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专题 17.2 勾股定理的应用
◆ 思想方法
数形结合思想：是把数、式图形结合起来用代数的方法分析图形，图形的来直观的理解数、式的关
系，称作数形结合。数形结合思想是中学一个重要的思想方法，其对解题和分析问题有很大的意义。有些
时候通过题意直接分析题求解时很不直观，不能直接找到突破口；或者求解时计算量很大、很费时间；或
者有时根本就无法求解。这个时候就要求我们学会分析转化题意的能力了，因此恰当的运用数形结合思想
就显得很有必要了，灵活的运用属性思想不仅可以化解题目难度，还可以做到快、准等意想不到的收获。
◆ 典例分析
【典例1】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，
其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，∠DAB=∠B=90°，
AC⊥DE．请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面
积之间的关系，可得到勾股定理：
S =______，
梯形ABCD
S =______，
△EBC
S =______，
四边形AECD
则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理a2+b2=c2．
知识运用：
（1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为______千
米（直接填空）；（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使
得PC=PD，求出AP的距离．
知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式❑√x2+9+❑√(16−x) 2+81的最小值(0”“<”“=”）；
（2）若CF=5米，AF=12米，AB=4米，求男孩需向右移动的距离CE（结果保留根号）．
【思路点拨】
（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出AC、BC的长，然后根据CE=AC−BC即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵AC的长度是男孩未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保
持不变，
∴AC=BC+CE，
（2）解：连接AB，则点A、B、F三点共线，
在Rt△CAF中，AC=❑√AF2+CF2=❑√122+52=13（米)，
∵BF=AF−AB=12−4=8（米)，
在Rt△CBF中，BC=❑√CF2+BF2=❑√52+82=❑√89（米)，
∵AC=BC+CE，
∴ CE=AC−BC=(13−❑√89)（米)，
∴男孩需向右移动的距离为(13−❑√89)米．
12．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，
当身高1.9m的成年人CD与感应灯A的水平距离为4m时，感应灯刚好亮；当身高0.9m的小朋友EF与感应
灯A的水平距离为3m时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离AB的长．
【思路点拨】
本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、掌握勾股定理是解题的关键．过点C作
CM⊥AB，EN⊥AB交AB于点M、N，则CD=MB=1.9m,EF=BN=0.9m，设AM=xm，则
AN=(x+1)m，在Rt△AMC和Rt△ENA中通过勾股定理列方程求解即可．
【解题过程】
解：过点C作CM⊥AB，EN⊥AB交AB于点M、N，
则CD=MB=1.9m,EF=BN=0.9m，
设AM=xm，则AN=(x+1)m，
由题意得AC=AE，
在Rt△AMC和Rt△ENA中：AC2=CM2+AM2，AE2=AN2+EN2，
∴CM2+AM2=AN2+EN2，
x2+42=(x+1) 2+32
解得x=3，∴AB=AM+MN+BN=4.9m．
13．（2023上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置
在桌面上，AB=BC=6cm，CD=16cm；
（1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？
（2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷
子的最大长度是多少？
【思路点拨】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。
【解题过程】
（1）解：如图所示：
由题意得：AB=BC=6cm，CD=16cm，
∴AC=AB+BC=12cm，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=❑√AC2+CD2=20cm；
∴最短路程是20cm；
（2）将筷子斜着放，
∵AB=BC=6cm，CD=16cm，∴AC=6❑√2cm
∴AD=❑√AC2+CD2=2❑√82cm，
即筷子的最大长度是2❑√82cm．
14．（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两
村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产
品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC
的形状，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设AE=x，则BE=50−x，根据勾
股定理可得：在直角△ADE中，DE2=302+x2，在直角△BCE中，CE2=(50−x) 2+202，则
302+x2=(50−x) 2+202，即可求出AE=20km；进而得出AE=BC=20km，BE=50−20=30km，通过
证明△DAE≌△EBC(SAS)，得出∠AED=∠BCE，推出∠BEC+∠AED=90°，即可得出△DEC是等
腰直角三角形．
【解题过程】
解：设AE=x，则BE=50−x，
在直角△ADE中，DE2=302+x2，
在直角△BCE中，CE2=(50−x) 2+202，
∴302+x2=(50−x) 2+202，
解得：x=20，
即AE=20km；
∴市场E应建在距A的20千米处；
∵AE=BC=20km，BE=50−20=30km，
在△DAE和△EBC中，{
AE=BC
)
∠DAE=∠EBC ，
AD=BE
可得△DAE≌△EBC(SAS)，
∴∠AED=∠BCE，
又∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°
又∵DE=EC，
∴△DEC是等腰直角三角形．
15．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决
几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板
离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为
1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千AD的长度；
（2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千AD往前推送多少米？
【思路点拨】
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
（1）由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则
CD=CE−DE=1m，；设秋千的长度为xm，则AB=AD=xm，AC=AD−CD=(x−1)m，在
Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）当BF=2.6m时，CE=2.6m，则CD=2m，得AC=3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC
的长即可．
【解题过程】
（1）解：由题意得：BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是长方形，
∴CE=BF=1.6m，
∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1m，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为xm，
则AB=AD=xm，AC=AD−CD=(x−1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即(x−1) 2+32=x2，
解得：x=5，
即秋千的长度是5m；
（2）当BF=2.6m时，CE=2.6m，
∵DE=0.6m，
∴CD=CE−DE=2.6−0.6=2m，
由（1）可知，AD=AB=5m，
∴AC=AD−CD=5−2=3m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得： BC=❑√AB2−AC2=❑√52−32=4m，
即需要将秋千AD往前推送4m．
16．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为
100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
（1）现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应
该如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
（2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距
A中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否
超速，并说明理由．【思路点拨】
（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出BD=60，然后利用勾股定理可求出新路AD长
度；
（2）先根据勾股定理求出DE的长，再求出BE的长，然后计算出速度判断即可．
【解题过程】
（1）过点A作AD⊥l，交l于点D．
∵AB=AC，AD⊥l，BC=120
1 1
∴BD= BC= ×120=60，∠ADB=90°
2 2
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由勾股定理得AD2+BD2=AB2
∵AB=100,BD=60，
∴AD=80
∴新路AD长度是80米．
（2）该车超速
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
由勾股定理得AD2+DE2=AE2
∵AE=170，AD=80，∴DE=❑√1702−802=150
∴BE=DE−DB=90
∵该车经过BE区间用时5s
90
∴该车的速度为 =18m/s
5
∵18m/s>16.7m/s
∴该车超速．
17．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受
到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径250km（即以台风中心为圆
心，250km为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路
线，A是某个大型农场，且AB⊥AC．若A，C之间相距300km，A，B之间相距400km．
（1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由；
（2）若台风中心的移动速度为20km/h，则台风影响该农场持续时间有多长？
【思路点拨】
本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结
束影响农场，所移动的距离．
（1）过A作AH⊥BC于H，由勾股定理得BC=500km，由三角形面积公式得到AH=240km，由
AH<250km，判断农场A会受到台风的影响；
（2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，得到AM=AN=250km，由
勾股定理求出MH=NH=70km，得到MN=140km，即可求出台风响该农场持续时间．
【解题过程】
（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下：
过A作AH⊥BC于H，∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴BC=❑√AC2+AB2=❑√3002+4002=500，
1 1
∵△ABC的面积= BC⋅AH= AB⋅AC
2 2
∴500AH=300×400，
∴AH=240(km)，
∵AH<250km，
∴农场A会受到台风的影响；
（2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接AN，AM，
∴AM=AN=250km，
∵AM=AN，AH⊥BC，
∴MH=NH，
由勾股定理得MH=NH=❑√2502−2402=70(km)，
∴MN=2×70=140(km)，
