文档文本内容
第１讲 乘除法竖式谜
１
计算类
倒推法
枚举法
分类思想
第２讲 三角形
１０
几何类
量不变思想
构造思想
第３讲 等差数列进阶
１８
计算类
构造思想
第４讲 数阵图与幻方
２６
计算类
分组法
重叠数法
第５讲 几何计数综合
３７
计数类
枚举法
有序思想
第６讲 等积变形
４８
几何类
构造思想
模型思想
第７讲 一半模型
５７
几何类
构造思想
模型思想
第８讲 整除问题初步
６８
数论类
有序思想
第９讲 多位数巧算
７６
计算类
凑整法
拆数法
第１０讲 相遇问题
８５
应用类
数形结合
模型思想
第１１讲 追及问题
９６
应用类
数形结合
模型思想
第１２讲 环形跑道问题
１０６
应用类
数形结合
模型思想
第１３讲 加法原理与乘法原理初步
１１９
计数类
枚举法
有序思想
第１４讲 容斥原理
１２９
计数类
有序思想
韦恩图
第１５讲 最值问题初步
１３９
组合类
枚举法
第１６讲
数学思想方法综合
１４８
数学思想方法
１
１
乘除法竖式谜
“竖式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的竖式ꎮ解决这类问题时ꎬ可以根据
已学过的知识ꎬ运用正确的分析推理方法ꎬ确定竖式中的未知数字和运算符号ꎮ由于这类题目的
解答过程类似平时进行的猜谜语游戏ꎬ所以我们把这类题目称为“竖式谜题”ꎮ
解答竖式谜问题时ꎬ要先仔细审题ꎬ分析数据之间的关系ꎬ找到突破口ꎬ逐步试验ꎬ分析求解ꎬ
通常要运用倒推法、凑整法、估值法等ꎮ
在下面的方框中填上合适的数字ꎮ
第７辑
２
由积的末尾是０ꎬ可推出第二个因数的个位上是５ꎻ由第二个因数的个位上是５ꎬ并结合第一个
因数与５相乘的积的情况考虑ꎬ可推出第一个因数的百位上是３ꎻ由第一个因数为３７６与积为
３１
０ꎬ可推出第二个因数的十位上是８ꎮ由此即可填出其他数字ꎮ
所以最后答案是
在方框中填上合适的数ꎮ
下面算式中的ａ、ｂ、ｃ、ｄ这四个字母各代表什么数字? (ａ、ｂ、ｃ、ｄ代表的数字各不
相同)
第１讲乘除法竖式谜
３
因为四位数ａｂｃｄ乘９的积还是四位数ꎬ可知ａ是１ꎻ由ｄ和９相乘的积的个位是１ꎬ可知ｄ只
能是９ꎻ因为第二个因数９与第一个因数百位上的ｂ相乘的积不进位ꎬ所以ｂ只能是０ꎻ再由ｂ＝０ꎬ
可推知ｃ＝８ꎮ
所以最后答案是
求下面算式中每个汉字所代表的数字ꎮ(每个汉字代表不同的数字)
我＝ 爱＝ 大＝ 自＝ 然＝
求下面算式中每个汉字所代表的数字ꎮ(每个汉字代表不同的数字)
请＝ 认＝ 真＝ 思＝ 考＝
第７辑
４
求下面算式中每个汉字所代表的数字ꎮ(每个汉字代表不同的数字)
盼＝ 望＝ 祖＝ 国＝
早＝ 日＝ 统＝ 一＝
在方框中填入合适的数字ꎮ
第１讲乘除法竖式谜
５
因为该竖式最后结果有余数１ꎬ所以用倒推法思考ꎬ可得最后一步计算过程末尾是７－６＝１ꎬ接
着再用末位分析法可知除数个位为４ꎬ根据商末尾为９ꎬ则最后一步计算就可以推导出是５７７－５７６ꎻ
依次往前推导ꎬ被除数十位为７ꎬ商的首位只能为１ꎬ由此便可得出剩余所有数据ꎮ
所以最后答案是
在下面的方框里填上合适的数字ꎮ
第７辑
６
在下面的竖式中ꎬ不同的汉字表示不同的数字ꎬ求出它们ꎬ使得竖式成立ꎮ
因为“我你他×他＝∗∗∗∗”ꎬ所以“他” ≠１ꎻ由“我你他×我＝∗∗我” 可知“我” ≤３ꎬ再由
“他”≠１推知ꎬ“我” ＝２ꎬ“他” ＝６ꎻ最后由“我你他×你＝∗∗∗你”推知“你” ＝８ꎮ
所以最后答案是
有＝ 趣＝ 数＝ 学＝
(不同的汉字表示不同的数字)
第１讲乘除法竖式谜
７
真＝ 有＝ 趣＝
(不同的汉字表示不同的数字)
十＝ 厘＝ 米＝
百＝ 平＝ 方＝
(不同的汉字表示不同的数字)
根据已知信息ꎬ求被除数是多少ꎮ
第７辑
８
已知余数为７ꎬ则除数只能为８或９ꎬ由此可以得到商的首位为１ꎻ通过数位分析ꎬ被除数首位
减第一步计算结果后仍有余数ꎬ则除数只能为８ꎬ被除数首位为９ꎬ百位相减为１ꎻ商的十位乘８可
得“十几”的只有“８×２”ꎬ所以商的十位为２ꎻ最后一步计算看商的个位乘８得到一个一位数ꎬ所以
商的个位为１ꎬ接着用倒推法补全算式ꎮ
所以最后答案是
图中是一个残缺的除法竖式ꎬ这个算式中的被除数是多少?
第１讲乘除法竖式谜
９
一个四位数除以一个一位数得(１)式ꎬ除以另一个一位数得(２)式ꎬ求这个四位数ꎮ
一个五位数除以一个一位数得(１)式ꎬ除以另一个一位数得(２)式ꎬ求这个五位数ꎮ
解决竖式谜问题ꎬ关键是找准突破口ꎬ推理时应注意以下几点:
１. 认真分析竖式中所包含的数量关系ꎬ仔细找出题中隐蔽的条件ꎬ选择有特征的部分作出
局部判断ꎮ
２. 利用列举和筛选相结合的方法ꎬ逐步排除不合理的数字ꎮ
３. 试验时ꎬ应借助估值的方法ꎬ以缩小所求数字的取值范围ꎬ达到快速而准确的目的ꎮ
４. 竖式谜解出后ꎬ要验算一遍ꎮ
２
１０
三 角 形
与三角形相关的题型ꎬ大多围绕其本身的性质特征展开ꎬ主要分布于内角和引申出的角度类
计算ꎻ三边关系检验或寻找所能构成三角形的边长的情况ꎻ依托数线段模型分割三角形边线ꎬ从
而计数三角形个数ꎻ通过等分点等特殊分割方式求解三角形面积变化等类型ꎮ在求解过程中要
清晰题中的变与不变关系ꎮ
如图ꎬ将三角形ＡＢＣ绕点Ｃ按顺时针方向旋转３０°ꎬ得到三角形Ａ′Ｂ′Ｃꎬ若ＡＣ⊥Ａ′Ｂ′ꎬ则∠Ａ
的度数是( )ꎮ
因为三角形Ａ′Ｂ′Ｃ是三角形ＡＢＣ绕着点Ｃ顺时针旋转得到的ꎬ所以∠Ａ′＝∠Ａꎬ根据三角形的
内角和定理ꎬ可知∠Ａ＝∠Ａ′＝１８０°－∠ＡＣＡ′－９０° ＝１８０°－３０°－９０° ＝６０°ꎮ
所以答案是６０°ꎮ
第２讲三角形
１１
如图ꎬ∠１＝∠２ꎬ∠３＝∠４ꎬ∠５＝１３０°ꎬ那么∠Ａ等于多少度?
如图ꎬ三个直角三角形叠放在一起ꎬ求∠１的度数ꎮ
如图ꎬ将四边形ＡＢＣＤ的四条边分别延长一段ꎬ得∠ＣＢＥ、∠ＢＡＨ、∠ＡＤＧ、∠ＤＣＦꎬ那么这
四个角的和等于( )ꎮ
一个等腰三角形的周长是２２分米ꎬ腰长是底边长的５倍ꎬ这个等腰三角形的腰长
是多少分米?
第７辑
１２
把底边长看作１份ꎬ则每条腰是这样的５份ꎬ则三角形的周长一共是５＋５＋１＝１１(份)ꎬ每份是
２２÷１１＝２(分米)ꎬ每条腰长是５份ꎬ即２×５＝１０(分米)ꎮ
一个等腰三角形的周长是６０厘米ꎬ它的底边比一条腰长的２倍少１２厘米ꎬ这个三角形的
底边长是多少厘米?
从５根长分别是４厘米、６厘米、８厘米、１０厘米、１２厘米的小棒中选择３根摆三角形ꎬ你能
摆出几种不同的三角形?
第２讲三角形
１３
一个三角形的周长为３０厘米ꎬ且边长均为整厘米数ꎬ这样的三角形有多少个?
图中共有几个三角形?
数三角形个数类似于数线段问题ꎬ要注意不遗漏、不重复ꎬ按顺序依次计数ꎬ从一个定点出发
计数ꎬ当一个定点上的所有底边可能性数完后ꎬ再从下一个定点同理向后计数ꎬ数到倒数第二个定
点为止ꎬ然后相加ꎮ
共有４＋３＋２＋１＝１０(个)ꎮ
第７辑
１４
图中共有多少个三角形?
图中共有多少个三角形?
