25秋7星学霸小学数学通用版第7辑(1)

第１讲　乘除法竖式谜 １ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计算类 倒推法 枚举法 分类思想 第２讲　三角形 １０ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 几何类 量不变思想 构造思想 第３讲　等差数列进阶 １８ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计算类 构造思想 第４讲　数阵图与幻方 ２６ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计算类 分组法 重叠数法 第５讲　几何计数综合 ３７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计数类 枚举法 有序思想 第６讲　等积变形 ４８ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 几何类 构造思想 模型思想 第７讲　一半模型 ５７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 几何类 构造思想 模型思想 第８讲　整除问题初步 ６８ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 数论类 有序思想 第９讲　多位数巧算 ７６ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计算类 凑整法 拆数法 第１０讲　相遇问题 ８５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类 数形结合 模型思想 第１１讲　追及问题 ９６ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类 数形结合 模型思想 第１２讲　环形跑道问题 １０６ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 应用类 数形结合 模型思想 第１３讲　加法原理与乘法原理初步 １１９ 􀆺􀆺 计数类 枚举法 有序思想 第１４讲　容斥原理 １２９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 计数类 有序思想 韦恩图 第１５讲　最值问题初步 １３９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 组合类 枚举法 第１６讲　 数学思想方法综合 １４８ 数学思想方法

１ １ 　 乘除法竖式谜 　　“竖式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的竖式ꎮ解决这类问题时ꎬ可以根据 已学过的知识ꎬ运用正确的分析推理方法ꎬ确定竖式中的未知数字和运算符号ꎮ由于这类题目的 解答过程类似平时进行的猜谜语游戏ꎬ所以我们把这类题目称为“竖式谜题”ꎮ 解答竖式谜问题时ꎬ要先仔细审题ꎬ分析数据之间的关系ꎬ找到突破口ꎬ逐步试验ꎬ分析求解ꎬ 通常要运用倒推法、凑整法、估值法等ꎮ 在下面的方框中填上合适的数字ꎮ 第７辑 ２ 　 　　由积的末尾是０ꎬ可推出第二个因数的个位上是５ꎻ由第二个因数的个位上是５ꎬ并结合第一个 因数与５相乘的积的情况考虑ꎬ可推出第一个因数的百位上是３ꎻ由第一个因数为３７６与积为 ３１ ０ꎬ可推出第二个因数的十位上是８ꎮ由此即可填出其他数字ꎮ 所以最后答案是 　 　　　　 在方框中填上合适的数ꎮ 下面算式中的ａ、ｂ、ｃ、ｄ这四个字母各代表什么数字? (ａ、ｂ、ｃ、ｄ代表的数字各不 相同) 第１讲􀅰乘除法竖式谜 ３ 　 　　因为四位数ａｂｃｄ乘９的积还是四位数ꎬ可知ａ是１ꎻ由ｄ和９相乘的积的个位是１ꎬ可知ｄ只 能是９ꎻ因为第二个因数９与第一个因数百位上的ｂ相乘的积不进位ꎬ所以ｂ只能是０ꎻ再由ｂ＝０ꎬ 可推知ｃ＝８ꎮ 所以最后答案是 求下面算式中每个汉字所代表的数字ꎮ(每个汉字代表不同的数字) 我＝　　　爱＝　　　大＝　　　自＝　　　然＝ 求下面算式中每个汉字所代表的数字ꎮ(每个汉字代表不同的数字) 请＝　　　认＝　　　真＝　　　思＝　　　考＝ 第７辑 ４ 　 求下面算式中每个汉字所代表的数字ꎮ(每个汉字代表不同的数字) 　 盼＝　　　望＝　　　祖＝　　　国＝ 早＝　　　日＝　　　统＝　　　一＝ 在方框中填入合适的数字ꎮ 第１讲􀅰乘除法竖式谜 ５ 　 　　因为该竖式最后结果有余数１ꎬ所以用倒推法思考ꎬ可得最后一步计算过程末尾是７－６＝１ꎬ接 着再用末位分析法可知除数个位为４ꎬ根据商末尾为９ꎬ则最后一步计算就可以推导出是５７７－５７６ꎻ 依次往前推导ꎬ被除数十位为７ꎬ商的首位只能为１ꎬ由此便可得出剩余所有数据ꎮ 所以最后答案是 在下面的方框里填上合适的数字ꎮ 第７辑 ６ 　 在下面的竖式中ꎬ不同的汉字表示不同的数字ꎬ求出它们ꎬ使得竖式成立ꎮ 　　 因为“我你他×他＝∗∗∗∗”ꎬ所以“他” ≠１ꎻ由“我你他×我＝∗∗我” 可知“我” ≤３ꎬ再由 “他”≠１推知ꎬ“我” ＝２ꎬ“他” ＝６ꎻ最后由“我你他×你＝∗∗∗你”推知“你” ＝８ꎮ 所以最后答案是 　有＝　　　趣＝　　　数＝　　　学＝ (不同的汉字表示不同的数字) 第１讲􀅰乘除法竖式谜 ７ 　 　　　 真＝　　　有＝　　　趣＝ (不同的汉字表示不同的数字) 　　　 十＝　　　　　厘＝　　　　　米＝ 百＝　　　　　平＝　　　　　方＝ (不同的汉字表示不同的数字) 根据已知信息ꎬ求被除数是多少ꎮ 第７辑 ８ 　 　　已知余数为７ꎬ则除数只能为８或９ꎬ由此可以得到商的首位为１ꎻ通过数位分析ꎬ被除数首位 减第一步计算结果后仍有余数ꎬ则除数只能为８ꎬ被除数首位为９ꎬ百位相减为１ꎻ商的十位乘８可 得“十几”的只有“８×２”ꎬ所以商的十位为２ꎻ最后一步计算看商的个位乘８得到一个一位数ꎬ所以 商的个位为１ꎬ接着用倒推法补全算式ꎮ 所以最后答案是 图中是一个残缺的除法竖式ꎬ这个算式中的被除数是多少? 第１讲􀅰乘除法竖式谜 ９ 　 一个四位数除以一个一位数得(１)式ꎬ除以另一个一位数得(２)式ꎬ求这个四位数ꎮ 　　　　　　　 一个五位数除以一个一位数得(１)式ꎬ除以另一个一位数得(２)式ꎬ求这个五位数ꎮ 　　　　　 　 　　解决竖式谜问题ꎬ关键是找准突破口ꎬ推理时应注意以下几点: １. 认真分析竖式中所包含的数量关系ꎬ仔细找出题中隐蔽的条件ꎬ选择有特征的部分作出 局部判断ꎮ ２. 利用列举和筛选相结合的方法ꎬ逐步排除不合理的数字ꎮ ３. 试验时ꎬ应借助估值的方法ꎬ以缩小所求数字的取值范围ꎬ达到快速而准确的目的ꎮ ４. 竖式谜解出后ꎬ要验算一遍ꎮ

