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第2 讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思
想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，
能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
例1 (1)已知函数f(x)={ |lo g1
2
x|，x>0，
x
2+2 x +2，x ≤0，
函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足
x1<x2<x3<x4，则x4
x3
- x1 x3
2+ x2 x3
2
2
的取值范围是( )
A.(2，+∞)
B.(
17
4 ，257
16 ]
C.[2，17
4 )
D.[2，+∞)
思路分析 函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点→y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点→画出y=f(x)
的图象与y=b 的图象，结合函数图象，可得x1+x2=-2，x3x4=1，x4
x3
- x1 x3
2+ x2 x3
2
2
= x4
x3
-( x1+ x2)x3
2
2
= x4
x3
+x3
2 = 1
x3
2+
x3
2→利用单调性求解即可.
答案 B
解析 f(x)={
|lo g1
2
x|，x>0，
x
2+2 x +2，x ≤0
={
|lo g1
2
x|，x>0，
( x +1)
2+1，x ≤0，
由二次函数的对称性，可得x1+x2=-2，
由lo g1
2x3=-lo g1
2x4 ，可得x3x4=1，
函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点，
等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点，
画出y=f(x)的图象与y=b 的图象，如图.
由图可得1<b≤2，
∴1<lo g1
2x3≤2⇒x3∈[
1
4 ，1
2)，
∴
x4
x3
- x1 x3
2+ x2 x3
2
2
=
x4
x3
-( x1+ x2)x3
2
2
= x4
x3
+x3
2 = 1
x3
2+x3
2，
令t=x3
2，则t∈[
1
16 ，1
4)，
∴
1
x3
2+x3
2=1
t +t 的取值范围是(
17
4 ，257
16 ].
(2)已知函数f(x)={
- x
2+2 x，x ≤0，
ln( x +1)，x>0，若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是( )
A.(-∞，0]
B.(-∞，1]
C.[-2，1]
D.[-2，0]
思路分析 作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax 的图象→结合图象可知直线y=ax 介于切线l 与x 轴之间→利
用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解.
答案 D
解析 由题意可作出函数y=|f(x)|的图象和函数y=ax 的图象，如图所示.
由图象可知，函数y=ax 的图象是过原点的直线，
函数y=|f(x)|在区间(-∞，0]上的解析式为y=x2-2x，
求其导数可得y'=2x-2，当x=0 时，y'=-2，
故y=x2-2x 在原点处的切线l 的斜率为-2，
当直线y=ax 介于l 与x 轴之间时，符合题意，
故直线y=ax 的斜率a 的取值范围是[-2，0].
[规律方法] 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数
y=f(x)与y=g(x)图象的位置关系.
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一
些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等.
例2 若|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的取值范围是( )
A.[0，2√2+2]
B.[0，2]
C.[2√2-2，2√2+2]
D.[2√2-2，2]
思路分析 作以O 为圆心，2 为半径的圆→a，b，c 的终点在圆上→∠AOB=90°→点C 在劣弧AB 上→作
a+b=⃗OD→求|⃗CD|的最值.
答案 D
解析 ∵|a|=|b|=|c|=2，且a·b=0，∴a，b，c 的终点在圆上，且a⊥b，如图所示，令⃗OA=a，⃗
OB=b，⃗OC=c，⃗OD=a+b，
∵(a-c)·(b-c)≤0，
∴点C 在劣弧AB 上运动，
∴|a+b-c|表示C，D 两点间的距离|⃗CD|.
|⃗CD|的最大值是|⃗AD|=|⃗BD|=2，
|⃗CD|的最小值为|⃗OD|-2=2√2-2.
∴|a+b-c|的取值范围是[2√2-2，2].
[规律方法] 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑
直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——
可考虑两点间的距离.
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
例3 已知点P∈{( x，y)||y|≤|
y
x|≤|ln x|}，则点P 到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为
.
