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第53 讲 交流电的产生与描述
目录
01 考情解码·命题预警
2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 正弦式交变电流的产生和描述 ...............................................................................4
知识点1 正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置...................................................................4
知识点2 交变电流瞬时值表达式..............................................................................................4
考向1 交变电流的产生及图像...........................................................................................................4
考向2 交变电流的函数表达式.........................................................................................................6
考点二 有效值的理解与计算 ....................................................................................................9
知识点1 求解交变电流有效值的方法........................................................................................9
考向1 交变电流有效值的求解............................................................................................................9
考点三 交变电流“四值”的理解和应用 ............................................................................13
知识点1 对交变电流“四值”的比较......................................................................................13
考向1 交变电流四值的理解和应用..................................................................................................14
04 真题溯源·考向感知.......................................................................................................................18
常考考点
真题举例
交变电流的产生
2025·黑吉辽蒙·高考真题
1
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交变电流图像
————————
交变电流的有效值
2021·辽宁·高考真题
交变电流的平均值
————————
考情分析：
1. 交变电流的产生和与描述是高考物理的高频考点，主要出现在选择题中，常结合电磁感应和电路的计
算等知识综合考查。
2．从命题思路上看，考查方向为
基本知识考查：交变电流的产生，交变电四值的计算；
常见模型考查：正弦交流电，交变电流图像；
与科技相结合：发电机，电动机。
3．从命题思路上看，试题情景为
学习探究类：正弦交流电的产生方式：①线框旋转；②导体棒切割E=BLv（B、L、v 按照正弦交流电变
化）
复习目标：
目标一：掌握产生原理：理解线圈在磁场中转动产生交变电流的过程，熟记瞬时值表达式推导逻辑。
目标二：明晰四值意义：准确区分瞬时值、峰值、有效值、平均值的物理含义及适用场景。
目标三：提升应用能力：能结合图像提取关键信息，熟练解决与实际电路结合的计算问题。
2
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考点一 正弦式交变电流的产生和描述
知识点1 正弦式交变电流产生过程中的两个特殊位置
3
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图示