求图中三角形的个数ꎮ
你有多少种方法将任意一个三角形分成３个面积相等的三角形? 请画出三种ꎮ
第２讲三角形
１５
如图ꎬＤ、Ｅ是ＢＣ的三等分点ꎬＦ、Ｇ分别是ＡＤ、ＡＣ的中点ꎬ答案不唯一ꎬ示例如图ꎮ
你有多少种方法将任意一个三角形分成６个面积相等的三角形? (至少画出３种)
如图ꎬＢＤ长１２厘米ꎬＤＣ长４厘米ꎬＢ、Ｃ和Ｄ在同一条直线上ꎮ
(１)三角形ＡＢＣ的面积是三角形ＡＢＤ面积的多少倍?
(２)三角形ＡＢＤ的面积是三角形ＡＤＣ面积的多少倍?
图中的Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是正方形ＡＢＣＤ三条边的三等分点ꎬ如果正方形的边长是１２ꎬ那么
涂色部分的面积是( )ꎮ
第７辑
１６
如图ꎬ在三角形ＡＢＣ中ꎬＤＣ＝２ＢＤꎬＣＥ＝３ＡＥꎬ三角形ＡＤＥ的面积是２０平方厘米ꎬ
三角形ＡＢＣ的面积是多少?
因为ＣＥ＝３ＡＥꎬ所以ＡＣ＝４ＡＥꎬＳ三角形ＡＤＣ＝４Ｓ三角形ＡＤＥꎮ
又因为ＤＣ＝２ＢＤꎬ所以２ＢＣ＝３ＤＣꎬ２Ｓ三角形ＡＢＣ＝３Ｓ三角形ＡＤＣ＝１２Ｓ三角形ＡＤＥꎬＳ三角形ＡＢＣ＝６Ｓ三角形ＡＤＥ＝６×
２０＝１２０(平方厘米)ꎮ
如图所示的三角形ＡＯＢ的面积为１５平方厘米ꎬ线段ＯＢ的长度为ＯＤ的３倍ꎬ求梯形ＡＢＣＤ
的面积ꎮ
第２讲三角形
１７
如图所示ꎬＡ、Ｂ、Ｃ都是正方形的边的中点ꎬ三角形ＣＯＤ的面积比三角形ＡＯＢ的面积大
１５平方厘米ꎮ三角形ＡＯＢ的面积为( )平方厘米ꎮ
如图ꎬ三角形ＡＢＣ的面积是１８０平方厘米ꎬＤ是ＢＣ的中点ꎬＡＤ的长是ＡＥ的３倍ꎬＥＦ的
长是ＢＦ的３倍ꎬ那么三角形ＡＥＦ的面积是多少平方厘米?
三角形问题的几类解题方法:
１. 角度类:抓住三角形的内角和为１８０°ꎬ一个外角等于１８０°－相邻内角＝两个不相邻的内角和ꎮ
２. 三边关系类:任意两边之和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎮ
３. 面积类:三角形面积＝底×高÷２
(１)两个三角形的高相等ꎬ则它们的面积比等于对应底边的比ꎻ
(２)两个三角形的底边相等ꎬ则它们的面积比等于对应高的比ꎮ
４. 特殊三角形的特征:
(１)等边三角形的三个内角均为６０°ꎬ三边相等ꎻ
(２)等腰三角形的两个底角和两腰分别相等ꎻ
(３)等腰直角三角形常和正方形联系在一起ꎮ
３
１８
等差数列进阶
１＋２＋３＋４＋＋１００＝? 高斯使用的方法就是构造等差数列ꎬ５０对和为１０１的数对求和ꎬ结果
就是５０５０ꎮ等差数列题型五花八门ꎬ但主要涉及五个量:首项、末项、项数、公差、和ꎬ只要已知其
中三个量ꎬ就可以求出另外两个量ꎮ
本讲是等差数列的进阶ꎬ解决的是较复杂的等差数列问题ꎮ
等差数列３、９、１５、２１、、１２９ꎮ
(１)这个数列一共有几项?
(２)１１７是这个数列的第几项?
(３)这个数列的第１８项是多少?
(４)求这一串数列的和ꎮ
第３讲等差数列进阶
１９
根据公式可求
(１)ｎ＝(ａｎ－ａ１)÷ｄ＋１＝(１２９－３)÷６＋１＝２２
(２)ｎ＝(ａｎ－ａ１)÷ｄ＋１＝(１１７－３)÷６＋１＝２０
(３)ａ１８＝ａ１＋(ｎ－１)×ｄ＝３＋(１８－１)×６＝１０５
(４)Ｓｎ＝(ａ１＋ａｎ)×ｎ÷２＝(３＋１２９)×２２÷２＝１４５２
５、８、１１、１４、１７、２０、、７７ꎬ这个数列有多少项? 它的第１８项是多少? ６５是其中的第几项?
这串数列的和是多少?
一个等差数列中ꎬ第１个数是１５ꎬ第７个数是５７ꎬ相邻两数的差是多少?
一只小虫沿着笔直的树干往上跳ꎬ每跳一次升高４厘米ꎬ它从高于地面１０厘米
处开始跳ꎬ如果把这一处称为小虫的第１个落脚点ꎬ那么它的第１００个落脚点
正好是树梢ꎬ这棵树高多少厘米? (提示:设法将题意变成一个等差数列)
观察如下等差数列ꎬ你能发现最中间的数和第一个数以及最后一个数是什么关系吗? 并求
出每组数列的和ꎮ
(１)１、３、５、７、９
(２)３、６、９、１２、１５、１８、２１
(３)１、４、７、１０、１３、１６、１９、２２、２５
第７辑
２０
(１)(１＋９)÷２＝５ ５×５＝２５
(２)(３＋２１)÷２＝１２ １２×７＝８４
(３)(１＋２５)÷２＝１３ １３×９＝１１７
(１)已知一个奇数项的等差数列第一个数是８ꎬ最后一个数是３０ꎬ那么中间数是( )ꎮ
(２)已知一个等差数列共有１１项ꎬ请问最中间这个数是第( )项ꎮ
(３)计算:①１＋２＋３＋４＋５＋６＋７ꎻ
②８１＋８３＋８５＋８７＋８９＋９１＋９３ꎮ
２、４、６、８、１０、１２是一个连续偶数列ꎬ如果其中五个连续偶数的和是３２０ꎬ求它们中最小
的一个ꎮ
第３讲等差数列进阶
２１
计算:１＋５＋９＋１３＋１７＋＋１９９３ꎮ
７个连续奇数的和是２５９ꎬ其中最大的奇数是几呢?
根据等差数列的中项定理ꎬ奇数项数列求和可以用中间数×项数ꎬ那么中间数＝和÷项数ꎬ２５９÷
７＝３７是第４项ꎮ因为是连续的奇数ꎬ所以后面就是３９、４１、４３ꎬ那么最大的奇数就是４３ꎮ
９个连续自然数的和是９９ꎬ这９个连续自然数中最小的数是多少?
第７辑
２２
重阳节这天ꎬ茶社迎来了９位特别的老人ꎬ他们的年龄是９个连续的自然数ꎬ年龄和是７６５ꎬ
那么最大的老人是多少岁?
某学校建造体育场ꎬ形状像个梯形ꎬ第一排有１０个座位ꎬ第二排有１２个座位ꎬ第三排有
１４个座位最后一排有２１０个座位ꎬ请问:中间一排有几个座位? 一共有几个座位?
计算:１＋３＋３＋６＋５＋９＋７＋１２＋＋２５ꎮ
第３讲等差数列进阶
２３
２５是数列１、３、５、７的第(２５－１)÷２＋１＝１３(项)
数列３、６、９的第１２项是３＋(１２－１)×３＝３６
原式＝(１＋３＋５＋＋２５)＋(３＋６＋９＋＋３６)
＝１３×１３＋(３＋３６)×１２÷２
＝１６９＋２３４
＝４０３
数列:２、１、４、３、６、５、８、７问２００９是这个数列的第几项?
按一定规律排列的算式:４＋２ꎬ５＋８ꎬ６＋１４ꎬ７＋２０那么第１００个算式是什么? 并求出这
１００个算式的总和ꎮ
１、１００、２、９８、３、９６、２、９４、１、９２、２、９０、３、８８、２、８６、１、８４、、０ꎮ
请问:(１)这个数列中有多少项是２?
(２)这个数列所有项的总和是多少?
第７辑
２４
数列:１、２、４、７、１１、１６的第５００个数是多少?
１＝１
２＝１＋１
４＝１＋１＋２
７＝１＋１＋２＋３
１１＝１＋１＋２＋３＋４
１６＝１＋１＋２＋３＋４＋５
第ｎ个数＝１＋１＋２＋３＋＋(ｎ－１)
第５００个数＝１＋(１＋２＋３＋４＋＋４９９)
＝１＋(１＋４９９)×４９９÷２
＝１２４７５１
第３讲等差数列进阶
２５
有一列数:１、３、６、１０、１５问:这列数的第１０１个是多少?