２ １０ 　 三　角　形 　　与三角形相关的题型ꎬ大多围绕其本身的性质特征展开ꎬ主要分布于内角和引申出的角度类 计算ꎻ三边关系检验或寻找所能构成三角形的边长的情况ꎻ依托数线段模型分割三角形边线ꎬ从 而计数三角形个数ꎻ通过等分点等特殊分割方式求解三角形面积变化等类型ꎮ在求解过程中要 清晰题中的变与不变关系ꎮ 如图ꎬ将三角形ＡＢＣ绕点Ｃ按顺时针方向旋转３０°ꎬ得到三角形Ａ′Ｂ′Ｃꎬ若ＡＣ⊥Ａ′Ｂ′ꎬ则∠Ａ 的度数是(　　)ꎮ 　　因为三角形Ａ′Ｂ′Ｃ是三角形ＡＢＣ绕着点Ｃ顺时针旋转得到的ꎬ所以∠Ａ′＝∠Ａꎬ根据三角形的 内角和定理ꎬ可知∠Ａ＝∠Ａ′＝１８０°－∠ＡＣＡ′－９０° ＝１８０°－３０°－９０° ＝６０°ꎮ 所以答案是６０°ꎮ 第２讲􀅰三角形 １１ 　 如图ꎬ∠１＝∠２ꎬ∠３＝∠４ꎬ∠５＝１３０°ꎬ那么∠Ａ等于多少度? 如图ꎬ三个直角三角形叠放在一起ꎬ求∠１的度数ꎮ 　 如图ꎬ将四边形ＡＢＣＤ的四条边分别延长一段ꎬ得∠ＣＢＥ、∠ＢＡＨ、∠ＡＤＧ、∠ＤＣＦꎬ那么这 四个角的和等于(　　)ꎮ 一个等腰三角形的周长是２２分米ꎬ腰长是底边长的５倍ꎬ这个等腰三角形的腰长 是多少分米? 第７辑 １２ 　 　　把底边长看作１份ꎬ则每条腰是这样的５份ꎬ则三角形的周长一共是５＋５＋１＝１１(份)ꎬ每份是 ２２÷１１＝２(分米)ꎬ每条腰长是５份ꎬ即２×５＝１０(分米)ꎮ 一个等腰三角形的周长是６０厘米ꎬ它的底边比一条腰长的２倍少１２厘米ꎬ这个三角形的 底边长是多少厘米? 从５根长分别是４厘米、６厘米、８厘米、１０厘米、１２厘米的小棒中选择３根摆三角形ꎬ你能 摆出几种不同的三角形? 第２讲􀅰三角形 １３ 　 一个三角形的周长为３０厘米ꎬ且边长均为整厘米数ꎬ这样的三角形有多少个? 图中共有几个三角形? 　　数三角形个数类似于数线段问题ꎬ要注意不遗漏、不重复ꎬ按顺序依次计数ꎬ从一个定点出发 计数ꎬ当一个定点上的所有底边可能性数完后ꎬ再从下一个定点同理向后计数ꎬ数到倒数第二个定 点为止ꎬ然后相加ꎮ 共有４＋３＋２＋１＝１０(个)ꎮ 第７辑 １４ 　 图中共有多少个三角形? 　 　 　　　　　　 图中共有多少个三角形? 　　 　　 求图中三角形的个数ꎮ 你有多少种方法将任意一个三角形分成３个面积相等的三角形? 请画出三种ꎮ 第２讲􀅰三角形 １５ 　 　　如图ꎬＤ、Ｅ是ＢＣ的三等分点ꎬＦ、Ｇ分别是ＡＤ、ＡＣ的中点ꎬ答案不唯一ꎬ示例如图ꎮ 你有多少种方法将任意一个三角形分成６个面积相等的三角形? (至少画出３种) 如图ꎬＢＤ长１２厘米ꎬＤＣ长４厘米ꎬＢ、Ｃ和Ｄ在同一条直线上ꎮ (１)三角形ＡＢＣ的面积是三角形ＡＢＤ面积的多少倍? (２)三角形ＡＢＤ的面积是三角形ＡＤＣ面积的多少倍? 图中的Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是正方形ＡＢＣＤ三条边的三等分点ꎬ如果正方形的边长是１２ꎬ那么 涂色部分的面积是(　　　)ꎮ 第７辑 １６ 　 如图ꎬ在三角形ＡＢＣ中ꎬＤＣ＝２ＢＤꎬＣＥ＝３ＡＥꎬ三角形ＡＤＥ的面积是２０平方厘米ꎬ 三角形ＡＢＣ的面积是多少? 　　因为ＣＥ＝３ＡＥꎬ所以ＡＣ＝４ＡＥꎬＳ三角形ＡＤＣ＝４Ｓ三角形ＡＤＥꎮ 又因为ＤＣ＝２ＢＤꎬ所以２ＢＣ＝３ＤＣꎬ２Ｓ三角形ＡＢＣ＝３Ｓ三角形ＡＤＣ＝１２Ｓ三角形ＡＤＥꎬＳ三角形ＡＢＣ＝６Ｓ三角形ＡＤＥ＝６× ２０＝１２０(平方厘米)ꎮ 如图所示的三角形ＡＯＢ的面积为１５平方厘米ꎬ线段ＯＢ的长度为ＯＤ的３倍ꎬ求梯形ＡＢＣＤ 的面积ꎮ 第２讲􀅰三角形 １７ 　 如图所示ꎬＡ、Ｂ、Ｃ都是正方形的边的中点ꎬ三角形ＣＯＤ的面积比三角形ＡＯＢ的面积大 １５平方厘米ꎮ三角形ＡＯＢ的面积为(　　　)平方厘米ꎮ 如图ꎬ三角形ＡＢＣ的面积是１８０平方厘米ꎬＤ是ＢＣ的中点ꎬＡＤ的长是ＡＥ的３倍ꎬＥＦ的 长是ＢＦ的３倍ꎬ那么三角形ＡＥＦ的面积是多少平方厘米? 　　三角形问题的几类解题方法: １. 角度类:抓住三角形的内角和为１８０°ꎬ一个外角等于１８０°－相邻内角＝两个不相邻的内角和ꎮ ２. 三边关系类:任意两边之和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎮ ３. 面积类:三角形面积＝底×高÷２ (１)两个三角形的高相等ꎬ则它们的面积比等于对应底边的比ꎻ (２)两个三角形的底边相等ꎬ则它们的面积比等于对应高的比ꎮ ４. 特殊三角形的特征: (１)等边三角形的三个内角均为６０°ꎬ三边相等ꎻ (２)等腰三角形的两个底角和两腰分别相等ꎻ (３)等腰直角三角形常和正方形联系在一起ꎮ

３ １８ 　 等差数列进阶 　　１＋２＋３＋４＋􀆺＋１００＝? 高斯使用的方法就是构造等差数列ꎬ５０对和为１０１的数对求和ꎬ结果 就是５０５０ꎮ等差数列题型五花八门ꎬ但主要涉及五个量:首项、末项、项数、公差、和ꎬ只要已知其 中三个量ꎬ就可以求出另外两个量ꎮ 本讲是等差数列的进阶ꎬ解决的是较复杂的等差数列问题ꎮ 等差数列３、９、１５、２１、􀆺、１２９ꎮ (１)这个数列一共有几项? (２)１１７是这个数列的第几项? (３)这个数列的第１８项是多少? (４)求这一串数列的和ꎮ 第３讲􀅰等差数列进阶 １９ 　 　　根据公式可求 (１)ｎ＝(ａｎ－ａ１)÷ｄ＋１＝(１２９－３)÷６＋１＝２２ (２)ｎ＝(ａｎ－ａ１)÷ｄ＋１＝(１１７－３)÷６＋１＝２０ (３)ａ１８＝ａ１＋(ｎ－１)×ｄ＝３＋(１８－１)×６＝１０５ (４)Ｓｎ＝(ａ１＋ａｎ)×ｎ÷２＝(３＋１２９)×２２÷２＝１４５２ ５、８、１１、１４、１７、２０、􀆺、７７ꎬ这个数列有多少项? 它的第１８项是多少? ６５是其中的第几项? 这串数列的和是多少? 一个等差数列中ꎬ第１个数是１５ꎬ第７个数是５７ꎬ相邻两数的差是多少? 一只小虫沿着笔直的树干往上跳ꎬ每跳一次升高４厘米ꎬ它从高于地面１０厘米 处开始跳ꎬ如果把这一处称为小虫的第１个落脚点ꎬ那么它的第１００个落脚点 正好是树梢ꎬ这棵树高多少厘米? (提示:设法将题意变成一个等差数列) 观察如下等差数列ꎬ你能发现最中间的数和第一个数以及最后一个数是什么关系吗? 并求 出每组数列的和ꎮ (１)１、３、５、７、９ (２)３、６、９、１２、１５、１８、２１ (３)１、４、７、１０、１３、１６、１９、２２、２５ 第７辑 ２０ 　 　　(１)(１＋９)÷２＝５　５×５＝２５ (２)(３＋２１)÷２＝１２　１２×７＝８４ (３)(１＋２５)÷２＝１３　１３×９＝１１７ (１)已知一个奇数项的等差数列第一个数是８ꎬ最后一个数是３０ꎬ那么中间数是(　　)ꎮ (２)已知一个等差数列共有１１项ꎬ请问最中间这个数是第(　　)项ꎮ (３)计算:①１＋２＋３＋４＋５＋６＋７ꎻ ②８１＋８３＋８５＋８７＋８９＋９１＋９３ꎮ ２、４、６、８、１０、１２􀆺􀆺是一个连续偶数列ꎬ如果其中五个连续偶数的和是３２０ꎬ求它们中最小 的一个ꎮ 第３讲􀅰等差数列进阶 ２１ 　 计算:１＋５＋９＋１３＋１７＋􀆺＋１９９３ꎮ ７个连续奇数的和是２５９ꎬ其中最大的奇数是几呢? 　　根据等差数列的中项定理ꎬ奇数项数列求和可以用中间数×项数ꎬ那么中间数＝和÷项数ꎬ２５９÷ ７＝３７是第４项ꎮ因为是连续的奇数ꎬ所以后面就是３９、４１、４３ꎬ那么最大的奇数就是４３ꎮ ９个连续自然数的和是９９ꎬ这９个连续自然数中最小的数是多少? 第７辑 ２２ 　 重阳节这天ꎬ茶社迎来了９位特别的老人ꎬ他们的年龄是９个连续的自然数ꎬ年龄和是７６５ꎬ 那么最大的老人是多少岁? 某学校建造体育场ꎬ形状像个梯形ꎬ第一排有１０个座位ꎬ第二排有１２个座位ꎬ第三排有 １４个座位􀆺􀆺最后一排有２１０个座位ꎬ请问:中间一排有几个座位? 一共有几个座位? 计算:１＋３＋３＋６＋５＋９＋７＋１２＋􀆺＋２５ꎮ 第３讲􀅰等差数列进阶 ２３ 　 　　２５是数列１、３、５、７􀆺􀆺的第(２５－１)÷２＋１＝１３(项) 数列３、６、９􀆺􀆺的第１２项是３＋(１２－１)×３＝３６ 原式＝(１＋３＋５＋􀆺＋２５)＋(３＋６＋９＋􀆺＋３６) ＝１３×１３＋(３＋３６)×１２÷２ ＝１６９＋２３４ ＝４０３ 数列:２、１、４、３、６、５、８、７􀆺􀆺问２００９是这个数列的第几项? 