x = ❑√2sin(2 x +π
4 )，最小正周期为π的非奇非偶函
数，故C 错误；
对于D：y =sin x +cos x = ❑√2sin(x +π
4 )，可知其最小正周期为2π，且为非
奇非偶函数，故D 错误．
故选：B
2 题型二、正弦函数的奇偶性1．下列函数中，最小正周期为π
的奇函数是（ ）
A．y =sin(2 x + π
2)
B．y =cos(2 x + π
2)
C．y =sin(2 x + π
3)
D．y =cos(2 x + π
3)
【答案】B
【分析】利用奇偶性的定义与三角函数最小正周期计算公式，结合所给函
数的解析式分别进行验证．
【详解】解：先验证周期，根据周期计算公式T = 2π
ω = π得ω=2，四个选项
均符合；
对于A 选项，y =sin(2 x + π
2)=cos2 x，是偶函数；
对于B 选项，y =cos(2 x + π
2)=-sin 2 x，是奇函数；
对于C、D 两个选项，均是非奇非偶函数；
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，三角函数的周期计算公式
T = 2π
ω ，同时还考查了诱导公式与图象变换，属于基础题．
2．函数f ( x)=sin 2 x cos2 x +1是
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π
2 的偶函数
C．最小正周期为π的非奇非偶函数D．最小正周期为π
2 的非奇非偶函
数
【答案】D
【解析】利用二倍角的正弦变形，再由周期公式求周期，结合图象既不关
于原点中心对称，也不关于y 轴轴对称说明函数为非奇非偶函数.
【详解】解：f ( x)=sin 2 x cos2 x +1= 1
2 sin 4 x +1.
周期T = 2π
4 = π
2 ，
函数f ( x)的图象是把y = 1
2 sin 4 x的图象向上平移1 个单位得到的，
既不关于原点中心对称，也不关于y轴轴对称.
∴f ( x)是非奇非偶的函数.
∴f ( x)是最小正周期为π
2 的非奇非偶函数.
故选：D.
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查函数奇偶性的判定，是基础题.
3．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．y = x +sin2 x
B．y = x
2+sin x
C．y = x
2-cos x
D．y =2
| x|sin x
【答案】B
【分析】利用三角函数的性质以及奇偶性定义即可求解.
【详解】对于A，由y = f (x)= x +sin 2 x，定义域为R，
f (- x)=- x +sin 2(- x)=- f (x)，故函数为奇函数，故A 不选；
对于B，由y = f (x)= x
2+sin x，定义域为R，
f (- x)=(- x)
2+sin (- x)= x
2-sin x ≠f (x)，故函数为非奇非偶函数，故B 可选；
对于C，由y = f (x)= x
2-cos x，定义域为R，
f (- x)=(- x)
2-cos(- x)= x
2-cos x = f (x)，故函数为偶函数，故C 不选；
对于D，y = f (x)=2
| x|sin x，定义域为R，
f (- x)=2|- x|sin (- x)=-2|x|sin x =- f (x)，故函数为奇函数，故D 不选；
故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性以及函数奇偶性的定义，属于基础
题.
4．函数y =sin(2 x - π )cos(2 x +2π )是（ ）
A．周期为π
4 的奇函数
B．周期为π
4 的偶函数
C．周期为π
2 的奇函数
D．周期为π
2 的偶函数
【答案】C
【分析】先化简得y =- 1
2 sin 4 x，再求函数的最小正周期和奇偶性得解.
【详解】由题得y =sin(2 x - π )cos(2 x +2π )=-sin 2 x cos2 x =- 1
2 sin 4 x，
设f ( x)=- 1
2 sin 4 x，函数的定义域是R,
所以函数的最小正周期为2π
4 = π
2 ，
由于f (- x)=- 1
2 sin(- 4 x)= 1
2 sin 4 x =- f ( x)，
所以函数是奇函数.
故选：C.
【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角的正弦公式的应用，考查三角函
数的最小正周期的求法和奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平.
5．若函数f (x)=sin (π -2 x)，则f (x)是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【答案】A
【解析】先由题意，得到f (x)=sin 2 x，根据正弦函数的周期性和奇偶性，
即可得出结果.