特点
B⊥S
B∥S
Φ＝BS，最大
Φ＝0，最小
e＝n ΔΦ
Δt ＝0，最小
e＝n ΔΦ
Δt ＝nBSω，最大
电流为零，方向改变
电流最大，方向不变
知识点2 交变电流瞬时值表达式
1.确定正弦交变电流的峰值，根据已知图像读出或由公式Em＝nBSω 求出相应峰值。
2.明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式。
（1）线圈在中性面位置开始计时，则i－t 图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin ωt。
（2）线圈在垂直于中性面的位置开始计时，则i－t 图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcos ωt。
考向1 交变电流的产生及图像
例1（24-25 高二下·内蒙古赤峰·期末）如图是某海浪发电原理示意图，海浪带动浪板使线圈逆时针匀速转
动，向外输出电流。线圈转到如图所示位置时磁场方向与线圈平面平行。下列说法正确的是（ ）
A．如图所示位置穿过线圈的磁通量最大
B．如图所示位置线圈产生的感应电动势最大
C．线圈从如图所示位置转过
时，穿过线圈的磁通量最小
D．线圈从如图所示位置转过
时，线圈产生的感应电动势最大
【答案】B
【详解】AB．线圈转动到题图所示的位置时线圈平面与磁场平行，则穿过线圈的磁通量最小，磁通量变
化率最大，感应电动势最大，故A 错误，B 正确；
CD．线圈从如图所示位置转过
时，即位于中性面位置时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率最小，
线圈产生的感应电动势最小，故CD 错误。
4
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故选B。
【变式训练1·变考法】如图甲所示，在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，产
生的交变电动势在一个周期内的图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．t=0.01s 时，金属线框处于中性面位置
B．t=0.005s 时穿过线框的磁通量最大
C．交变电流在1s 内方向变化30 次
D．t=0.02s 时，穿过金属线框的磁通量变化率最大
【答案】A
【详解】A．t=0.01s 时，金属线框产生的感应电动势为零，则处于中性面位置，选项A 正确；
B．t=0.005s 时感应电动势最大，此时穿过线框的磁通量变化率最大，磁通量为零，选项B 错误；
C．交变电流周期0.02s，则在1s=50T，一个周期内电流方向改变2 次，可知1s 内方向变化100 次，选项C
错误；
D．t=0.02s 时，感应电动势为零，则穿过金属线框的磁通量变化率为零，选项D 错误。
故选A。
【变式训练2·变考法】（2022·黑龙江哈尔滨·三模）如图垂直于纸面向里的有界匀强磁场中有一个矩形线
框abcd，线框以OO'为轴匀速转动，OO'与磁场右边界重合。若线框中产生电流的峰值为Im，由图示位置
开始计时，则下列可以正确描述线框中电流随时间变化的图像是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【详解】在
内，由于线圏在匀强磁场中从中性面开始转动，故产生正弦式交变电流，在
内都有感应电流，整个周期都有感应电流，所以ABC 错误；D 正确；
故选D。
考向2 交变电流的函数表达式
例1（2021·辽宁丹东·一模）图甲为一台小型发电机的示意图，单匝线圈绕
轴转动，若从某位置开始
计时，产生的电动势随时间的变化规律如图乙所示，已知发电机线圈内阻为，外接灯泡的电阻为
，下
列说法正确的是（ ）
A．线圈是从垂直中性面位置开始计时的
B．电动势表达式为
C．电流方向每秒改变50 次
D．理想电压表示数为
【答案】D
【详解】A．电动势随时间的变化规律从零开始，说明线圈从中性面开始转动，磁通量最大，瞬时电动势
为零，故A 错误；
B．电动势的最大值为
而
则电动势表达式为
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故B 错误；
C．线圈每转一圈，电流改变两次方向，则电流方向每秒改变了100 次（
），故C 错误；
D．理想电压表示数为路端电压的有效值，有
故D 正确；
故选D。
【变式训练1·变考法】（多选）（2024·吉林白城·三模）一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动，
转轴位于线圈平面内，并与磁场方向垂直，产生的交变电流i 随时间t 变化关系如图所示，则（ ）
A．该交变电流频率是2.5 Hz
B．该交变电流有效值是0.8 A
C．t=0.1s 时，穿过线圈平面的磁通量最小
D．该交变电流瞬时值表达式是
【答案】AC
【详解】A．根据图像可知，周期为0.4s，该交变电流频率
