028.2026考研数学零基础提前学作业答案解析（1）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 1·函数性质与常见函数解析    【1】已知函数 f (sinx+1)的定义域为 − , ，则函数 f (x)的定义域为______．    2 6  3 【答案】 0,    2 【解析】注意，函数的定义指的是该函数自变量的取值范围.   显然函数 f (sinx+1)的自变量为x，于是在函数 f (sinx+1)中−  x ，进而 2 6 1 3  3 −1sinx ，于是0sinx+1 ，因此 f (x)的定义域为 0, .   2 2  2 【2】判断函数的奇偶性. ex +e−x （1） f (x)= sinx 2 ( ) 1−x （2） f (x)=ln x+ x2 +1 ln 1+x 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数. 【解析】（1）显然，函数定义域为关于原点对称. ex +e−x ex +e−x ex +e−x 令g(x)= ，因为g(−x)= = g(x)，所以g(x)= 为偶函数. 2 2 2 ex +e−x 又函数sinx为奇函数，于是根据奇偶性的性质，知 f (x)= sinx为奇函数. 2 （2）显然，函数定义域为关于原点对称. 1−x 1+x 1−x 令g(x)=ln ，因为g(−x)=ln =−ln ，所以g(x)为奇函数. 1+x 1−x 1+x ( ) ( ) 1−x 又ln x+ x2 +1 是奇函数，于是 f (x)=ln x+ x2 +1 ln 为偶函数. 1+x  【3】设函数 f (x)=tanx， f   g(x)  = x2 −2，且 g(x)  ，求g(x)的表达式，并确 4 该函数的定义域． 【答案】g(x)=arctan ( x2 −2 ) ，定义域为− 3,−1 1, 3.     12026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫  【解析】由题意可知， f g(x) = tang(x)= x2 −2.又 g(x)  ，所以   4 g(x)=arctan ( x2 −2 ) ,   且 − arctan ( x2 −2 )  , 4 4 即−1 g(x)= x2 −21，解得− 3 x−1或1 x 3，即g(x)的定义域为 − 3,−1 1, 3.      1 x+x3 【4】已知 f  x+  = ，求 f (x)，并求极限lim f (x).  x x4 +1 x→2 x 【答案】 f (x)= ， lim f (x)=1. x2 −2 x→2 【解析】因为 1 1 +x +x  1 x+x3 x x f x+ = = = ，  x x4+1 x2+ 1 ( 1 +x)2−2 x2 x 1 t x 已 x 令t = +x，所以 f (t)= ，即 f (x)= ，因此lim f (x)=lim =1. x t2 −2 x2 −2 x→2 x→2 x2 −2 【5】求y=arcsin(sinx)表达式，并画出函数的图像. 【解析】显然y=arcsin(sinx)是以T =2π为周期的周期函数，且 π π 当−  x 时，y=arcsin(sinx)= x. 2 2 π 3 π 1 当  x π时，− π−x π，于是y=arcsin(sin(π−x))=π−x. 2 2 2 2 所以y=arcsin(sinx)图像如下图所示. 22026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 x2 +2x 【6】（2020 年真题）设 f (x)在(0,+)上有定义，且满足2f (x)+x2f   = ，  x 1+x2 求 f (x) . x 【答案】 f (x)= (x0). 1+x2 【解析】记 1 x2+2x 2f (x)+x2f  = ， ① x 1+x2 1 利用 替换上式中x，得 x 1 2 + 2f   1 + 1 f (x)= x2 x = 1+2x , ② x x2 1 x 1+x2 1+ x2 1 x+2x2 于是 2x2f  + f (x)= ， ③ x 1+x2 1 x 由①式与③式知，消掉 f  ，即解得 f (x)= (x0).  x 1+x2 【7】设函数 f (x)= xtanxarctan ( 1+ cosx )，则 f (x)是（ ）. （A）偶函数 （B）有界函数 （C）周期函数 （D）单调函数 【答案】注意，本题可留到下节课结束再完成.应选（A）. 【解析】由 f (−x)=(−x)tan(−x)arctan ( 1+ cos(−x)) = xtanxarctan ( 1+ cosx )， 知 f (x)为偶函数，故应选（A）. 因为 lim xtanxarctan ( 1+ cosx ) =， + x→  2 所以 f (x)= xtanxarctan ( 1+ cosx )为无界函数. 32026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 一般地，表达式中含所有xn因子不是周期函数，显然 f (x)不是周期函数. 