【详解】因为f (x)=sin (π -2 x)=sin 2 x，
所以f (- x)=sin (-2 x)=-sin 2 x =- f (x)，且最小正周期为T = 2π
2 = π；
f (x)是最小正周期为π的奇函数.
故选：A.
【点睛】本题主要考查判定正弦型函数的奇偶性与周期性，属于基础题型.
6．下列函数中最小正周期为π 的偶函数是（ ）
A．y =sin x
2
B．y =cos x
2
C．y =cos x
D．y =cos2 x
【答案】D
【解析】求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答
案.
【详解】A 中,函数y =sin x
2是奇函数，最小正周期为
2π
1
2
= 4 π，不合题意；
B 中,函数y =cos x
2是偶函数，最小正周期为
2π
1
2
= 4 π，不合题意；
C 中,函数y =cos x是偶函数，最小正周期为2π
1 =2π，不合题意；
D 中,函数y =cos2 x是偶函数，最小正周期为2π
2 = π，符合题意．
故选：D.
7．函数y =sin2 x是一个（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为π
2 的奇函数
D．周期为π
2 的偶函数
【答案】A
【分析】根据周期公式求函数的周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的
奇偶性.
【详解】因为T = 2π
|ω|= 2π
2 = π，所以函数y =sin2 x的最小正周期为π；
因为f (- x)=sin (-2 x)=-sin 2 x =- f ( x)，所以函数y =sin 2 x是奇函数，
所以函数y =sin2 x是一个周期为π的奇函数.
故选：A.
8．函数f ( x)= ❑√2sin 2 x cos2 x是（ ）
A．周期为π
2 的奇函数
B．周期为π
2 的偶函数
C．周期为π
4 的奇函数
D．周期为π
4 的偶函数
【答案】A
【分析】化简可得f ( x)=
❑√2
2 sin 4 x，根据奇偶性的定义，可判断f ( x)的奇
偶性，根据周期公式，即可求得答案.
【详解】由题意得f ( x)= ❑√2sin 2 x cos2 x =
❑√2
2 sin 4 x，
所以f (- x)=
❑√2
2 sin(- 4 x)=-
❑√2
2 sin 4 x =- f ( x)，故f ( x)为奇函数，
周期T = 2π
4 = π
2 ，
故选：A
9．下列函数中，是偶函数的为（ ）
A．f (x)= 1
x B．f (x)=e
x
C．f (x)= x
2 D．f (x)=sin x
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的奇偶性判断各选项中函数的奇偶性，由此可
得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，函数f (x)= 1
x 为奇函数；
对于B 选项，函数f (x)=e
x为非奇非偶函数；
对于C 选项，函数f (x)= x
2为偶函数；
对于D 选项，函数f (x)=sin x为奇函数.
故选：C.
3 题型三、正弦函数的最值
1．y =cos
2 x -sin
2 x +2sin x cos x的最小值是（ ）
A．❑√2
B．- ❑√2
C．2
D．-2
【答案】B
【分析】
利用二倍角公式进行转化，再利用辅助角公式把函数变形为
y = ❑√2sin(2 x +π
4 )，即可求解.
【详解】因为y =cos
2 x -sin
2 x +2sin x cos x
=cos2 x +sin 2 x = ❑√2sin(2 x +π
4 )，
故函数的最小值为- ❑√2，
故选：B.
2．函数f (x)= 4 sin(5 x - π
6)在[0,π
5 ]上的值域为（ ）
A．[-2,2]
B．[-2,4]
C．[-2❑√3,4]
D．[-2❑√3,2]
【答案】B
【分析】先求得5 x - π
6 的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.
【详解】因为x∈ [0,π
5 ]，所以5 x - π
6 ∈[- π
6 , 5 π
6 ]，所以
sin(5 x - π
6)∈[- 1
2 ,1]，
故f (x)= 4 sin(5 x - π
6)在[0,π
5 ]上的值域为[-2,4].
故选：B.
3．函数f (x)=2sin xcos x +2cos
2 x的最大值是（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√2+1
D．2❑√2
【答案】C
【分析】由三角恒等变换化简函数表达式即可得解.
