4.8 余弦函数的图像与性质（讲义）
目录
1
知识点01 余弦函数的图像和性质............................................................2
2
知识点02 余弦型函数的性质....................................................................2
3
题型一、余弦函数的周期性.....................................................................3
4
题型二、余弦函数的奇偶性.....................................................................4
5
题型三、余弦函数的最值.........................................................................5
6
题型四、余弦函数的对称性.....................................................................7
7
题型五、余弦函数的单调性.....................................................................8
1 知识点01 余弦函数的图像和性质
2 知识点02 余弦型函数的性质
函数
y =cos x
图象
定义域
R
值域
[-1，1]
周期性
2π
奇偶性
偶函数
递增区间
[- π +2kπ ，2kπ ]
递减区间
[2kπ ，π +2kπ ]
对称中心
(kπ + π
2 ，0)
对称轴方程
x =kπ
3
题型一、余弦函数的周期性
1．函数y =1-2sin
2 x是（ ）
A．以2π为最小正周期的偶函数
B．以π为最小正周期的偶函数
C．以2π为最小正周期的奇函数
D．以π为最小正周期的奇函数
2．已知函数f (x)=cos
2 x
2 -sin
2 x
2，则（ ）
A．f (x)为偶函数且周期为4π
B．f (x)为奇函数且在(-π
4 ,π
12)上有最小值
C．f (x)为偶函数且在(0,π
3 )上单调递减
D．f (x)为奇函数且(
π
4 ,0)为一个对称中心
3．对于f (x)=cos
2(x -π
12)+sin
2(x + 5π
12 )-1，下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =π
3 对称
B．f (x)是偶函数
函数
y = A cos(ωx +φ)+b
定义域
R
值域
[-|A|+b，|A|+b]
周期性
T = 2π
ω
奇偶性
φ =0时，为偶函数； φ≠0时，利用定义判断
递增区间
[ 2kπ - π -φ
ω
，2kπ -φ
ω
]
递减区间
[ 2kπ -φ
ω
，2kπ + π -φ
ω
]
对称中心
( 2kπ + π -2φ
2ω
，0)
对称轴方程
x = kπ -φ
ω
C．f (x)的最小正周期为2π
D．f (x)的最大值是1
4．已知函数f (x)=cos2(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)的对称
轴可以是（ ）
A．x =π
24
B．x =π
12
C．x =π
6
D．x =π
3
5．函数y =1-2sin
2 x是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
6．已知函数f (x)=2cos
2 x +sin
2 x，则下列正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(
π
12 ,5π
12 )单调递减
C．f (x)在(
5π
12
,7π
12 )上单调递增D．f (x)的最大值为3
7．函数f ( x)=sin(2 x +π
2 )是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
8．已知函数f ( x)= 1
2 -sin
2 x，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的最小正周期为π
B．f ( x)在(0,π
2 )上单调递减
C．曲线y = f ( x)关于点(
π
2 ,0)对称
D．曲线y = f ( x)关于直线x = 3 π
2 对称
4
题型二、余弦函数的奇偶性
1．设函数f (x)=cos(x +π
3 )，则下列结论错误的是（ ）
A．f (x)的一个周期为-2π
B．f (x)的值域为[-1,1]
