4.8 余弦函数的图像与性质（讲义）
目录
1
知识点01 余弦函数的图像和性质............................................................2
2
知识点02 余弦型函数的性质....................................................................2
3
题型一、余弦函数的周期性.....................................................................3
4
题型二、余弦函数的奇偶性.....................................................................7
5
题型三、余弦函数的最值.......................................................................10
6
题型四、余弦函数的对称性...................................................................15
7
题型五、余弦函数的单调性...................................................................19
1 知识点01 余弦函数的图像和性质
2 知识点02 余弦型函数的性质
函数
y =cos x
图象
定义域
R
值域
[-1，1]
周期性
2π
奇偶性
偶函数
递增区间
[- π +2kπ ，2kπ ]
递减区间
[2kπ ，π +2kπ ]
对称中心
(kπ + π
2 ，0)
对称轴方程
x =kπ
3
题型一、余弦函数的周期性
1．函数y =1-2sin
2 x是（ ）
A．以2π为最小正周期的偶函数
B．以π为最小正周期的偶函数
C．以2π为最小正周期的奇函数
D．以π为最小正周期的奇函数
【答案】B
【分析】利用二倍角公式化简函数，再根据余弦函数的性质判断即可.
【详解】因为y =1-2sin
2 x =cos2 x，
所以函数y =1-2sin
2 x的最小正周期T = 2π
2 =π，且为偶函数.
故选：B
2．已知函数f (x)=cos
2 x
2 -sin
2 x
2，则（ ）
A．f (x)为偶函数且周期为4π
B．f (x)为奇函数且在(-π
4 ,π
12)上有最小值
C．f (x)为偶函数且在(0,π
3 )上单调递减
函数
y = Acos(ωx +φ)+b
定义域
R
值域
[-|A|+b，|A|+b]
周期性
T = 2π
ω
奇偶性
φ =0时，为偶函数； φ≠0时，利用定义判断
递增区间
[ 2kπ - π -φ
ω
，2kπ -φ
ω
]
递减区间
[ 2kπ -φ
ω
，2kπ + π -φ
ω
]
对称中心
( 2kπ + π -2φ
2ω
，0)
对称轴方程
x = kπ -φ
ω
D．f (x)为奇函数且(
π
4 ,0)为一个对称中心
【答案】C
【分析】由二倍角公式得f (x)=cos x，再根据余弦函数性质判断即可；
【详解】解：因为f (x)=cos
2 x
2 -sin
2 x
2 =cos x，
所以，函数f (x)为偶函数且周期为2π，在(0,π
3 )上单调递减.
所以，ABD 选项错误，C 选项正确.
故选：C
3．对于f (x)=cos
2(x -π
12)+sin
2(x + 5π
12 )-1，下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =π
3 对称
B．f (x)是偶函数
C．f (x)的最小正周期为2π
D．f (x)的最大值是1
【答案】D
【分析】利用诱导公式可得f ( x)=cos(2 x -π
6 )，进而逐项判断可得结论.
【详解】
f (x)=cos
2(x -π
12)+sin
2(x + 5π
12 )-1=cos
2(x -π
12)+sin
2(x -π
12 +π
2 )-1
=2cos
2(x -π
12)-1=cos2(x -π
12)=cos(2 x -π
6 )，
对A，由f (π
3 )=cos(2×π
3 -π
6 )=0，所以f (x)的图象不关于直线x =π
3 对
称，故A 错误；
对B，f ( x)=cos(2 x -π
6 )不是偶函数，故B 错误；
对C，f ( x)=cos(2 x -π
6 )的最小正周期为T =2π
2 =π，故C 错误；
对D，f ( x)=cos(2 x -π
6 )的最大值是1，故D 正确.
故选：D.
4．已知函数f (x)=cos2(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)的对称
轴可以是（ ）
A．x =π
24
B．x =π
12
C．x =π
6
D．x =π
3
【答案】D
【分析】由f ( x)的最小正周期为π，求得ω=1，再令2 x +π
3 =k π,k ∈Z，
即可求解．
【详解】因为函数f (x)=cos(2ωx +π
3 )的最小正周期为π，
所以ω=2π
2π =1，则f (x)=cos(2 x +π
3 )，
令2 x +π
3 =k π,k ∈Z，则x = k π
2 -π
6 ,k ∈Z，
对比选项可知，只有当k =1时，x =π
3 ，符合题意，故D 正确；
故选：D．
5．函数y =1-2sin
2 x是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
【答案】B
【分析】利用二倍角公式计算可得y =cos2 x，再由周期公式以及余弦函数
的奇偶性可得结论.