【详解】
f (x)=2sin xcos x +2cos
2 x =sin 2 x +cos2 x +1= ❑√2sin(2 x +π
4 )+1≤❑√2+1，且存
在x =π
8 时，有f (x)= ❑√2+1，
也就是说函数f (x)=2sin xcos x +2cos
2 x的最大值是
❑√2+1.
故选：C.
4．已知函数f (x)=2sin(2 x -π
3 )cos(2 x +π
3 )，则下列结论正确的是
（ ）
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)在(-π
8 ,π
4 )上单调递增
C．f
' (x)为偶函数
D．f (x)的最小值为
❑√3
2
【答案】C
【分析】由积化和差公式化简，根据周期公式判断A，根据正弦函数的最
值判断D，根据正弦型函数的单调性判断B，根据导数判断C.
【详解】因为f (x)=2sin(2 x -π
3 )cos(2 x +π
3 )=sin 4 x -
❑√3
2 ，此时最小正
周期为2π
4 =π
2 ，其最小值为-1-
❑√3
2 ，所以A 错误，D 错误；
因为-π
8 < x<π
4 ，所以-π
2 <4 x<π，可知f (x)在(-π
8 ,π
4 )上不单调，B 错
误；
又f
' (x)= 4cos4 x，所以f
' (x)为偶函数，C 正确．
故选：C
5．已知函数f (x)=sin(2 x +π
3 )，则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)的最小正周期为2π
C．f (x)的最大值为1
D．f (x)在(- 5π
12 ,π
12)上单调递减
【答案】C
【分析】直接由三角函数性质逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，由于f (0)=sinπ
3 =
❑√3
2 ≠0，f (x)不为奇函数，故A 错误；
对于B，f (x)的最小正周期为2π
2 =π，故B 错误；
对于C，显然f (x)的最大值为1，故C 正确；
对于D，当x∈(- 5π
12 ,π
12)时，2 x +π
3 ∈(-π
2 ,π
2 )，
由复合函数单调性、正弦函数单调性可知f (x)在(- 5π
12 ,π
12)上单调递增，
故D 错误.
故选：C.
6．函数y =sin x，x∈[
π
6 , 2π
3 ]的值域是（ ）
A．[-1,1]
B．[
1
2 ,1]
C．[
1
2 ,
❑√3
2 ]
D．[
❑√3
2 ,1]
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由正弦函数性质可知函数y =sin x在[
π
6 ,π
2 ]上单调递增，在
(
π
2 , 2π
3 ]上单调递减，
又x =π
2 时，y =sinπ
2 =1；
x = 2π
3 时，y =sin 2π
3 =
❑√3
2 ；
x =π
6 时，y =sinπ
6 = 1
2 <
❑√3
2 ，
所以函数y =sin x，x∈[
π
6 , 2π
3 ]的值域是[
1
2 ,1].
故选：B.
7．函数y = ❑√3sin x -cos x的最小值（ ）
A．2
B．-2
C．❑√3-1
D．- ❑√3-1
【答案】B
【分析】利用辅助角公式将已知函数化成一角一函数状态即可求其最小值.
【详解】因为
y = ❑√3sin x -cos x =2(
❑√3
2 sin x - 1
2 cos x)=2(cosπ
6 sin x -sinπ
6 cos x)=2sin(x -π
6 )，
所以当x -π
6 =2k π-π
2 ，k ∈Z，即x =2k π-π
3 ，k ∈Z时，函数有最小
值-2.
故选：B.
8．函数f ( x)= ❑√3sin(4 x +π
3 )-cos(4 x +π
3 ), x∈R的最小值和周期分别是
（ ）
A．- ❑√2,π
2 B．-2,π
2
C．- ❑√3,π
D．- ❑√3,2π
【答案】B
【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再求函数的最值和周期.
【详解】f ( x)= ❑√3sin(4 x +π
3 )-cos(4 x +π
3 ), x∈R，
=2sin(4 x +π
3 -π
6 )=2sin(4 x +π
6 )，
所以函数的最小值为-2，周期为2π
4 =π
2 .
故选：B
9．函数y =sin(2 x +π
3 )(0≤x ≤π
2 )的值域为（ ）
A．[0,1]
B．[- 1
2 ,1]
C．[-
❑√3
2 ,1]
D．⌊-
❑√3
2 ,
❑√3
2 ⌋
【答案】C
【分析】根据0≤x ≤π
2 ，可得π
3 ≤2 x +π
3 ≤4π
3 ，再结合正弦函数的图象求
解即可.
