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专题32 机械振动
学习目标
1．认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。
2．知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。
3．认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
知识点梳理
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图
像是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③性质：属于效果力。
④来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的公式和图像
(1)简谐运动的表达式
①动力学表达式：F＝－
kx
，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝A_sin_(2π
f t
＋
φ 0)，其中A 代表振幅，2πf 代表简谐运动
的快慢，2πf t＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。
(2)简谐运动的图像
①从平衡位置开始计时：函数表达式为x＝A_sin_(2π
f t
) ，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时：函数表达式为x＝A
sin
(2π ft + π
2)，图像如图乙
所示。
3．单摆
(1)构成：细线的长度不可改变，细线的质量和小球相比可以忽略，球的直径
和细线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)回复力：重力G 沿圆弧切线方向的分力。
(3)运动规律：摆角很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
(4)周期：T＝2π❑√
l
g。
4．受迫振动和共振
(1)受迫振动
①概念：系统在驱动力作用下的振动。
②特征：做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与
物体的固有周期(或频率)无关。
(2)共振
①概念：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅达到最
大值的现象。
②共振的条件：驱动力的频率等于固有频率。
③共振的特征：共振时振幅最大。
④共振曲线：f ＝f 0时，A＝Am，f 与f 0差别越大，物体做受迫振动的振幅越
小，如图所示。
真题汇编
（多选）1．（2025•湖北）质量均为
的小球和由劲度系数为的轻质弹簧
连接，小球由不可伸长的细线悬挂在
点，系统处于静止状态，如图所示。
将小球竖直下拉长度后由静止释放。重力加速度大小为
，忽略空气阻力，
弹簧始终在弹性限度内。释放小球后
A．小球可能会运动
B．若小球做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当
时，小球才能始终做简谐运动
D．当且仅当
时，小球才能始终做简谐运动
2．（2024•福建）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小
段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向
上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管
A．振幅为
B．振动频率为
C．在
时速度为零
D．在
时加速度方向竖直向下
3．（2024•浙江）如图1 所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧
竖直悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为
，
小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上
为正方向，小球和光源的振动图像如图2 所示，则
A．时刻小球向上运动
B．
时刻光源的加速度向上
C．
时刻小球与影子相位差为
D．时刻影子的位移为
4．（2024•北京）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置，手机加速度传
感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程
中加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置上方
C．从
至
，手机的动能增大
D．随变化的关系式为
5．（2024•甘肃）如图为某单摆的振动图像，重力加速度
取
，下列说
法正确的是
A．摆长为
，起始时刻速度最大
B．摆长为
，起始时刻速度为零
C．摆长为
，
、
点的速度相同
D．摆长为
，
、
点的速度相同
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比
例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方
向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减
小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT(n 为正整数)的两个时刻，振子处于同一
位置且振动状态相同；简谐运动中质点一个周期内路程s＝4A，1
2个周期内路
考点1：简谐运动的基本特点
程s＝2A，但1
4个周期内路程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔T
2 或
(2n+1)T
2
(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，
位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度
的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动
能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
例题精讲：
【例1】（2025•龙岗区开学）如图所示，密度计静浮于装有液体的烧杯中，现
将密度计沿竖直方向轻轻按下少许后静止释放并开始计时（密度计底部与烧杯
底部始终不接触），密度计在一定时间内可近似看作是简谐运动。若取竖直向
下为正方向，则以下描述密度计振动的图像中可能正确的是
A．
B．
C．
D．
【例2】（2025•辽宁开学）关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列
说法正确的是
A．位移减小时，加速度减小，速度增大
B．位移方向总和加速度方向相反，和速度方向总相同
C．物体的速度增大时，加速度不一定减小
D．物体向平衡位置运动时，速度方向和位移方向相同
【例3】（2022 春•荔湾区校级期中）振子在
，间做简谐运动，如图所示，
为平衡位置，从某一时刻开始
经过
周期，振子具有正方向最大加速度，
那么能正确反映振子振动情况的是
A．
B．
C．
D．
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin
(ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计
时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表
质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
考点2：简写运动的表达式和图像
例题精讲：
【例4】（2025•江西模拟）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机
加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机
振动过程中加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正
确的是
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置上方
C．从
至
，手机的动能增大
D．随变化的关系式为
【例5】（2025•张家口开学）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，
将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运
动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所
示，则试管
A．振幅为
B．
时，回复力为零
C．
时，速度最大且方向向上
D．位移—时间关系式为
【例6】（2024 秋•南京校级期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为
点，在
两点之间做简谐运动，
相距
，小球经过
点时开始计时，经过
首次到达
点。下列说法正确的是
A．小球振动的周期为
B．小球由
点到
点加速度不断减小
C．小球的位移—时间关系为
D．
末小球位移为
考点3：单摆及周期公式
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，F＝mg sin θ＝－
mg
l x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F 向＝
FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F 向＝mv
2
l ＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F 向＝m vmax
2
l ，F 向最大，FT＝mg+m vmax
2
l 。
(4)单摆做简谐运动的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期公式T＝2π❑√
l
g的三点说明
(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g 为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g 月；单摆在电梯中处于超重或失重状态
时，重力加速度为等效重力加速度。确定等效摆长l 及等效重力加速度g 效
后，利用公式T＝2π❑√
l
g效
或简谐运动规律分析求解。
例题精讲：
【例7】（多选）（2025•兴宾区校级开学）如图甲所示，一个单摆做小角度摆
动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移
随
时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，
取
，对于这个单摆的振
动过程，下列说法中正确的是
A．单摆的位移随时间变化的关系式为
B．单摆的摆长约为
C．从
到
的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D．从
到
的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
【例8】（2025•浙江模拟）如图甲所示，单摆在竖直面内的
、
之间做简谐
运动。小李同学利用传感器得到了单摆摆球在垂直摆线方向的加速度
与时间
的关系如图乙所示。为了进一步的研究单摆的特性，小李继续实验，先使摆球
（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在水平向右的匀强电
场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小李的猜想正确的是
A．由
图像可得单摆摆动的周期为
B．摆球运动到最低点
时，回复力为零，所受合力为零
C．加上水平向右的匀强电场后，小球不再做简谐运动
D．加上竖直向上的匀强电场后，单摆周期变小
【例9】（2025•来宾校级开学）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次
摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移
随时间变化的
图像如图乙所示。不计空气阻力，
取
，对于这个单摆的振动过程，下
列说法中正确的是
A．单摆的位移随时间变化的关系式为
B．单摆的摆长约为
C．从
到
的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D．从
到
的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质
决定，即固有周
期T0或固有频率
f 0
由驱动力的周期
或频率决定，即
T＝T 驱或f ＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f
0
振动能量
振动物体的机械
能不变
由驱动力提供
振动物体获得的
能量最大
考点4：受迫振动和共振
常见例子
弹簧振子或单摆
机器工作时底座
发生的振动
共振筛、声音的
共鸣等
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A，它直观
地反映了驱动力频率对某固有频率为f 0的振动系统做受迫振动时振幅的变
化，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与
外界时刻进行能量交换。
例题精讲：
【例10】（2024 秋•滨江区校级期末）如图所示是一单摆做阻尼振动的
图
像，则此单摆的摆球在图中
与
时刻的
A．速度
B．加速度
C．绳的拉力
D．重力势能
【例11】（2025 春•阜新期末）如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率
，电动机皮带轮的直径
是曲轴皮带轮
的
．为使弹簧振子的振幅
最大，则电动机的转速应为
A．60
B．120
C．30
D．240
【例12】（2025 春•广州期末）在广州，某同学研究单摆做受迫振动时振幅与
驱动力频率的关系，其共振曲线如图所示。则该单摆
A．摆长约为
B．驱动力频率增大时，振幅增大
C．驱动力频率增大时，振动频率不变
D．若该实验移至上海、共振曲线的峰值将向右偏移
课后提优练习
一．选择题（共15 小题）
1．（2025•六合区校级开学）上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一
千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振
动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（ ）
A．振动周期越来越小