【详解】易知y =1-2sin
2 x =cos2 x，
所以其最小正周期为2π
2 =π，
且满足cos(-2 x)=cos2 x，即该函数为偶函数；
因此函数y =1-2sin
2 x是最小正周期为π的偶函数.
故选：B
6．已知函数f (x)=2cos
2 x +sin
2 x，则下列正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(
π
12 ,5π
12 )单调递减
C．f (x)在(
5π
12
,7π
12 )上单调递增D．f (x)的最大值为3
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，利用余弦型函数的周期
公式可判断A 选项；利用余弦型函数的单调性可判断BC 选项；利用余弦型函
数的最值可判断D 选项.
【详解】因为f (x)=2cos
2 x +sin
2 x =1+cos
2 x =1+ 1+cos2 x
2
= 1
2 cos2 x + 3
2，
对于A 选项，函数f (x)的最小正周期为T = 2π
2 =π，A 错；
对于B 选项，当π
12 < x<5π
12 时，π
6 <2 x< 5π
6 ，
所以，函数f (x)在(
π
12 ,5π
12 )单调递减，B 对；
对于C 选项，当5π
12 < x<7π
12 时，5π
6 <2 x<7π
6 ，
所以，函数f (x)在(
5π
12
,7π
12 )上不单调，C 错；
对于D 选项，f (x)max= 1
2 + 3
2 =2，D 错.
故选：B.
7．函数f ( x)=sin(2 x +π
2 )是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】D
【分析】先应用诱导公式化简得出cos2 x，进而得出最小正周期及奇偶性
即可判断.
【详解】因为函数f ( x)=sin(2 x +π
2 )=cos2 x，
所以函数的最小正周期为2π
2 =π，函数是偶函数.
故选：D.
8．已知函数f ( x)= 1
2 -sin
2 x，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的最小正周期为π
B．f ( x)在(0,π
2 )上单调递减
C．曲线y = f ( x)关于点(
π
2 ,0)对称
D．曲线y = f ( x)关于直线x = 3 π
2 对称
【答案】C
【分析】首先由降幂公式即可得出f ( x)= 1
2 cos2 x，根据余弦函数的周期性，
单调性及对称性即可得出判断．
【详解】f ( x)= 1
2 -sin
2 x = 1
2 - 1-cos2 x
2
= 1
2 cos2 x，
对于A，T = 2π
2 =π，故A 正确；
对于B，当x∈(0,π
2 )时，2 x∈(0,π)，
因为y =cos x在(0,π)单调递减，所以f ( x)在(0,π
2 )上单调递减，故B 正确；
对于C，f(
π
2 )= 1
2 cosπ=- 1
2 ≠0，(
π
2 ,0)不是曲线y = f ( x)的对称中心，故
C 错误；
对于D，因为f(
3π
2 )= 1
2 cos3π=- 1
2，是函数的最小值，故曲线y = f ( x)关
于直线x =3π
2 对称，D 正确；
故选：C．
4
题型二、余弦函数的奇偶性
1．设函数f (x)=cos(x +π
3 )，则下列结论错误的是（ ）
A．f (x)的一个周期为-2π
B．f (x)的值域为[-1,1]
C．f (x +π)的一个零点为x =π
6
D．f (x)是偶函数
【答案】D
【分析】根据f (x -2π)= f (x)可判断A,根据三角函数的有界性可判断B，根
据代入验证根是否为0 可判断C，根据偶函数的定义可判断D.
【详解】对于A,f (x -2π)=cos(x -2π+π
3 )=cos(x +π
3 )= f (x)，故-2π是
f (x)的一个周期，故A 正确，
对于B,由于-1≤cos(x +π
3 )≤1，所以f (x)的值域为[-1,1]，故B 正确，
对于C，f (x +π)=cos(x +π+π
3 )=-cos(x +π
3 )，所以当x =π
6 时，
f (x +π)=-cosπ
2 =0，故x =π
6 是f (x +π)的一个零点，故C 正确，
对于D,f (- x)=cos(- x +π
3 )=cos(x -π
3 )≠f (x),故D 错误，
故选：D
2．已知函数f ( x)=2sin(2 x - 5π
2 )( x∈R)，下面结论错误的是（ ）
A．函数f ( x)的最小正周期为π B．函数f ( x)在区间[0,π
2 ]上单调递增
C．函数f ( x)是奇函数
D．函数f ( x)的图像关于y 轴对称
【答案】C
【分析】f ( x)=-2cos2 x，然后求出f ( x)的周期可判断A，结合余弦函数的
单调性可判断B，判断出f ( x)的奇偶性可判断CD.