【详解】由0≤x ≤π
2 ，得π
3 ≤2 x +π
3 ≤4π
3 ，
则y =sin(2 x +π
3 )∈[-
❑√3
2 ,1].
故选：C.
4 题型四、正弦函数的对称性1．函数y =2sin(x -π
6 )的图像关于
（ ）
A．点(
π
6 ,0)对称
B．点(-π
6 ,0)对称
C．直线x =π
6 对称
D．直线x =-π
6 对称
【答案】A
【分析】根据题意，分别将x =π
6 与x =-π
6 代入检验，即可得到结果.
【详解】令x =π
6 ，可得y =0，所以图像关于点(
π
6 ,0)对称，故A 正确，C
错误；
令x =-π
6 ，可得y =- ❑√3，所以图像不关于点(- π
6 ,0)对称，
也不关于直线x =- π
6 对称，故BD 错误；
故选：A
2．若函数f (x)=2sin(
π
5 x -π
4 )，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为10π
B．f (x)的图象关于点(
4
5 ,0)对称
C．f (x)在(0, 25
4 )上有最小值
D．f (x)的图象关于直线x = 15
4 对称
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性、对称性、最值等知识对选项进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】f (x)=2sin(
π
5 x -π
4 )，
最小正周期T =2π
π
5
=10，A 选项错误.
sin(
π
5 × 4
5 -π
4 )=sin(-9π
100)≠0，所以B 选项错误.
若0< x< 25
4 ,0<π
5 x< 5π
4 ,-π
4 <π
5 x -π
4 <π，
所以f (x)在(0, 25
4 )上没有最小值，所以C 选项错误.
sin(
π
5 × 15
4 -π
4 )=sinπ
2 =1，所以D 选项正确.
故选：D
3．已知函数f (x)=2sin(2 x -π
6 )-1，则下列结论中错误的是（ ）
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．函数f (x)的图象关于直线x =π
3 对称
C．函数f (x)在区间[0,π
2 ]上是增函数
D．函数f (x)的图象可由g(x)=2sin2 x -1的图象向右平移π
12个单位得到
【答案】C
【分析】根据周期公式可判断A；代入验证可判断B；根据f (x)在x =π
3 处
取得最大值可判断C；利用平移变换即可判断D.
【详解】对于A，T = 2π
2 =π，A 正确，不符合题意；
对于B，因为f(
π
3 )=2sin(2×π
3 -π
6 )-1=2sinπ
2 -1=1，
当x =π
3 时，f (x)取得最大值，故函数f (x)的图象关于直线x =π
3 对称，B 正
确，不符合题意；
对于C，由上知f (x)在x =π
3 处取得最大值，故在区间[0,π
2 ]上不可能单调
递增，C 错误，符合题意；
对于D，将g(x)=2sin2 x -1的图象向右平移π
12个单位得
y =2sin2(x -π
12)-1=2sin(2 x -π
6 )-1，故D 正确，不符合题意.
故选：C
4．已知函数f (x)=sin(ωx -π
3 )(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x)图象
的一个对称中心为（ ）．
A．(-π
6 ,0)
B．(
π
3 ,0)
C．(-π
3 ,0)D．
(- 2π
3 ,0)
【答案】C
【分析】根据最小正周期得到ω=2，得到解析式，进而得出对称中心，即
得解.
【详解】由函数f (x)的最小正周期T = 2π
ω =π，得ω=2，所以
f (x)=sin(2 x -π
3 )．
由2 x -π
3 =k π(k ∈Z)，得x = k π
2 +π
6
(k ∈Z)，
所以函数f (x)图象的对称中心为(
k π
2 +π
6 ,0)(k ∈Z)．
显然当k =-1时，一个对称中心为(-π
3 ,0)，其他选项均不合要求．
故选：C．
5．已知函数f (x)=sin(2 x -π
6 )，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数f (x)的图象关于(
5π
12 ,0)中心对称
B．函数f (x)的图象关于直线x =π
8 对称
C．函数f (x)在区间(-π,π)内有4 个零点
D．函数f (x)在区间[-π
2 ,0]上单调递增
【答案】C
【分析】A 选项，计算出f(
5π
12 )=
❑√3
2 ≠0，A 错误；B 选项，计算出
f(
π
8 )=sinπ
12 ≠±1，B 错误；C 选项，求出- 13π
6
≤2 x -π
6 ≤11π
6
，求出
2 x -π
6 =-2π，-π，0，π，可得到零点个数；D 选项，整体法求出函数的单
调递增区间，作出判断.