∵台风中心的移动速度为20km/h，
∴台风影响该农场持续时间是140÷20=7（小时）．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处
测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C上有一
部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．（1）求B处离岛C的距离；
（2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．
【思路点拨】
（1）如图1，作CD⊥AB的延长线于D，由题意知，∠CAD=30°，∠CBD=60°，AB=12，由
∠ACB=∠BCD−∠CAD=30°=∠CAD，可得BC=AB=12；
1
（2）如图2，在AB找点M、N，连接CM、CN，使CM=CN=20， 则MD=ND= MN，
2
1
BD= BC=6 ，由勾股定理得CD2=BC2−BD2=108，由勾股定理得，MD=❑√CM2−CD2=2❑√73
2
，即MN=4❑√73，然后求时间即可．
【解题过程】
（1）解：如图1，作CD⊥AB的延长线于D，
由题意知，∠CAD=90°−60°=30°，∠CBD=90°−30°=60°，AB=12，
∵∠ACB=∠BCD−∠CAD=30°=∠CAD，
∴BC=AB=12，
∴B处离岛C的距离为12海里；
（2）解：如图2，在AB找点M、N，连接CM、CN，使CM=CN=20，
1
∴MD=ND= MN，
2
由题意知，∠BCD=30°，BC=12，
1
∴BD= BC=6 ，
2由勾股定理得CD2=BC2−BD2=108，
由勾股定理得，MD=❑√CM2−CD2=2❑√73，
∴MN=4❑√73，
4❑√73 ❑√73
∴ = ，
12 3
❑√73
∴该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为 ．
3
19．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30
海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东75°方向航行，1小时后，甲船接到
命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东60°方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相
遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）甲船从B处行至小岛C的速度．
【思路点拨】
（1）自B作BM⊥AC，垂足为M，根据题意知AB=30，可推知∠BAC=30°，∠MBC=45°，分别在
Rt△ABM与Rt△BCM中依据已知的特殊角、已知边AB，可逐一求出BM、AM、MC、BC的长，于
是AC的长度可求出．
（2）先依据AC的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时
间，最后求得甲船此段航行的速度．
【解题过程】
（1）如图，过点B作BM⊥AC，垂足为M，由题意得，∠BAC=75°−45°=30°，∠ABM=90°−∠BAC=60°，
设BN指示南北方向，点N在线段AC上，则∠ABN=45°，
∴∠MBN=∠ABM−∠ABN=60°−45°=15°．
由题意知，∠CBN=60°，
∴∠MBC=∠CBN−∠MBN=60°−15°=45°，
在Rt△ABM中，∠BAM=30°，AB=30海里，
1
∴BM= AB=15海里，AM=❑√AB2−BM2=❑√302−152=15❑√3海里，
2
在Rt△BCM中，∠MBC=45°，
∴BM=MC=15海里，
∴AC=AM+MC=(15+15❑√3)海里，
答：港口A与小岛C之间的距离为(15+15❑√3)海里；
（2）在Rt△BCM中，∠MBC=45°，BM=MC=15海里，
∴BC=❑√2BM=15❑√2 （海里），
15+15❑√3
∴乙船行驶的时间为 =1+❑√3小时，
15
∴甲船从B处行至小岛C的时间为1+❑√3−1=❑√3（小时）．
15❑√2
∴甲船从B处行至小岛C的速度为 =5❑√6（海里/时），
❑√3
答：甲船从B处行至小岛C的速度为5❑√6海里/时．
20．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图某货船以20海里/ ℎ的速度将一批重要的物资由A处
运往正西方向的B处，经16ℎ的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门的通知，一台风中
心、以40海里/ ℎ的速度由A处向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响.
（❑√3≈1.73）问 ：（1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由.
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时以内卸完货物？
（3）如果B处受到台风影响，那么求出影响的时间.
【思路点拨】
（1）B处是否会受到台风影响，其实就是B到AC的垂直距离是否超过200海里，如果超过则不会影响，
反之受影响；
（2）根据已知及三角函数求得AE的长，再根据路程公式求得时间即可；
（3）结合（2）中过程，得出在点D右侧相同的距离内点B也受影响，即可求出时间；
将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关的直角三角形是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：如图1，过点B作BD⊥AC交AC于点D，
∵在Rt△ABD中，∠BAC=90°−60°=30°
1
∴BD= AB,
2
∵AB=20×16=320海里
1 1
∴BD= AB= ×320=160海里
2 2
∵160<200，
∴会受台风影响．
（2）解：如图2，在Rt△ADB中，AB=320海里，BD=160海里，
∴AD=160❑√3海里，
∵要使卸货不受台风影响，
∴必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货，
如图，BE=200海里，
在Rt△BDE中，
DE=❑√BE2−BD2=❑√2002−1602=120海里，
∴AE=（160❑√3−120）海里，
∵台风速度为40海里/小时，
160❑√3−120
∴时间t= =（4❑√3−3）小时，
40
答：为避免受到台风影响，该船应在（4❑√3−3）小时内卸完货；
（3）由（2）得DE=120海里，
同时在点D右侧相同的距离内点B也受影响，
∴120×2÷40=6小时，
∴影响的时间为6小时．