故A 正确；
B．该交变电流有效值
故B 错误；
C．t=0.1s 时，电流为最大值，表面此时线圈位置与中性面垂直，即线圈平面与磁场方向平行，可知，此时
穿过线圈平面的磁通量最小，故C 正确；
D．该交变电流瞬时值表达式是
故D 错误。
故选AC。
【变式训练2·变考法】（2025·全国·模拟预测）如图所示，线圈面积为0.15m2，共100 匝，总电阻为1Ω，
与R=9Ω 的外电阻相连。线圈在磁感应强度大小为B=2T 的匀强磁场中以OO′为轴匀速转动，转速
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n=0.5r/s。将此电源作为驱动力连接到一个单摆装置，单摆此时恰好达到共振（π2=10，g 取10m/s2）。
(1)若从线圈处于中性面开始计时，写出线圈中感应电流的瞬时值表达式；
(2)求单摆的摆长。
【答案】(1)i=3 π sin πt （A ）；
(2)1m
【详解】（1）线圈匀速转动，角速度ω=2πn
线圈中感应电动势的最大值Em= NBSω
从线圈处于中性面开始计时有e = Emsinωt
联立解得e =30 π sin πt (V)
感应电流i= e
R总
故i=3 π sin πt (A)
（2）单摆在周期性驱动力作用下做受迫振动，单摆此时恰好达到共振，其振动的频率与驱动力频率相等，
即单摆的周期等于线圈转动的周期，则T = 2π
ω = 1
n =2s
由于T =2π√
l
g
解得摆长l = gT
2
4 π
2 =1m
考点二 有效值的理解与计算
知识点1 求解交变电流有效值的方法
1.结论法
利用E＝Em
√2
、U＝U m
√2
、I＝I m
√2
计算，只适用于正（余）弦式交变电流。
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注意：上述关系对于正弦交变电流的一个周期波形、半个周期波形、两端分别是0 和峰值的1
4 周期波形都
成立。
2.有效值定义法（非正、余弦式交变电流）
计算时要抓住“三同”，即“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，列式求解时注意时间取一
个周期。
考向1 交变电流有效值的求解
例1【正弦波形】（2022·黑龙江哈尔滨·一模）一个单匝总电阻为2Ω 的闭合矩形金属线框位于匀强磁场中，
绕垂直于磁场方向的固定轴匀速转动，该线圈产生的电动势e 随时间按如图所示的余弦规律变化。下列说
法正确的是（ ）
A．线框产生电流峰值为200A
B．线框产生电动势有效值为
C．线框的热功率为20000W
D．t=0.01s 时，线框的磁通量最大
【答案】B
【详解】A．线框产生电流峰值为
A 错误；
B．线框产生电动势有效值为
B 正确；
C．线框的热功率为
C 错误；
D．t=0.01s 时，电动势最大，线框的磁通量等于零，D 错误。
故选B。
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【变式训练1·正弦半波形】（2021·辽宁·模拟预测）发电机的示意图如图甲所示，边长为L 的正方形金属
框，在磁感应强度为B 的匀强磁场中以恒定角速度绕
轴转动，阻值为R 的电阻两端的电压如图乙所示。
其它电阻不计，图乙中的
已知量。则金属框转动一周（ ）
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值为
C．流过电阻的电荷量
D．电阻产生的焦耳热
【答案】D
【详解】A．当线框转动时，框内电流方向每经过中性面一次都要变化一次，A 错误。
B．由图乙可知，电动势的最大值为
，其有效值与正弦交流电相同为
，B 错误。
C．线圈转过半周，则流过电阻的电荷量为
则金属框转过一周流过电阻的电荷量为
C 错误。
D．因为
则
金属框转过一周电阻产生的焦耳热
D 正确。
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故选D。
【变式训练2·矩形波形】（2024·辽宁·模拟预测）如图甲、乙所示的交流电分别加在两定值电阻R1、R2两
端，已知R1=2R2，若两图中的横纵坐标均为已知量，图甲为正弦线。则下列说法正确的是（ ）
A．前半个周期两交流电压的有效值之比为1 2∶
B．两交流电的交流电压分别为
、
C．
时间内两定值电阻上产生的热量之比为1 8∶
D．0~T 时间内两定值电阻上产生的热量之比为1 10
∶
【答案】D
【详解】A．图甲中前半个周期交流电电压的有效值为
图乙中前半个周期交流电电压的有效值为
前半个周期两交流电压的有效值之比为
故A 错误；
B．图甲中前交流电电压的有效值为
设图乙中交流电电压的有效值为
，则有
解得
故B 错误；
C．
时间内，定值电阻R1上产生的热量为
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定值电阻R2上产生的热量为
解得
故C 错误；