【详解】A 选项，f(
5π
12 )=sin(2× 5π
12 -π
6 )=sin 2π
3 =
❑√3
2 ≠0，A 错误；
B 选项，f(
π
8 )=sin(2×π
8 -π
6 )=sinπ
12 ≠±1，B 错误；
C 选项．当(-π,π)时，函数- 13π
6
<2 x -π
6 < 11π
6
，
当2 x -π
6 =-2π，-π，0，π时，sin(2 x -π
6 )=0，
解得x =-11π
12 或x =-5π
12 或x =π
12或x =7π
12 ，有4 个零点，C 正确；
D 选项，由-π
2 +2k π≤2 x -π
6 ≤π
2 +2k π，k ∈Z，
解得- π
6 + k π ≤x ≤π
3 + k π ,k ∈Z
所以f (x)单调递增区间为[-π
6 + k π,π
3 +k π]，k ∈Z，
令k =0，得[- π
6 , π
3 ]，k =-1，得[- 7π
6 ,- 2π
3 ]
所以f (x)在区间[-π
2 ,0]上不是单调递增的，D 错误．
故选：C．
6．函数f (x)=2cos
2 x -1的相邻两条对称轴间的距离是（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
【答案】C
【分析】首先化解函数的解析式，再根据对称轴间的距离和周期的关系，
即可求解.
【详解】函数f (x)=2cos
2 x -1=cos2 x，
∴函数的周期T = 2π
2 =π
由于相邻两对称轴的距离是周期的一半，即π
2 .
则函数相邻两条对称轴间的距离是π
2 ．
故选：C
7．关于函数f (x)=2sin(2 x -π
3 )，下列选项中是f (x)对称中心的有（ ）
A．(
π
3 ,0) B．(
π
2 ,0)
C．(
π
6 ,0)
D．(-π
6 ,0)
【答案】C
【分析】先求出函数对称中心，再逐项检验即可求解.
【详解】令2 x -π
3 =k π,k ∈Z,解得x = k π
2 +π
6 ，故f (x)对称中心为
(
k π
2 +π
6 ,0),k ∈Z，
经检验只有k =0，(
π
6 ,0)符合题意.
故选：C
8．已知函数f ( x)=sin(2 x -π
3 )，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数f ( x)的最小正周期T =2π
B．函数f ( x)的图象关于点(5π
12 ,0)中心对称
C．函数f ( x)的图象关于直线x =π
6 对称
D．函数f ( x)在区间[0,π
4 ]上单调递增
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，函数f ( x)=sin(2 x -π
3 )的最小正周期T = 2π
2 =π，A 错
误；
对于B，由f ( 5π
12 )=sin(2× 5π
12 -π
3 )=1≠0，得函数f(x)的图象不关于点
(5π
12 ,0)对称，B 错误；
对于C，由f (π
6 )=sin(2×π
6 -π
3 )=0≠±1，得函数f(x)的图象不关于直线
x =π
6 对称，C 错误；
对于D，当x∈[0,π
4 ]时，2 x -π
3 ∈[-π
3 ,π
6 ]，而正弦函数y =sin x在
[-π
3 ,π
6 ]上单调递增，
因此函数f ( x)在区间[0,π
4 ]上单调递增，D 正确.
故选：D
9．关于函数f (x)=sin(
π
3 -2 x)，下面结论成立的是（ ）
A．f (x)在区间[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为-
❑√3
2
B．f (x)在区间(0,π
6 )上单调递增
C．f (x)= f(
2π
3 - x)
D．f (x)的图象关于点(
2π
3 ,0)对称
【答案】D
【分析】根据x的范围计算π
3 -2 x的整体范围，求出函数f (x)的最大值，从
而判断A；将f (x)变换为f (x)=-sin(2 x -π
3 )，根据所给范围以及复合函数单调
性可判断B；化简f(
2π
3 - x)可判断C 选项；根据正弦函数的对称性求出函数
f (x)的对称中心可判断D.