如图ꎬ当ｎ＝１时ꎬ有２个小星星ꎬ当ｎ＝２时ꎬ有６个小星星ꎬ当ｎ＝３时ꎬ有１２个小星星ꎬꎬ
则当ｎ＝９时ꎬ有( )个小星星ꎮ
已知一串数字按照下面的方式排列:
１ ２ ４ ７ １１
３ ５ ８ １２
６ ９ １３
１０ １４
１５
(１)第１行第８个数是( )ꎮ
(２)第３行第６个数是( )ꎮ
(３)２００位于这个数表中第( )行左起第( )个ꎮ
１. 基本公式:
末项公式:ａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)×ｄꎻ
项数公式:ｎ＝(ａｎ－ａ１)÷ｄ＋１ꎻ
公差:ｄ＝(ａｎ－ａ１)÷(ｎ－１)ꎻ
求和公式:Ｓｎ＝(ａ１＋ａｎ)×ｎ÷２
２. 中项定理:和＝中间数×项数
３. 二级等差数列:相邻两数差为等差数列的数列
第１讲 乘除法竖式谜
０１
第２讲 三角形
０３
第３讲 等差数列进阶
０５
第４讲 数阵图与幻方
０７
第５讲 几何计数综合
０９
第６讲 等积变形
１１
第７讲 一半模型
１３
第８讲 整除问题初步
１５
第９讲 多位数巧算
１７
第１０讲 相遇问题
１９
第１１讲 追及问题
２１
第１２讲 环形跑道问题
２３
第１３讲 加法原理与乘法原理初步
２５
第１４讲 容斥原理
２７
第１５讲 最值问题初步
２９
第１６讲 数学思想方法综合
３１
第１讲
乘除法竖式谜
１
第二十一届“华杯赛”初赛
在如图的算式中ꎬ每个汉字代表０至９中的一个数字ꎬ
不同汉字代表不同的数字ꎮ当算式成立时ꎬ“好”代表的数字是( )ꎮ
Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ４ Ｄ. ６
２
下面算式中ꎬＡ表示同一个数字ꎬ在各个
中填入适当的数字ꎬ使算式完整ꎮ那么
两个因数的差(大数减小数)是( )ꎮ
３
把下面的竖式补充完整ꎮ
４
下面的算式中ꎬ只有四个４是已知的ꎬ则被除数为( )ꎮ
１
０
小学数学·第７辑
５
下面相同的字母代表相同的数字ꎬ求各字母所代表的数字ꎮ
６
在如图所示的除法竖式中ꎬ相同的字母代表相同的数字ꎬ不同的字母代表不同的数
字ꎮ被除数是( )ꎮ
７
华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联:三强韩赵
魏ꎬ九章勾股弦ꎮ“三强”不但指战国三强ꎬ还体现了钱三强的名字ꎻ“九章”既指记录勾股
定理的数学著作ꎬ又体现了赵九章的名字ꎮ我们用这副有趣的对联来做下面的题目:
(１)在左边的竖式中ꎬ相同的汉字代表相同的数字ꎬ不同的汉字代表不同的数字ꎮ如果
“三”代表３ꎬ“九”代表９ꎬ请将竖式补充完整ꎮ(找出一种解答即可)
(２)在右边的竖式中ꎬ相同的汉字代表相同的数字ꎬ不同的汉字代表不同的数字ꎮ如果“勾
股弦”代表３４５ꎬ请将竖式补充完整ꎮ
２
０
第２讲
三 角 形
１
图中一共有几个三角形?
２
如图ꎬ已知三角形ＡＢＣ中ꎬＢＣ＝１０厘米ꎬＡＤ、ＥＣ是三角形ＡＢＣ的高ꎬＡＤ长为８厘
米ꎬＥＣ长为５厘米ꎬ求底边ＡＢ的长是多少厘米ꎮ
３
如图ꎬ三角形ＡＢＣ和三角形ＤＥＦ是两个完全相同的等腰直角三角形ꎬ其中ＤＦ长
９厘米ꎬＣＦ长３厘米ꎬ那么涂色部分的面积是多少平方厘米?
４
在长方形ＡＢＣＤ内部有一点Ｏꎬ形成等腰三角形ＡＯＢ的面积为１６ꎬ等腰三角形ＤＯＣ
的面积占长方形ＡＢＣＤ面积的１８％ꎬ那么三角形ＡＯＣ的面积是多少?
３
０
小学数学·第７辑
５
如图ꎬ大正方形ＡＢＣＤ的面积是１ꎬ其他点都是其所在边的中点ꎮ那么涂色三角形
的面积是多少?
６
如图ꎬ已知ＣＤ＝５ꎬＤＥ＝７ꎬＥＦ＝１５ꎬＦＧ＝６ꎬ线段ＡＢ将图形分成两部分ꎬ左边部分面
积是３８ꎬ右边部分面积是６５ꎬ那么三角形ＡＤＧ的面积是多少?
７
如图所示ꎬ在梯形ＡＢＣＤ中ꎬＥ、Ｆ分别是其两腰ＡＢ、ＣＤ的中点ꎬＧ是ＥＦ上的任意
一点ꎬ已知三角形ＡＤＧ的面积为１５ｃｍ２ꎬ而三角形ＢＣＧ的面积恰好是梯形ＡＢＣＤ面积的
７
２０ꎬ则梯形ＡＢＣＤ的面积是( )ｃｍ２ꎮ
８
如图ꎬＢＣ＝４５ꎬＡＣ＝２１ꎬ三角形ＡＢＣ被分成９个面积相等的小三角形ꎬ那么ＤＩ＋
ＦＫ＝( )ꎮ
４
０
第３讲
等差数列进阶
１
建筑工地有一批砖ꎬ摆成如图形状ꎬ最上层有２块ꎬ第２层有６块ꎬ第３层有
１０块依次每层比上一层多４块砖ꎬ已知最下层有４０２块砖ꎬ问中间一层有多少块砖?
这堆砖共有多少块?
２
有一列数１、２、４、７、１１、１６问这列数第１００１个数是多少?
３
在１１~４５这３５个数中ꎬ所有不能被３整除的数的和是多少?
４
已知等差数列１５、１９、２３、、４４３ꎬ求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是
多少ꎮ
５
将１~１００的自然数按下面的顺序排列ꎬ正方形框里的９个数和是９０ꎮ问:能否照这
样框出９个数ꎬ使它们的和分别是１７０、２１６、６３０?
６
一本书的页码从１到３４５ꎬ共有３４５页ꎬ小刚在把所有页码数加起来的时候ꎬ发现中
间有连续５张纸被撕掉了ꎬ小刚把其他页码加起来的和是５８９７０ꎬ被撕掉的５张纸的页码是
从多少页到多少页?
５
０
小学数学·第７辑
７
第二十七届“迎春杯”初赛
把０~９这十个数字填到如图的圆圈内ꎬ使得五条线上的
数字和构成一个等差数列ꎬ而且这个等差数列的各项之和为５５ꎬ那么这个等差数列的公差
有多少种可能的取值? 它们分别是多少?
８
小明进行加法珠算练习ꎬ计算１＋２＋３＋４＋当加到某个数时ꎬ和是１０００ꎬ在验算时
发现重复加了一个数ꎬ这个重复加的数是多少?
９
四年级一班期末数学考试中ꎬ前１０名的成绩恰好构成一个等差数列ꎮ已知考试满
分１００分ꎬ每个同学的得分都是整数ꎬ而且第３、４、５、６名一共得了３５４分ꎬ又知道小高得了
９６分ꎬ那么第１０名得了多少分?
１０
王老师给小区里的一些小朋友发游戏卡片ꎬ这些小朋友得到的卡片数目恰好构成
一个等差数列ꎮ小高发现自己分到的最少ꎬ于是找王老师要卡片ꎬ王老师给小高加了
３６张ꎬ这时所有小朋友的卡片数也构成一个等差数列ꎻ变化后ꎬ墨莫的卡片最少ꎬ于是向王
老师要来１８张ꎬ这时所有小朋友的卡片数仍构成一个等差数列ꎮ又已知在发卡片的过程
中ꎬ每个小朋友手中的卡片都没有超过１００张ꎬ而且刚开始时有人拿的卡片数超过了
９０张ꎮ请问:王老师开始时发给墨莫的卡片比发给小高的多几张?