一般地，表达式中含有绝对值不是单调函数，显然 f (x)不是单调函数. ex,x1 x+2,x0 【8】已知 f (x)= ,g(x)= ,求 f g(x). x,x1 x2 −1,x0   eg(x),g(x)1 【解析】将 f (x)作为整体替换g(x)中所有自变量x，得 f   g(x)  = ,  g(x),g(x)1 根据右图所示的g(x)草图，不难看出 当x−1时，g(x)1，g(x)=x+2； 当0x 2时，g(x)1，g(x)=x2 −1； 当-1 x0时，g(x)1，g(x)=x+2； 当x 2时，g(x)1，g(x)=x2 −1.  ex+2,x−1  ex2−1,0x 2 因此， f   g(x)  = . x+2,−1x0   x2 −1,x 2 42026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 2·无穷小量的阶、泰勒公式解析 【9】当x→0时，下列无穷小量中比其他三个都高阶的是（ ）. （A）xln(1+x) （B）2x2 +3x4 （C）31+x2 −1 （D）tanx−sinx 【答案】应选（D）. 【解析】当x→0时，xln(1+x)~ xx= x2，为x的2阶无穷小. 当x→0时，2x2 +3x4 ~2x2（和取低阶），为x的2阶无穷小. 1 1 当x→0时，1+x23 −1~ x2,为x的2阶无穷小；   3 当x→0时，有 tanx−sinx=  x+ 1 x3+o ( x3) −  x− 1 x3 +o ( x3) = 1 x3 +o ( x3) 1 x3,      3   6  2 2 即为x的3阶无穷小. 综上所述，当x→0时阶数最高的为D选项，故应选（D）. 【10】当x→0+时，求出下列无穷小等价的结果，并确定该无穷小的阶数. （1）31− sinx −1. （2）x+ x +ln ( 1+x2) . （3）ex −cos x. （4）sinx−arcsinx. （5）sinx2 +ln ( 1+x4) . 1+x （6）ln . 1− x 【解析】（1）当x→0+时，有 1 31− sinx −1=1+ ( − sinx )3 −1~− 1 sinx ~− 1 x ，   3 3 52026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 即为x的 阶无穷小. 2 （2）当x→0+时，有 x+ x +ln ( 1+x2) x （和取低阶原则）， 1 即为x的 阶无穷小. 2 （3）当x→0+时，有 1 3 ex −cos x =ex −1+1−cos x x+ x= x（符合等价无穷小加减法替换准则） 2 2 即为x的1阶无穷小. （4）当x→0时，因为 sinx−arcsinx=  x− 1 x3+o ( x3) −  x+ 1 x3+o ( x3)      6   6  1 1 =− x3+o ( x3) − x3， 3 3 即为x的3阶无穷小. （5）当x→0时， sinx2 −ln(1+x4)~sinx2 ~ x2（和取低阶原则）， 即为x的2阶无穷小. （6）当x→0时，因为 1+x ln =ln(1+x)−ln(1− x) 1− x 1 −ln(1− x)~−(− x)= x2（和取低阶原则）， 1 即为x的 阶无穷小. 2 【11】试用确定下面无穷小的等价无穷小. （1）当x→0时，tanx−sinx ．（试试用三种方法） （2）当x→0时，x−tanx+sin2 x ． （3）当x→0时，x2 −ln ( 1+x2) ． （4）当x→0时，tanx−ln(1+tanx) ． 62026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 【解析】（1）方法一：泰勒展开法. 当x→0时，tanx−sinx=  x+ 1 x3+o ( x3) −  x− 1 x3+o ( x3)      3   6  1 1 = x3+o ( x3) x3 2 2 方法二：造等价无穷小. 1 1 1 当x→0时，tanx−sinx=(tanx−x)+(x−sinx) x3+ x3 = x3. 3 6 2 方法三：初等数学化简. 1 当x→0时，tanx−sinx=tanx(1−cosx) x3. 2 1 （2）当x→0时，因为x−tanx − x3（3阶），sin2 x x2（2阶），所以 3 x−tanx+sin2 x sin2 x x2（和取低阶）. 1 （3）当 →0时， −ln(1+ ) 2，于是当x→0时，有 2 x2 −ln ( 1+x2) 1 ( x2)2 = 1 x4. 2 2 1 （4）当 →0时， −ln(1+ ) 2，于是当x→0时，有 2 1 1 tanx−ln(1+tanx) (tanx)2 = x2. 