【详解】f ( x)=2sin(2 x - 5π
2 )=2sin(2 x -π
2 )=-2cos2 x
所以函数f ( x)的最小正周期为2π
2 =π，故A 正确；
当x∈[0,π
2 ] 时，2 x∈[0,π]，所以y =cos2 x在区间[0,π
2 ]上单调递减，
所以函数f ( x)在区间[0,π
2 ]上单调递增，故B 正确；
因为f (- x)=-2cos2 x = f (x)，所以函数f ( x)是偶函数，故C 错误，
函数f ( x)的图像关于y 轴对称，故D 正确，
故选：C.
3．函数f (x)=2sin(4 x +π
2 )是（ ）
A．最小正周期为π
2 的奇函数
B．最小正周期为π
2 的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】B
【分析】由正弦型函数周期公式求最小正周期，应用诱导公式、余弦函数
的奇偶性判断函数的奇偶性即可.
【详解】函数最小正周期为T = 2π
4 =π
2 ，故C、D 错误；
由f ( x)=2sin(4 x +π
2 )=2cos 4 x，故函数为偶函数，A 错误.
故选：B
4．已知函数f ( x)=cos(π- x)+1，则（ ）
A．f (x)是偶函数，最大值为1
B．f (x)是偶函数，最大值为2
C．f (x)是奇函数，最大值为1
D．f (x)是奇函数，最大值为2
【答案】B
【分析】利用诱导公式将函数化简，再结合余弦函数的性质分析即可.
【详解】因为f ( x)=cos(π- x)+1=-cos x +1，定义域为R，
则f (- x)=-cos(- x)+1=-cos x +1= f (x)，所以f (x)是偶函数，
且-1≤cos x ≤1，所以-1≤-cos x ≤1，则0≤-cos x +1≤2，
所以f (x)∈[0,2]，即f (x)的最大值为2.
故选：B
5．下列函数中，是偶函数且其图象关于点(π
4 ,0)对称的是（ ）
A．f (x)=sin x
B．f (x)=cos x
C．f (x)=sin 4 x
D．f (x)=cos2 x
【答案】D
【分析】利用偶函数排除两个选项，再由对称性判断作答.
【详解】对于A，函数f (x)=sin x是奇函数，A 不是；
对于C，函数f (x)=sin 4 x是奇函数，C 不是；
对于B，函数f (x)=cos x是偶函数，而f (π
4 )=cosπ
4 =
❑√2
2 ≠0，即
f (x)=cos x的图象不关于点(π
4 ,0)对称，B 不是；
对于D，函数f (x)=cos2 x是偶函数，f (π
4 )=cosπ
2 =0，即f (x)=cos2 x的
图象关于点(π
4 ,0)对称，D 是.
故选：D
6．函数f (x)=1+2cos
2 x是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】D
【分析】使用三角恒等变换对三角进行化简，次数降为一次后用相关公式
直接求解即可.
【详解】易知f (x)=1+2cos
2 x =cos2 x +2,
则f (- x)=cos(-2 x)+2=cos2 x +2= f (x)，故f (x)是偶函数，且T =2π
2
=π
故选：D
7．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（ ）
A．y =cos2 x
B．y = tan x
C．y =sin(x +π
4 )
D．y =sin2 x
【答案】A
【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.
【详解】对A：T = 2π
π
=2，又y =cos2 x是偶函数，故A 正确；
对B：y = tan x为奇函数，故B 错误；
对C：y =sin(x +π
4 )周期为2π，故C 错误；
对D：y =sin2 x为奇函数，故D 错误.
故选：A.
8．下列函数中，是偶函数且其图象关于(
π
4 ,0)对称的是（ ）
A．y =cos(2 x +π
2 )
B．y =sin(2 x +π
2 )
C．y =cos(x +π)
D．y =sin(x +π)
【答案】B
【分析】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性
即可.
