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第 5 讲 客观题的解法
题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须
按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，
尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”
“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.
方法一 直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础
知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的
方法.
例1 (1)已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=1，|a+2b|=4，则向量a-3b，b夹角的余弦值为( )
√6 √6
A.- B.-
4 12
√6 √6
C.- D.
6 6
3 3√6
思路分析 对|a+2b|=4进行平方可得a·b= ，可算出|a-3b|=√a2-6a·b+9b2= ，最后利用夹角公
4 2
式即可.
答案 A
解析 依题意，|a+2b|2=a2+4b2+4a·b=16，
3
解得a·b= ，故|a-3b|=√a2-6a·b+9b2
4
√ 3 3√6
= 9-6× +9= ，
4 2
(a-3b)·b a·b-3b·b
故cos〈a-3b，b〉= =
|a-3b||b| |a-3b||b|
3
-3
4 √6
= =- .
3√6 4
2
(2)已知tan α+tan β=3，sin(α+β)=2sin αsin β，则tan(α+β)等于( )
A.4 B.6
3
C.- D.-6
2
思路分析 由正弦和正切的和、差角公式代入即可求值.
答案 D解析 由sin(α+β)=2sin αsin β，得
sin αcos β+cos αsin β=2sin αsin β
sinαcosβ+cosαsinβ 1 1
=2 + =2
sinαsinβ tanα tanβ
⇒tanα+tanβ ⇒3
=2 tan αtan β= ，
tanαtanβ 2
⇒ ⇒ 3
tanα+tanβ
所以tan(α+β)= = 3=-6.
1-tanαtanβ 1-
2
[规律方法] 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，
多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准
确地求解选择题、填空题的关键.
方法二 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特
殊位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能
是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.
例2 (1)若a>b>c>1且ac<b2，则( )
A.log b>log c>loga
a b c
B.logb>log a>log c
c b a
C.log c>log b>loga
b a c
D.log a>logb>log c
b c a
思路分析 利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.
答案 B
解析 取a=5，b=4，c=3代入验证可知选项B正确.
cosA+cosC
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则 =
1+cosAcosC
.
思路分析 a，b，c为等差数列，取特殊情况a=b=c即可求解(或a=3，b=4，c=5).
4
答案
5
1
cosA+cosC cos60°+cos 60° 4
解析 显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以 = = 1= .(或
1+cosAcosC 1+cos60°cos60° 1+ 5
4
者取a=3，b=4，c=5也符合题设条件)
[规律方法] 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，
但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
(1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理.(2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求
解.
方法三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推
理、计算、判断，排除不符合要求的选项.
例3 (1)函数f(x)=(2-x-2x)cos x在[-2，2]上的图象大致为( )
思路分析 利用排除法，先根据奇偶性排除部分选项，再取特值排除.
答案 A
解析 因为f(x)+f(-x)=(2-x-2x)cos x+(2x-2-x)cos(-x)
=(2-x-2x)cos x-(2-x-2x)cos x=0，
所以函数f(x)为奇函数，故B，D错误；
( π)
又因为1∈ 0， ，
2
3
则f(1)=(2-1-2)cos 1=- cos 1<0，故C错误.
2
1
(2)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x为增函数，则a的取值范围是( )
3
[ 1]
A.[-1，1] B. -1，
3
[ 1 1] [ 1]
C. - ， D. -1，-
3 3 3
答案 C
解析 方法一 (排除法)不妨取a=-1，
1
则f(x)=x- sin 2x-sin x，
3
2 2 2
f'(x)=1- cos 2x-cos x，但f'(0)=1- -1=- <0，不符合题意，排除A，B，D.
3 3 3
1
方法二 (综合法)∵函数f(x)=x- sin 2x+asin x为增函数，
3
2
∴f'(x)=1- cos 2x+acos x
32
=1- (2cos2x-1)+acos x
3
4 5
=- cos2x+acos x+ ≥0，
3 3
4 5
即acos x≥ cos2x- 恒成立.
3 3
5
当cos x=0时，恒有0≥- ，得a∈R；
3
4 5
当0<cos x≤1时，得a≥ cos x- ，
3 3cosx
4 5
令t=cos x，g(t)= t- 在(0，1]上单调递增，
3 3t
1
得a≥g(1)=- ；
3
4 5
当-1≤cos x<0时，得a≤ cos x- ，
3 3cosx
4 5
令t=cos x，g(t)= t- 在[-1，0)上单调递增，
3 3t
1
得a≤g(-1)= .
3
[ 1 1]
综上，可得a的取值范围是 - ， .
3 3
[规律方法] 排除法使用要点
(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其他选项.
(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些
条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.
方法四 构造法
用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和
基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问
题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.
例4 (1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，
E，F分别是PA，AB的中点，EF⊥平面PAC，则球O的体积为( )
√6π √6π
A. B.
8 4
√6π
C. D.√6π
2
思路分析 根据条件，得到PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放入正方体中，计算外接球半径即可
求解.答案 D
解析 E，F分别是PA，AB的中点，则EF∥PB，因为EF⊥平面PAC，则PB⊥平面PAC，
PA，PC 平面PAC，故PB⊥PA，PB⊥PC，根据条件可知，△PAB≌△PAC，
故PA⊥P⊂C，所以PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放入正方体中，如图所示，
因为△ABC是边长为2的正三角形，所以正方体的棱长为√2，
√2+2+2 √6
故外接球半径R= = ，
2 2
4
所以球O的体积V= πR3=√6π.
3
(2)设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且满足f(x)>f'(x)+1，f(0)=2 024，则不等式e-xf(x)>e-x+2
023(其中e为自然对数的底数)的解集是( )
A.(2 022，+∞) B.(-∞，2 023)
C.(0，2 022) D.(-∞，0)
f(x)-1
思路分析 构造函数g(x)= ，利用导数，结合已知条件判断函数的单调性，由此化简不等式e-
ex
xf(x)>e-x+2 023并求得其解集.
答案 D
f(x)-1
解析 设g(x)= ，
ex
∵f(x)>f'(x)+1，即f'(x)-f(x)+1<0，
f' (x)-f(x)+1
∴g'(x)= <0，
ex
∴g(x)在R上是减函数，又f(0)=2 024，
f(x)-1
∴不等式e-xf(x)>e-x+2 023 >2 023
ex
⇔
f(0)-1
=f(0)-1= ，
e0
即g(x)>g(0)，∴x<0，
∴原不等式的解集为(-∞，0).
[规律方法] 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定
构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.方法五 估算法
因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答
案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省
了时间，从而显得更加快捷.
例5 (1)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
√5-1(√5-1 )
≈0.618，称为黄金分割比例 ，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头
2 2
√5-1
顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
2
cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算.
答案 B
解析 头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110
cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，
则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm~178 cm之间.
(2)设A，B，C，D是半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D-
ABC体积的最大值为( )
A.12√3 B.18√3
C.24√3 D.54√3
思路分析 V 最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算.
三棱锥D-ABC
答案 B
解析 等边三角形ABC的面积为9√3，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥
1 1
的高h应满足h∈(4，8)，所以 ×9√3×4<V < ×9√3×8，
3 三棱锥D-ABC 3
即12√3<V <24√3.
三棱锥D-ABC
[规律方法] 估算法使用要点
(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.
(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进
行分割、拼凑、位置估算.