按一定规律排列的算式:４＋２ꎬ５＋８ꎬ６＋１４ꎬ７＋２０􀆺􀆺那么第１００个算式是什么? 并求出这 １００个算式的总和ꎮ １、１００、２、９８、３、９６、２、９４、１、９２、２、９０、３、８８、２、８６、１、８４、􀆺、０ꎮ 请问:(１)这个数列中有多少项是２? (２)这个数列所有项的总和是多少? 第７辑 ２４ 　 数列:１、２、４、７、１１、１６􀆺􀆺的第５００个数是多少? 　　１＝１ ２＝１＋１ ４＝１＋１＋２ ７＝１＋１＋２＋３ １１＝１＋１＋２＋３＋４ １６＝１＋１＋２＋３＋４＋５ 􀆺􀆺 第ｎ个数＝１＋１＋２＋３＋􀆺＋(ｎ－１) 第５００个数＝１＋(１＋２＋３＋４＋􀆺＋４９９) ＝１＋(１＋４９９)×４９９÷２ ＝１２４７５１ 第３讲􀅰等差数列进阶 ２５ 　 有一列数:１、３、６、１０、１５􀆺􀆺问:这列数的第１０１个是多少? 如图ꎬ当ｎ＝１时ꎬ有２个小星星ꎬ当ｎ＝２时ꎬ有６个小星星ꎬ当ｎ＝３时ꎬ有１２个小星星ꎬ􀆺ꎬ 则当ｎ＝９时ꎬ有(　　)个小星星ꎮ 已知一串数字按照下面的方式排列: １　２　４　７　１１　􀆺􀆺 ３　５　８　１２　􀆺􀆺 ６　９　１３　􀆺􀆺 １０　１４　􀆺􀆺 １５　􀆺􀆺 􀆺􀆺 (１)第１行第８个数是(　　)ꎮ (２)第３行第６个数是(　　)ꎮ (３)２００位于这个数表中第(　　)行左起第(　　)个ꎮ １. 基本公式: 末项公式:ａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)×ｄꎻ 项数公式:ｎ＝(ａｎ－ａ１)÷ｄ＋１ꎻ 公差:ｄ＝(ａｎ－ａ１)÷(ｎ－１)ꎻ 求和公式:Ｓｎ＝(ａ１＋ａｎ)×ｎ÷２ ２. 中项定理:和＝中间数×项数 ３. 二级等差数列:相邻两数差为等差数列的数列 第１讲　乘除法竖式谜 ０１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第２讲　三角形 ０３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第３讲　等差数列进阶 ０５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第４讲　数阵图与幻方 ０７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第５讲　几何计数综合 ０９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第６讲　等积变形 １１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第７讲　一半模型 １３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第８讲　整除问题初步 １５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第９讲　多位数巧算 １７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１０讲　相遇问题 １９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１１讲　追及问题 ２１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１２讲　环形跑道问题 ２３ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１３讲　加法原理与乘法原理初步 ２５ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１４讲　容斥原理 ２７ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１５讲　最值问题初步 ２９ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１６讲　数学思想方法综合 ３１ 􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第１讲 乘除法竖式谜 １ 第二十一届“华杯赛”初赛 在如图的算式中ꎬ每个汉字代表０至９中的一个数字ꎬ 不同汉字代表不同的数字ꎮ当算式成立时ꎬ“好”代表的数字是(　　)ꎮ Ａ. １　　　　　　　　Ｂ. ２　　　　　　　　Ｃ. ４　　　　　　　　Ｄ. ６ ２ 下面算式中ꎬＡ表示同一个数字ꎬ在各个 中填入适当的数字ꎬ使算式完整ꎮ那么 两个因数的差(大数减小数)是(　　)ꎮ ３ 把下面的竖式补充完整ꎮ ４ 下面的算式中ꎬ只有四个４是已知的ꎬ则被除数为(　　)ꎮ １ ０ 小学数学·第７辑 ５ 下面相同的字母代表相同的数字ꎬ求各字母所代表的数字ꎮ ６ 在如图所示的除法竖式中ꎬ相同的字母代表相同的数字ꎬ不同的字母代表不同的数 字ꎮ被除数是(　　　　)ꎮ ７ 华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联:三强韩赵 魏ꎬ九章勾股弦ꎮ“三强”不但指战国三强ꎬ还体现了钱三强的名字ꎻ“九章”既指记录勾股 定理的数学著作ꎬ又体现了赵九章的名字ꎮ我们用这副有趣的对联来做下面的题目: (１)在左边的竖式中ꎬ相同的汉字代表相同的数字ꎬ不同的汉字代表不同的数字ꎮ如果 “三”代表３ꎬ“九”代表９ꎬ请将竖式补充完整ꎮ(找出一种解答即可) (２)在右边的竖式中ꎬ相同的汉字代表相同的数字ꎬ不同的汉字代表不同的数字ꎮ如果“勾 股弦”代表３４５ꎬ请将竖式补充完整ꎮ ２ ０ 第２讲 三　角　形 １ 图中一共有几个三角形? ２ 如图ꎬ已知三角形ＡＢＣ中ꎬＢＣ＝１０厘米ꎬＡＤ、ＥＣ是三角形ＡＢＣ的高ꎬＡＤ长为８厘 米ꎬＥＣ长为５厘米ꎬ求底边ＡＢ的长是多少厘米ꎮ ３ 如图ꎬ三角形ＡＢＣ和三角形ＤＥＦ是两个完全相同的等腰直角三角形ꎬ其中ＤＦ长 ９厘米ꎬＣＦ长３厘米ꎬ那么涂色部分的面积是多少平方厘米? ４ 在长方形ＡＢＣＤ内部有一点Ｏꎬ形成等腰三角形ＡＯＢ的面积为１６ꎬ等腰三角形ＤＯＣ 的面积占长方形ＡＢＣＤ面积的１８％ꎬ那么三角形ＡＯＣ的面积是多少? ３ ０ 小学数学·第７辑 ５ 如图ꎬ大正方形ＡＢＣＤ的面积是１ꎬ其他点都是其所在边的中点ꎮ那么涂色三角形 的面积是多少? ６ 如图ꎬ已知ＣＤ＝５ꎬＤＥ＝７ꎬＥＦ＝１５ꎬＦＧ＝６ꎬ线段ＡＢ将图形分成两部分ꎬ左边部分面 积是３８ꎬ右边部分面积是６５ꎬ那么三角形ＡＤＧ的面积是多少? ７ 如图所示ꎬ在梯形ＡＢＣＤ中ꎬＥ、Ｆ分别是其两腰ＡＢ、ＣＤ的中点ꎬＧ是ＥＦ上的任意 一点ꎬ已知三角形ＡＤＧ的面积为１５ｃｍ２ꎬ而三角形ＢＣＧ的面积恰好是梯形ＡＢＣＤ面积的 ７ ２０ꎬ则梯形ＡＢＣＤ的面积是(　　)ｃｍ２ꎮ ８ 如图ꎬＢＣ＝４５ꎬＡＣ＝２１ꎬ三角形ＡＢＣ被分成９个面积相等的小三角形ꎬ那么ＤＩ＋ ＦＫ＝(　　)ꎮ ４ ０ 第３讲 等差数列进阶 １ 建筑工地有一批砖ꎬ摆成如图形状ꎬ最上层有２块ꎬ第２层有６块ꎬ第３层有 １０块􀆺􀆺依次每层比上一层多４块砖ꎬ已知最下层有４０２块砖ꎬ问中间一层有多少块砖? 