【详解】对于A，y =cos(2 x +π
2 )=-sin 2 x为奇函数，A 错误；
对于B，y =sin(2 x +π
2 )=cos2 x为偶函数，
因为cos(2×π
4 )=cosπ
2 =0，所以y =sin(2 x +π
2 )的图象关于点(
π
4 ,0)对
称，B 正确；
对于C，y =cos(x +π)=-cos x为偶函数，
因为-cosπ
4 =-
❑√2
2 ，所以(
π
4 ,0)不是y =cos(x +π)的对称中心，C 错误；
对于D，y =sin(x +π)=-sin x为奇函数，D 错误.
故选：B
5
题型三、余弦函数的最值
1．函数y =cos(2 x + π
3), x∈[0, π
2]的值域为（ ）
A．[0，1]
B．[-1, 1
2]
C．[-
❑√3
2 , 1
2]
D．[- 1
2 , 1
2]
【答案】B
【解析】根据自变量x的范围，得到2 x + π
3 的范围，进一步得到答案.
【详解】解：∵x∈[0, π
2]，2 x + π
3 ∈[
π
3 , 4 π
3 ]，所以
y =cos(2 x + π
3)∈[-1，1
2].
故选：B.
2．下列关于函数f ( x)=cos2 x +1的表述正确的是（ ）
A．函数f ( x)的最小正周期是2π
B．当x = π
2 时，函数f ( x)取得最大值2
C．函数f ( x)是奇函数
D．函数f ( x)的值域为[0,2]
【答案】D
【分析】根据f ( x)=cos2 x +1，利用余弦函数的性质求解.
【详解】函数f ( x)的最小正周期是T = 2π
2 = π，故A 错误；
当x = π
2 时，f ( x)=0，故B 错误；
因为f (- x)=cos(-2 x)+1=cos2 x +1= f (x)，所以函数f ( x)是偶函数，故C 错
误；
函数定义域为R，所以f ( x)的值域为[0,2]，故D 正确，
故选：D
3．已知函数f (x)=2cos
2ωx + ❑√3sin2ωx -1（ω>0）的最小正周期为π，则
下列说法正确的是（ ）
A．ω=2
B．函数f (x)的最大值为1
C．函数f (x)在[0, π
6]上单调递增
D．将函数f (x)的图象向右平移π
6 个单位长度，可得到函数g(x)=2sin 2 x
的图象
【答案】C
【分析】由题意利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，再利用余
弦函数的图像和性质即可求解．
【详解】解：因为
f (x)=2cos
2ωx + ❑√3sin 2ωx -1=cos2ωx + ❑√3sin 2ωx =2cos(2ωx - π
3)的最小正周
期为π，
所以π = 2π
2ω，解得ω=1，故A 错误；
由于f (x)=2cos(2 x - π
3)，可得f (x)的最大值为2，故B 错误；
在[0, π
6]上，2 x - π
3 ∈[- π
3 ,0]，故f (x)=2cos(2 x - π
3)单调递增，故C 正确；
将函数f (x)的图象向右平移π
6 个单位长度，
可得到函数g(x)=2cos[2(x - π
6)- π
3]=2cos(2 x - 2π
3 )，故D 错误．
故选：C．
4．已知函数f ( x)=cos(
1
2 x + π
4)，则（ ）
A．f ( x)在区间(- π ,π )上单调递减
B．f ( x)的图象关于直线x =- 5 π
2 对称
C．f ( x)的图象关于点(- 5 π
2 ,0)对称
D．f ( x)在区间(0,2π )上的最大值为
❑√2
2 ，最小值为-1
【答案】B
【分析】利用余弦函数的性质逐项判断.
【详解】由- π < x<π，得- π
4 < 1
2 x + π
4 < 3 π
4 ，故f ( x)在区间(- π ,π )上不单调，
A 不正确．
因为x =- 5 π
2 ，所以1
2 x + π
4 =- π ,cos(- π )=-1，故f ( x)的图象关于直线
x =- 5 π
2 对称，B 正确，C 不正确．
由0< x<2π，得π
4 < 1
2 x + π
4 < 5 π
4 ，则f ( x)在区间(0,2π )上的最小值为-1，无
最大值，D 不正确．
故选：B
5．已知函数y =3cos(π - x)，则当函数取得最大值时x 的值是（ ）
A．π
B．2π
C．2kπ + π
D．2kπ +2π
【答案】C
【分析】诱导公式化简后，由余弦函数性质得最大值及相应的x值．
【详解】y =3cos(π - x)=-3cos x，当cos x =-1，即x =2kπ + π，k ∈Z时，y
有最大值3．
故选：C．
6．函数f ( x)=sin
2 x -cos
2 x +1的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】应用二倍角余弦公式可得f ( x)=1-cos2 x，结合余弦函数的性质求
最大值.