【详解】解：A 选项：因为x∈[
π
6 ,π
2 ]，所以π
3 -2 x∈[-2π
3 ,0]，则
sin(
π
3 -2 x)∈[-1,0]，
即f (x)在区间[
π
6 ,π
2 ]上的最大值为0.故A 不正确；
B 选项：因为x∈(0,π
6 )，则2 x -π
3 ∈(-π
3 ,0)，所以y=sin(2 x -π
3 )在
(0,π
6 )上单调递增，
f (x)=-sin(2 x -π
3 )，所以f (x)在(0,π
6 )上单调递减，故B 不正确；
C 选项：f(
2π
3 - x)=sin(
π
3 -2(
2π
3 - x))=-sin 2 x≠f (x)，故C 不正确；
D 选项：当x =2π
3 时，f (x)=sin(
π
3 -2×2π
3 )=sin (-π)=0，所以(
2π
3 ,0)
为f (x)的图象的对称中心，故D 正确.
故选：D
5 题型五、正弦函数的单调性1．函数f (x)=sin(
1
3 x -π
3 )的一个
单调增区间为（ ）
A．[- 3π
2 ,π]
B．[
5π
2 ,3π]
C．[- 5π
6 ,-π
2 ]
D．[-π
2 , 5π
2 ]
【答案】D
【分析】整体代换法求出函数的单调递增区间，逐项检验即可.
【详解】由-π
2 +2k π≤1
3 x -π
3 ≤π
2 +2k π，（k ∈Z），解得
-π
2 +6k π≤x ≤5π
2 +6k π，（k ∈Z），
所以f (x)=sin(
1
3 x -π
3 )的单调增区间为[-π
2 +6k π,5π
2 +6k π]，（
k ∈Z），
当k =0时，f (x)=sin(
1
3 x -π
3 )的单调增区间为[-π
2 , 5π
2 ]，
当k =1时，f (x)=sin(
1
3 x -π
3 )的单调增区间为[
11π
2
, 17π
2 ]，
当k =-1时，f (x)=sin(
1
3 x -π
3 )的单调增区间为[-13π
2
,- 7π
2 ]，
经检验，只有[-π
2 , 5π
2 ]符合题意，即函数f (x)=sin(
1
3 x -π
3 )的一个单调
增区间为[-π
2 , 5π
2 ].
故选：D
2．已知函数f (x)=2sin(ωx +π
6 )(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离为
π
2 ，则（ ）
A．f (x)的周期为π
2
B．f (x)在[- 5π
12 ,π
12]上单调递增
C．f (x)的图象关于点(
2π
3 ,0)对称
D．f (x)的图象关于直线x =π
6 对称
【答案】D
【分析】根据题意求得函数周期，判断A；进而确定ω，可得函数解析式，
利用正弦函数单调性判断B；根据正弦函数的对称性可判断C，D.
【详解】由题意函数f (x)=2sin(ωx +π
6 )(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间
的距离为π
2 ，
故函数周期为T =2×π
2 =π，A 错误；
则ω= 2π
π
=2,f (x)=2sin(2 x +π
6 )，
当x∈[- 5π
12 ,π
12]时，2 x +π
6 ∈[-2π
3 ,π
3 ]，
因为函数y =sin x在[-2π
3 ,π
3 ]上不单调，故f (x)在[- 5π
12 ,π
12]上不单调递
增，B 错误；
因为f(
2π
3 )=2sin3π
2 =-2，此时函数取到最小值，
故f (x)的图象不关于点(
2π
3 ,0)对称，C 错误；
f(
π
6 )=2sinπ
2 =2，此时函数取到最大值，f (x)的图象关于直线x =π
6 对称，
D 正确，
故选：D
3．函数y =-3sin(2 x -π
6 )的单调递增区间是（ ）
A．[k π+π
3 ,k π+ 5π
6 ],k ∈Z B．[k π-π
6 ,k π+π
3 ],k ∈Z
C．[2k π+π
3 ,2k π+ 5π
6 ],k ∈Z
D．[2k π-π
6 ,2k π+π
3 ],k ∈Z
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行
求解.