思路分析 由函数y=xln x 与y=-xln x 的图象可知，点P 位于图中阴影部分区域→点P 到直线x-y-
m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x 上切线斜率为1 的点到直线x-y-1=0 的距离的一半→求解即
可.
答案 √2(e
2+1)
4 e
2
解析 由|y|≤|
y
x|≤|ln x|，
得0<x≤1，又|
y
x|≤|ln x|，
当y≥0 时，y≤-xln x，当y<0 时，y≥xln x，
令F(x)=xln x，F(x)的定义域为(0，+∞)，
令F'(x)=ln x+1=0，解得x=1
e ，
由F'(x)>0，可得x>1
e ，
由F'(x)<0，可得0<x<1
e ，
所以F(x)在(0，1
e)上单调递减，在(
1
e ，+∞)上单调递增，
则F(x)min=F(
1
e)=1
e ln1
e =-1
e .
作出函数F(x)=xln x 与G(x)=-xln x 的图象如图，
由此可知，点P 位于图中阴影部分区域，
则点P 到直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为函数y=-xln x 上切线斜率为1 的点到直线x-y-1=0 的距
离的一半.
y=-xln x⇒y'=-ln x-1，
设-ln x0-1=1，得x0=e-2，
则点(e-2，2e-2)到直线x-y-1=0 的距离为|e
-2-2e
-2-1|
√2
=e
-2+1
√2
=√2(e
2+1)
2e
2
.
故点P 到动直线x-y-m=0(m∈R)的最大距离的最小值为1
2×√2(e
2+1)
2e
2
=√2(e
2+1)
4 e
2
.
[规律方法] 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数解析式求解，但一味地强调函
数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·长沙检测)已知a 是单位向量，向量b 满足|a-b|=3，则|b|的最大值为( )
A.2
B.4
C.3
D.1
答案 B
解析 设⃗OA=a，⃗OB=b，
因为|a-b|=3，
即|⃗OA-⃗OB|=|⃗BA|=3，
即|⃗AB|=3，
所以点B 在以A 为圆心，3 为半径的圆上，如图所示.
又a 是单位向量，则|⃗OA|=1，
故|⃗OB|的最大值为|⃗OA|+|⃗AB|=1+3=4，即|b|的最大值为4.
2.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R 上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0 的x 的
取值范围是( )
A.[-1，1]∪[3，+∞)
B.[-3，-1]∪[0，1]
C.[-1，0]∪[1，+∞)
D.[-1，0]∪[1，3]
答案 D
解析 因为函数f(x)为定义在R 上的奇函数，
则f(0)=0.
又f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(2)=0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0 时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≤0，
得-1≤x≤0.
当x>0 时，要满足xf(x-1)≥0，则f(x-1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x-1)≥0 的x 的取值范围是[-1，0]∪[1，3].
3.(2025·北京模拟)已知定点A(3，0)，B(0，4)，若点C 在圆O：x2+y2=4 上运动，则2|CA|+|CB|的最小值为(
)
A.2√10
B.6
C.2+2√5
D.2+2√13
答案 A
解析 设点C(x，y)，
则|CB|=√x
2+( y - 4)
2=2√5-2 y，
设点D(0，t)，且|CD|=1
2|CB|，
∴√x
2+( y -t )
2=√4 +t
2-2ty=√5-2 y，
解得t=1，∴存在点D(0，1)，使得|CD|=1
2|CB|，
∴2|CA|+|CB|=2(|CA |+ 1
2 |CB|)=2(|CA|+|CD|)≥2|AD|(当且仅当A，C，D 三点共线且点C 在点A，D 之间
时取等号)，
∴(2|CA|+|CB|)min=2|AD|=2√(3-0)
2+(0-1)
2=2√10.