【详解】由题设，f ( x)=1-cos2 x，
所以当cos2 x =-1时，有最大值为f ( x)=2.
故选：B
7．若函数f ( x)= ❑√3cos 1
2 x , x∈[0,π
3 ]，则函数f ( x)的最小值为（ ）
A．3
2
B．2
3
C．
❑√2
2
D．
❑√3
2
【答案】A
【分析】根据余弦函数的性质求解即可.
【详解】解：∵x∈[0,π
3 ],∴1
2 x∈[0,π
6 ]
∴❑√3cosπ
6 ≤❑√3cos 1
2 x ≤❑√3cos0，即3
2 ≤❑√3cos 1
2 x ≤❑√3
∴函数f ( x)的最小值为3
2
故选：A
8．已知函数f (x)=cos2 x - ❑√3sin 2 x +2，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f (x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f (x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f (x)的最小正周期为2π，最大值为4
【答案】B
【分析】化简可得f (x)=2cos(2 x +π
3 )+2，根据周期公式即可得出周期，
整体代换即可得出函数的最大值.
【详解】易知f (x)=cos2 x - ❑√3sin 2 x +2=2cos(2 x +π
3 )+2，
所以，f (x)的最小正周期为T =2π
2 =π，
当2 x +π
3 =2k π,k ∈Z，即x =-π
6 +k π,k ∈Z时，f (x)有最大值为4.
故选：B.
9．已知向量⃗a=(cosθ，sinθ)，⃗b=(3，- 4)，则⃗a⋅⃗b的最大值是（ ）
A．7
B．5
C．4
D．1
【答案】B
【分析】先求出⃗a⋅⃗b，变形后利用三角函数的性质可求出其最大值
【详解】因为向量⃗a=(cosθ，sinθ)，⃗b=(3，- 4)，
所以⃗a⋅⃗b=3cosθ - 4 sinθ =5(
3
5 cosθ - 4
5 sinθ)=5cos(θ+φ)，
其中cosφ = 3
5 ,sin φ = 4
5 ，
所以当cos(θ+φ)=1时，⃗a⋅⃗b取得最大值5，
故选：B
10．已知函数f (x)=cos(2 x -π
3 )，则下列结论正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的最大值为2
C．f (x)的图象关于直线x =π
6 对称
D．f (x)的图象关于坐标原点对称
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π，故A 错误；
f (x)的最大值为1，故B 错误；
因为f(
π
6 )=cos0=1，所以f (x)的图象关于直线x =π
6 对称，故C 正确；
因为f (0)=cos(-π
3 )= 1
2 ≠0，
所以f (x)的图象不关于坐标原点对称，故D 错误.
故选：C.
6
题型四、余弦函数的对称性
1．函数f ( x)=3cos(π
3 -2 x)-2的对称中心为（ ）
A．( 5π
12 ,2)B．( 5π
12 ,-2)
C．( 5π
6 ,-2)
D．( 5π
6 ,2)
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用代入验证法求出对称中心即可.
【详解】函数f ( x)=3cos(2 x -π
3 )-2，
f ( 5π
12 )=3cos(2× 5π
12 -π
3 )-2=3cosπ
2 -2=-2，
因此点( 5π
12 ,-2)是函数f ( x)图象的对称中心，点( 5π
12 ,2)不是；
f ( 5π
6 )=3cos(2× 5π
6 -π
3 )-2=3cos4π
3 -2≠-2，则点( 5π
6 ,-2)及
( 5π
6 ,2)都不是函数f ( x)图象的对称中心.
故选：B
2．函数f (x)=cos
2 x -sin
2 x的一条对称轴为（ ）
A．π
2
B．π
4
C．π
8
D．π
12
【答案】A
【分析】由余弦二倍角公式化简，然后代入检验法求解对称轴.
