2021年高考数学精选考点专项突破题集专题2.3函数与方程（教师版含解析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考一轮复习讲义+课件

专题 2.3 函数与方程 一、单选题 1、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数 的零点所在区间为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， ， ， ，由 . 故选：C 2、(2019 苏州三市、苏北四市二调)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上 f(x)=¿{2−x,2≤x<3¿¿¿¿ 则函数 log 的零点的个数为 y=f(x)− |x| 5 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】：C 【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根 据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log | x|＝0，得f(x)＝log | x|，分别画出y＝ 5 5 f(x)和y＝log |x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log 5＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log |－3|<1，而f(－7)＝ 5 5 5 f(1)＝1，而log |－7|＝log 7>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5. 5 53 、 (2019 年 北 京 通 州 高 三 月 考 ) 已 知 函 数 ， 若 ， 使 得 成立，则实数 的取值范围为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由函数的解析式可得函数的最小值为： ,则要考查的不等式转化为： ，解得： ，即实数 的取值范围为 . 本题选择B选项. 4、(北京市人大附中 2019 届高三高考信息卷)已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当 x≤2时，log f(x)≤log 2，即﹣1≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[﹣1，1]， 2 2 当 x≤2时，2 a≤g(x)≤4+a，即1+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[1+a，4+a]， 若存在 ，使得f(x)＝g(x)， 1 2则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠ ， 若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅∅， 则1+a＞1或4+a＜﹣1， 得a＞0或a＜﹣5， 则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠ 时，﹣5≤a≤0， 即实数a的取值范围是[﹣5∅，0]， 故选A． 5、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知函数 的图象如图所示，则 的解析式最有可能是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 选项B、D的函数定义域为 ，和图象不匹配，错误； 选项C函数 为减函数，和图象不匹配，错误； 选项A函数 的定义域为R，且为增函数，正确. 故选：A 6、(2020年高考浙江)已知a，b R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则( ) A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 【答案】C 的 【解析】因为 ，所以 且 ，设 ，则 零点。为当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ， 即 ，且 ，所以 ； 当 时，则 ， ，要使 ，必有 . 综上一定有 . 故选：C 7、(2020·全国高三专题练习(文))函数 ，若方程 有且只有两个不 相等的实数根，则实数 的取值范围是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ,画出 与 的图象, 平移直线,当直线经过 时只有一个交点,此时 ,向右平移,不再符合条件,故 故选：A 8、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知 若函数 恰有一个 零点，则实数k的取值范围是( ) A． B． C． D．【答案】B 【解析】 时， ， ，所以函数 在 时有一个零点，从而在 时无零点，即 无解． 而当 时， ， ，它是减函数，值域为 ， 要使 无解．则 ． 故选：B. 9、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)已知函数 ， 若函数 在 上只有两个零点，则实数 的值不可能为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 的零点为函数 与 图象的交点，在同一直角坐标下作 出函数 与 的图象，如图所示， 当函数 的图象经过点(2，0)时满足条件，此时 ，当函数 的图象经过点(4，0)时满足条件，此时 ，当函数 的图象与 相切 时也满足题意，此时 ，解得 ， 综上所述， 或 或 ． 10、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知函数 满足：对任意的实数 ， ，都有 成立，且 ，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ， 令 ， ， ， ， ， ， . 