C．f (x +π)的一个零点为x =π
6
D．f (x)是偶函数
2．已知函数f ( x)=2sin(2 x - 5π
2 )( x∈R)，下面结论错误的是（ ）
A．函数f ( x)的最小正周期为π B．函数f ( x)在区间[0,π
2 ]上单调递增
C．函数f ( x)是奇函数
D．函数f ( x)的图像关于y 轴对称
3．函数f (x)=2sin(4 x +π
2 )是（ ）
A．最小正周期为π
2 的奇函数
B．最小正周期为π
2 的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
4．已知函数f ( x)=cos(π- x)+1，则（ ）
A．f (x)是偶函数，最大值为1
B．f (x)是偶函数，最大值为2
C．f (x)是奇函数，最大值为1
D．f (x)是奇函数，最大值为2
5．下列函数中，是偶函数且其图象关于点(π
4 ,0)对称的是（ ）
A．f (x)=sin x
B．f (x)=cos x
C．f (x)=sin 4 x
D．f (x)=cos2 x
6．函数f (x)=1+2cos
2 x是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
7．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ）
A．y =cos2 x
B．y = tan x
C．y =sin(x +π
4 )
D．y =sin2 x
8．下列函数中，是偶函数且其图象关于(
π
4 ,0)对称的是（ ）
A．y =cos(2 x +π
2 )
B．y =sin(2 x +π
2 )
C．y =cos(x +π)
D．y =sin(x +π)
5
题型三、余弦函数的最值
1．函数y =cos(2 x + π
3), x∈[0, π
2]
的值域为（ ）
A．[0，1]
B．[-1, 1
2]
C．[-
❑√3
2 , 1
2]
D．[- 1
2 , 1
2]
2．下列关于函数f ( x)=cos2 x +1的表述正确的是（ ）
A．函数f ( x)的最小正周期是2π
B．当x = π
2 时，函数f ( x)取得最大值2
C．函数f ( x)是奇函数
D．函数f ( x)的值域为[0,2]
3．已知函数f (x)=2cos
2ωx + ❑√3sin2ωx -1（ω>0）的最小正周期为π，则
下列说法正确的是（ ）
A．ω=2
B．函数f (x)的最大值为1
C．函数f (x)在[0, π
6]
上单调递增
D．将函数f (x)的图象向右平移π
6 个单位长度，可得到函数g(x)=2sin 2 x
的图象
4．已知函数f ( x)=cos(
1
2 x + π
4)
，则（ ）
A．f ( x)在区间(- π ,π )上单调递减
B．f ( x)的图象关于直线x =- 5 π
2 对称
C．f ( x)的图象关于点(- 5 π
2 ,0)
对称
D．f ( x)在区间(0,2π )上的最大值为
❑√2
2 ，最小值为-1
5．已知函数y =3cos(π - x)，则当函数取得最大值时x 的值是（ ）
A．π
B．2π
C．2kπ + π
D．2kπ +2π
6．函数f ( x)=sin
2 x -cos
2 x +1的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．若函数f ( x)= ❑√3cos 1
2 x , x∈[0,π
3 ]，则函数f ( x)的最小值为（ ）
A．3
2
B．2
3
C．
❑√2
2
D．
❑√3
2
8．已知函数f (x)=cos2 x - ❑√3sin 2 x +2，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f (x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f (x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f (x)的最小正周期为2π，最大值为4
9．已知向量⃗a=(cosθ，sinθ)，⃗b=(3，- 4)，则⃗a⋅⃗b的最大值是（ ）
A．7
B．5
C．4
D．1
10．已知函数f (x)=cos(2 x -π
3 )，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的最大值为2
C．f (x)的图象关于直线x =π
6 对称
D．f (x)的图象关于坐标原点对称
6
题型四、余弦函数的对称性
1．函数f ( x)=3cos(π
3 -2 x)-2的对称中心为（ ）
A．( 5π
12 ,2)B．( 5π
12 ,-2)
C．( 5π