D．0~T 时间内，定值电阻R1上产生的热量为
定值电阻R2上产生的热量为
解得
故D 正确。
故选D。
【变式训练3·组合波形】（2024 黑龙江模拟）如图所示是某一交变电流的i−t图像，曲线部分为正弦函数
的一部分，则该交变电流的有效值为（ ）
A．3√2A
B．2√2A
C．3 A
D．2A
【答案】B
【详解】由电流有效值的定义可得
( 4√2
√2 )
2
⋅R⋅T
3 +2
2⋅R⋅2T
3 = I
2 RT
解得该交变电流的有效值为
I =2√2A
故选B。
考点三 交变电流“四值”的理解和应用
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知识点1 对交变电流“四值”的比较
物理量
表达式
适用情况及说明
瞬时值
e＝Emsin ωt
u＝Umsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻
的受力情况
最大值
（峰值）
Em＝nBSω
Im＝Em
R+r
讨论电容器
的击穿电压
有效值
对正（余）弦交流电有E＝Em
√2
U＝U m
√2
I＝I m
√2
（1）计算与电流的热效应有关的量（如电功、电动率、电热
等）；
（2）电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值；
（3）保险丝的熔断电流为有效值；
（4）电表的读数为有效值
平均值
E＝BLv
E＝n ΔΦ
Δt
I＝E
R+r
计算通过电路
截面的电荷量
考向1 交变电流四值的理解和应用
例1（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图甲所示为某一小型风力交流发电机的原理图，线圈的匝数
为
、总电阻为
，负载电阻
，A 为理想交流电流表。线圈从转到中性面位置开始计时，
该发电机的电动势随时间的变化规律如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．电动势的瞬时值为
B．电动势的有效值为
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C．电流表的示数为
D．
时通过线圈的磁通量为
【答案】BC
【详解】A．根据题图可知交流电的周期为0.04s，线圈从转到中性面位置开始计时，电动势的最大值为
300V，则电动势的瞬时值
A 错误；
B．电动势的有效值
B 正确；
C．电流表的示数
C 正确；
D．根据题意可知
时通过线圈的磁通量最大为
又
联立可得
D 错误。
故选BC。
【变式训练1·变考法】（2019·辽宁·二模）图甲是小型交流发电机的示意图，两磁极N、S 间的磁场可视为
水平方向的匀强磁场，A 为理想交流电流表。线圈绕垂直于磁场的水平轴OO′沿逆时针方向匀速转动，产
生的电动势随时间变化的图像如图乙所示。已知发电机线圈电阻为10 Ω，外接一只阻值为90 Ω 的电阻，
不计电路的其他电阻，则（ ）
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A．电流表的示数为0.31 A
B．线圈转动的角速度为50π rad/s
C．0.01 s 时线圈平面与磁场方向平行
D．在线圈转动一周过程中，外电阻发热约为0.087 J
【答案】D
【详解】A．在交流电路中电流表的示数为有效值
22 V
电流表的示数
A＝0.22 A
故A 错误；
B．从图像可知线圈转动的周期为0.02 s，则线圈转动的角速度ω＝
＝100π rad/s
故B 错误；
C．0.01 s 时线圈的电压为0，因此线圈在中性面处，线圈平面与磁场方向垂直，故C 错误；
D．线圈发热应用电流的有效值进行计算，则发热量Q＝I2Rt＝（0.22）
2×90×0.02 J≈0.087 J
故D 正确。
故选D。
【变式训练2·变考法】（多选）（2022·辽宁·模拟预测）2021 年6 月28 日，“国之重器”金沙江白鹤滩水
电站首批机组正式并网发电。近些年中国大力发展水电，既有助于减轻国家能源危机，又有利于减小碳排
放。如图甲是一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图，图乙是该发电机的电路图，图中发
电机的线圈为单匝线圈，其内阻为
，外接一只电阻为
的灯泡（阻值恒定），下列说法正确的是（
）
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A．电压表的示数最大值为
B．在0~1 s 的过程中，灯泡产生的热量为95 J
C．在
时，通过线圈的磁通量最大
D．在0.005~0.015s 的过程中，通过线圈的电荷量为
【答案】BC
【详解】AB．由题图可得电路中电流的有效值为
电压表的示数为
所以灯泡产生的热量为
故AB 正确；
C．1.5 s 正好是75 个周期，所以此时的电动势为零，通过线圈的磁通量最大，故C 正确；
D．在0.005~0.015s 的过程中，磁通量的变化量
为0，因此通过线圈的电荷量