６
０
讲解册参考答案
第１讲 乘除法竖式谜
第二个因数十位上的３乘第一个因数的
个位ꎬ得到的积末尾是８ꎬ所以第一个因数个位上
是６ꎬ依此突破即可ꎮ
因为第一步乘积末尾为４ꎬ所以第一个因
数个位是４或９ꎻ因为第二步乘积末尾为０ꎬ９与任
何非零数相乘末尾不为０ꎬ所以第一个因数个位
是４ꎬ４×５积的末尾是０ꎬ所以第二个因数十位为
５ꎻ接着看第一步乘积十位上为０ꎬ这是６×
＋２
后得到的ꎬ所以第一个因数十位上可能是３或８ꎬ
但根据第二步乘积百位上为７判断ꎬ第一个因数
十位上只能为３ꎻ根据
２
× ５＝
７０可得ꎬ第一个因数千位上只能为１ꎬ依
次计算即可ꎮ
因为第一步２８５×
的积是一千多ꎬ所
以第二个因数个位上可填４~ ７ꎬ又根据积是
１
２
ꎬ通过排除法ꎬ可以确定第二个因数
个位上只能填５ꎻ因为第二个因数十位上的数乘
２８５的积为三位数ꎬ所以可填１~ ３ꎬ通过结果
９
ꎬ可以确定第二个因数十位上只能
为３ꎬ依次计算即可ꎮ
我＝２ 爱＝１ 大＝９ 自＝７ 然＝８
首先对“我” 和“然” 进行分析ꎬ由于“我”
在首位ꎬ且“我”×４后不进位ꎬ所以“我” ＝１或２ꎬ
当“我” ＝１时ꎬ“然” ＝４ꎬ但是“然” ×４的末位数不
等于１ꎬ所以不成立ꎬ因此ꎬ“我” ＝２ꎬ“然” ＝８ꎬ此
时个位进３ꎬ由于“爱” ×４也不进位ꎬ所以“爱” 可
能为０ꎬ１ꎬ２ꎬ由于“自” ×４一定为偶数ꎬ加上进位
的３一定为奇数ꎬ所以“ 爱” 一定为奇数ꎬ因此
“爱” ＝１ꎬ此时“自”×４的尾数为８ꎬ“自”可能为２
或７ꎬ当“自” ＝２时ꎬ“爱” ×４＝４ꎬ此时不进位ꎬ因
此积中的“自” 不可能为２ꎬ所以“自” ＝７ꎬ十位向
百位进３ꎬ同时百位要向千位进３ꎬ所以“大”可能
为７ꎬ８ꎬ９ꎮ分别代入验证得ꎬ当“大” ＝９时成立ꎮ
因此答案为２１９７８×４＝８７９１２ꎮ
请＝４ 认＝２ 真＝８ 思＝５ 考＝７
把“请认真思考”设为Ｘꎬ(１０００００＋Ｘ)×３＝
１０Ｘ＋１ꎬ解得Ｘ＝４２８５７ꎬ所以“ 请认真思考” ＝
４２８５７ꎮ
盼＝１ 望＝２ 祖＝３ 国＝４
早＝５ 日＝６ 统＝７ 一＝９
“一”ד一”积的末尾为“盼”ꎬ“盼” ד一”
的积最后有进位为“ 盼”ꎬ用列举法尝试ꎬ若
“一” ＝１ꎬ则“盼”为１不成立ꎻ若“一” ＝２ꎬ则“盼”
为４ꎬ２×４＝８ꎬ即使加上后位进位也不能满足最后
积的首位为４ꎬ以此类推ꎬ得到“一” ＝９ꎬ“盼” ＝１ꎬ
再推出别的汉字代表的数字即可ꎮ
根据除数是三位数ꎬ百位上是６ꎬ商的十位
上的数字和除数相乘的积是三位数ꎬ所以商的十
位上是１ꎬ根据商的十位上的数字和除数相乘的
积末尾是７ꎬ那么除数的个位上是７ꎬ根据除数和
商的个位上的数字的乘积末尾是１ꎬ除数的个位
上是７ꎬ那么商的个位上是３ꎬ根据商个位上的３
１
０
和几相乘的积再加上个位进来的２得６ꎬ可得除
数的十位上是８ꎬ从而得到结果ꎮ
由第一步可推知ꎬ８乘这个两位数的除数
没有进位ꎬ说明该除数十位上为１ꎬ且个位上小于
３ꎻ第二步计算从被除数里搬下两位ꎬ说明前两位
不够除ꎬ商的百位上为０ꎻ商的十位上的数字乘除
数是三位数ꎬ所以商的十位上一定是９ꎬ则除数个
位上只能为２ꎬ其余部分依次推导即可ꎮ
这是一道可以整除的算式ꎮ如图ꎬ由于整
除ꎬ可知ｌ＝６ꎬ被除数的前三位是８ｅｆꎬ除以７ｃｄꎬ商
只能是１ꎬ所以ａ＝１ꎬ那么ｄ＝３ꎬｈ＝７ꎬｊ＝８－７＝１ꎮ
第一余数ｊｋｌｍ除以７ｃ３ꎬ商只能为２ꎬ那么ｂ＝２ꎮ
ｇ＝ｍ＝ｑ＝ｂ×ｄ＝２×３＝６ꎬｂ×ｃ＝６ꎬ则ｃ＝３ꎮ除数为
７３３ꎬ商为１２ꎬ代入算式即可求解ꎮ
有＝３ 趣＝２ 数＝０ 学＝１
由竖式特点可知“ 数” ＝０ꎬ因为“ 有趣数
学”ד有”的积的首位数字必是９ꎬ所以“有” ＝３ꎻ
再由第一个因数与“趣” 和“学” 的乘积都是四位
数ꎬ可推知“趣”和“学”只能取１或２ꎬ所以只需要
验证３１０２×３１０２和３２０１×３２０１ꎬ经验证ꎬ当因数是
３２０１时竖式成立ꎮ
真＝６ 有＝２ 趣＝５
设“真有趣”为ｘꎬ由竖式可知ｘ２－ｘ＝ｘ(ｘ－
１)能被１００００整除ꎮ因为ｘ与(ｘ－１)是两个相邻
的非０自然数ꎬ必互质ꎬ又因为１００００＝２４× ５４＝
１６×６２５ꎬ所以ｘ与(ｘ－１) 中的奇数应能被６２５整
除ꎬ偶数应能被１６整除ꎮ因为(６２５－１) ÷１６＝３９ꎬ
所以ｘ＝６２５ꎮ
十＝１ 厘＝７ 米＝６ 百＝３ 平＝０ 方＝９
设“厘米” ＝ｘꎬ则有ｘ２－ｘ＝ｘ(ｘ－１)能被１００
整除ꎮ因为ｘ与( ｘ－１) 是两个相邻的非０自然
数ꎬ必互质ꎬ又因为１００＝４×２５ꎬ所以ｘ与(ｘ－１)中
的奇数能被２５整除ꎬ偶数能被４整除ꎮ由此得
ｘ＝２５或７６ꎮ再考虑“十” 只能取１、２或３ꎬ经试
算ꎬ只有“十” ＝１ꎬ“厘” ＝７ꎬ“米” ＝６时有解ꎮ
１１０８７
由于除数一定要比余数大ꎬ所以除数为
９９ꎬ所以商的每一位都是１ꎬ则被除数是９９×１１１＋
９８＝１１０８７ꎮ
１０１４或１０３５
由(１)式可知被除数为１０∗∗ꎬ(１) 式的
除数为３或９ꎻ(２)式的除数为２或５ꎬ且大于被除
数的十位数字ꎮ经验证ꎬ当(１)(２)两式的除数分
别为３和２时ꎬ被除数是１０１４ꎻ当(１)(２)两式的
除数分别为９和５时ꎬ被除数是１０３５ꎮ
１００２０或１０４４０
由(１)式可知被除数为１０∗∗０ꎬ(１)式的
除数为３或９ꎻ(２)式的除数为４、６或８ꎬ并能整除
被除数的前三位ꎬ且大于被除数的十位数字ꎮ经
验证ꎬ当(１)(２) 两式的除数分别为３和４时ꎬ被
除数是１００２０ꎻ当(１)(２)两式的除数分别为９和
８时ꎬ被除数是１０４４０ꎮ
第２讲 三 角 形
∠Ａ＝８０°
因为∠２＋∠４＋∠５＝１８０°ꎬ所以∠２＋∠４＝
１８０°－∠５＝１８０°－１３０° ＝５０°ꎮ因为∠１＝∠２ꎬ∠３＝
∠４ꎬ所以在三角形ＡＢＣ中ꎬ∠Ａ＝１８０° －( ∠１＋
∠２＋∠３＋∠４)＝１８０°－５０°×２＝８０°ꎮ
∠１＝１５°
∠１＋∠２＝９０°－４５° ＝４５°ꎬ∠１＋∠３＝９０°－
３０° ＝６０°ꎬ∠１＋∠２＋∠３＝９０°ꎮ∠１＋∠２＋∠１＋
∠３＝４５°＋６０° ＝１０５°ꎬ∠１＋∠２＋∠１＋∠３－( ∠１＋
∠２＋∠３)＝∠１＝１０５°－９０° ＝１５°ꎮ
３６０°
因为∠ＣＢＥ＋∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＨ＋∠ＢＡＤ＋
∠ＡＤＧ＋∠ＡＤＣ＋∠ＤＣＦ＋∠ＢＣＤ＝１８０°×４＝７２０°ꎬ
２
０
又因为∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ＝３６０°(四
边形的内角和定理)ꎬ所以∠ＣＢＥ＋∠ＢＡＨ＋∠ＡＤＧ＋
∠ＤＣＦ＝７２０°－(∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＋∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ)＝
