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第 5 讲 客观题的解法
题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须
按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，
尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”
“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.
方法一 直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础
知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的
方法.
例1 (1)已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=1，|a+2b|=4，则向量a-3b，b夹角的余弦值为( )
√6 √6
A.- B.-
4 12
√6 √6
C.- D.
6 6
3 3√6
思路分析 对|a+2b|=4进行平方可得a·b= ，可算出|a-3b|=√a2-6a·b+9b2= ，最后利用夹角公
4 2
式即可.
答案 A
解析 依题意，|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=16，
3
解得a·b= ，故|a-3b|=√a2-6a·b+9b2
4
√ 3 3√6
= 9-6× +9= ，
4 2
(a-3b)·b a·b-3b·b
故cos〈a-3b，b〉= =
|a-3b||b| |a-3b||b|
3
-3
4 √6
= =- .
3√6 4
2
(2)已知tan α+tan β=3，sin(α+β)=2sin αsin β，则tan(α+β)等于( )
A.4 B.6
3
C.- D.-6
2
思路分析 由正弦和正切的和、差角公式代入即可求值.
答案 D解析 由sin(α+β)=2sin αsin β，得
sin αcos β+cos αsin β=2sin αsin β
sinαcosβ+cosαsinβ 1 1
=2 + =2
sinαsinβ tanα tanβ
⇒tanα+tanβ ⇒3
=2 tan αtan β= ，
tanαtanβ 2
⇒ ⇒ 3
tanα+tanβ
所以tan(α+β)= = 3=-6.
1-tanαtanβ 1-
2
[规律方法] 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，
多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准
确地求解选择题、填空题的关键.
方法二 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特
殊位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能
是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.
例2 (1)若a>b>c>1且aclog c>loga
a b c
B.logb>log a>log c
c b a
C.log c>log b>loga
b a c
D.log a>logb>log c
b c a
思路分析 利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.
答案 B
解析 取a=5，b=4，c=3代入验证可知选项B正确.
cosA+cosC
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则 =
1+cosAcosC
.
思路分析 a，b，c为等差数列，取特殊情况a=b=c即可求解(或a=3，b=4，c=5).
4
答案
5
1
cosA+cosC cos60°+cos 60° 4
解析 显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以 = = 1= .(或
1+cosAcosC 1+cos60°cos60° 1+ 5
4
者取a=3，b=4，c=5也符合题设条件)
[规律方法] 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，
但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
(1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理.(2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求
解.
方法三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推
理、计算、判断，排除不符合要求的选项.
例3 (1)函数f(x)=(2-x-2x)cos x在[-2，2]上的图象大致为( )
思路分析 利用排除法，先根据奇偶性排除部分选项，再取特值排除.
答案 A
解析 因为f(x)+f(-x)=(2-x-2x)cos x+(2x-2-x)cos(-x)
=(2-x-2x)cos x-(2-x-2x)cos x=0，
所以函数f(x)为奇函数，故B，D错误；
( π)
又因为1∈ 0， ，
2
3
则f(1)=(2-1-2)cos 1=- cos 1<0，故C错误.
2
1
(2)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x为增函数，则a的取值范围是( )
3
[ 1]
A.[-1，1] B. -1，
3
[ 1 1] [ 1]
C. - ， D. -1，-
3 3 3
答案 C
解析 方法一 (排除法)不妨取a=-1，
1
则f(x)=x- sin 2x-sin x，
3
2 2 2
f'(x)=1- cos 2x-cos x，但f'(0)=1- -1=- <0，不符合题意，排除A，B，D.
3 3 3
1
方法二 (综合法)∵函数f(x)=x- sin 2x+asin x为增函数，
3
2
∴f'(x)=1- cos 2x+acos x
32
=1- (2cos2x-1)+acos x
3
4 5
=- cos2x+acos x+ ≥0，
3 3
4 5
即acos x≥ cos2x- 恒成立.
3 3
5
当cos x=0时，恒有0≥- ，得a∈R；
3
4 5
当0f'(x)+1，f(0)=2 024，则不等式e-xf(x)>e-x+2
023(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A.(2 022，+∞) B.(-∞，2 023)
C.(0，2 022) D.(-∞，0)
f(x)-1
思路分析 构造函数g(x)= ，利用导数，结合已知条件判断函数的单调性，由此化简不等式e-
ex
xf(x)>e-x+2 023并求得其解集.
答案 D
f(x)-1
解析 设g(x)= ，
ex
∵f(x)>f'(x)+1，即f'(x)-f(x)+1<0，
f' (x)-f(x)+1
∴g'(x)= <0，
ex
∴g(x)在R上是减函数，又f(0)=2 024，
f(x)-1
∴不等式e-xf(x)>e-x+2 023 >2 023
ex
⇔
f(0)-1
=f(0)-1= ，
e0
即g(x)>g(0)，∴x<0，
∴原不等式的解集为(-∞，0).
[规律方法] 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定
构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.方法五 估算法
因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答
案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省
了时间，从而显得更加快捷.
例5 (1)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
√5-1(√5-1 )
≈0.618，称为黄金分割比例 ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头
2 2
√5-1
顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
2
cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算.
答案 B
解析 头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110
cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，
则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm~178 cm之间.
(2)设A，B，C，D是半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D-
ABC体积的最大值为( )
A.12√3 B.18√3
C.24√3 D.54√3
思路分析 V 最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算.
三棱锥D-ABC
答案 B
解析 等边三角形ABC的面积为9√3，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥
1 1
的高h应满足h∈(4，8)，所以 ×9√3×4
