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2025 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单招统一招生
预测卷数 学 试 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题8分，共64分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将所选答案的字母在答题卡上涂黑.
1. 已知集合 ， ，则集合 的元素个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义即可得解.
【详解】 ，
所以 ，有 个元素.
故选：C.
2. 函数 则 （ ）
A. B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的性质，代入即可求解.
【详解】 ,
故选：B
3. 记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 64 B. 80 C. 96 D. 120
【答案】C
【解析】【分析】利用等差数列的下标和性质求得 ，再利用等差数列的求和公式即可得解.
【详解】因为 为等差数列 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
4. 已知函数 ， ，则（ ）
A. B. 在区间 上有 个零点
C. 的最小正周期为 D. 为 图象的一条对称轴
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简 ，再利用正弦函数的性质逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于A，由题可知 ，
所以函数的值域为 ，故A正确；
对于B，令 ，即 ，得 ，
令 ， ，所以 ，
所以有两个零点 ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D，令 ，得 ，没有任何 能使得 ，故D错误；
故选：A.
5. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为 ，那么这个球体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，可先求出长方体的体对角线的长度，继而求出外接球的半径，结合球的体积公式，即
可求解.
【详解】由题意，长方体的体对角线长，即外接球的直径长为 ，
所以外接球半径为 ，
所以这个球体的体积 .
故选：D.
6. 在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A. 12 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据题意，结合二项展开式 通项公式，即可求解.
【详解】因为 的展开式的通项公式为
，
令 ，得 ，所以 ，
即含 的项的系数为 .
故选：B.
7. 已知平面向量 满足 .若 ，则向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律，对 直接运算，应用公式 可得出答案.
【详解】由 得： ，
又 ，所以 ，
设向量 的夹角为 ，
可得： ，且 ，
的
解得向量 夹角为 .
故选：C.
8. 已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则（ ）
A. 若 且 ，则
B. 若 且 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 ， ，且 异面，则
【答案】D
【解析】【分析】根据题意，结合空间内的线面关系和面面关系，即可判断求解.
【详解】对于A，若 且 ， 与 也有可能相交，如下图，故选项A错误；
对于B，若 且 ， 与 也有可能相交，如下图，故选项B错误；
对于C，若 且 ，可能 或 斜交，如下图，故选项C错误；
对于D，若 ， ，且 异面，
设 ，则 ，且 在 内相交，则 一定成立，故选项D正确.
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.
9. ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，及两角和的正弦公式，即可求解.【详解】
.
故答案为： .
10. 已知 ，函数 在 上是单调增函数，则 的最大值是_______.
【答案】6
【解析】
【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调递增区间，再列出方程求解即可.
【详解】 ，令 ，即 ，解得 或 .
所以函数在 上单调递增.
因为函数 在 上是单调增函数，
所以 ，解得 .
则 的最大值是6.
故答案为：6.
11. 在 中， ， ， ，则 边上的高为___.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，结合余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.【详解】
在 中，由余弦定理得 ，
又 ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍），
设 边上的高为 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
12. 已知抛物线 的顶点为 ，焦点为 ，且经过点 ，若 ，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合抛物线的定义与几何性质建立关系，即可求得.
【详解】因为点 在抛物线 上， ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共3小题，每题18分，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤
13. 甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，
求：
（1）甲或乙命中的概率；
（2）甲中、乙不中的概率；
（3）甲不中、乙中的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设出事件，利用 求解；
（2）利用 进行求解；
（3）利用 进行求解.
【小问1详解】
设 “甲命中”， “乙命中”，则 “甲或乙命中”，
“甲中、乙不中”， “甲不中、乙中”，且 ， ．
甲乙中靶与否独立，
所以 ．
【小问2详解】
甲乙中靶与否独立，故 ．
【
小问3详解】
甲乙中靶与否独立，
故 ．
14. 函数 在点 处的切线斜率为 ．
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间和极值．
【答案】（1）2 （2）增区间为 ，减区间为 ，极小值 ，无极大值．
【解析】
【分析】（1）根据已知函数解析式求导列出等式即可解得.
（2）根据原函数的导函数判断单调性和极值即可解得.
【小问1详解】
函数的导数为
在点 处的切线斜率为 ，
，即 ，
.
【小问2详解】
由（1）得，函数
， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
即 的增区间为 ，减区间为 ．故 在 处取得极小值 ，无极大值．
15. 已知抛物线 经过点 .
（1）求抛物线 的方程及其准线方程.
（2）设 为原点，直线 与抛物线 交于 （异于 ）两点，过点 垂直于 轴的直线交
直线 于点 ，点 满足 .证明：直线 过定点.
【答案】（1）抛物线 ，准线方程为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得 的值，得到抛物线方程，从而得到准线方程；
（2）联立直线 与抛物线方程，得到 ，再依次求得 ， 的坐标，从而得到
的方程，令 ，化简即可得证.
【小问1详解】
因为抛物线 经过点 ，
所以 ，得 ，
抛物线 ，准线方程为 .
【小问2详解】
联立 ，消去 ，得 ，设 ，则 ，且 ，
直线 方程为： ，所以 ，
又 ，则 为 中点，所以 ，
所以 所在直线方程为 ，
令 ，则
，
又
，
所以直线 过定点 .