故D 错误。
故选BC。
【逻辑思维与科学建模】【变式训练3】（多选）（2024·全国·模拟预测）电动汽车在制动时，
可利用车轮转动将其动能转换成电能储存起来，车轮转动时带动磁极绕固定线圈旋转，在线圈中产生电流，
车轮半径为R，刹车过程中车轮做匀减速运动，初速度为v0，末速度为零，刹车位移为81π R，车轮与磁
极转动角速度之比为1
9，线圈匝数为n，线圈面积为S，N极与S极之间可看成匀强磁场，磁感应强度大小为
B，线圈回路中等效电阻为R电。开始制动时，磁极位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
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A．停止前磁极角速度ω0随位移x的变化关系为ω0= v0
R √
81π R−x
π R
B．停止前磁极转动角度θ0随位移x的变化关系为θ0= 9 x
π R
C．停止前线圈产生的感应电动势随位移x的变化关系为e = nBS v0
R √
81π R−x
π R
sin x
R
D．整个过程中流过线圈的电荷量为2nBS
R电
【答案】AD
【详解】A．设汽车的加速度大小为a，车轮的匀减速过程可看成反向的匀加速运动，有
v0
2=2a×81π R =162aπ R
当位移为x时，设车轮线速度大小为v，有
v
2=2a(81π R−x)
解得车轮线速度大小
v = v0
9 √
81π R−x
π R
车轮角速度
ω= v
R = v0
9 R √
81π R−x
π R
磁极转动的角速度
ω0=9ω= v0
R √
81π R−x
π R
故A 正确；
B．设位移为x时车轮转动角度为θ，则有
x =θR
故磁极转动角度
θ0=9θ = 9 x
R
故B 错误；
C．线圈产生的感应电动势
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e =nBS ω0sinθ0= nBS v0
R √
81π R−x
π R
sin 9 x
R
故C 错误；
D．开始时线圈处于中性面，整个过程中磁极转过的角度
θ0= 9×81π R
R
=729π
即初、末位置磁通量方向相反
ΔΦ =2BS
流过线圈的电荷量
q = I Δt = n ΔΦ
R电
= 2nBS
R电
故D 正确。
故选AD。
1．（2025·北京·高考真题）如图所示，交流发电机中的线圈ABCD沿逆时针方向匀速转动，产生的电动势
随时间变化的规律为e =10sin(100 πt )V。下列说法正确的是（ ）
A．该交流电的频率为100Hz
B．线圈转到图示位置时，产生的电动势为0
C．线圈转到图示位置时，AB边受到的安培力方向向上
D．仅线圈转速加倍，电动势的最大值变为10√2V
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，该交流电的频率为f = ω
2π =50 Hz
故A 错误；
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B．线圈转到图示位置时，磁场与线圈平面平行，磁通量最小，磁通量变化率最大，感应电动势最大，故
B 错误；
C．根据题意，由右手定则可知，线圈转到图示位置时，电流由B→A，由左手定则可知，AB边受到的安
培力方向向上，故C 正确；
D．根据题意，由公式Em = NBSω可知，仅线圈转速加倍，电动势的最大值变为原来的2 倍，为20 V，故
D 错误。
故选C。
2．（2024·广东·高考真题）将阻值为50Ω的电阻接在正弦式交流电源上。电阻两端电压随时间的变化规律
如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．该交流电的频率为100 Hz
B．通过电阻电流的峰值为0.2A
C．电阻在1 秒内消耗的电能为1J
D．电阻两端电压表达式为u=10√2sin(100πt )V
【答案】D
【详解】A．由图可知交流电的周期为0.02s，则频率为
f = 1
T =50 Hz
故A 错误；
B．根据图像可知电压的峰值为10√2V，根据欧姆定律可知电流的峰值
I m= U m
R = 10√2V
50Ω =0.2√2A
故B 错误；
C．电流的有效值为
I = I m
√2 =0.2A
所以电阻在1s 内消耗的电能为
W = I
2 Rt =0.2
2×50×1J=2J
故C 错误；
D．根据图像可知其电压表达式为
u=U msin ωt =10√2sin 2π
T t (V)=10√2sin100 πt (V)
故D 正确。
故选D。
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3．（2024·河北·高考真题）R1、R2为两个完全相同的定值电阻，R1两端的电压随时间周期性变化的规律
如图1 所示（三角形脉冲交流电压的峰值是有效值的√3倍），R2两端的电压随时间按正弦规律变化如图2
所示，则两电阻在一个周期T 内产生的热量之比Q1:Q2为（ ）