这堆砖共有多少块? ２ 有一列数１、２、４、７、１１、１６􀆺􀆺问这列数第１００１个数是多少? ３ 在１１~４５这３５个数中ꎬ所有不能被３整除的数的和是多少? ４ 已知等差数列１５、１９、２３、􀆺、４４３ꎬ求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是 多少ꎮ ５ 将１~１００的自然数按下面的顺序排列ꎬ正方形框里的９个数和是９０ꎮ问:能否照这 样框出９个数ꎬ使它们的和分别是１７０、２１６、６３０? ６ 一本书的页码从１到３４５ꎬ共有３４５页ꎬ小刚在把所有页码数加起来的时候ꎬ发现中 间有连续５张纸被撕掉了ꎬ小刚把其他页码加起来的和是５８９７０ꎬ被撕掉的５张纸的页码是 从多少页到多少页? ５ ０ 小学数学·第７辑 ７ 第二十七届“迎春杯”初赛 把０~９这十个数字填到如图的圆圈内ꎬ使得五条线上的 数字和构成一个等差数列ꎬ而且这个等差数列的各项之和为５５ꎬ那么这个等差数列的公差 有多少种可能的取值? 它们分别是多少? ８ 小明进行加法珠算练习ꎬ计算１＋２＋３＋４＋􀆺􀆺当加到某个数时ꎬ和是１０００ꎬ在验算时 发现重复加了一个数ꎬ这个重复加的数是多少? ９ 四年级一班期末数学考试中ꎬ前１０名的成绩恰好构成一个等差数列ꎮ已知考试满 分１００分ꎬ每个同学的得分都是整数ꎬ而且第３、４、５、６名一共得了３５４分ꎬ又知道小高得了 ９６分ꎬ那么第１０名得了多少分? １０ 王老师给小区里的一些小朋友发游戏卡片ꎬ这些小朋友得到的卡片数目恰好构成 一个等差数列ꎮ小高发现自己分到的最少ꎬ于是找王老师要卡片ꎬ王老师给小高加了 ３６张ꎬ这时所有小朋友的卡片数也构成一个等差数列ꎻ变化后ꎬ墨莫的卡片最少ꎬ于是向王 老师要来１８张ꎬ这时所有小朋友的卡片数仍构成一个等差数列ꎮ又已知在发卡片的过程 中ꎬ每个小朋友手中的卡片都没有超过１００张ꎬ而且刚开始时有人拿的卡片数超过了 ９０张ꎮ请问:王老师开始时发给墨莫的卡片比发给小高的多几张? ６ ０ 讲解册参考答案 第１讲　乘除法竖式谜 第二个因数十位上的３乘第一个因数的 个位ꎬ得到的积末尾是８ꎬ所以第一个因数个位上 是６ꎬ依此突破即可ꎮ 因为第一步乘积末尾为４ꎬ所以第一个因 数个位是４或９ꎻ因为第二步乘积末尾为０ꎬ９与任 何非零数相乘末尾不为０ꎬ所以第一个因数个位 是４ꎬ４×５积的末尾是０ꎬ所以第二个因数十位为 ５ꎻ接着看第一步乘积十位上为０ꎬ这是６× ＋２ 后得到的ꎬ所以第一个因数十位上可能是３或８ꎬ 但根据第二步乘积百位上为７判断ꎬ第一个因数 十位上只能为３ꎻ根据 ２ × ５＝ ７０可得ꎬ第一个因数千位上只能为１ꎬ依 次计算即可ꎮ 因为第一步２８５× 的积是一千多ꎬ所 以第二个因数个位上可填４~ ７ꎬ又根据积是 １ ２ ꎬ通过排除法ꎬ可以确定第二个因数 个位上只能填５ꎻ因为第二个因数十位上的数乘 ２８５的积为三位数ꎬ所以可填１~ ３ꎬ通过结果 ９ ꎬ可以确定第二个因数十位上只能 为３ꎬ依次计算即可ꎮ 我＝２　爱＝１　大＝９　自＝７　然＝８ 首先对“我” 和“然” 进行分析ꎬ由于“我” 在首位ꎬ且“我”×４后不进位ꎬ所以“我” ＝１或２ꎬ 当“我” ＝１时ꎬ“然” ＝４ꎬ但是“然” ×４的末位数不 等于１ꎬ所以不成立ꎬ因此ꎬ“我” ＝２ꎬ“然” ＝８ꎬ此 时个位进３ꎬ由于“爱” ×４也不进位ꎬ所以“爱” 可 能为０ꎬ１ꎬ２ꎬ由于“自” ×４一定为偶数ꎬ加上进位 的３一定为奇数ꎬ所以“ 爱” 一定为奇数ꎬ因此 “爱” ＝１ꎬ此时“自”×４的尾数为８ꎬ“自”可能为２ 或７ꎬ当“自” ＝２时ꎬ“爱” ×４＝４ꎬ此时不进位ꎬ因 此积中的“自” 不可能为２ꎬ所以“自” ＝７ꎬ十位向 百位进３ꎬ同时百位要向千位进３ꎬ所以“大”可能 为７ꎬ８ꎬ９ꎮ分别代入验证得ꎬ当“大” ＝９时成立ꎮ 因此答案为２１９７８×４＝８７９１２ꎮ 请＝４　认＝２　真＝８　思＝５　考＝７ 把“请认真思考”设为Ｘꎬ(１０００００＋Ｘ)×３＝ １０Ｘ＋１ꎬ解得Ｘ＝４２８５７ꎬ所以“ 请认真思考” ＝ ４２８５７ꎮ 盼＝１　望＝２　祖＝３　国＝４ 早＝５　日＝６　统＝７　一＝９ “一”ד一”积的末尾为“盼”ꎬ“盼” ד一” 的积最后有进位为“ 盼”ꎬ用列举法尝试ꎬ若 “一” ＝１ꎬ则“盼”为１不成立ꎻ若“一” ＝２ꎬ则“盼” 为４ꎬ２×４＝８ꎬ即使加上后位进位也不能满足最后 积的首位为４ꎬ以此类推ꎬ得到“一” ＝９ꎬ“盼” ＝１ꎬ 再推出别的汉字代表的数字即可ꎮ 根据除数是三位数ꎬ百位上是６ꎬ商的十位 上的数字和除数相乘的积是三位数ꎬ所以商的十 位上是１ꎬ根据商的十位上的数字和除数相乘的 积末尾是７ꎬ那么除数的个位上是７ꎬ根据除数和 商的个位上的数字的乘积末尾是１ꎬ除数的个位 上是７ꎬ那么商的个位上是３ꎬ根据商个位上的３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １ ０ 和几相乘的积再加上个位进来的２得６ꎬ可得除 数的十位上是８ꎬ从而得到结果ꎮ 由第一步可推知ꎬ８乘这个两位数的除数 没有进位ꎬ说明该除数十位上为１ꎬ且个位上小于 ３ꎻ第二步计算从被除数里搬下两位ꎬ说明前两位 不够除ꎬ商的百位上为０ꎻ商的十位上的数字乘除 数是三位数ꎬ所以商的十位上一定是９ꎬ则除数个 位上只能为２ꎬ其余部分依次推导即可ꎮ 这是一道可以整除的算式ꎮ如图ꎬ由于整 除ꎬ可知ｌ＝６ꎬ被除数的前三位是８ｅｆꎬ除以７ｃｄꎬ商 只能是１ꎬ所以ａ＝１ꎬ那么ｄ＝３ꎬｈ＝７ꎬｊ＝８－７＝１ꎮ 第一余数ｊｋｌｍ除以７ｃ３ꎬ商只能为２ꎬ那么ｂ＝２ꎮ ｇ＝ｍ＝ｑ＝ｂ×ｄ＝２×３＝６ꎬｂ×ｃ＝６ꎬ则ｃ＝３ꎮ除数为 ７３３ꎬ商为１２ꎬ代入算式即可求解ꎮ 有＝３　趣＝２　数＝０　学＝１ 由竖式特点可知“ 数” ＝０ꎬ因为“ 有趣数 学”ד有”的积的首位数字必是９ꎬ所以“有” ＝３ꎻ 再由第一个因数与“趣” 和“学” 的乘积都是四位 数ꎬ可推知“趣”和“学”只能取１或２ꎬ所以只需要 验证３１０２×３１０２和３２０１×３２０１ꎬ经验证ꎬ当因数是 ３２０１时竖式成立ꎮ 真＝６　有＝２　趣＝５ 设“真有趣”为ｘꎬ由竖式可知ｘ２－ｘ＝ｘ(ｘ－ １)能被１００００整除ꎮ因为ｘ与(ｘ－１)是两个相邻 的非０自然数ꎬ必互质ꎬ又因为１００００＝２４× ５４＝ １６×６２５ꎬ所以ｘ与(ｘ－１) 中的奇数应能被６２５整 除ꎬ偶数应能被１６整除ꎮ因为(６２５－１) ÷１６＝３９ꎬ 所以ｘ＝６２５ꎮ 十＝１　厘＝７　米＝６　百＝３　平＝０　方＝９ 设“厘米” ＝ｘꎬ则有ｘ２－ｘ＝ｘ(ｘ－１)能被１００ 整除ꎮ因为ｘ与( ｘ－１) 是两个相邻的非０自然 数ꎬ必互质ꎬ又因为１００＝４×２５ꎬ所以ｘ与(ｘ－１)中 的奇数能被２５整除ꎬ偶数能被４整除ꎮ由此得 ｘ＝２５或７６ꎮ再考虑“十” 只能取１、２或３ꎬ经试 算ꎬ只有“十” ＝１ꎬ“厘” ＝７ꎬ“米” ＝６时有解ꎮ １１０８７ 由于除数一定要比余数大ꎬ所以除数为 ９９ꎬ所以商的每一位都是１ꎬ则被除数是９９×１１１＋ ９８＝１１０８７ꎮ １０１４或１０３５ 由(１)式可知被除数为１０∗∗ꎬ(１) 式的 除数为３或９ꎻ(２)式的除数为２或５ꎬ且大于被除 数的十位数字ꎮ经验证ꎬ当(１)(２)两式的除数分 别为３和２时ꎬ被除数是１０１４ꎻ当(１)(２)两式的 除数分别为９和５时ꎬ被除数是１０３５ꎮ １００２０或１０４４０ 由(１)式可知被除数为１０∗∗０ꎬ(１)式的 除数为３或９ꎻ(２)式的除数为４、６或８ꎬ并能整除 被除数的前三位ꎬ且大于被除数的十位数字ꎮ经 验证ꎬ当(１)(２) 两式的除数分别为３和４时ꎬ被 除数是１００２０ꎻ当(１)(２)两式的除数分别为９和 ８时ꎬ被除数是１０４４０ꎮ 第２讲　三　角　形 ∠Ａ＝８０° 因为∠２＋∠４＋∠５＝１８０°ꎬ所以∠２＋∠４＝ １８０°－∠５＝１８０°－１３０° ＝５０°ꎮ因为∠１＝∠２ꎬ∠３＝ ∠４ꎬ所以在三角形ＡＢＣ中ꎬ∠Ａ＝１８０° －( ∠１＋ ∠２＋∠３＋∠４)＝１８０°－５０°×２＝８０°ꎮ ∠１＝１５° ∠１＋∠２＝９０°－４５° ＝４５°ꎬ∠１＋∠３＝９０°－ ３０° ＝６０°ꎬ∠１＋∠２＋∠３＝９０°ꎮ∠１＋∠２＋∠１＋ ∠３＝４５°＋６０° ＝１０５°ꎬ∠１＋∠２＋∠１＋∠３－( ∠１＋ ∠２＋∠３)＝∠１＝１０５°－９０° ＝１５°ꎮ ３６０° 因为∠ＣＢＥ＋∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＨ＋∠ＢＡＤ＋ ∠ＡＤＧ＋∠ＡＤＣ＋∠ＤＣＦ＋∠ＢＣＤ＝１８０°×４＝７２０°ꎬ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ２ ０ 又因为∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ＝３６０°(四 边形的内角和定理)ꎬ所以∠ＣＢＥ＋∠ＢＡＨ＋∠ＡＤＧ＋ ∠ＤＣＦ＝７２０°－(∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ)＝ ７２０°－３６０°＝３６０°ꎮ ２４厘米 假设腰长为ｘ厘米ꎬ则底边长为( ２ｘ－ １２)厘米ꎬ因为三角形的周长为６０厘米ꎬ则有ｘ＋ ｘ＋(２ｘ－１２)＝６０ꎬ解得ｘ＝１８ꎬ所以底边长为２×１８－ １２＝２４(厘米)ꎮ 能摆出７种不同的三角形ꎮ 三角形能成立的三边条件是任意两边之 和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎬ由此可 以列举有如下情况: ①４厘米ꎬ６厘米ꎬ８厘米ꎻ②４厘米ꎬ８厘米ꎬ１０厘米ꎻ ③４厘米ꎬ１０厘米ꎬ１２厘米ꎻ④６厘米ꎬ８厘米ꎬ １０厘米ꎻ⑤６厘米ꎬ８厘米ꎬ１２厘米ꎻ⑥６厘米ꎬ １０厘米ꎬ１２厘米ꎻ⑦８厘米ꎬ１０厘米ꎬ１２厘米ꎮ故 能摆出７种不同的三角形ꎮ 这样的三角形有１９个ꎮ 设三角形的三边长分别为ａ、ｂ、ｃꎬ且ａ≤ ｂ≤ｃꎬ由于ａ＋ｂ＋ｃ＝３０ꎬ且ａ＋ｂ>ｃꎬ所以ｃ<１５ꎮ由于 ｃ是最长边ꎬ所以１０≤ｃ< １５ꎮｃ可为１４、１３、１２、 １１、１０ꎮ分别有以下情况: １４ꎬ１４ꎬ２ꎻ１３ꎬ１３ꎬ４ꎻ１２ꎬ１２ꎬ６ꎻ１１ꎬ１１ꎬ８ꎻ１０ꎬ１０ꎬ１０ꎮ １４ꎬ１３ꎬ３ꎻ１３ꎬ１２ꎬ５ꎻ１２ꎬ１１ꎬ７ꎻ１１ꎬ１０ꎬ９ꎻ １４ꎬ１２ꎬ４ꎻ１３ꎬ１１ꎬ６ꎻ１２ꎬ１０ꎬ８ꎻ １４ꎬ１１ꎬ５ꎻ１３ꎬ１０ꎬ７ꎻ１２ꎬ９ꎬ９ꎻ １４ꎬ１０ꎬ６ꎻ１３ꎬ９ꎬ８ꎻ １４ꎬ９ꎬ７ꎻ １４ꎬ８ꎬ８ꎻ 一共有７＋５＋４＋２＋１＝１９(个)ꎮ ８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个) 三角形底边分为８段ꎬ用数线段法数三角 形个数ꎬ所以一共有８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)ꎮ ８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个) ３６×３＝１０８(个) 可分为三层计数ꎬ方法和一层计数相同ꎮ 第一层:８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)ꎬ 第一、二层拼接后:８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)ꎬ 第一、二、三层拼接后:８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝ ３６(个)ꎬ所以一共有３６×３＝１０８(个)ꎮ １６＋７＋３＋１＝２７(个) 以个数分类讨论ꎮ 单个三角形共有１＋３＋５＋７＝１６(个)ꎬ 两层组合三角形共有１＋２＋３＋１＝７(个)ꎬ 三层组合三角形共有１＋２＝３(个)ꎬ 四层组合三角形共有１个ꎮ 一共有１６＋７＋３＋１＝２７(个)ꎮ 答案不唯一ꎬ示例如图ꎮ 方法一:如图①ꎬ分别作出ＡＢ、ＡＣ边的中 点Ｆ、Ｅꎬ连接ＣＦ、ＢＥꎬＣＦ与ＢＥ交于点Ｄꎬ则点Ｄ 是三角形的重心ꎬ连接ＡＤ并延长ꎬ交ＢＣ于点Ｇꎬ 则三角形ＡＤＦ、三角形ＢＤＦ、三角形ＡＤＥ、三角形 ＣＤＥ、三角形ＢＤＧ、三角形ＣＤＧ这六个三角形的 面积相等ꎻ 方法二:如图②ꎬ作出ＢＣ的六等分点Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、 Ｈꎬ分别与Ａ连接ꎬ三角形ＡＢＤ、三角形ＡＤＥ、三角 形ＡＥＦ、三角形ＡＦＧ、三角形ＡＧＨ、三角形ＡＨＣ这 六个三角形的面积相等ꎻ 方法三:如图③ꎬ作出ＡＢ边的中点Ｄꎬ连接ＣＤꎬ并 作出ＣＤ的三等分点Ｅ、Ｆꎬ连接ＡＥ、ＡＦ、ＢＥ、ＢＦꎬ 则三角形ＡＤＥ、三角形ＡＥＦ、三角形ＡＦＣ、三角形 ＢＤＥ、三角形ＢＥＦ、三角形ＢＦＣ这六个三角形的 面积相等ꎮ (１)Ｓ三角形ＡＢＣ＝４ ３Ｓ三角形ＡＢＤ (２)Ｓ三角形ＡＢＤ＝３Ｓ三角形ＡＤＣ 因为三角形ＡＢＤ、三角形ＡＢＣ和三角形 ＡＤＣ分别以ＢＤ、ＢＣ和ＤＣ为底时ꎬ它们的高都是 从Ａ点向ＢＣ边上所作的垂线段ꎬ也就是说这三 个三角形的高是相等的ꎬ设高为ｈꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＤ＝ １２× ｈ÷ ２＝６ｈꎬＳ三角形ＡＢＣ＝( １２＋４) × ｈ÷ ２＝８ｈꎬ Ｓ三角形ＡＤＣ＝４×ｈ÷２＝２ｈꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＣ＝４ ３Ｓ三角形ＡＢＤꎬ Ｓ三角形ＡＢＤ＝３Ｓ三角形ＡＤＣꎮ　 ４８ 如图ꎬ连接ＢＨꎬ则涂 色部分的面积＝Ｓ三角形ＥＢＨ＋ Ｓ三角形ＢＨＦ＋Ｓ三角形ＤＨＧ＝４×８÷２＋ ４×１２÷２＋４×４÷２＝４８ꎮ Ｓ梯形ＡＢＣＤ＝Ｓ三角形ＡＢＤ＋ Ｓ三角形ＢＤＣ＝４ ３× １５＋４ ３× １５× ３＝８０(平方厘米) 根据题意可得ＢＤ＝４ ３ＢＯꎬＳ三角形ＡＢＤ＝ ４ ３Ｓ三角形ＡＢＯ＝４ ３×１５＝２０(平方厘米)ꎮ ＡＤ∶ＢＣ＝ＯＤ∶ＯＢ＝１∶３ꎬ因为三角形ＡＢＤ与三 角形ＢＤＣ的高相同ꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＤ∶Ｓ三角形ＢＤＣ＝ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ３ ０ １∶３ꎬ则Ｓ三角形ＢＤＣ＝２０×３＝６０(平方厘米)ꎬＳ梯形ＡＢＣＤ＝ Ｓ三角形ＡＢＤ＋Ｓ三角形ＢＤＣ＝２０＋６０＝８０(平方厘米)ꎮ ７.５ 由题图可以看出ꎬＳ三角形ＡＯＢ＝Ｓ三角形ＢＯＤꎬ三角 形ＢＯＤ是三角形ＡＢＤ和三角形ＢＣＤ的公共部 分ꎬ由三角形面积公式可知Ｓ三角形ＡＢＤ是Ｓ三角形ＢＣＤ的 一半ꎬ则Ｓ三角形ＣＯＤ－Ｓ三角形ＡＢＯ＝Ｓ三角形ＢＣＤ－Ｓ三角形ＡＢＤ＝ Ｓ三角形ＡＢＤ＝１５平方厘米ꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＯ＝７.５平方 厘米ꎮ Ｓ三角形ＡＥＦ＝１８０× １ ２× １ ３× ３ ４＝２２.