７２０°－３６０°＝３６０°ꎮ
２４厘米
假设腰长为ｘ厘米ꎬ则底边长为( ２ｘ－
１２)厘米ꎬ因为三角形的周长为６０厘米ꎬ则有ｘ＋
ｘ＋(２ｘ－１２)＝６０ꎬ解得ｘ＝１８ꎬ所以底边长为２×１８－
１２＝２４(厘米)ꎮ
能摆出７种不同的三角形ꎮ
三角形能成立的三边条件是任意两边之
和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎬ由此可
以列举有如下情况:
①４厘米ꎬ６厘米ꎬ８厘米ꎻ②４厘米ꎬ８厘米ꎬ１０厘米ꎻ
③４厘米ꎬ１０厘米ꎬ１２厘米ꎻ④６厘米ꎬ８厘米ꎬ
１０厘米ꎻ⑤６厘米ꎬ８厘米ꎬ１２厘米ꎻ⑥６厘米ꎬ
１０厘米ꎬ１２厘米ꎻ⑦８厘米ꎬ１０厘米ꎬ１２厘米ꎮ故
能摆出７种不同的三角形ꎮ
这样的三角形有１９个ꎮ
设三角形的三边长分别为ａ、ｂ、ｃꎬ且ａ≤
ｂ≤ｃꎬ由于ａ＋ｂ＋ｃ＝３０ꎬ且ａ＋ｂ>ｃꎬ所以ｃ<１５ꎮ由于
ｃ是最长边ꎬ所以１０≤ｃ< １５ꎮｃ可为１４、１３、１２、
１１、１０ꎮ分别有以下情况:
１４ꎬ１４ꎬ２ꎻ１３ꎬ１３ꎬ４ꎻ１２ꎬ１２ꎬ６ꎻ１１ꎬ１１ꎬ８ꎻ１０ꎬ１０ꎬ１０ꎮ
１４ꎬ１３ꎬ３ꎻ１３ꎬ１２ꎬ５ꎻ１２ꎬ１１ꎬ７ꎻ１１ꎬ１０ꎬ９ꎻ
１４ꎬ１２ꎬ４ꎻ１３ꎬ１１ꎬ６ꎻ１２ꎬ１０ꎬ８ꎻ
１４ꎬ１１ꎬ５ꎻ１３ꎬ１０ꎬ７ꎻ１２ꎬ９ꎬ９ꎻ
１４ꎬ１０ꎬ６ꎻ１３ꎬ９ꎬ８ꎻ
１４ꎬ９ꎬ７ꎻ
１４ꎬ８ꎬ８ꎻ
一共有７＋５＋４＋２＋１＝１９(个)ꎮ
８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)
三角形底边分为８段ꎬ用数线段法数三角
形个数ꎬ所以一共有８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)ꎮ
８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)
３６×３＝１０８(个)
可分为三层计数ꎬ方法和一层计数相同ꎮ
第一层:８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)ꎬ
第一、二层拼接后:８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６(个)ꎬ
第一、二、三层拼接后:８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝
３６(个)ꎬ所以一共有３６×３＝１０８(个)ꎮ
１６＋７＋３＋１＝２７(个)
以个数分类讨论ꎮ
单个三角形共有１＋３＋５＋７＝１６(个)ꎬ
两层组合三角形共有１＋２＋３＋１＝７(个)ꎬ
三层组合三角形共有１＋２＝３(个)ꎬ
四层组合三角形共有１个ꎮ
一共有１６＋７＋３＋１＝２７(个)ꎮ
答案不唯一ꎬ示例如图ꎮ
方法一:如图①ꎬ分别作出ＡＢ、ＡＣ边的中
点Ｆ、Ｅꎬ连接ＣＦ、ＢＥꎬＣＦ与ＢＥ交于点Ｄꎬ则点Ｄ
是三角形的重心ꎬ连接ＡＤ并延长ꎬ交ＢＣ于点Ｇꎬ
则三角形ＡＤＦ、三角形ＢＤＦ、三角形ＡＤＥ、三角形
ＣＤＥ、三角形ＢＤＧ、三角形ＣＤＧ这六个三角形的
面积相等ꎻ
方法二:如图②ꎬ作出ＢＣ的六等分点Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、
Ｈꎬ分别与Ａ连接ꎬ三角形ＡＢＤ、三角形ＡＤＥ、三角
形ＡＥＦ、三角形ＡＦＧ、三角形ＡＧＨ、三角形ＡＨＣ这
六个三角形的面积相等ꎻ
方法三:如图③ꎬ作出ＡＢ边的中点Ｄꎬ连接ＣＤꎬ并
作出ＣＤ的三等分点Ｅ、Ｆꎬ连接ＡＥ、ＡＦ、ＢＥ、ＢＦꎬ
则三角形ＡＤＥ、三角形ＡＥＦ、三角形ＡＦＣ、三角形
ＢＤＥ、三角形ＢＥＦ、三角形ＢＦＣ这六个三角形的
面积相等ꎮ
(１)Ｓ三角形ＡＢＣ＝４
３Ｓ三角形ＡＢＤ
(２)Ｓ三角形ＡＢＤ＝３Ｓ三角形ＡＤＣ
因为三角形ＡＢＤ、三角形ＡＢＣ和三角形
ＡＤＣ分别以ＢＤ、ＢＣ和ＤＣ为底时ꎬ它们的高都是
从Ａ点向ＢＣ边上所作的垂线段ꎬ也就是说这三
个三角形的高是相等的ꎬ设高为ｈꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＤ＝
１２× ｈ÷ ２＝６ｈꎬＳ三角形ＡＢＣ＝( １２＋４) × ｈ÷ ２＝８ｈꎬ
Ｓ三角形ＡＤＣ＝４×ｈ÷２＝２ｈꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＣ＝４
３Ｓ三角形ＡＢＤꎬ
Ｓ三角形ＡＢＤ＝３Ｓ三角形ＡＤＣꎮ
４８
如图ꎬ连接ＢＨꎬ则涂
色部分的面积＝Ｓ三角形ＥＢＨ＋
Ｓ三角形ＢＨＦ＋Ｓ三角形ＤＨＧ＝４×８÷２＋
４×１２÷２＋４×４÷２＝４８ꎮ
Ｓ梯形ＡＢＣＤ＝Ｓ三角形ＡＢＤ＋
Ｓ三角形ＢＤＣ＝４
３× １５＋４
３× １５×
３＝８０(平方厘米)
根据题意可得ＢＤ＝４
３ＢＯꎬＳ三角形ＡＢＤ＝
４
３Ｓ三角形ＡＢＯ＝４
３×１５＝２０(平方厘米)ꎮ
ＡＤ∶ＢＣ＝ＯＤ∶ＯＢ＝１∶３ꎬ因为三角形ＡＢＤ与三
角形ＢＤＣ的高相同ꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＤ∶Ｓ三角形ＢＤＣ＝
３
０
１∶３ꎬ则Ｓ三角形ＢＤＣ＝２０×３＝６０(平方厘米)ꎬＳ梯形ＡＢＣＤ＝
Ｓ三角形ＡＢＤ＋Ｓ三角形ＢＤＣ＝２０＋６０＝８０(平方厘米)ꎮ
７.５
由题图可以看出ꎬＳ三角形ＡＯＢ＝Ｓ三角形ＢＯＤꎬ三角
形ＢＯＤ是三角形ＡＢＤ和三角形ＢＣＤ的公共部
分ꎬ由三角形面积公式可知Ｓ三角形ＡＢＤ是Ｓ三角形ＢＣＤ的
一半ꎬ则Ｓ三角形ＣＯＤ－Ｓ三角形ＡＢＯ＝Ｓ三角形ＢＣＤ－Ｓ三角形ＡＢＤ＝
Ｓ三角形ＡＢＤ＝１５平方厘米ꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＯ＝７.５平方
厘米ꎮ
Ｓ三角形ＡＥＦ＝１８０× １
２× １
３× ３
４＝２２.５(平方厘米)
由题意得Ｄ是ＢＣ的中点ꎬＡＤ＝３ＡＥꎬＥＦ
的长是ＢＦ的３倍ꎬＳ三角形ＡＢＣ＝１８０平方厘米ꎬ即
ＢＤ＝１
２ＢＣꎬＡＥ＝１
３ＡＤꎬＥＦ＝３
４ＢＥꎮ设三角形ＡＢＤ
以ＢＤ边为底时的高为ｈꎬ以ＡＤ边为底时的高为
ｈ′ꎬＳ三角形ＡＢＤ＝１
２ＢＤ×ｈ＝１
２ＡＤ×ｈ′ꎬＳ三角形ＡＢＣ＝１
２ＢＣ×
ｈ＝１８０(平方厘米)ꎬ所以Ｓ三角形ＡＢＤ＝１
２ＢＤ×ｈ＝１
２×
１
２ＢＣ× ｈ＝１
２× １８０＝９０(平方厘米)ꎮＳ三角形ＡＢＥ＝
１
２ＡＥ×ｈ′＝１
２× １
３ＡＤ×ｈ′＝１
３×９０＝３０(平方厘米)ꎬ所
以Ｓ三角形ＡＥＦ＝３
４Ｓ三角形ＡＢＥ＝３
４×３０＝２２.５(平方厘米)ꎮ
第３讲 等差数列进阶
２５ꎬ５６ꎬ２１ꎬ１０２５
项数＝(末项－首项) ÷公差＋１＝(７７－５) ÷
３＋１＝２５ꎬ第１８项＝ａ１＋(ｎ－１)×ｄ＝５＋(１８－１) ×３＝