2 2 arctanx−sinx 【12】求极限lim . x→0 sinx3  x− 1 x3+o ( x3) −  x− 1 x3+o ( x3)     arctanx−sinx  3   6  【解析】lim =lim x→0 sinx3 x→0 x3 1 − x3+o ( x3) 6 =lim x→0 x3 1 − x3 6 1 =lim =− . x→0 x3 6 72026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 sinx−tanx lim 【13】求极限 ( )( ) . x→0 31+x2 −1 1+sinx −1   x− 1 x3+o ( x3)  −   x+ 1 x3+o ( x3)  − 1 x3 +o ( x3)  6   3  2 【解析】lim =lim =−3. x→0 1 x2 1 sinx x→0 1 x3 3 2 6 arcsin2x−2arcsinx 【14】求极限lim . x→0 x3  2x+ 1 (2x)3+o ( x3) −2  x+ 1 x3+o ( x3)      6   6  【解析】原式=lim x→0 x3 x3+o ( x3) x3 =lim =lim =1. x→0 x3 x→0 x3 1− 1−x2 【15】求极限lim . x→0 ex −cosx 1 1 − ( −x2) x2 1− 1−x2 2 2 【解析】lim =lim =lim x→0 ex −cosx x→0 ex −cosx x→0 ex −cosx 1 x2 2 =lim x→0 ex −1+1−cosx 1 x2 2 =lim （和取低阶原则） x→0 ex −1 1 x2 2 =lim =0. x→0 x 1−cos tanx−sinx 【16】求极限lim . x→0 31+x3 − 31−x3 1 (tanx−sinx) 1−cos tanx−sinx 2 【解析】lim =lim x→0 31+x3 − 31−x3 x→0( 1+x3) 1 3 − ( 1−x3) 1 3  x+ 1 x3+o ( x3) −  x− 1 x3+o ( x3)     1  3   6  = lim 2 x→0  1+ 1 x3+o ( x3) −  1− 1 x3+o ( x3)      3   3  82026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 1 1 x3+o ( x3) x3 1 1 3 2 2 = lim = lim = . 2 x→0 2 x3+o ( x3) 2 x→0 2 x3 8 3 3 【小课堂】遇本题中，若按照下面等价的方法会会更简单！ 当x→0时，有 31+x3 − 31−x3=   ( 1+x3) 1 3 −1   −   ( 1−x3) 1 3 −1   1 x3−   − 1 x3   = 2 x2；     3  3  3 1 tanx−sinx=tanx(1−cosx) x3 （第一题，你还记得么？） 2 1 x3 1 3 2 所以，原式== lim = . 2 x→0 2 x3 8 3 92026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 3·洛必达法则、四则运算法则解析 【1】求下列函数的极限. lnx x100 （1） lim = ． （2） lim = ． x→+ x x→+ ex lnx x3+2x2 +4 （3） lim = ． （4） lim = ． x→+ ex x→+ ex +x2 +1 lnx 【解析】（1） lim =0. x→+ x x100 （2） lim =0. x→+ ex lnx （3） lim =0. x→+ ex x3+2x2 +4抓大头 x3 （4） lim = lim =0. x→+ ex +x2 +1 x→+ex 【小课堂】当x→+时，以下函数趋向+由慢到快的速度（至少快一个量级）为 lnx→xa(a0)→ax(a1). 【2】设函数 f (x)=2x +3x −2，当x→0时（ ）. （A） f (x)与x是等价无穷小量. （B） f (x)与x是同阶但非等价无穷小量. （C） f (x)是比x觉高阶的无穷小量. （D） f (x)是比x较低阶的无穷小量. 【解析】因为 2x +3x −2洛 已 lim =lim ( 2xln2+3xln3 ) =ln2+ln3=ln6， x→0 x x→0 所以 f(x)与x是同阶但非等价无穷小量，故应选（B）. 102026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 ex +e2x +e3x +e4x −4 【3】求极限lim . x→0 x ex +e2x +e3x +e4x −4洛 【解析】lim =lim ( ex +2e2x +3e3x +4e4x) =1+2+3+4=10. x→0 x x→0 xex −ln(1+x) 【4】求极限lim . x→0 x xex −ln(1+x)拆 xex ln(1+x) 【解析】方法一：lim =lim −lim =1−1=0. x→0 x x→0 x x→0 x xex −ln(1+x)洛  1  方法二：lim =lim ex +xex − =1+0−1=0.   x→0 x x→0 1+x ex −x−1+ln（1+x2) 【5】求极限lim . x→0 x2 ex −x−1+ln(1+x2)拆 ex −x−1 ln(1+x2) 【解析】lim =lim +lim x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2 1 x2 1 3 2 =lim +1= +1= ． x→0 x2 2 2 sin2 x+ln（1+x2)+cosx−1 【6】求极限lim . x→0 x2 sin2 x+ln(1+x2)+cosx−1 【解析】lim x→0 x2 拆 sin2 x ln(1+x2) cosx−1 =lim +lim +lim x→0 x2 x→0 x2 x→0 x2 1 − x2 1 3 2 =1+1+lim =2− = ． x→0 x2 2 2 11