4.(2025·德阳期末)已知函数f(x)=|2x-3|，若关于x 的方程[f(x)]2-2mf(x)+3=0 有4 个不同的实数根，则实数m 的
取值范围是( )
A.(-∞，-√3)∪(√3，+∞)
B.(-∞，-√3)∪(√3，2)
C.(√3，+∞)
D.(√3，2)
答案 D
解析 令t=f(x)=|2x-3|，则关于t 的方程t2-2mt+3=0 在(0，3)内有两个不同的实数根，
则{
Δ=(2m)
2- 4×3>0，
0<m<3，
3
2-2m×3+3>0，
解得√3<m<2.
5.已知椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E：(x-4)2+(y-3)2=1
上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为( )
A.5√2+3
B.5√2-3
C.3√2+5
D.3√2-5
答案 D
解析 如图，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E 上任意一点，
则|MF1|+|MF2|=4，|MN|≥|ME|-1，当且仅当M，N，E 三点共线且点N 在点M，E 之间时，等号成立，
∴|MN|-|MF1|=|MN|-(4-|MF2|)=|MN|+|MF2|-4≥|ME|+|MF2|-5≥|EF2|-5，
当且仅当M，N，E，F2四点共线且点M，N 在点F2，E 之间时，等号成立.
∵F2(1，0)，E(4，3)，
则|EF2|=√(4 -1)
2+(3-0)
2=3√2，
∴|MN|-|MF1|的最小值为3√2-5.
6.已知函数f(x)={
x
x -2 ，x<a，
2
x -2，x ≥a，
若对任意的b∈(-1，+∞)，关于x 的方程f(x)=b 都有实数根，则实数a 的
取值范围是( )
A.(-∞，0]
B.(-∞，0]∪[1，+∞)
C.(-∞，0]∪[1，2)
D.(-∞，0]∪[1，log23]
答案 D
解析 ∵y= x
x -2的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞)，∴a≤2.
∵y= x
x -2= x -2+2
x -2 =1+ 2
x -2在(-∞，a)上单调递减，且当x→-∞时，y→1，
y=2x-2 在[a，+∞)上单调递增，且当x→+∞时，y→+∞，
∴可作出y= x
x -2(x<2)和y=2x-2 的图象，如图所示，
∵对于任意的b∈(-1，+∞)，关于x 的方程f(x)=b 都有实数根，
∴当a=2 时，y=2x-2≥2，则当b∈[1，2)时，方程f(x)=b 没有实数根，不符合题意；
当a<2 时，令2a-2≤-1 或{
-1<2
a-2≤1，
a
a-2 ≤-1，
解得a≤0 或1≤a≤log23.
综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，0]∪[1，log23].
7.已知函数f(x)=cos ωx-√3sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间[0，2π ]上有且仅有4 个零点和1 个极大值点，则ω
的取值范围是( )
A.[
5
3 ，23
12)
B.[
19
12 ，13
6 )
C.[
5
3 ，13
6 )
D.[
19
12 ，11
6 )
答案 D
解析 f(x)=cos ωx-√3sin ωx
=2cos(ωx + π
3)，
令t=ωx+π
3 ，由x∈[0，2π]，
则t∈[
π
3 ，2π ω+ π
3]，
因为f(x)在区间[0，2π]上有且仅有4 个零点和1 个极大值点，
即y=2cos t 在[
π
3 ，2π ω+ π
3]上有且仅有4 个零点和1 个极大值点.
作出y=2cos t 的图象(如图所示)，
则7 π
2 ≤2πω+π
3 <4π，解得19
12≤ω<11
6 ，故ω 的取值范围是[
19
12 ，11
6 ).
8.(2025·北京海淀区模拟)已知函数f(x)={
|ln x|，x>0，
e
x，x ≤0，
若函数g(x)=f(x)-|x-k|恰有2 个零点，则实数k 的取
值范围是( )
A.[-1，e)
B.(-∞，-1]∪[e，+∞)
C.(-1，1]
D.(-∞，-1)∪[1，+∞)
答案 C
解析 由题意知，要使得g(x)=f(x)-|x-k|恰有2 个零点，即g(x)=0 有两个实数根.