【详解】因为y =-3sin(2 x -π
6 )，由
π
2 +2k π≤2 x -π
6 ≤3π
2 +2k π,(k ∈Z)有：
π
3 + k π≤x ≤5π
6 +k π,(k ∈Z)，故B，C，D 错误.
故选：A.
4．函数f (x)=2sin(x +π
3 ), x∈[0,π]的单调减区间是（ ）
A．[0,π
6 ] B．[0,π
2 ]
C．[
π
6 ,2π
3 ]
D．[
π
6 ,π]
【答案】D
【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.
【详解】令π
2 +2k π≤x +π
3 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z,所以
π
6 +2k π≤x ≤7π
6 +2k π,k ∈Z，
当k =0,π
6 ≤x ≤7π
6 ，由于[
π
6 ,π]⊆[
π
6 , 7π
6 ]，故D 正确，ABC 均错误，
故选：D
5．函数y =3sin(
π
6 -2 x)的单调递增区间是（ ）
A．[k π+π
3 ,k π+ 5π
6 ],k ∈Z B．[k π-π
6 ,k π+π
3 ],k ∈Z
C．[2k π+π
3 ,2k π+ 5π
6 ],k ∈Z
D．[2k π-π
6 ,2k π+π
3 ],k ∈Z
【答案】A
【分析】根据正弦函数的性质、复合函数的单调性以及整体代换技巧进行
求解.
【详解】函数y =3sin(
π
6 -2 x)=-3sin(2 x -π
6 )，
由π
2 +2k π≤2 x -π
6 ≤3π
2 +2k π,(k ∈Z)，有
π
3 + k π≤x ≤5π
6 +k π,(k ∈Z)，
所以函数y =3sin(
π
6 -2 x)的单调递增区间是[k π+π
3 ,k π+ 5π
6 ],k ∈Z.
故选：A.
6．若函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )(1<ω<3)的一条对称轴为x =- 5π
12 ，则（ ）
A．ω=2
B．f ( x)的最小正周期为2π
C．f ( x)在区间[- 5π
12 ,π
6 ]单调递增D．f (2023π)= 1
2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦函数图象的对称性求出ω，再逐项判断
即可.
【详解】由函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )的一条对称轴为x =- 5π
12 ，得
- 5π
12 ω+π
3 =k π-π
2 ,k ∈Z，
解得ω=- 12
5 k +2,k ∈Z，而1<ω<3，则k =0,ω=2，A 正确；
显然f ( x)=sin(2 x +π
3 )的最小正周期是π，B 错误；
当x∈[- 5π
12 ,π
6 ]时，2 x +π
3 ∈[-π
2 ,2π
3 ]，而正弦函数y =sin x在
[-π
2 ,2π
3 ]上不单调，
因此函数f ( x)在区间[- 5π
12 ,π
6 ]上不单调，C 错误；
f (2023π)= f (0)=sinπ
3 =
❑√3
2 ，D 错误.
故选：A
7．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(
π
2
,π)上单调递减的
是（ ）
A．y =|sin x|
B．y =cos x
C．y =sin2 x
D．y =cos2 x
【答案】A
【分析】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选
项.
【详解】对于A 选项，作出函数y =|sin x|的图象如下图所示：
由图可知，函数y =|sin x|的最小正周期为π，且该函数在(
π
2 ,π)上单调
递减，A 满足条件；
对于B 选项，函数y =cos x的最小正周期为2π，且该函数在(
π
2
,π)上单
调递减，B 不满足条件；
对于C 选项，函数y =sin2 x的最小正周期为2π
2 =π，
当π
2 < x<π时，π<2 x<2π，则函数y =sin2 x在(
π
2 ,π)上不单调，C 不
满足条件；
对于D 选项，函数y =cos2 x的最小正周期为2π
2 =π，
当π
2 < x<π时，π<2 x<2π，则函数y =cos2 x在(
π
2
,π)上单调递增，D
不满足条件.
故选：A.