【详解】f (x)=cos
2 x -sin
2 x =cos2 x，
当x =π
2 时，cos(2×π
2 )=cosπ=-1，故x =π
2 是对称轴，
当x =π
4 时，cos(2×π
4 )=cosπ
2 =0≠±1，故x =π
4 不是对称轴，
当x =π
8 时，cos(2×π
8 )=cosπ
4 =
❑√2
2 ≠±1，故x =π
8 不是对称轴，
当x =π
12 时，cos(2×π
12)=cosπ
6 =
❑√3
2 ≠±1，故x =π
12 不是对称轴，
故选：A
3．曲线y =cos(4 x +π
3 )的一条对称轴的方程可以为（ ）
A．x =-π
24
B．x =-π
12
C．x =π
24
D．x =π
12
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦型函数的对称轴方程，代入计算，即可得到结
果.
【详解】令4 x +π
3 =k π(k ∈Z)，得x = k π
4 -π
12
(k ∈Z)，
当k =0时，对称轴方程为x =-π
12，
所以曲线y =cos(4 x +π
3 )的一条对称轴的方程可以为x =-π
12．
故选：B
4．已知函数f ( x)=cos2(ωx +π
12)(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)的对称
轴可以是（ ）
A．x = 5π
24
B．x = 5π
12
C．x =π
6
D．x =π
3
【答案】B
【分析】由条件，结合余弦型函数的周期公式可求ω，再根据余弦型性质
求函数f (x)的对称轴即可.
【详解】因为函数f ( x)=cos2(ωx +π
12)的最小正周期为π，ω>0
所以2π
2ω =π，
所以ω=1，
所以f ( x)=cos(2 x +π
6 )，
令2 x +π
6 =k π，k ∈Z，
可得x = k π
2 -π
12，k ∈Z，
所以函数f ( x)=cos(2 x +π
6 )的对称轴为x = k π
2 -π
12，k ∈Z，
结合选项考虑令5π
24 ≤k π
2 -π
12 ≤5π
12 ，化简可得7
12 ≤k ≤1，
所以取k =1，此时对称轴方程为x =5π
12 .
故选：B.
5．已知函数f (x)=cos(
1
3 x +π
4 +φ)(x∈R ,φ>0)的图象关于原点中心对称，
则φ的最小值为（ ）
A．π
B．π
2
C．π
3
D．π
4
【答案】D
【分析】利用余弦型函数为奇函数，则初相是π
2 +k π ,k ∈Z，从而可求最
小值.
【详解】由题得函数f (x)为奇函数，则φ+π
4 =π
2 +k π，k ∈Z，故
φ=π
4 +k π，
故当k =0时，φ取得最小值π
4 ．
故选：D.
6．函数f (x)=cos(x +π
5 )图象的对称中心为（ ）
A．(
3π
10 + k π,0)(k ∈Z)
B．(
3π
10 +2k π,0)(k ∈Z)
C．(-π
5 + k π,0)(k ∈Z)
D．(-π
5 +2k π,0)(k ∈Z)
【答案】A
【分析】利用整体代入法，结合余弦函数的对称中心列方程，求解即可.
【详解】由x +π
5 =π
2 +k π(k ∈Z)，得x = 3π
10 +k π(k ∈Z)，
所以f (x)图象的对称中心为(
3π
10 +k π,0)(k ∈Z)．
故选：A.
7．已知函数f (x)=cos(2 x -π
6 )，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)在(- 5π
12 ,0)上单调递增
C．f (x)的图象关于直线x =-π
6 对称
D．若x∈(0,π
6 )，则f (x)的最小值为-1
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质一一判断.
【详解】因为f (x)=cos(2 x -π
6 )，所以f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π，故
A 错误；
当x∈(- 5π
12 ,0)，则2 x -π
6 ∈(-π,-π
6 )，因为y =cos x在(-π,-π
6 )上
单调递增，
所以f (x)在(- 5π
12 ,0)上单调递增，故B 正确；
因为f(-π
6 )=cos(-π
2 )=0，所以f (x)的图象不关于直线x =-π
6 对称，故C
错误；
当x∈(0,π
6 )，则2 x -π
6 ∈(-π
6 ,π
6 )，所以cos(2 x -π
6 )∈(
❑√3
2 ,1]，
所以f (x)在(0,π
6 )上不存在最小值，故D 错误.
故选：B
8．函数f (x)=cos(4 x -π
6 )+2图象的一个对称中心为（ ）
A．(
π
6 ,2) B．(
π
4 ,2)
C．(
π
3 ,2)
D．(
13π
12 ,2)
【答案】A
【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】令4 x -π
6 =k π+π
2
(k ∈Z)，可得x = k π
4 +π
6 π(k ∈Z).