５(平方厘米) 由题意得Ｄ是ＢＣ的中点ꎬＡＤ＝３ＡＥꎬＥＦ 的长是ＢＦ的３倍ꎬＳ三角形ＡＢＣ＝１８０平方厘米ꎬ即 ＢＤ＝１ ２ＢＣꎬＡＥ＝１ ３ＡＤꎬＥＦ＝３ ４ＢＥꎮ设三角形ＡＢＤ 以ＢＤ边为底时的高为ｈꎬ以ＡＤ边为底时的高为 ｈ′ꎬＳ三角形ＡＢＤ＝１ ２ＢＤ×ｈ＝１ ２ＡＤ×ｈ′ꎬＳ三角形ＡＢＣ＝１ ２ＢＣ× ｈ＝１８０(平方厘米)ꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＤ＝１ ２ＢＤ×ｈ＝１ ２× １ ２ＢＣ× ｈ＝１ ２× １８０＝９０(平方厘米)ꎮＳ三角形ＡＢＥ＝ １ ２ＡＥ×ｈ′＝１ ２× １ ３ＡＤ×ｈ′＝１ ３×９０＝３０(平方厘米)ꎬ所 以Ｓ三角形ＡＥＦ＝３ ４Ｓ三角形ＡＢＥ＝３ ４×３０＝２２.５(平方厘米)ꎮ 第３讲　等差数列进阶 ２５ꎬ５６ꎬ２１ꎬ１０２５ 项数＝(末项－首项) ÷公差＋１＝(７７－５) ÷ ３＋１＝２５ꎬ第１８项＝ａ１＋(ｎ－１)×ｄ＝５＋(１８－１) ×３＝ ５６ꎬ(６５－５) ÷３＋１＝２１ꎬＳｎ＝( ａ１＋ａｎ) ×ｎ÷２＝(５＋ ７７)×２５÷２＝１０２５ꎮ ７ (５７－１５)÷(７－１)＝７ꎮ ４０６厘米 首项ａ１＝１０ꎬ公差ｄ＝４ꎬａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)ｄ＝ １０＋(１００－１)×４＝４０６ꎬ即这棵树高４０６厘米ꎮ (１)１９　(２)６ (３)①１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝４×７＝２８ ②８１＋８３＋８５＋８７＋８９＋９１＋９３＝８７×７＝６０９ (１)中间数＝(首项＋末项) ÷２＝(８＋３０) ÷ ２＝１９ꎮ(２)(１１＋１) ÷２＝６ꎮ(３) 根据中项定理: 和＝中间数×项数ꎮ ６０ 和＝中间数× 项数ꎬ那么中间数＝和÷ 项数＝３２０÷５＝６４ꎬ第３个数是６４ꎬ最小的那个数 就是６０ꎮ ４９７５０３ 项数:(１９９３－１)÷４＋１＝４９９ꎬ 中间数:(１９９３＋１)÷２＝９９７ꎬ 根据中项定理ꎬ和＝中间数×项数ꎬ 和＝９９７×４９９＝４９７５０３ꎮ ７ 根据中项定理ꎬ和＝中间数×项数ꎬ中间 数＝９９÷９＝１１ꎬ即第５项是１１ꎬａ１＝１１－(５－１)×１＝ ７ꎬ即最小的数是７ꎮ ８９岁 根据中项定理ꎬ中间数＝和÷项数＝７６５÷ ９＝８５ꎬ第５个数是８５ꎬ第９个数是８５＋４＝８９ꎬ即最 大的老人是８９岁ꎮ １１０个ꎬ１１１１０个 项数:(２１０－１０)÷２＋１＝１０１ꎬ即一共有１０１排ꎻ 中间数:(１０＋２１０) ÷２＝１１０ꎬ即中间一排有１１０个 座位ꎻ 和:１１０×１０１＝１１１１０ꎬ即一共有１１１１０个座位ꎮ ２０１０ 偶数项的规律１、３、５、７􀆺􀆺 奇数项的规律２、４、６、８􀆺􀆺 可以看出两个数列都是等差数列ꎬ２００９是奇数ꎬ 所以在偶数项里ꎬ它的项数是(２００９－１) ÷２＋１＝ １００５ꎬ所以在整个数列里ꎬ２００９的项数是１００５× ２＝２０１０ꎮ １０３＋５９６　３５２５０ 假设第１００个算式是ａ１００＋ｂ１００ꎬａ１００＝４＋ (１００－１)×１＝１０３ꎬｂ１００＝２＋(１００－１) ×６＝５９６ꎬ所以 第１００个算式是１０３＋５９６ꎮ ４＋２＋５＋８＋６＋１４＋７＋２０＋􀆺＋１０３＋５９６ 数列①:４＋５＋６＋７＋􀆺＋１０３＝(４＋１０３) ×１００÷２＝ ５３５０ꎬ数列②:２＋８＋１４＋２０＋􀆺＋５９６＝(２＋５９６) × １００÷２＝２９９００ꎬ２９９００＋５３５０＝３５２５０ꎮ (１)２６项　(２)２６５２ (１) 等差数列中项数为(１００－０) ÷２＋１＝ ５１ꎬ由于周期开始ꎬ等差结束ꎬ所以周期数列的项 数也是５１ꎬ由５１÷４＝１２􀆺􀆺３可得ꎬ５１项里面有 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ４ ０ １２个完整的周期ꎬ还余３项１、２、３ꎬ每个周期有 ２项是２ꎬ１２×２＋１＝２５(项)ꎬ等差数列中有１项是 ２ꎬ２５＋１＝２６(项)ꎮ (２)周期数列之和:(１＋２＋３＋２) × １２＋１＋２＋３＝ １０２ꎬ等差数列之和:(０＋１００)×５１÷２＝２５５０ꎮ２５５０＋ １０２＝２６５２ꎮ ５１５１ 第１个数:１＝１ꎬ第２个数:３＝１＋２ꎬ第３个 数:６＝１＋２＋３ꎬ第４个数:１０＝１＋２＋３＋４ꎬ􀆺ꎬ第 ｎ个数:１＋２＋３＋４＋􀆺＋ｎꎬ第１０１个数:１＋２＋３＋􀆺＋ １０１＝５１５１ꎮ ９０ 当ｎ＝１时ꎬ共有１×２＝２(个)小星星ꎬ 当ｎ＝２时ꎬ共有２×３＝６(个)小星星ꎬ 当ｎ＝３时ꎬ共有３×４＝１２(个)小星星ꎬ 􀆺 当ｎ＝９时ꎬ共有９×１０＝９０(个)小星星ꎮ (１)２９　(２)３１　(３)１０　１１ (１)第１行是二级等差数列: (２)第３行是二级等差数列: (３) 可得２００位于这个数表中第１０行左起第１１０个ꎮ ５ ０ 练习册参考答案 第１讲　乘除法　 竖式谜　 Ｂ 根据分析可得ꎬ“好好好”表示为１１１ｎ＝３７× ３×ｎꎬ因为不同汉字代表不同的数字ꎬ所以ｎ≠１ꎬ ｎ＝２ꎬ则“好好好” ＝３７×６(符合要求)或７４×３(不 符合要求)ꎬ ｎ＝３ꎬ则“好好好” ＝３７×９(不符合要求)ꎬ ｎ＝４ꎬ则“好好好” ＝７４×６(不符合要求)ꎬ ｎ＝５ꎬ则“好好好” ＝３７×１５(不符合要求)ꎬ ｎ＝６ꎬ则“好好好” ＝７４×９(不符合要求)ꎬ 所以“好好好” ＝３７×６＝２２２ꎬ即“好” 代表的数字 是２ꎮ ５４ 由１ＡＡ１能被１１整除及只有１×１ꎬ３×７ꎬ９×９ 积的个位是１ꎬ所以Ａ可能为１、３、７或９ꎬ而且 １ＡＡ１可分解成１１与１个一位数和１个两位数的 乘积ꎮ分别检验１１１１、１３３１、１７７１、１９９１ꎬ只有 １７７１满足１７７１＝１１×７×２３ꎬ可知原式是７７×２３＝ １７７１ꎮ所以两个因数的差是７７－２３＝５４ꎮ 从第二个因数的十位数字入手ꎬ考虑９与 第一个因数的乘积ꎮ由于第二行乘积的个位上是 ７ꎬ则第一个因数的个位上只能是３ꎮ第二行乘积 的十位上是１ꎬ而且是进“２”后为“１”ꎬ则实际应为 １１－２＝９ꎬ那么第一个因数的十位上只能是１ꎬ第 一个因数的千位上３与９的乘积为２７ꎬ而第二行 乘积所示结果为３０ꎬ说明第一个因数百位与９的 乘积中进位是“３”ꎬ那么第一个因数百位上与９ 的乘积必为３６ꎬ则第一个因数的百位上是４ꎮ第 一行乘积的个位是１ꎬ是第一个因数个位上３与 第二个因数个位上的数的积ꎬ那么第二个因数的 个位上一定是７ꎮ ３８７６６ 设除数为ｍ４ｎꎬ商为ａｂｃꎬ根据除法竖式可 知ｍ４ｎ×ｂ＝□□４ꎬ 再由减法竖式可知ｍ４ｎ×ｂ＝９□４ꎮ 因为ｍ４ｎ×ｃ＝４□□ꎬ所以ｍ≤４ꎮ 试验:ｍ＝１时ꎬ由１４ｎ×ｂ＝９□４ꎬ推出ｂ＝７ꎬｎ＝２ꎻ 由１４２×ａ＝□□４ꎬ推出ａ＝２ꎻ由１４２×ｃ＝４□□ꎬ推 出ｃ＝３ꎮ所以被除数为１４２×２７３＝３８７６６ꎮ ｍ＝２、３、４时ꎬ均无解ꎮ Ａ＝１　Ｂ＝９　Ｃ＝７　Ｄ＝３　Ｅ＝８　Ｆ＝４ ＡＢＢＣ×Ａ＝ＡＢＢＣꎬ所以Ａ＝１ꎻ中间数位相 加部分ꎬ第一步计算结果中的百位上是Ｂꎬ第二步 计算结果百位上是Ｃꎬ最后相加的结果还是Ｃꎬ说 明Ｂ可能为０ꎬ也可能是９(后面进位１)ꎬ然后看 十位部分ꎬＢ＋Ｂ＝Ｅꎬ说明Ｂ不为０ꎬ所以Ｂ＝９ꎻＣ×Ｃ 末尾会出现９ꎬ说明Ｃ可能为３或７ꎬ经验证３不 符合要求ꎬ所以Ｃ＝７ꎻ所以最后答案就是１９９７× ７１＝１４１７８７ꎬ即Ａ＝１ꎬＢ＝９ꎬＣ＝７ꎬＤ＝３ꎬＥ＝８ꎬＦ＝４ꎮ ８９１４３７ 竖式中未知字母有１０个ꎬ它们是Ａ、Ｉ、Ｌ、 Ｓ、Ｙ、Ｒ、Ｃ、Ｏ、Ｕ、Ｇꎮ由题意ꎬ得这１０个字母分别 表示０~９这１０个数字ꎮ 先观察竖式中各个数的位数ꎮ注意到ꎬ除数ＡＩＬＳ 