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第 5 讲 客观题的解法
题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，
解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干
和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地
选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、
数形结合法、等价转化法等．
方法一 直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、
法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和
填空题最基本、最常用的方法．
例1 (1)(2022·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝3，则向量b与b－a夹角
的余弦值为( )
A. B. C. D.
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(2)(2022·湖北新高考协作体联考)已知数列{a}的前n项和S 满足2S ＝n2＋n(n∈N*)，设b
n n n n
＝，则数列{b}的前2 023项和 T ＝________.
n 2 023
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规律方法 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要
求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化
从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键．
方法二 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或
特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情
况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
例2 (1)若a>b>c>1且aclog c>loga
a b c
B．logb>log a>log c
c b a
C．log c>log b>loga
b a c
D．log a>logb>log c
b c a
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________________________________________________________________________(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与
2b的大小关系是( )
A．a＋c>2b B．a＋c<2b
C．a＋c≥2b D．a＋c≤2b
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规律方法 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结
论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，
或改用其他方法求解．
方法三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，
通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．
例3 (1)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝的图象可能为( )
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(2)(2022·惠州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝ex(x＋1)，则下列
说法正确的是( )
A．当x>0时，f(x)＝ex(1－x)
B．f(x)>0的解集为(－1,0)
C．函数f(x)有2个零点
D．∀x，x∈R，都有|f(x)－f(x)|<2
1 2 1 2
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规律方法 排除法使用要点：
(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其他选项．
(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，
再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法
等常结合使用．
方法四 构造法
用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要
对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向
类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．
例4 (1)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为
2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
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(2)(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(1)＝，则2f(x)>
的解集为( )
A．(－∞，2) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(2，＋∞)
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规律方法 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决
的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟
悉的问题．
方法五 估算法
因为选择题提供了唯一正确的答案，解答又不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、
估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推
导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷．
例5 (1)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度
之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为
26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
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(2)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为
9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )
A．12 B．18 C．24 D．54
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规律方法 估算法使用要点：
(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题．常与特值(例)法结合起
来使用．
(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几
何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算．