B．t＝4s 时的动能为零
C．t＝8s 时沿x 轴负方向运动
D．t＝10s 时加速度沿x 轴负方向
2．（2025•如皋市模拟）如图所示，小球在竖直平面内的摆动可视为简谐运动，
振动周期为0.6s，图示的位置为小球运动过程的最左侧位置。现每隔0.2s 记
录一次小球的位置，则一个周期内所记录的小球位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023•南京开学）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速
度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振
动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法
正确的是（ ）
A．t＝0 时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2s 时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0 至t＝0.2s，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2
4．（2024 秋•泗阳县期末）如图所示，弹簧振子在相距20cm 的B、C 两点间做
简谐运动，O 点为平衡位置。振子经过O 点向左运动开始计时，经过0.5s 第
一次到达C 点。取向左为正方向，则（ ）
A．周期为0.5s
B．振幅为0.2m
C．3s 末的位移为0.1m
D．振动方程为x＝0.1sinπtm
5．（2025•江苏模拟）台风“贝碧嘉”登陆上海，中国自主研发的千吨阻尼器
——“上海慧眼”（如图所示）摆动明显，保障了上海中心大厦的安全。
“上海慧眼”采用了电涡流阻尼技术，永磁体形成的磁场与质量块一起摆动
时，与其下方固定的导体板产生相对运动，从而在导体板中产生电涡流。关
于该阻尼器，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼器的电涡流阻尼技术原理是电流的磁效应
B．振动稳定时，阻尼器的振动频率小于大厦的振动频率
C．阻尼器将机械能最终转化为内能
D．若将阻尼器下方的导体板换成木地板，对使用效果没有影响
6．（2025•南京模拟）单摆在振动过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．摆球经过同一高度速度相同
B．摆球在最低点加速度为零
C．重力沿垂直摆线方向的分力提供回复力
D．同一单摆，在北京和南京振动的周期相同
7．（2024 秋•南京校级期末）如图，轻质弹簧下端固定在垂直于斜面的挡板上，
弹簧的另一端与一物块连接。初始时将物块固定在光滑斜面的A 点，此时弹
簧刚好处于原长状态，现给物块一平行于斜面向下的瞬时速度v0，物块开始
运动（不会碰到挡板）弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则下列说法
正确的是（ ）
A．由于存在v0，物块的运动不能视作为简谐运动
B．物块的运动可视为简谐运动，最大速应为v0
C．往复运动过程中，物块在最高点和最低点的加速度大小不等
D．往复运动过程中，物块在最高点和最低点时，弹簧的弹性势能大小不等
8．（2024 秋•南京校级期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O 点，在BC
两点之间做简谐运动，BC 相距20cm，小球经过B 点时开始计时，经过0.5s
首次到达C 点。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期为2.0s
B．小球由C 点到B 点加速度不断减小
C．小球的位移—时间关系为x =0.1sin(2πt + π
2 )m
D．5s 末小球位移为﹣0.1m
9．（2025•南通模拟）如图1 所示，一单摆悬挂在O 点，在O 点正下方P 点有
一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A 点后静止释放，小球在竖直平面内
做简谐运动，摆球的振动图像如图2 所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重
力加速度g 取10m/s2，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（
）
A．该单摆的周期为0.4πs
B．OP 间的距离为1.6m
C．t＝0.2πs 时小球动能最大
D．图中x1与x2的比值为2：1
10．（2021 秋•响水县校级月考）如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运
动。运动过程中相对平衡位置的位移x、运动的速度v 随时间t 变化的关系和
木块受到的合力F 和动能Ek随相对平衡位置的位移x 变化的关系图像可能正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2021 秋•通州区期中）如图所示，O 为弹簧振子的平衡位置，t＝0 时刻把
小球向左拉到某位置静止释放．以水平向右为正方向，下列描述球相对O 点
的位移x、球的速度v、球所受回复力F、球的加速度a 随时间t 变化的关系
图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024 秋•新吴区校级期中）如图所示，在一条张紧的绳上挂7 个摆，摆球
质量均相同，先让A 摆振动起来，则其余各摆也随之振动。已知A、B、F 三
摆的摆长相同，则下列判断正确的是（ ）
A．7 个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7 个摆的振动频率都相同
C．D 摆的振幅最大
D．D、E 摆离A 摆最近，它们的振幅最大
13．（2025•武进区校级二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为T =2π ❑√
m
k ，
其中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的
振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A 和B
先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，
则以下说法中正确的是（ ）
A．小鸟A 所引起的振动的k 值较小，小鸟A 的质量小于小鸟B 的质量
B．小鸟A 所引起的振动的k 值较小，小鸟A 的质量大于小鸟B 的质量
C．小鸟A 所引起的振动的k 值较大，小鸟A 的质量小于小鸟B 的质量
D．小鸟A 所引起的振动的k 值较大，小鸟A 的质量大于小鸟B 的质量
14．（2025•苏州三模）将一小球（可视为质点）悬挂于O 点，拉开一个小角度
（θ＜5°）后静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球质量越大，摆动周期越小
B．拉开角度越小，摆动周期越小
C．小球摆动过程中机械能守恒
D．摆动过程中，绳的拉力与重力的合力充当回复力
15．（2025 春•南京期中）图1 是钓鱼时使用的浮标，钓鱼时浮标竖直浮在水面
上的上下振动可看作简谐运动。从t＝0 时刻开始计时，以竖直向上为正方向，
其振动的x
t
﹣图像如图2 所示，下列说法正确的是（ ）
A．浮标的振动周期为6s
B．1 分钟内浮标上某点运动所经过的路程为15cm
C．t＝1s 时，浮标振动的加速度最大
D．t＝4s 时，浮标的速度为0