与Ｃ相乘得到四位数ＳＩＵＲꎬ而与Ｏ和Ｌ相乘分别 得到五位数ＲＡＩＣＯ和ＲＹＬＹＵꎬ所以Ｃ<Ｏꎬ且Ｃ<Ｌꎮ 再观察除法竖式中的第二步减法ꎮＲＩＯＣＣ与 ＲＡＩＣＯ相减后的十位是Ｙꎮ已知Ｃ<Ｏꎬ此时相减有 退位ꎬ所以Ｙ＝９ꎬ得到如图①所示的形式ꎮ 　 接着观察整式的最后一步减法ꎬ因为这一步中ꎬ两 个首位不同的五位数的差是四位数ꎬ那么它们的 首位必然相差１ꎬ也就是说Ａ＝Ｒ＋１ꎮ由于减法是 加法的逆运算ꎬ因此可从加法的角度考虑减法的 最后两位ꎮ ９Ｕ＋９Ｒ的后两位是ＬＳꎬ如果Ｕ＋Ｒ有进位１ꎬ则Ｌ＝ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ６ ０ ９ꎬ与Ｙ＝９重复ꎬ不符合题意ꎮ 因此Ｕ＋Ｒ没有进位ꎬ所以十位上Ｌ＝８ꎮ 继续观察减法的后三位ꎬ９ＬＳ－Ｌ９Ｕ的后三位为 Ｇ９Ｒꎬ而Ｌ＝８ꎬ因此Ｇ＝０ꎮ 这时百位相减时没有向千位借位ꎬ所以Ｒ＝１ꎮ又 因为Ａ＝Ｒ＋１ꎬ所以Ａ＝２ꎮ竖式变为如图②所示的 形式ꎮ然后观察竖式的第二步减法ꎬ因为Ｉ－２＝２ꎬ 所以Ｉ＝４ꎮ 再看第一步减法ꎬ个位上ꎬＩ－１＝Ｃꎬ所以Ｃ＝３ꎬ千位 上ꎬ８－Ｓ＝１ꎬ即有Ｓ＝７ꎮ 由最后一步减法的个位可知ꎬＳ－Ｕ＝１ꎬ所以Ｕ＝６ꎮ 由第一步减法的十位ꎬ有１＋１０－Ｕ＝Ｏꎬ所以Ｏ＝５ꎮ 综上ꎬ竖式如图③所示ꎬ经验算ꎬ符合题意ꎮ (１) (２) (１)一个首位是３的五位数乘方框内的一 位数后得到一个首位是９的五位数ꎬ那么方框内 的数一定是３ꎬ此时的竖式如图①所示ꎬ这时剩下 ８个各不相同的汉字ꎬ恰好是１、２、４、５、６、７、８、０ 各一个ꎮ 　　 因为“强”乘３之后没有进位ꎬ所以它只能是２、１ 或０ꎮ不妨先假设“强” ＝２ꎮ易知ꎬ０不是在乘数 中ꎬ就是在乘积中ꎬ如果０在乘数中ꎬ那么显然它 不能在末尾ꎮ如果０在十位ꎬ如图②所示ꎮ 此时有“魏” ×３＝股弦ꎮ这时还剩下１、４、５、６、７、 ８ꎮ经试验发现ꎬ“魏”无论取其中的哪个数字ꎬ在 竖式中都会出现重复数字ꎬ因此０不能在十位上ꎬ 只能在百位上ꎬ那么此时“章” ＝６ꎬ如图③所示ꎮ 　　 这时只剩下１、４、５、７、８ꎮ易知“魏”不能取１和５ꎬ 也不能取４(乘积末位和２重复)ꎬ只能是７或８ꎮ 如果“魏” ＝７ꎬ那么可以确定“ 弦” ＝１ꎬ如图④所 示ꎬ还剩下４、５、８要填在“赵” “勾” “股” 的位置ꎮ 经试验发现ꎬ无论“赵”取４、５、８中的哪个ꎬ都会出 现重复数字ꎬ所以假设不成立ꎮ所以只能“魏” ＝ ８ꎬ这时就可以确定“弦” ＝４ꎬ如图⑤所示ꎮ 剩下１、５、７要填在“赵” “勾” “股” 的位置ꎮ经试 验发现ꎬ“赵”为５ꎬ“股” 为７ꎬ“勾” 为１时恰好满 足题意ꎬ如答案所示ꎮ (２) 已知勾股弦代表３４５ꎬ所以个位“魏” 不能是 ５ꎬ那么方框内的数字只能是偶数２、４、６、８中的一 个ꎮ如果方框内填４ꎬ那么韩赵魏是３８０ꎬ则数字３ 重复ꎮ同样ꎬ如果方框内填６ꎬ那么韩赵魏是０７０ꎬ 则数字０重复ꎮ因此方框中的数字只能是２或８ꎮ ①若方框里填２ꎬ那么韩赵魏是６９０ꎬ竖式如图⑥ 所示ꎬ此时还剩下１、２、７、８四个数字要分别填在 “九”“章”“三”“强”的位置ꎮ 因为“九”乘２后没有进位ꎬ所以“九”只能是１或 ２ꎮ若“九”是１ꎬ则“三” 不能取７或８ꎬ只能取２ꎮ 此时只剩下７和８ꎬ对应“章” 和“强”ꎮ但试算后 发现ꎬ无论如何都不能满足要求ꎮ若“九”是２ꎬ因 “章”乘２后至多向前进１ꎬ那么“三” 就只能是４ 或５ꎬ此时必定要出现重复数字ꎮ所以方框内不 可能填２ꎮ 　 ②若方框里填８ꎬ那么韩赵魏是７６０ꎬ竖式如图⑦ 所示ꎮ此时还剩下１、２、８、９四个数字要分别填在 “九”“章”“三”“强”的位置ꎮ 因为九章乘８后没有进位ꎬ所以只能是１２ꎬ剩下 的三强就是９８ꎮ经验算正好成立ꎮ 此时找到了唯一的解ꎬ如答案所示ꎮ 第２讲　三　角　形 ２４个 (３＋２＋１)×３＋６＝２４(个)ꎮ １６厘米 三角形的面积＝底× 高÷ ２＝１０× ８÷ ２＝ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ７ ０ ４０(平方厘米)ꎬ三角形的底＝面积×２÷高＝４０×２÷ ５＝１６(厘米)ꎮ ２７平方厘米 方法一:如图①ꎬ将题图分为１２个完全一 样的小等腰直角三角形ꎮ三角形ＡＢＣ占９个小 等腰直角三角形ꎬ其中涂色部分占６个小等腰直 角三角形ꎬＳ三角形ＡＢＣ＝９×９÷２＝４０.５(平方厘米)ꎬ所 以涂色部分的面积为４０.５÷９×６＝２７(平方厘米)ꎮ 　　 方法二:如图②ꎬ连接ＩＧ、ＡＤꎬ则四边形ＡＤＧＩ为正 方形ꎬ易知ＦＧ＝ＦＣ＝３厘米ꎬ所以ＤＧ＝ＤＦ－ＦＧ＝９－ ３＝６( 厘米)ꎬ于是Ｓ三角形ＨＩＧ＝１ ４× Ｓ正方形ＡＩＧＤ＝１ ４× ６２＝９(平方厘米)ꎮ而四边形ＩＧＦＢ为长方形ꎬ且 ＢＦ＝ＡＤ＝ＤＧ＝６厘米ꎬＧＦ＝３厘米ꎬ所以Ｓ长方形ＩＧＦＢ＝ ６×３＝１８( 平方厘米)ꎮ涂色部分面积为三角形 ＨＩＧ与长方形ＩＧＦＢ的面积和ꎬ即为９＋１８＝２７(平 方厘米)ꎮ 方法三:如图③ꎬ为了方便叙述ꎬ将题图标上字母ꎮ 易知三角形ＢＩＥ、三角形ＣＧＦ、三角形ＡＩＨ、三角形 ＤＧＨ均为等腰直角三角形ꎮ 先求出等腰直角三角形ＡＨＩ、等腰直角三角形 ＣＧＦ的面积ꎬ再用已知的等腰直角三角形ＡＢＣ的 面积与其作差ꎬ即为需求涂色部分的面积ꎮ即 Ｓ三角形ＡＢＣ＝Ｓ三角形ＤＥＦ＝１ ２×ＥＦ×ＤＦ＝８１ ２(平方厘米)ꎬ Ｓ三角形ＣＧＦ＝１ ２×ＣＦ×ＦＧ＝９ ２(平方厘米)ꎮ因为ＣＦ＝ ＦＧ＝３(厘米)ꎬ所以ＤＧ＝ＤＦ－ＦＧ＝６(厘米)ꎮ 　　 如图④ꎬ可以将４个三角形ＤＧＨ拼成一个以ＤＧ 为边长的正方形ꎮ所以Ｓ三角形ＤＧＨ＝１ ４×ＤＧ×ＤＧ＝ ９(平方厘米)ꎬ而Ｓ三角形ＡＩＨ＝Ｓ三角形ＤＧＨ＝９平方厘米ꎬ 所以Ｓ涂色＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ三角形ＣＧＦ－Ｓ三角形ＡＩＨ＝８１ ２－９ ２－ ９＝２７(平方厘米)ꎮ 即涂色部分的面积为２７平方厘米ꎮ ３.５ 先算出长方形的面积ꎬ再用其面积的一半 减去三角形ＤＯＣ的面积ꎬ再减去三角形ＡＯＤ的 面积ꎬ即可求出三角形ＡＯＣ的面积ꎮ 根据模型可知Ｓ三角形ＣＯＤ＋Ｓ三角形ＡＯＢ＝１ ２Ｓ长方形ＡＢＣＤꎬ所 以Ｓ长方形ＡＢＣＤ＝１６÷ ( １ ２－１８％) ＝５０ꎮ 又三角形ＡＯＤ与三角形ＢＯＣ的面积相等ꎬ它们的 面积和等于长方形面积的一半ꎬ所以三角形ＡＯＤ 的面积等于长方形面积的１ ４ꎬ所以Ｓ三角形ＡＯＣ＝ Ｓ三角形ＡＣＤ－Ｓ三角形ＡＯＤ－Ｓ三角形ＣＯＤ＝ １ ２Ｓ长方形ＡＢＣＤ－ １ ４Ｓ长方形ＡＢＣＤ－１８％×Ｓ长方形ＡＢＣＤ＝２５－１２.５－９＝３.