A．2:3
B．4:3
C．2:√3
D．5:4
【答案】B
【详解】根据有效值的定义可知图1 的有效值的计算为
U 1
2
R1
T =(
U 0
√3)
2
R1
× T
2 + U 0
2
R1
× T
2
解得
U 1=√
2
3 U 0
图二的有效值为
U 2= U 0
√2
接在阻值大小相等的电阻上，因此
Q1:Q2=U 1
2:U 2
2= 4:3
故选B。
4.（多选）（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）（多选）如图，“
”形导线框置于磁感应强度大小为B、水
平向右的匀强磁场中。线框相邻两边均互相垂直，各边长均为l。线框绕b、e 所在直线以角速度ω顺时针
匀速转动，be 与磁场方向垂直。t =0时，abef 与水平面平行，则（ ）
A．t =0时，电流方向为abcdefa
B．t =0时，感应电动势为Bl
2ω
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C．t =π
ω 时，感应电动势为0
D．t =0到t =π
ω 过程中，感应电动势平均值为0
【答案】AB
【详解】AB．线框旋转切割磁场产生电动势的两条边为cd和af ，t =0时刻cd边速度与磁场方向平行，不
产生电动势，因此此时af 边切割产生电动势，由右手定则可知电流方向为abcdefa，电动势为
E = Blv = Blωl = Bl
2ω，AB 正确；
C．t = π
ω时，线框旋转180°，此时依旧是af 边切割磁场产生电动势，感应电动势不为零，C 错误；
D．t =0到t = π
ω时，线框abef 的磁通量变化量为零，线框bcde的磁通量变化量为ΔΦ=2BS =2Bl
2
由法拉第电磁感应定律可得平均电动势为E = ΔΦ
Δt = 2Bωl
2
π
，D 错误。
故选AB。
5．（2025·江苏·高考真题）圆筒式磁力耦合器由内转子、外转子两部分组成。工作原理如图甲所示。内、
外转子可绕中心轴OO
′转动。外转子半径为r1，由四个相同的单匝线圈紧密围成，每个线圈的电阻均为
R，直边的长度均为L，与轴线平行。内转子半径为r2，由四个形状相同的永磁体组成，磁体产生径向磁场，
线圈处的磁感应强度大小均为B。外转子始终以角速度ω0匀速转动，某时刻线圈abcd 的直边ab 与cd 处的
磁场方向如图乙所示。
(1)若内转子固定，求ab 边产生感应电动势的大小E；
(2)若内转子固定，求外转子转动一周，线圈abcd 产生的焦耳热Q；
(3)若内转子不固定，外转子带动内转子匀速转动，此时线圈中感应电流为I，求线圈abcd 中电流的周期
T。
【答案】(1)BLω0r1
(2)8 π B
2 L
2ω0r1
2
R
(3)2BLr1
IR
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【详解】（1）根据题意可知，ab转动时的线速度为v =ω0r1
则ab 产生的感应电动势E1= BLv = BLω0r1
（2）根据题意，由图可知，若内转子固定，外转子转动过程中，ab、cd均切割磁感线，且产生的感应电
流方向相反，则转动过程中感应电动势为E2=2BLv =2BLω0r1
感应电流为I = E2
R
转子转动的周期为T = 2π
ω0
则abcd 转一圈产生的热量Q = I
2 RT = 8 π B
2 L
2r1
2ω0
R
（3）结合图可知，转子转动1
4 T电流方向改变，大小不变，若内转子不固定，跟着外转子一起转，且
abcd 中的电流为I，则感应电动势为E
′ = IR
又有E
' =2BL(ω0−ω)r1
则电流改变方向的时间为t =
1
4 ×2π
ω0−ω = BLπ r1
IR
则电流的周期为T ' =2t = 2πBLr1
IR
6．（2024·天津·高考真题）电动汽车制动过程中可以控制电机转为发电模式，在产生制动效果的同时，将
汽车的部分机械能转换为电能，储存在储能装置中，实现能量回收、降低能耗。如图1 所示，发电机可简
化为处于匀强磁场中的单匝正方形线框ABCD，线框边长为L，电阻忽略不计，磁场磁感应强度大小为B，
线框转轴OO′与磁场垂直，且与AB、CD 距离相等。线框与储能装置连接。
(1)线框转动方向如图1 所示，试判断图示位置AB 中的电流方向；
(2)若线框以角速度ω 匀速转动，线框平面与中性面垂直瞬间开始计时，线框在t 时刻位置如图2 所示，求
此时AB 产生的感应电动势；
(3)讨论电动汽车在某次制动储存电能时，为方便计算，做两点假定：①将储能装置替换为阻值为R 的电阻，
电阻消耗的电能等于储能装置储存的电能；②线框转动第一周的角速度为ω0，第二周的角速度为ω0
2
，第
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三周的角速度为ω0
4
，依次减半，直到线框停止转动。若该制动过程中汽车在水平路面上做匀减速直线运
动，汽车质量为m，加速度大小为a，储存的电能为初动能的50%，求制动过程中汽车行驶的最大距离x。