当x>0 时，g(x)=|ln x|-|x-k|，
令g(x)=0，可得|ln x|=|x-k|；
当x≤0 时，g(x)=ex-|x-k|，
令g(x)=0，可得|x-k|=ex.
在同一坐标系下，作出函数y=|ln x|，y=ex(x≤0)和y=|x-k|的图象，
如图所示，
由函数y=ln x，可得y'=1
x ，
则当x=1 时，y=0，y'=1，
故函数y=ln x 在x=1 处的切线方程为y=x-1.
又由函数y=-ln x，可得y'=-1
x ，
则当x=1 时，y=0，y'=-1，
故函数y=-ln x 在x=1 处的切线方程为y=-x+1，
所以函数y=|ln x|的图象与y=|x-1|的图象只有一个公共点，
结合图象得，当k≤-1 时，g(x)恰有3 个零点；
当-1<k≤1 时，g(x)恰有2 个零点；
当k>1 时，g(x)恰有3 个零点，
要使得g(x)恰有2 个零点，则满足-1<k≤1，
所以实数k 的取值范围为(-1，1].
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·昆明模拟)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，
其中共有12 名同学参加拔河、4 人足球、羽毛球三个项目，其中有8 人参加“拔河”，有7 人参加“4 人
足球”，有5 人参加“羽毛球”，“拔河和4 人足球”都参加的有4 人，“拔河和羽毛球”都参加的有3
人，“4 人足球和羽毛球”都参加的有3 人，则( )
A.三项都参加的有1 人
B.只参加拔河的有3 人
C.只参加4 人足球的有2 人
D.只参加羽毛球的有4 人
答案 BC
解析 根据题意，设A={x|x 是参加拔河的同学}，B={x|x 是参加4 人足球的同学}，C= {x|x 是参加羽毛球的
同学}，
则card(A)=8，card(B)=7，card(C)=5，
又card(A∩B)=4，card(A∩C)=card(B∩C)=3，
所以card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2，
所以三项都参加的有2 人，只参加拔河的有3 人，只参加4 人足球的有2 人，只参加羽毛球的有1 人.
10.(2025·大连模拟)如图所示，线段AB 是☉C 的弦，其中AB=6，AC=5，点D 为☉C 上任意一点，则以下结
论正确的有( )
A.|⃗AD|≤10
B.⃗AC·⃗AB=18
C.当⃗AB·⃗AD=18 时，sin∠DAB=3√10
10
D.⃗AB·⃗AD的最大值是36
答案 AB
解析 对于A，|⃗AD|=|⃗AC+⃗CD|≤|⃗AC|+|⃗CD|=10，当且仅当A，C，D 共线时取等号，A 正确；
对于B，过点C 作CE⊥AB 于点E，交☉C 于点F，G，则E 是AB 的中点，AE=3，CE=4，⃗
AC·⃗AB=|⃗AE||⃗AB|=18，B 正确；
对于C，当⃗AB·⃗AD=18 时，
|⃗AB||⃗AD|cos∠DAB=18，
解得|⃗AD|cos∠DAB=3，
由选项B 知，|⃗AD|cos∠DAB=|⃗AE|，此时点D 与点F，G 之一重合，
当点D 与点F 重合时，DE=9，AD=3√10，sin∠DAB=3√10
10
，
当点D 与点G 重合时，DE=1，AD=√10，sin∠DAB=√10
10 ，C 错误；
对于D，⃗AB·⃗AD=⃗AB·(⃗AC+⃗CD)=⃗AB·⃗AC+⃗AB·⃗CD=18+⃗AB·⃗CD≤18+|⃗AB||⃗CD|=48，
当且仅当⃗CD与⃗AB同向共线时取等号，D 错误.