５ꎮ ３ ３２ 图中有大、中、小三个 正方形ꎬ由小到大每个面积是 前一个的１ ２ꎬ所以小正方形的 面积是１ ４ꎬ将小正方形各顶点 标上字母ꎬ连接ＦＨꎬ如图ꎬ很容易看出三角形ＪＦＧ 的面积＝三角形ＩＨＧ的面积＝１ ４×正方形ＥＦＧＨ 的面积ꎬ三角形ＥＪＩ的面积＝１ ４×三角形ＥＦＨ的面 积＝１ ８×正方形ＥＦＧＨ的面积ꎮ所以涂色三角形 ＪＧＩ的面积＝( １－１ ４－１ ４－１ ８) ×小正方形的面积＝ ３ ８×小正方形的面积＝３ ８× １ ４＝３ ３２ꎮ ４０ 如图ꎬ连接ＡＦꎬＢＤꎮ 根据题意可知ꎬＣＦ＝５＋７＋ １５＝２７ꎬＤＧ＝７＋１５＋６＝ ２８ꎬ所以 Ｓ三角形ＢＥＦ ＝ １５ ２７Ｓ三角形ＣＢＦꎬ Ｓ三角形ＢＥＣ ＝ １２ ２７Ｓ三角形ＣＢＦꎬ Ｓ三角形ＡＥＧ ＝ ２１ ２８Ｓ三角形ＡＤＧꎬＳ三角形ＡＥＤ＝７ ２８Ｓ三角形ＡＤＧꎬ所以２１ ２８Ｓ三角形ＡＤＧ＋ １５ ２７Ｓ三角形ＣＢＦ＝６５ꎬ７ ２８Ｓ三角形ＡＤＧ＋１２ ２７Ｓ三角形ＣＢＦ＝３８ꎬ可得 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ８ ０ Ｓ三角形ＡＤＧ＝４０ꎬ故三角形ＡＤＧ的面积是４０ꎮ １００ 如果可以求出三角形ＡＢＧ与三角形ＣＤＧ 的面积之和与梯形ＡＢＣＤ面积的比ꎬ那么就可以 知道三角形ＡＤＧ的面积占梯形ＡＢＣＤ面积的多 少ꎬ从而可以求出梯形ＡＢＣＤ的面积ꎮ 如图①ꎬ连接ＣＥ、ＤＥꎮ 则Ｓ三角形ＡＥＧ＝Ｓ三角形ＤＥＧꎬＳ三角形ＢＥＧ＝Ｓ三角形ＣＥＧꎬ于是 Ｓ三角形ＡＢＧ＋Ｓ三角形ＣＤＧ＝Ｓ三角形ＣＤＥꎮ 要求三角形ＣＤＥ与梯形ＡＢＣＤ的面积之比ꎬ可以 把梯形ＡＢＣＤ绕Ｆ点旋转１８０°ꎬ变成一个平行四 边形ꎬ如图②所示ꎮ 从中容易看出三角形ＣＤＥ的面积为梯形ＡＢＣＤ的 面积的一半ꎮ( 也可以根据Ｓ三角形ＢＥＣ＝１ ２Ｓ三角形ＡＢＣꎬ Ｓ三角形ＡＥＤ＝Ｓ三角形ＡＦＤ＝１ ２Ｓ三角形ＡＤＣꎬＳ三角形ＢＥＣ＋Ｓ三角形ＡＥＤ＝ １ ２Ｓ三角形ＡＢＣ＋１ ２Ｓ三角形ＡＤＣ＝１ ２Ｓ梯形ＡＢＣＤ得来) 进而推出Ｓ三角形ＡＢＧ＋Ｓ三角形ＣＤＧ＝１ ２Ｓ梯形ＡＢＣＤꎬ那么根据 题意可知三角形ＡＤＧ的面积占梯形ＡＢＣＤ面积的 １－１ ２－７ ２０＝３ ２０ꎬ所以梯形ＡＢＣＤ的面积是１５÷ ３ ２０＝ １００(ｃｍ２)ꎮ ２４ 由题意可知ꎬＢＤ∶ＢＣ＝Ｓ三角形ＢＡＤ∶Ｓ三角形ＡＢＣ＝ ２∶９ꎬ所以ＢＤ＝２ ９ＢＣ＝１０ꎬＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝３５ꎮ又 ＤＩ∶ＤＣ＝Ｓ三角形ＤＩＦ∶Ｓ三角形ＤＦＣ＝２∶５ꎬ所以ＤＩ＝ ２ ５ＤＣ＝１４ꎮ同理可得ＦＫ＝１０ꎬ所以ＤＩ＋ＦＫ＝１４＋ １０＝２４ꎮ 第３讲　等差数列进阶　　　 ２０２块ꎬ２０４０２块 项数:(４０２－２)÷４＋１＝１０１(层)ꎬ 中间数:(２＋４０２)÷２＝２０２(块)ꎬ 和:(２＋４０２)×１０１÷２＝２０４０２(块)ꎮ ５００５０１ 从题目中可以看出ꎬ相邻两数的差都会依 次增加１ꎮ 第１个数:１＝１ꎬ 第２个数:２＝１＋１ꎬ 第３个数:４＝１＋１＋２ꎬ 第４个数:７＝１＋１＋２＋３ꎬ 第５个数:１１＝１＋１＋２＋３＋４ꎬ 􀆺􀆺 第ｎ个数:１＋１＋２＋３＋４＋􀆺＋(ｎ－１)ꎬ 第１００１个数:１＋１＋２＋３＋４＋􀆺＋(１００１－１)＝１＋１＋ ２＋３＋４＋􀆺＋１０００＝１＋５００５００＝５００５０１ꎮ ６３８ 先求能被３整除的数的和:１１~ ４５中能被 ３整除的数有１２、１５、１８、２１、􀆺、４５ꎬ和为１２＋１５＋ １８＋２１＋􀆺＋４５＝(１２＋４５)×１２÷２＝３４２ꎬ于是满足要 求的数的和为(１１＋１２＋１３＋􀆺＋４５) －３４２＝９８０－ ３４２＝６３８ꎮ ２１６ 公差１９－１５＝４ꎬ项数(４４３－１５) ÷４＋１＝ １０８ꎬ倒数第２项:４４３－４＝４３９ꎬ奇数项组成的数 列:１５、２３、３１、􀆺、４３９ꎬ公差:２３－１５＝８ꎬ和:(１５＋ ４３９)×５４÷２＝１２２５８ꎮ偶数项组成的数列:１９、２７、 ３５、􀆺、４４３ꎬ公差:２７－１９＝８ꎬ和:(１９＋４４３) ×５４÷ ２＝１２４７４ꎬ差:１２４７４－１２２５８＝２１６ꎮ 可以是６３０ꎬ但不能是１７０和２１６ꎮ 观察题图ꎬ被方框框住的９个数之和ꎬ其 实是中间那行最中间数的９倍ꎬ同时其上、下、左、 右都有数ꎮ１７０不是９的整倍数ꎬ所以框住的９个 数之和不可能是１７０ꎮ２１６÷９＝２４ꎬ２４在第３行的 最右端ꎬ再往右没有数了ꎬ所以也不可能ꎮ６３０÷ ９＝７０ꎬ７０在第９行第６列ꎬ完全符合要求ꎮ 从６７页到７６页 所有页码和:１＋２＋３＋４＋􀆺＋３４５＝(１＋３４５)× ３４５÷２＝５９６８５ꎬ５张＝１０页ꎬ５９６８５－５８９７０＝７１５ꎮ Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ(ｎ－１) ÷２×ｄꎬ７１５＝１０×ａ１＋１０×９÷２×１ꎬ 则ａ１＝６７ꎬａ１０＝６７＋(１０－１)×１＝７６ꎮ ３种　公差值分别为２、１或０ 根据分析ꎬ等差数列之和刚好比五个顶点 的数字之和多了０＋１＋２＋３＋􀆺＋９ꎬ即４５ꎬ设顶点分 别为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅꎬ则有Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝５５－４５＝ １０ꎬ在０~９这十个数字中ꎬ只有０＋１＋２＋３＋４＝１０ꎬ 故Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ分别只能是０~ ４中的一个数字ꎬ 则除此之外的其他五条边上的数之和为４５－１０＝ ３５ꎮ设所形成的等差数列的首项为ａꎬ公差为ｄꎬ 根据求和公式得５×(ａ＋ａ＋４ｄ) ２ ＝５５ꎬ化简得ａ＋ ２ｄ＝１１ꎮ　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ９ ０ 因为ａ≥０ꎬ１１≥０＋１＋５＝６ꎬ且１１为奇数ꎬａ只能取 ７、９或１１ꎬ所以ｄ＝１１－ａ ２ ꎬ所以ｄ＝２、１或０ꎬ求出对 应的公差值为２、１或０ꎬ 举例如图:公差为２的情况: 　 公差为０的情况: 公差为１的情况(填法不唯一): 　 １０ 通过尝试可以得到１＋２＋３＋􀆺＋４４＝(１＋ ４４)×４４÷２＝９９０ꎬ１０００－９９０＝１０ꎮ ７２ 由题意得ꎬ第３名的成绩＋第６名的成绩＝ 第４名的成绩＋第５名的成绩＝３５４÷２＝１７７(分)ꎬ 根据奇偶分析ꎬ则其公差一定是奇数ꎮ ①若公差＝１ꎬ则第３名的成绩－第６名的成绩＝ ３(分)ꎬ第３名的成绩＝(１７７＋３) ÷２＝９０(分)ꎬ第 １名的成绩＝９０＋２＝９２(分)ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎮ ②若公差＝３ꎬ则第３名的成绩－第６名的成绩＝ ９(分)ꎬ第３名的成绩＝(１７７＋９) ÷２＝９３(分)ꎬ第 ２名的成绩＝９３＋３＝９６(分)ꎬ符合题意ꎬ第１０名 的成绩＝９３－３×(１０－３)＝７２(分)ꎮ ③若公差＝５ꎬ则第３名的成绩－第６名的成绩＝ １５(分)ꎬ第３名的成绩＝(１７７＋１５) ÷２＝９６(分)ꎬ 第２名的成绩＝９６＋５＝１０１(分)ꎬ不符合题意ꎬ舍 去ꎮ综上所述ꎬ第１０名同学得了７２分ꎮ ２４ 若小朋友超过３个人ꎬ则墨莫也需向王老 师要３６张卡片才能构成等差数列ꎬ与题意不符ꎬ 所以小朋友只有３个人ꎬ卡片张数从少到多依次 为小高、墨莫、Ｘꎮ王老师给小高３６张后ꎬ顺序可 能变为墨莫、Ｘ、小高或墨莫、小高、Ｘꎮ ①若顺序是墨莫、Ｘ、小高ꎬ则开始时墨莫比小高 多３６÷３＝１２(张)ꎬ又Ｘ的卡片数超过９０张ꎬ则此 时小高超过了１００张ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎮ ②若顺序是墨莫、小高、Ｘꎬ则开始时墨莫比小高 多３６×２÷３＝２４(张)ꎬ王老师给墨莫１８张后ꎬ顺序 变为小高、墨莫、Ｘꎬ符合题意ꎮ 所以王老师开始时发给墨莫的卡片比发给小高的 多２４张ꎮ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 ０ １