【答案】(1)电流方向从B 到A
(2)e = 1
2 ωB L
2cosωt
(3)x = 4 π ω0 B
2 L
4
maR
【详解】（1）由右手定则可知，图示位置AB 中的电流方向从B 到A。
（2）线框平面与中性面垂直瞬间开始计时，则经过时间t 转过的角度为
θ =ωtAB 切割磁感线的速度为
v =ω L
2 cosθ
则感应电动势
e = BLv
解得此时AB 产生的感应电动势
e = 1
2 ωB L
2cosωt
（3）线框转动过程中，AB、CD 均能产生感应电动势，故线框转动产生的感应电动势为
e1=2e =ωB L
2cosωt
线框转动第一周产生感应电动势最大值
Em1= B ω0 L
2
储存电能为
ε1=
( Em1
√2 )
2
R
2π
ω0
= π B
2 L
4ω0
R
同理线框转动第二周储存的电能
ε2= π B
2 L
4
R
ω0
2
同理线框转动第三周储存的电能
ε3= π B
2 L
4
R
ω0
2
2
……
线框转动第n 周储存的电能
εn= π B
2 L
4
R
ω0
2
n−1
则直到停止时储存的电能为
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ε =ε1+ ε2+......+ εn= π B
2 L
4ω0
R
(1+ 1
2 +......+ 1
2
n−1 )= 2π B
2 L
4ω0
R
储存的电能为初动能的50%，可知初动能
Ek 0= 4 π B
2 L
4ω0
R
根据动能定理和牛顿第二定律可得
fx = Ek 0−0
f =ma
解得
x = 4 π ω0 B
2 L
4
maR
7．（2024·广西·高考真题）某兴趣小组为研究非摩擦形式的阻力设计了如图甲的模型。模型由大齿轮、小
齿轮、链条、阻力装置K 及绝缘圆盘等组成。K 由固定在绝缘圆盘上两个完全相同的环状扇形线圈M 1、
M 2组成。小齿轮与绝缘圆盘固定于同一转轴上，转轴轴线位于磁场边界处，方向与磁场方向平行，匀强
磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，与K 所在平面垂直。大、小齿轮半径比为n，通过链条连
接。K 的结构参数见图乙，其中r1=r ，r2= 4 r，每个线圈的圆心角为π −β，圆心在转轴轴线上，电阻为
R。不计摩擦，忽略磁场边界处的磁场，若大齿轮以ω的角速度保持匀速转动，以线圈M 1的ab 边某次进入
磁场时为计时起点，求K 转动一周。
（1）不同时间线圈M 1受到的安培力大小；
（2）流过线圈M 1的电流有效值；
（3）装置K 消耗的平均电功率。
【答案】（1）见解析；（2）I =√
π −β
π
· 15nBr
2ω
2 R
；（3）225n
2B
2r
4ω
2(π −β)
2πR
【详解】（1）由题意知大齿轮以ω的角速度保持匀速转动，大小齿轮线速度相等，则
ω1= v
r ，ω= v
nr
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可得小齿轮转动的角速度为
ω1=nω
转动周期为
T = 2π
ω1
= 2π
nω
以线圈M 1的ab 边某次进入磁场时为计时起点，到cd 边进入磁场，经历的时间为
t1= π −β
2π T = π −β
nω
这段时间内线圈M 1产生的电动势为
E1= B (4 r −r) va+ vb
2
= B×3r × r ω1+ 4 r ω1
2
= 15
2 nBr
2ω
电流为
I 1= E1
R = 15nBr
2ω
2 R
受到的安培力大小
F1= B I 1 L= B× 15nBr
2ω
2 R
×(4 r −r)= 45n B
2r
3ω
2 R
当ab 边和cd 边均进入磁场后到ab 边离开磁场，经历的时间为
t2= β
2π T = β
nω
由于M1线圈磁通量不变，无感应电流，安培力大小为0；
当M1线圈ab 边离开磁场到cd 边离开磁场，经历的时间为
t3=t1= π −β
2π T = π −β
nω
此时的安培力大小由前面分析可知
F3= F1= 45n B
2r
3ω
2 R
方向与进入时相反；
当M1线圈cd 边离开磁场到ab 边进入磁场，经历的时间为
t 4=t2= β
nω
同理可知安培力为0。
（2）根据（1）可知设流过线圈M 1的电流有效值为I，则根据有效值定义有
I 1
2 Rt1+ I 3
2 Rt3= I
2 RT
其中
I 1= I 3，t1=t3
联立解得
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I =√
π −β
π
· 15nBr
2ω
2 R
（3）根据题意可知流过线圈M 1和M 2的电流有效值相同，则在一个周期内装置K 消耗的平均电功率为
P =2 I
2 R = 225n
2B
2r
4ω
2(π −β)
2πR
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