所以当k =0时，x =π
6 ，故(
π
6 ,2)满足条件.
故选：A
9．函数f ( x)=10cos(3 x -π
6 )的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x =-π
6
B．x =-π
18
C．x =0
D．x =π
18
【答案】D
【分析】令3 x -π
6 =k π，k ∈Z，计算可得对称轴.
【详解】令3 x -π
6 =k π，k ∈Z，解得x = k π
3 +π
18，k ∈Z，
当k =0时，x =π
18，
所以函数f ( x)=10cos(3 x -π
6 )的图象的一条对称轴方程为x =π
18.
故选：D.
7
题型五、余弦函数的单调性
1．已知函数f (x)=cos
2 x -sin
2 x，则（ ）
A．f (x)在(-π
2 ,-π
6 )上单调递减
B．f (x)在(-π
4 ,π
12)上单调递减
C．f (x)在(0,π
3 )上单调递减
D．f (x)在(
π
4 , 7π
12 )上单调递减
【答案】C
【分析】综合应用三角函数的二倍角公式和单调性即可解决问题.
【详解】依题意可知，f (x)=cos
2 x -sin
2 x =cos2 x，记t =2 x，则y =cost，
对于A 选项，因为x∈(-π
2 ,-π
6 )，所以t ∈(-π,-π
3 )，则y =cost在
(-π,-π
3 )上单调递增，故A 错误；
对于B 选项，因为x∈(-π
4 ,π
12)，所以t ∈(-π
2 ,π
6 )，则y =cost在
(-π
2 ,π
6 )上不单调，故B 错误；
对于C 选项，因为x∈(0,π
3 )，所以t ∈(0,2π
3 )，则y =cost在(0,2π
3 )上
单调递减，故C 正确；
对于D 选项，因为x∈(
π
4 , 7π
12 )，所以t ∈(π
2 ,7π
6
)，则y =cost在
(π
2 ,7π
6
)上不单调，故D 错误.
故选：C.
2．下列命题中正确的是（ ）
A．函数y =cos x在区间(-π
2 ,π
2 )上单调递减
B．函数y =cos x在区间(π
2
,π)上单调递减
C．函数y =cos x在区间(π, 3π
2 )上单调递减
D．函数y =cos x在区间( 3π
2 ,2π)上单调递减
【答案】B
【分析】利用余弦函数的单调区间直接判断得解.
【详解】函数y =cos x在[-π
2 ,0]上单调递增，在[0,π]上单调递减，在
[π,2π]上单调递增，
显然函数y =cos x在(-π
2 ,π
2 )上不单调，A 错误；
由(π
2
,π)⊆[0,π]，得函数y =cos x在(π
2
,π)上单调递减，B 正确；
由(π, 3π
2 )⊆[π,2π],( 3π
2 ,2π)⊆[π,2π]，得y =cos x在(π, 3π
2 )、
( 3π
2 ,2π)上单调递增，CD 错误.
故选：B
3．函数f (x)=cos(2 x -π
4 )在下列哪个区间上单调递增（ ）
A．[-π
2 ,0]
B．[0,π
2 ]
C．[-π
4 ,0]D．
[0,π
4 ]
【答案】C
【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案.
【详解】令2k π-π≤2 x -π
4 ≤2k π，k ∈Z，得k π-3π
8 ≤x ≤k π+π
8 ，
令k =0可得，f (x)的一个增区间为[-3π
8 ,π
8 ]，结合选项可得C 符合题意.
故选：C
4．在下列区间中，函数f ( x)=2cos(x + π
3)的单调递减区间是（ ）
A．(- π
3 , 2π
3 )
B．(
π
3 , 4 π
3 )
C．(- 2π
3 , π
3)
D．(- 4 π
3 ,- π
3)
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质，求得函数f (x)的递减区间，结合选项，即
可求解.
【详解】由题意，函数f ( x)=2cos(x + π
3)，
令2kπ ≤x + π
3 ≤2kπ + π ,k ∈Z，解得2kπ - π
3 ≤x ≤2kπ + 2π
3 ,k ∈Z，
令k=0，可得函数f (x)的递减区间为[- π
3 , 2π
3 ]，
结合选项，可得函数f (x)在区间(- π
3 , 2π
3 )上单调递减.
故选：A.