５６ꎬ(６５－５) ÷３＋１＝２１ꎬＳｎ＝( ａ１＋ａｎ) ×ｎ÷２＝(５＋
７７)×２５÷２＝１０２５ꎮ
７
(５７－１５)÷(７－１)＝７ꎮ
４０６厘米
首项ａ１＝１０ꎬ公差ｄ＝４ꎬａｎ＝ａ１＋(ｎ－１)ｄ＝
１０＋(１００－１)×４＝４０６ꎬ即这棵树高４０６厘米ꎮ
(１)１９ (２)６
(３)①１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝４×７＝２８
②８１＋８３＋８５＋８７＋８９＋９１＋９３＝８７×７＝６０９
(１)中间数＝(首项＋末项) ÷２＝(８＋３０) ÷
２＝１９ꎮ(２)(１１＋１) ÷２＝６ꎮ(３) 根据中项定理:
和＝中间数×项数ꎮ
６０
和＝中间数× 项数ꎬ那么中间数＝和÷
项数＝３２０÷５＝６４ꎬ第３个数是６４ꎬ最小的那个数
就是６０ꎮ
４９７５０３
项数:(１９９３－１)÷４＋１＝４９９ꎬ
中间数:(１９９３＋１)÷２＝９９７ꎬ
根据中项定理ꎬ和＝中间数×项数ꎬ
和＝９９７×４９９＝４９７５０３ꎮ
７
根据中项定理ꎬ和＝中间数×项数ꎬ中间
数＝９９÷９＝１１ꎬ即第５项是１１ꎬａ１＝１１－(５－１)×１＝
７ꎬ即最小的数是７ꎮ
８９岁
根据中项定理ꎬ中间数＝和÷项数＝７６５÷
９＝８５ꎬ第５个数是８５ꎬ第９个数是８５＋４＝８９ꎬ即最
大的老人是８９岁ꎮ
１１０个ꎬ１１１１０个
项数:(２１０－１０)÷２＋１＝１０１ꎬ即一共有１０１排ꎻ
中间数:(１０＋２１０) ÷２＝１１０ꎬ即中间一排有１１０个
座位ꎻ
和:１１０×１０１＝１１１１０ꎬ即一共有１１１１０个座位ꎮ
２０１０
偶数项的规律１、３、５、７
奇数项的规律２、４、６、８
可以看出两个数列都是等差数列ꎬ２００９是奇数ꎬ
所以在偶数项里ꎬ它的项数是(２００９－１) ÷２＋１＝
１００５ꎬ所以在整个数列里ꎬ２００９的项数是１００５×
２＝２０１０ꎮ
１０３＋５９６ ３５２５０
假设第１００个算式是ａ１００＋ｂ１００ꎬａ１００＝４＋
(１００－１)×１＝１０３ꎬｂ１００＝２＋(１００－１) ×６＝５９６ꎬ所以
第１００个算式是１０３＋５９６ꎮ
４＋２＋５＋８＋６＋１４＋７＋２０＋＋１０３＋５９６
数列①:４＋５＋６＋７＋＋１０３＝(４＋１０３) ×１００÷２＝
５３５０ꎬ数列②:２＋８＋１４＋２０＋＋５９６＝(２＋５９６) ×
１００÷２＝２９９００ꎬ２９９００＋５３５０＝３５２５０ꎮ
(１)２６项 (２)２６５２
(１) 等差数列中项数为(１００－０) ÷２＋１＝
５１ꎬ由于周期开始ꎬ等差结束ꎬ所以周期数列的项
数也是５１ꎬ由５１÷４＝１２３可得ꎬ５１项里面有
４
０
１２个完整的周期ꎬ还余３项１、２、３ꎬ每个周期有
２项是２ꎬ１２×２＋１＝２５(项)ꎬ等差数列中有１项是
２ꎬ２５＋１＝２６(项)ꎮ
(２)周期数列之和:(１＋２＋３＋２) × １２＋１＋２＋３＝
１０２ꎬ等差数列之和:(０＋１００)×５１÷２＝２５５０ꎮ２５５０＋
１０２＝２６５２ꎮ
５１５１
第１个数:１＝１ꎬ第２个数:３＝１＋２ꎬ第３个
数:６＝１＋２＋３ꎬ第４个数:１０＝１＋２＋３＋４ꎬꎬ第
ｎ个数:１＋２＋３＋４＋＋ｎꎬ第１０１个数:１＋２＋３＋＋
１０１＝５１５１ꎮ
９０
当ｎ＝１时ꎬ共有１×２＝２(个)小星星ꎬ
当ｎ＝２时ꎬ共有２×３＝６(个)小星星ꎬ
当ｎ＝３时ꎬ共有３×４＝１２(个)小星星ꎬ
当ｎ＝９时ꎬ共有９×１０＝９０(个)小星星ꎮ
(１)２９ (２)３１ (３)１０ １１
(１)第１行是二级等差数列:
(２)第３行是二级等差数列:
(３)
可得２００位于这个数表中第１０行左起第１１０个ꎮ
５
０
练习册参考答案
第１讲 乘除法
竖式谜
Ｂ
根据分析可得ꎬ“好好好”表示为１１１ｎ＝３７×
３×ｎꎬ因为不同汉字代表不同的数字ꎬ所以ｎ≠１ꎬ
ｎ＝２ꎬ则“好好好” ＝３７×６(符合要求)或７４×３(不
符合要求)ꎬ
ｎ＝３ꎬ则“好好好” ＝３７×９(不符合要求)ꎬ
ｎ＝４ꎬ则“好好好” ＝７４×６(不符合要求)ꎬ
ｎ＝５ꎬ则“好好好” ＝３７×１５(不符合要求)ꎬ
ｎ＝６ꎬ则“好好好” ＝７４×９(不符合要求)ꎬ
所以“好好好” ＝３７×６＝２２２ꎬ即“好” 代表的数字
是２ꎮ
５４
由１ＡＡ１能被１１整除及只有１×１ꎬ３×７ꎬ９×９
积的个位是１ꎬ所以Ａ可能为１、３、７或９ꎬ而且
１ＡＡ１可分解成１１与１个一位数和１个两位数的
乘积ꎮ分别检验１１１１、１３３１、１７７１、１９９１ꎬ只有
１７７１满足１７７１＝１１×７×２３ꎬ可知原式是７７×２３＝
１７７１ꎮ所以两个因数的差是７７－２３＝５４ꎮ
从第二个因数的十位数字入手ꎬ考虑９与
第一个因数的乘积ꎮ由于第二行乘积的个位上是
７ꎬ则第一个因数的个位上只能是３ꎮ第二行乘积
的十位上是１ꎬ而且是进“２”后为“１”ꎬ则实际应为
１１－２＝９ꎬ那么第一个因数的十位上只能是１ꎬ第
一个因数的千位上３与９的乘积为２７ꎬ而第二行
乘积所示结果为３０ꎬ说明第一个因数百位与９的
乘积中进位是“３”ꎬ那么第一个因数百位上与９
的乘积必为３６ꎬ则第一个因数的百位上是４ꎮ第
一行乘积的个位是１ꎬ是第一个因数个位上３与
第二个因数个位上的数的积ꎬ那么第二个因数的
个位上一定是７ꎮ
３８７６６
设除数为ｍ４ｎꎬ商为ａｂｃꎬ根据除法竖式可
知ｍ４ｎ×ｂ＝□□４ꎬ
再由减法竖式可知ｍ４ｎ×ｂ＝９□４ꎮ
因为ｍ４ｎ×ｃ＝４□□ꎬ所以ｍ≤４ꎮ
试验:ｍ＝１时ꎬ由１４ｎ×ｂ＝９□４ꎬ推出ｂ＝７ꎬｎ＝２ꎻ
由１４２×ａ＝□□４ꎬ推出ａ＝２ꎻ由１４２×ｃ＝４□□ꎬ推
出ｃ＝３ꎮ所以被除数为１４２×２７３＝３８７６６ꎮ
ｍ＝２、３、４时ꎬ均无解ꎮ
Ａ＝１ Ｂ＝９ Ｃ＝７ Ｄ＝３ Ｅ＝８ Ｆ＝４
ＡＢＢＣ×Ａ＝ＡＢＢＣꎬ所以Ａ＝１ꎻ中间数位相
加部分ꎬ第一步计算结果中的百位上是Ｂꎬ第二步
计算结果百位上是Ｃꎬ最后相加的结果还是Ｃꎬ说
明Ｂ可能为０ꎬ也可能是９(后面进位１)ꎬ然后看
十位部分ꎬＢ＋Ｂ＝Ｅꎬ说明Ｂ不为０ꎬ所以Ｂ＝９ꎻＣ×Ｃ
末尾会出现９ꎬ说明Ｃ可能为３或７ꎬ经验证３不
符合要求ꎬ所以Ｃ＝７ꎻ所以最后答案就是１９９７×
７１＝１４１７８７ꎬ即Ａ＝１ꎬＢ＝９ꎬＣ＝７ꎬＤ＝３ꎬＥ＝８ꎬＦ＝４ꎮ
８９１４３７
竖式中未知字母有１０个ꎬ它们是Ａ、Ｉ、Ｌ、
Ｓ、Ｙ、Ｒ、Ｃ、Ｏ、Ｕ、Ｇꎮ由题意ꎬ得这１０个字母分别
表示０~９这１０个数字ꎮ
先观察竖式中各个数的位数ꎮ注意到ꎬ除数ＡＩＬＳ
与Ｃ相乘得到四位数ＳＩＵＲꎬ而与Ｏ和Ｌ相乘分别
得到五位数ＲＡＩＣＯ和ＲＹＬＹＵꎬ所以Ｃ<Ｏꎬ且Ｃ<Ｌꎮ
再观察除法竖式中的第二步减法ꎮＲＩＯＣＣ与
ＲＡＩＣＯ相减后的十位是Ｙꎮ已知Ｃ<Ｏꎬ此时相减有
退位ꎬ所以Ｙ＝９ꎬ得到如图①所示的形式ꎮ
接着观察整式的最后一步减法ꎬ因为这一步中ꎬ两
个首位不同的五位数的差是四位数ꎬ那么它们的
首位必然相差１ꎬ也就是说Ａ＝Ｒ＋１ꎮ由于减法是
加法的逆运算ꎬ因此可从加法的角度考虑减法的