6 ,-2)
D．( 5π
6 ,2)
2．函数f (x)=cos
2 x -sin
2 x的一条对称轴为（ ）
A．π
2
B．π
4
C．π
8
D．π
12
3．曲线y =cos(4 x +π
3 )的一条对称轴的方程可以为（ ）
A．x =-π
24
B．x =-π
12
C．x =π
24
D．x =π
12
4．已知函数f ( x)=cos2(ωx +π
12)(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)的对称
轴可以是（ ）
A．x = 5π
24
B．x = 5π
12
C．x =π
6
D．x =π
3
5．已知函数f (x)=cos(
1
3 x +π
4 +φ)(x∈R ,φ>0)的图象关于原点中心对称，
则φ的最小值为（ ）
A．π
B．π
2
C．π
3
D．π
4
6．函数f (x)=cos(x +π
5 )图象的对称中心为（ ）
A．(
3π
10 + k π,0)(k ∈Z)
B．(
3π
10 +2k π,0)(k ∈Z)
C．(-π
5 + k π,0)(k ∈Z)
D．(-π
5 +2k π,0)(k ∈Z)
7．已知函数f (x)=cos(2 x -π
6 )，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(- 5π
12 ,0)
上单调递增
C．f (x)的图象关于直线x =-π
6 对称
D．若x∈(0,π
6 )，则f (x)的最小值为-1
8．函数f (x)=cos(4 x -π
6 )+2图象的一个对称中心为（ ）
A．(
π
6 ,2)
B．(
π
4 ,2)
C．(
π
3 ,2)
D．(
13π
12 ,2)
9．函数f ( x)=10cos(3 x -π
6 )的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x =-π
6
B．x =-π
18
C．x =0
D．x =π
18
7
题型五、余弦函数的单调性
1．已知函数f (x)=cos
2 x -sin
2 x，则（ ）
A．f (x)在(-π
2 ,-π
6 )上单调递减
B．f (x)在(-π
4 ,π
12)上单调递减
C．f (x)在(0,π
3 )
上单调递减
D．f (x)在(
π
4 , 7π
12 )
上单调递减
2．下列命题中正确的是（ ）
A．函数y =cos x在区间(-π
2 ,π
2 )上单调递减
B．函数y =cos x在区间(π
2
,π)上单调递减
C．函数y =cos x在区间(π, 3π
2 )上单调递减
D．函数y =cos x在区间( 3π
2 ,2π)上单调递减
3．函数f (x)=cos(2 x -π
4 )在下列哪个区间上单调递增（ ）
A．[-π
2 ,0]
B．[0,π
2 ]
C．[-π
4 ,0]D．
[0,π
4 ]
4．在下列区间中，函数f ( x)=2cos(x + π
3)
的单调递减区间是（ ）
A．(- π
3 , 2π
3 )
B．(
π
3 , 4 π
3 )
C．(- 2π
3 , π
3)
D．(- 4 π
3 ,- π
3)
5．y＝cos( x - π
4 )在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A．[
π
4 , 3 π
4 ]
B．[0, π
4]
C．[
3 π
4 ,π]
D．[
π
4 ,π]
6．在下列区间中，函数f ( x)=2022cos(x - π
12)
单调递增的区间是（ ）
A．(0, π
2)
B．(
π
2 ,π)
C．(π , 3 π
2 )
D．(
3 π
2 ,2π)
7．函数y =cos( π
4 -3 x)的单调递减区间是（ ）
A．[
π
12 + 2kπ
3 ，5 π
12 + 2kπ
3 ]
（k ∈Z）
B．[- π
4 + 2kπ
3 ，π
12 + 2kπ
3 ]
（
k ∈Z）
C．[
π
12 +2kπ ，5 π
12 +2kπ]
（k ∈Z）D．[- π
4 +2kπ ，π
12 +2kπ]
（k ∈Z
）
8．设函数f ( x)=cos(x +π
3 )，则下列结论错误的是（ ）
A．f ( x)的一个周期为-2π
B．f ( x)的图象关于直线x =8π
3
对称
C．f ( x)在(
π
3
,π)上单调递减D．f ( x +π)的一个零点为x =π
6
9．函数y =2cos(x + π
6)
的单调增区间为（ ）
A．(2k π-π,2k π),k ∈Z
B．(2k π,2k π+π),k ∈Z
C．(2k π- 7π
6 ,2k π-π
6 ),k ∈Z
D．(2k π-π
6 ,2k π+ 5π
6 ),k ∈Z