5．y＝cos( x - π
4 )在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A．[
π
4 , 3 π
4 ]
B．[0, π
4]
C．[
3 π
4 ,π]
D．[
π
4 ,π]
【答案】D
【分析】先通过cos x的单减区间求出x - π
4 整体的范围，再结合已知解出x
的范围即可.
【详解】由cos x的单调递减区间为[2kπ ,π +2kπ ](k ∈Z )，可得
2kπ ≤x - π
4 ≤π +2kπ，解得π
4 +2kπ ≤x ≤5 π
4 +2kπ，
又∵x∈[0,π ]，∴k =0时，π
4 ≤x ≤π .
故选：D.
6．在下列区间中，函数f ( x)=2022cos(x - π
12)单调递增的区间是（ ）
A．(0, π
2)
B．(
π
2 ,π)
C．(π , 3 π
2 )
D．(
3 π
2 ,2π)
【答案】D
【分析】根据余弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再判断即可；
【详解】解：因为f ( x)=2022cos(x - π
12)，令- π +2kπ ≤x - π
12 ≤2kπ ,k ∈Z，
解得- 11π
12 +2kπ ≤x ≤π
12 +2kπ ,k ∈Z，所以函数的单调递增区间为
[- 11π
12 +2kπ , π
12 +2kπ],k ∈Z，当k =1时可得函数的一个单调递增区间为
[
13 π
12 , 25 π
12 ]，因为(
3 π
2 ,2π)[
13 π
12 , 25 π
12 ]，所以函数在(
3 π
2 ,2π)上单调递增；
故选：D
7．函数y =cos( π
4 -3 x)的单调递减区间是（ ）
A．[
π
12 + 2kπ
3 ，5 π
12 + 2kπ
3 ]（k ∈Z）
B．[- π
4 + 2kπ
3 ，π
12 + 2kπ
3 ]（k ∈Z）
C．[
π
12 +2kπ ，5 π
12 +2kπ]（k ∈Z）
D．[- π
4 +2kπ ，π
12 +2kπ]（k ∈Z）
【答案】A
【分析】根据余弦函数单调性，解得到答案.
【详解】解：y =cos(
π
4 -3 x)=cos(3 x -π
4 )，令2k π≤3 x -π
4 ≤2k π+π，
k ∈Z，解得π
12 + 2k π
3
≤x ≤5π
12 + 2k π
3
，k ∈Z，故函数的单调递减区间为
[
π
12 + 2kπ
3
, 5 π
12 + 2kπ
3 ] k ∈Z；
故选：A.
8．设函数f ( x)=cos(x +π
3 )，则下列结论错误的是（ ）
A．f ( x)的一个周期为-2π
B．f ( x)的图象关于直线x =8π
3
对称
C．f ( x)在(
π
3
,π)上单调递减D．f ( x +π)的一个零点为x =π
6
【答案】C
【分析】结合函数的图象与性质，逐项分析即可.
【详解】解：因为f ( x)=cos(x +π
3 )，
所以最小正周期T = 2π
1 =2π，所以为-2π也是f ( x)的一个周期，故A 正
确；
对称轴为x +π
3
=k π(k ∈Z)，即x =k π-π
3
(k ∈Z)，则当k =3时，x =8π
3
，
故B 正确；
因为y =cos x在(2k π,π +2k π)(k ∈Z)上单调递减，
所以x +π
3
∈(2k π,π+2k π)(k ∈Z)，即
x∈(2k π-π
3
,2π
3
+2k π)(k ∈Z)，
当k =0时，f(x)在(-π
3
,2π
3 )上单调递减，在(
2π
3
,5π
3 )上单调递增，故C
错误;f ( x +π)=cos(x +4π
3 )，零点为x +4π
3
=π
2
+k π(k ∈Z)，即
x =k π-5π
6
(k ∈Z)，
则当k =1时，x =π
6 ，故D 正确.
故选：C.
9．函数y =2cos(x + π
6)的单调增区间为（ ）
A．(2k π-π,2k π),k ∈Z
B．(2k π,2k π+π),k ∈Z
C．(2k π- 7π
6 ,2k π-π
6 ),k ∈Z
D．(2k π-π
6 ,2k π+ 5π
6 ),k ∈Z
【答案】C
【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答.
【详解】由2k π-π≤x + π
6 ≤2k π,k ∈Z，解得
2k π- 7 π
6 ≤x ≤2k π- π
6 ,k ∈Z，
所以所求函数的增区间为(2k π- 7π
6 ,2k π-π
6 ),k ∈Z.
故选：C