最后两位ꎮ
９Ｕ＋９Ｒ的后两位是ＬＳꎬ如果Ｕ＋Ｒ有进位１ꎬ则Ｌ＝
６
０
９ꎬ与Ｙ＝９重复ꎬ不符合题意ꎮ
因此Ｕ＋Ｒ没有进位ꎬ所以十位上Ｌ＝８ꎮ
继续观察减法的后三位ꎬ９ＬＳ－Ｌ９Ｕ的后三位为
Ｇ９Ｒꎬ而Ｌ＝８ꎬ因此Ｇ＝０ꎮ
这时百位相减时没有向千位借位ꎬ所以Ｒ＝１ꎮ又
因为Ａ＝Ｒ＋１ꎬ所以Ａ＝２ꎮ竖式变为如图②所示的
形式ꎮ然后观察竖式的第二步减法ꎬ因为Ｉ－２＝２ꎬ
所以Ｉ＝４ꎮ
再看第一步减法ꎬ个位上ꎬＩ－１＝Ｃꎬ所以Ｃ＝３ꎬ千位
上ꎬ８－Ｓ＝１ꎬ即有Ｓ＝７ꎮ
由最后一步减法的个位可知ꎬＳ－Ｕ＝１ꎬ所以Ｕ＝６ꎮ
由第一步减法的十位ꎬ有１＋１０－Ｕ＝Ｏꎬ所以Ｏ＝５ꎮ
综上ꎬ竖式如图③所示ꎬ经验算ꎬ符合题意ꎮ
(１)
(２)
(１)一个首位是３的五位数乘方框内的一
位数后得到一个首位是９的五位数ꎬ那么方框内
的数一定是３ꎬ此时的竖式如图①所示ꎬ这时剩下
８个各不相同的汉字ꎬ恰好是１、２、４、５、６、７、８、０
各一个ꎮ
因为“强”乘３之后没有进位ꎬ所以它只能是２、１
或０ꎮ不妨先假设“强” ＝２ꎮ易知ꎬ０不是在乘数
中ꎬ就是在乘积中ꎬ如果０在乘数中ꎬ那么显然它
不能在末尾ꎮ如果０在十位ꎬ如图②所示ꎮ
此时有“魏” ×３＝股弦ꎮ这时还剩下１、４、５、６、７、
８ꎮ经试验发现ꎬ“魏”无论取其中的哪个数字ꎬ在
竖式中都会出现重复数字ꎬ因此０不能在十位上ꎬ
只能在百位上ꎬ那么此时“章” ＝６ꎬ如图③所示ꎮ
这时只剩下１、４、５、７、８ꎮ易知“魏”不能取１和５ꎬ
也不能取４(乘积末位和２重复)ꎬ只能是７或８ꎮ
如果“魏” ＝７ꎬ那么可以确定“ 弦” ＝１ꎬ如图④所
示ꎬ还剩下４、５、８要填在“赵” “勾” “股” 的位置ꎮ
经试验发现ꎬ无论“赵”取４、５、８中的哪个ꎬ都会出
现重复数字ꎬ所以假设不成立ꎮ所以只能“魏” ＝
８ꎬ这时就可以确定“弦” ＝４ꎬ如图⑤所示ꎮ
剩下１、５、７要填在“赵” “勾” “股” 的位置ꎮ经试
验发现ꎬ“赵”为５ꎬ“股” 为７ꎬ“勾” 为１时恰好满
足题意ꎬ如答案所示ꎮ
(２) 已知勾股弦代表３４５ꎬ所以个位“魏” 不能是
５ꎬ那么方框内的数字只能是偶数２、４、６、８中的一
个ꎮ如果方框内填４ꎬ那么韩赵魏是３８０ꎬ则数字３
重复ꎮ同样ꎬ如果方框内填６ꎬ那么韩赵魏是０７０ꎬ
则数字０重复ꎮ因此方框中的数字只能是２或８ꎮ
①若方框里填２ꎬ那么韩赵魏是６９０ꎬ竖式如图⑥
所示ꎬ此时还剩下１、２、７、８四个数字要分别填在
“九”“章”“三”“强”的位置ꎮ
因为“九”乘２后没有进位ꎬ所以“九”只能是１或
２ꎮ若“九”是１ꎬ则“三” 不能取７或８ꎬ只能取２ꎮ
此时只剩下７和８ꎬ对应“章” 和“强”ꎮ但试算后
发现ꎬ无论如何都不能满足要求ꎮ若“九”是２ꎬ因
“章”乘２后至多向前进１ꎬ那么“三” 就只能是４
或５ꎬ此时必定要出现重复数字ꎮ所以方框内不
可能填２ꎮ
②若方框里填８ꎬ那么韩赵魏是７６０ꎬ竖式如图⑦
所示ꎮ此时还剩下１、２、８、９四个数字要分别填在
“九”“章”“三”“强”的位置ꎮ
因为九章乘８后没有进位ꎬ所以只能是１２ꎬ剩下
的三强就是９８ꎮ经验算正好成立ꎮ
此时找到了唯一的解ꎬ如答案所示ꎮ
第２讲 三 角 形
２４个
(３＋２＋１)×３＋６＝２４(个)ꎮ
１６厘米
三角形的面积＝底× 高÷ ２＝１０× ８÷ ２＝
７
０
４０(平方厘米)ꎬ三角形的底＝面积×２÷高＝４０×２÷
５＝１６(厘米)ꎮ
２７平方厘米
方法一:如图①ꎬ将题图分为１２个完全一
样的小等腰直角三角形ꎮ三角形ＡＢＣ占９个小
等腰直角三角形ꎬ其中涂色部分占６个小等腰直
角三角形ꎬＳ三角形ＡＢＣ＝９×９÷２＝４０.５(平方厘米)ꎬ所
以涂色部分的面积为４０.５÷９×６＝２７(平方厘米)ꎮ
方法二:如图②ꎬ连接ＩＧ、ＡＤꎬ则四边形ＡＤＧＩ为正
方形ꎬ易知ＦＧ＝ＦＣ＝３厘米ꎬ所以ＤＧ＝ＤＦ－ＦＧ＝９－
３＝６( 厘米)ꎬ于是Ｓ三角形ＨＩＧ＝１
４× Ｓ正方形ＡＩＧＤ＝１
４×
６２＝９(平方厘米)ꎮ而四边形ＩＧＦＢ为长方形ꎬ且
ＢＦ＝ＡＤ＝ＤＧ＝６厘米ꎬＧＦ＝３厘米ꎬ所以Ｓ长方形ＩＧＦＢ＝
６×３＝１８( 平方厘米)ꎮ涂色部分面积为三角形
ＨＩＧ与长方形ＩＧＦＢ的面积和ꎬ即为９＋１８＝２７(平
方厘米)ꎮ
方法三:如图③ꎬ为了方便叙述ꎬ将题图标上字母ꎮ
易知三角形ＢＩＥ、三角形ＣＧＦ、三角形ＡＩＨ、三角形
ＤＧＨ均为等腰直角三角形ꎮ
先求出等腰直角三角形ＡＨＩ、等腰直角三角形
ＣＧＦ的面积ꎬ再用已知的等腰直角三角形ＡＢＣ的
面积与其作差ꎬ即为需求涂色部分的面积ꎮ即
Ｓ三角形ＡＢＣ＝Ｓ三角形ＤＥＦ＝１
２×ＥＦ×ＤＦ＝８１
２(平方厘米)ꎬ
Ｓ三角形ＣＧＦ＝１
２×ＣＦ×ＦＧ＝９
２(平方厘米)ꎮ因为ＣＦ＝
ＦＧ＝３(厘米)ꎬ所以ＤＧ＝ＤＦ－ＦＧ＝６(厘米)ꎮ
如图④ꎬ可以将４个三角形ＤＧＨ拼成一个以ＤＧ
为边长的正方形ꎮ所以Ｓ三角形ＤＧＨ＝１
４×ＤＧ×ＤＧ＝
９(平方厘米)ꎬ而Ｓ三角形ＡＩＨ＝Ｓ三角形ＤＧＨ＝９平方厘米ꎬ
所以Ｓ涂色＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ三角形ＣＧＦ－Ｓ三角形ＡＩＨ＝８１
２－９
２－
９＝２７(平方厘米)ꎮ
即涂色部分的面积为２７平方厘米ꎮ
３.５
先算出长方形的面积ꎬ再用其面积的一半
减去三角形ＤＯＣ的面积ꎬ再减去三角形ＡＯＤ的
面积ꎬ即可求出三角形ＡＯＣ的面积ꎮ
根据模型可知Ｓ三角形ＣＯＤ＋Ｓ三角形ＡＯＢ＝１
２Ｓ长方形ＡＢＣＤꎬ所
以Ｓ长方形ＡＢＣＤ＝１６÷ (
１
２－１８％) ＝５０ꎮ
又三角形ＡＯＤ与三角形ＢＯＣ的面积相等ꎬ它们的
面积和等于长方形面积的一半ꎬ所以三角形ＡＯＤ
的面积等于长方形面积的１
４ꎬ所以Ｓ三角形ＡＯＣ＝
Ｓ三角形ＡＣＤ－Ｓ三角形ＡＯＤ－Ｓ三角形ＣＯＤ＝
１
２Ｓ长方形ＡＢＣＤ－
１
４Ｓ长方形ＡＢＣＤ－１８％×Ｓ长方形ＡＢＣＤ＝２５－１２.５－９＝３.５ꎮ
３
３２
图中有大、中、小三个
正方形ꎬ由小到大每个面积是
前一个的１
２ꎬ所以小正方形的
面积是１
４ꎬ将小正方形各顶点
标上字母ꎬ连接ＦＨꎬ如图ꎬ很容易看出三角形ＪＦＧ
的面积＝三角形ＩＨＧ的面积＝１
４×正方形ＥＦＧＨ
的面积ꎬ三角形ＥＪＩ的面积＝１
４×三角形ＥＦＨ的面
积＝１
８×正方形ＥＦＧＨ的面积ꎮ所以涂色三角形
ＪＧＩ的面积＝( １－１
４－１
４－１
８) ×小正方形的面积＝
３
８×小正方形的面积＝３
８× １
４＝３
３２ꎮ
４０
如图ꎬ连接ＡＦꎬＢＤꎮ
根据题意可知ꎬＣＦ＝５＋７＋
１５＝２７ꎬＤＧ＝７＋１５＋６＝
２８ꎬ所以
Ｓ三角形ＢＥＦ
＝
１５
２７Ｓ三角形ＣＢＦꎬ
Ｓ三角形ＢＥＣ
＝
１２
２７Ｓ三角形ＣＢＦꎬ
Ｓ三角形ＡＥＧ
＝
２１
２８Ｓ三角形ＡＤＧꎬＳ三角形ＡＥＤ＝７
２８Ｓ三角形ＡＤＧꎬ所以２１
２８Ｓ三角形ＡＤＧ＋
１５
２７Ｓ三角形ＣＢＦ＝６５ꎬ７
２８Ｓ三角形ＡＤＧ＋１２