11.已知函数f(x)={
|lo g2 x|，0< x<2，
x
2-8 x +13，x ≥2，
若f(x)=a 有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且满足x1<x2<x3<x4，
则下列命题正确的是( )
A.0<a<1
B.x1x2=1
C.x1+x2+x3+x4的取值范围是[10，21
2 )
D.2x1+x2的取值范围是[2√2，3)
答案 ABD
解析 函数f(x)的图象如图所示，方程f(x)=a 的根可以转化为函数f(x)与y=a 图象交点的横坐标，由图可知
0<a<1，故A 正确；
由题意可知-log2x1=log2x2，即log2x1x2=0，解得x1x2=1，故B 正确；
函数y=x2-8x+13 图象的对称轴为直线x=4，所以x3+x4=8，又x1x2=1，
所以x1+x2+x3+x4=8+ 1
x2
+x2，
由图知1<x2<2，
函数g(x2)=8+ 1
x2
+x2在(1，2)上单调递增，g(1)=10，g(2)=21
2 ，所以x1+x2+x3+x4的取值范围是(10，21
2 )，
故C 错误；
2x1+x2= 2
x2
+x2，函数h(x2)= 2
x2
+x2在(1，√2)上单调递减，在(√2，2)上单调递增，h(√2)=2√2，h(1)=3，
h(2)=3，
所以2x1+x2的取值范围是[2√2，3)，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.若关于x 的方程a|x|-x2+m=0(0<a<1)有两个实数根，则实数m 的取值范围是 .
答案 (-1，+∞)
解析 方程a|x|-x2+m=0 化为a|x|=x2-m，在同一坐标系里画出函数y=a|x|(0<a<1)与y=x2-m 的大致图象如图所示，
观察图象易知，当-m<1，即m>-1 时，两个函数的图象有两个交点，故所求实数m 的取值范围是(-1，+∞).
13.若函数f(x)=√1- x
2-k(x-1)-4 有两个零点，则实数k 的取值范围是 .
答案 (
15
8 ，2]
解析 令f(x)=√1- x
2-k(x-1)-4=0，
则√1- x
2=k(x-1)+4，
又因为y=√1- x
2≥0，
即x2+y2=1(y≥0)，表示单位圆位于x 轴上及上方的部分.
而y=k(x-1)+4 表示过点(1，4)且斜率为k 的直线，
所以将问题转化为半圆x2+y2=1(y≥0)与直线y=k(x-1)+4 有两个交点，
当直线与半圆相切时，|4 - k|
√1+k
2=1，
解得k=15
8 ，
当直线过点(-1，0)时，-2k+4=0，解得k=2，
综上，实数k 的取值范围是(
15
8 ，2].
14.已知平面向量a，b 满足|a|=1
2|b|=a·b=1，2|c|2=b·c，则|c-a|2+|c-b|2的最小值是 .
答案 7
2-√3
解析 令⃗OA=a，⃗OB=b，⃗OC=c，OB 的中点为D，OD 的中点为F，AB 的中点为E，
由|a|=1
2|b|=a·b=1，得a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2cos〈a，b〉=1，
即cos〈a，b〉=1
2，即∠AOB=60°，
所以AB=√2
2+1
2-2=√3，
即有AO2+AB2=OB2，
即∠OAB=90°，∠ABO=30°，
故EF=√B F
2+ B E
2-2BF·BE cos∠ABO=√3
2 ，
由2|c|2=b·c，
即2⃗OC·⃗OC-⃗OB·⃗OC=2⃗OC·(⃗OC - 1
2⃗OB)=2⃗OC·(⃗OC-⃗OD)=2⃗OC·⃗DC=0，即有OC⊥CD，故点C 的轨迹为
以OD 为直径的圆，
由CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC，
CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos(180°-∠BEC)，
故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2，
则|c-a|2+|c-b|2=CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2=3
2+2CE2，又CE≥EF-1
2OD=√3
2 -1
2，
当且仅当F，C，E 三点共线，且点C 在点F，E 之间时，等号成立，
故|c-a|2+|c-b|2=3
2+2CE2≥3
2+2(
√3
2 - 1
2)
2
=7
2-√3.