8．已知函数f (x)= ❑√3sin2 x -cos2 x，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数f (x)的最大值是❑√3
B．函数f (x)在[-π
6 ,π
3 ]上单调递增
C．该函数的最小正周期是2π
D．该函数向左平移π
6 个单位后图象关于原点对称
【答案】B
【分析】根据题意，化简函数f (x)=2sin(2 x -π
6 )，结合三角函数的图象
与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数f (x)= ❑√3sin2 x -cos2 x =2sin(2 x -π
6 )，
可得最大值是2，最小正周期是π，所以选项A，C 错误；
当x∈[-π
6 ,π
3 ]，可得2 x -π
6 ∈[-π
2 ,π
2 ]，根据正弦函数的性质，
可得函数f (x)=2sin(2 x -π
6 )在[-π
6 ,π
3 ]上单调递增，所以B 正确；
将函数f (x)图象向左平移π
6 得到函数f (x)=2sin(2 x +π
6 )，
此时函数f (x)的图象不关于原点对称，所以D 错误.
故选：B．
9．已知函数f (x)=2cos
2ωx + ❑√3sin 2ωx -1（ω<0）的最小正周期为π，则
（ ）
A．其图象关于点(
π
3 ,0)对称
B．函数f (x)在[1,2]上为增函数
C．函数f (x)在区间(0,1)上单调
D．其图象关于直线x = 5π
12 对称
【答案】C
【分析】A 项，求出函数的表达式，代入x =π
3 即可得出结论；B 项，求出
函数的单调区间即可得出结论；C 项，根据单调区间即可得出在区间(0,1)上是
否单调；D 项，求出函数的对称轴即可得出图象是否关于直线x = 5π
12 对称.
【详解】由题意，
在f (x)=2cos
2ωx + ❑√3sin 2ωx -1中，ω<0，
f (x)=cos2ωx + ❑√3sin 2ωx =2sin(2ωx +π
6 )，
∵最小正周期为π，
∴T =π,ω=- 2π
2T =-1，f (x)=2sin(-2 x +π
6 )=-2sin(2 x -π
6 )，
A 项，当x =π
3 时，f(
π
3 )=-2sin(2×π
3 -π
6 )=-2≠0，
故A 错误；
B 项，当2k π-π
2 ≤2 x -π
6 ≤2k π+π
2
(k ∈Z)即
k π-π
6 ≤x ≤k π+π
3
(k ∈Z)时函数单调递减，当k π+π
3 ≤x ≤k π+5π
6
(k ∈Z)
时单调递增，
∴函数在[1,π
3 ]上为减函数，在[
π
3 ,2]上为增函数，故B 错误；
C 项，函数在(0,π
3 )上单调递减，故在区间(0,1)上单调，
故C 正确；
D 项，函数的对称轴为2 x -π
6 =k π+π
2
(k ∈Z)即x = 1
2 k π+π
3
(k ∈Z)，
∴x = 5π
12 不是函数的对称轴，故不对称，D 错误；
故选：C.
10．已知函数f (x)= ❑√2sin(2 x +π
4 )，则下列说法中，正确的是（ ）
A．f (x)的最小值为-1
B．f (x)在区间[-π
4 ,π
4 ]上单调递增
C．f (x)的最小正周期为2π
D．f (x)的图象可由g(x)= ❑√2cos2 x的图象向右平移π
8 个单位得到
【答案】D
【分析】由正弦型函数的解析式结合正弦函数的性质，求最小值单调区间
和最小正周期，由函数图象的平移求解析式.
【详解】函数f (x)= ❑√2sin(2 x +π
4 )，
因为-1≤sin(2 x +π
4 )≤1，所以- ❑√2≤f (x)≤❑√2，所以f (x)min=- ❑√2，故A 错
误；
当x∈[-π
4 ,π
4 ]时2 x +π
4 ∈[-π
4 ,3π
4 ]，因为y =sin x在[-π
4 ,3π
4 ]上不
单调，
所以f (x)在区间[-π
4 ,π
4 ]上不单调，故B 错误；
f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π，故C 错误；
将g(x)= ❑√2cos2 x的图象向右平移π
8 个单位，
得到
y = ❑√2cos2(x -π
8 )= ❑√2cos(2 x -π
4 )= ❑√2cos[(2 x +π
4 )-π
2 ]= ❑√2sin(2 x +π
4 )，
故D 正确.
故选：D.