２７Ｓ三角形ＣＢＦ＝３８ꎬ可得
８
０
Ｓ三角形ＡＤＧ＝４０ꎬ故三角形ＡＤＧ的面积是４０ꎮ
１００
如果可以求出三角形ＡＢＧ与三角形ＣＤＧ
的面积之和与梯形ＡＢＣＤ面积的比ꎬ那么就可以
知道三角形ＡＤＧ的面积占梯形ＡＢＣＤ面积的多
少ꎬ从而可以求出梯形ＡＢＣＤ的面积ꎮ
如图①ꎬ连接ＣＥ、ＤＥꎮ
则Ｓ三角形ＡＥＧ＝Ｓ三角形ＤＥＧꎬＳ三角形ＢＥＧ＝Ｓ三角形ＣＥＧꎬ于是
Ｓ三角形ＡＢＧ＋Ｓ三角形ＣＤＧ＝Ｓ三角形ＣＤＥꎮ
要求三角形ＣＤＥ与梯形ＡＢＣＤ的面积之比ꎬ可以
把梯形ＡＢＣＤ绕Ｆ点旋转１８０°ꎬ变成一个平行四
边形ꎬ如图②所示ꎮ
从中容易看出三角形ＣＤＥ的面积为梯形ＡＢＣＤ的
面积的一半ꎮ( 也可以根据Ｓ三角形ＢＥＣ＝１
２Ｓ三角形ＡＢＣꎬ
Ｓ三角形ＡＥＤ＝Ｓ三角形ＡＦＤ＝１
２Ｓ三角形ＡＤＣꎬＳ三角形ＢＥＣ＋Ｓ三角形ＡＥＤ＝
１
２Ｓ三角形ＡＢＣ＋１
２Ｓ三角形ＡＤＣ＝１
２Ｓ梯形ＡＢＣＤ得来)
进而推出Ｓ三角形ＡＢＧ＋Ｓ三角形ＣＤＧ＝１
２Ｓ梯形ＡＢＣＤꎬ那么根据
题意可知三角形ＡＤＧ的面积占梯形ＡＢＣＤ面积的
１－１
２－７
２０＝３
２０ꎬ所以梯形ＡＢＣＤ的面积是１５÷ ３
２０＝
１００(ｃｍ２)ꎮ
２４
由题意可知ꎬＢＤ∶ＢＣ＝Ｓ三角形ＢＡＤ∶Ｓ三角形ＡＢＣ＝
２∶９ꎬ所以ＢＤ＝２
９ＢＣ＝１０ꎬＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝３５ꎮ又
ＤＩ∶ＤＣ＝Ｓ三角形ＤＩＦ∶Ｓ三角形ＤＦＣ＝２∶５ꎬ所以ＤＩ＝
２
５ＤＣ＝１４ꎮ同理可得ＦＫ＝１０ꎬ所以ＤＩ＋ＦＫ＝１４＋
１０＝２４ꎮ
第３讲 等差数列进阶
２０２块ꎬ２０４０２块
项数:(４０２－２)÷４＋１＝１０１(层)ꎬ
中间数:(２＋４０２)÷２＝２０２(块)ꎬ
和:(２＋４０２)×１０１÷２＝２０４０２(块)ꎮ
５００５０１
从题目中可以看出ꎬ相邻两数的差都会依
次增加１ꎮ
第１个数:１＝１ꎬ
第２个数:２＝１＋１ꎬ
第３个数:４＝１＋１＋２ꎬ
第４个数:７＝１＋１＋２＋３ꎬ
第５个数:１１＝１＋１＋２＋３＋４ꎬ
第ｎ个数:１＋１＋２＋３＋４＋＋(ｎ－１)ꎬ
第１００１个数:１＋１＋２＋３＋４＋＋(１００１－１)＝１＋１＋
２＋３＋４＋＋１０００＝１＋５００５００＝５００５０１ꎮ
６３８
先求能被３整除的数的和:１１~ ４５中能被
３整除的数有１２、１５、１８、２１、、４５ꎬ和为１２＋１５＋
１８＋２１＋＋４５＝(１２＋４５)×１２÷２＝３４２ꎬ于是满足要
求的数的和为(１１＋１２＋１３＋＋４５) －３４２＝９８０－
３４２＝６３８ꎮ
２１６
公差１９－１５＝４ꎬ项数(４４３－１５) ÷４＋１＝
１０８ꎬ倒数第２项:４４３－４＝４３９ꎬ奇数项组成的数
列:１５、２３、３１、、４３９ꎬ公差:２３－１５＝８ꎬ和:(１５＋
４３９)×５４÷２＝１２２５８ꎮ偶数项组成的数列:１９、２７、
３５、、４４３ꎬ公差:２７－１９＝８ꎬ和:(１９＋４４３) ×５４÷
２＝１２４７４ꎬ差:１２４７４－１２２５８＝２１６ꎮ
可以是６３０ꎬ但不能是１７０和２１６ꎮ
观察题图ꎬ被方框框住的９个数之和ꎬ其
实是中间那行最中间数的９倍ꎬ同时其上、下、左、
右都有数ꎮ１７０不是９的整倍数ꎬ所以框住的９个
数之和不可能是１７０ꎮ２１６÷９＝２４ꎬ２４在第３行的
最右端ꎬ再往右没有数了ꎬ所以也不可能ꎮ６３０÷
９＝７０ꎬ７０在第９行第６列ꎬ完全符合要求ꎮ
从６７页到７６页
所有页码和:１＋２＋３＋４＋＋３４５＝(１＋３４５)×
３４５÷２＝５９６８５ꎬ５张＝１０页ꎬ５９６８５－５８９７０＝７１５ꎮ
Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ(ｎ－１) ÷２×ｄꎬ７１５＝１０×ａ１＋１０×９÷２×１ꎬ
则ａ１＝６７ꎬａ１０＝６７＋(１０－１)×１＝７６ꎮ
３种 公差值分别为２、１或０
根据分析ꎬ等差数列之和刚好比五个顶点
的数字之和多了０＋１＋２＋３＋＋９ꎬ即４５ꎬ设顶点分
别为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅꎬ则有Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝５５－４５＝
１０ꎬ在０~９这十个数字中ꎬ只有０＋１＋２＋３＋４＝１０ꎬ
故Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ分别只能是０~ ４中的一个数字ꎬ
则除此之外的其他五条边上的数之和为４５－１０＝
３５ꎮ设所形成的等差数列的首项为ａꎬ公差为ｄꎬ
根据求和公式得５×(ａ＋ａ＋４ｄ)
２
＝５５ꎬ化简得ａ＋
２ｄ＝１１ꎮ
９
０
因为ａ≥０ꎬ１１≥０＋１＋５＝６ꎬ且１１为奇数ꎬａ只能取
７、９或１１ꎬ所以ｄ＝１１－ａ
２
ꎬ所以ｄ＝２、１或０ꎬ求出对
应的公差值为２、１或０ꎬ
举例如图:公差为２的情况:
公差为０的情况:
公差为１的情况(填法不唯一):
１０
通过尝试可以得到１＋２＋３＋＋４４＝(１＋
４４)×４４÷２＝９９０ꎬ１０００－９９０＝１０ꎮ
７２
由题意得ꎬ第３名的成绩＋第６名的成绩＝
第４名的成绩＋第５名的成绩＝３５４÷２＝１７７(分)ꎬ
根据奇偶分析ꎬ则其公差一定是奇数ꎮ
①若公差＝１ꎬ则第３名的成绩－第６名的成绩＝
３(分)ꎬ第３名的成绩＝(１７７＋３) ÷２＝９０(分)ꎬ第
１名的成绩＝９０＋２＝９２(分)ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎮ
②若公差＝３ꎬ则第３名的成绩－第６名的成绩＝
９(分)ꎬ第３名的成绩＝(１７７＋９) ÷２＝９３(分)ꎬ第
２名的成绩＝９３＋３＝９６(分)ꎬ符合题意ꎬ第１０名
的成绩＝９３－３×(１０－３)＝７２(分)ꎮ
③若公差＝５ꎬ则第３名的成绩－第６名的成绩＝
１５(分)ꎬ第３名的成绩＝(１７７＋１５) ÷２＝９６(分)ꎬ
第２名的成绩＝９６＋５＝１０１(分)ꎬ不符合题意ꎬ舍
去ꎮ综上所述ꎬ第１０名同学得了７２分ꎮ
２４
若小朋友超过３个人ꎬ则墨莫也需向王老
师要３６张卡片才能构成等差数列ꎬ与题意不符ꎬ
所以小朋友只有３个人ꎬ卡片张数从少到多依次
为小高、墨莫、Ｘꎮ王老师给小高３６张后ꎬ顺序可
能变为墨莫、Ｘ、小高或墨莫、小高、Ｘꎮ
①若顺序是墨莫、Ｘ、小高ꎬ则开始时墨莫比小高
多３６÷３＝１２(张)ꎬ又Ｘ的卡片数超过９０张ꎬ则此
时小高超过了１００张ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎮ
②若顺序是墨莫、小高、Ｘꎬ则开始时墨莫比小高
多３６×２÷３＝２４(张)ꎬ王老师给墨莫１８张后ꎬ顺序
变为小高、墨莫、Ｘꎬ符合题意ꎮ
所以王老师开始时发给墨莫的卡片比发给小高的
多２４张ꎮ
０
１