故选:A.12、(2020届山东省德州市高三上期末)已知 为定义在 上的奇函数，当 时，有 ，且当 时， ，下列命题正确的是( ) A． B．函数 在定义域上是周期为 的函数 C．直线 与函数 的图象有 个交点 D．函数 的值域为 【答案】A 【解析】 函数 是 上的奇函数， ，由题意可得 ， 当 时， ， ，A选项正确； 当 时， ，则 ， ， ， 则函数 不是 上周期为 的函数，B选项错误； 若 为奇数时， ， 若 为偶数，则 ，即当 时， ， 当 时， ，若 ，且当 时， ， ， 当 时，则 ， ， 当 时， ，则 ，所以，函数 在 上的值域为 ， 由奇函数的性质可知，函数 在 上的值域为 ， 由此可知，函数 在 上的值域为 ，D选项错误； 如下图所示： 由图象可知，当 时，函数 与函数 的图象只有一个交点， 当 或 时， ，此时，函数 与函数 没有交点， 则函数 与函数 有且只有一个交点，C选项错误. 故选：A. 13、(2020届山东实验中学高三上期中)已知函数 ，若方程 有四个不同的 解 ，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先作 图象，由图象可得 因此 为 ，从而 ，选A. 14、(2020年高考天津)已知函数 若函数 恰有4个零点， 则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根即可，令 ，即 与 的图象有 个不同交点. 因为 ， 当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意； 当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ， 令 得 ，解得 (负值舍去)，所以 . 综上， 的取值范围为 . 故选：D． f xlnx1axaa 0 15、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知函数 ,若有且只有两个整数 f x 0 f x 0 x 1 ,x 2使得 1 ,且 2 ,则 a 的取值范围是( )  3ln3 0, A．   2   B． 0,2ln2 3ln3  2ln24 3ln3 ,2ln2 ,     B．C． 2  D． 3 2  【答案】C 1 f xlnx1axaa 0 f 'x 1a f 1ln11aa1 【解析】 ， x ， 当a1时，函数单调递增，不成立；  1   1  0, ,     当 a1 时，函数在 a1上单调递增，在a1 上单调递增；f x 0 f x 0 f 20 f 30 x,x 有且只有两个整数 1 2使得 1 ,且 2 ，故 且 ln33 ln333aa0,a 即ln222aa 0,aln22； 2 C 故选： . 16、(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)已知 ，函数 ，若 函数 恰有3个零点，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则条件等价为方程 有3个实数根． 当 时， ． 对A选项分析：当 ， 时， 在 ， ， ， 图象 如 图所示： 此时方程 最多只有1个实数根，所以A选项错误． 对B选项分析：当 ， 时， 在 ， ， ， 图象如 图所示：故方程 可能会出现3个实数根，所以B选项正确． 对C选项分析：当 ， 时， 在 ， 图象如图所示： 此时方程 最多只有2个实数根，所以C选项错误． 对D选项分析：当 ， 时， 在 ， 图象如图所示： 此时方程 最多只有2个实数根，所以D选项错误． 故选： . 二、多选题 17、(2021年徐州市期末)已知函数 ，若函数 恰有2个零点， 则实数 可以是 A． B．0 C．1 D．2 【答案】【解析】：画出函数 的图象， ， 时， ． 若函数 恰有2个零点，则实数 ，或 ．因此 可以为 ，0，1． 故选： ． 18、(2021年金陵中学开学调研)已知函数 方程 ，则下列判断正 确的是( ) A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 在区间 上单调递增 C．当 时，方程有2个不同的实数根 D．当 时，方程有3个不同的实数根 【答案】 【解析】：函数 的大致图象如图所示：显然函数 的图象不关于直线 对称，故选项 错误， 有图象可知函数 在区间 上单调递增，故选项 正确， 函数 的大致图象如图所示： 当 时， ，此时函数 与函数 的图象有 2 个交点， 方程 有2个不同的实数根，故选项 正确， 当 时， ，此时函数 与函数 的图象有 4 个交点， 方程 有4个不同的实数根，故选项 错误， 故选： ． ex1,x1, f x 19、.(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)函数  lnx1,x1, 若函数 gx f xxa 只 a 有一个零点，则 可能取的值有( ) A．2 B．2 C．0 D．1 【答案】ABC gx f xxa 【解析】∵ 只有一个零点， y  f(x) y  xa ∴函数 与函数 有一个交点，ex1,x1, f x 作函数函数  lnx1,x1, 与函数 y  xa 的图象如下， y  f(x) y  xa a0 结合图象可知，当 时；函数 与函数 有一个交点； 1 1 y  1 当a 0时，y ln(x1)，可得 x1，令 x1 可得x2，所以函数在x2时，直线与 y ln(x1) a2 相切，可得 . a0 a2 综合得： 或 . 故选：ABC. ex 2mxm,x0 f(x) 20、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知函数 ex(x1),x0 (e为自然对数的底)， F(x)=f(x)+f(-x) F(x) 若 且 有四个零点，则实数m的取值可以为( ) A．1 B．e C．2e D．3e 【答案】CD F(x)=f(x)+f(-x) F(x) F(x) F(x) 【解析】因为 ，可得 ，即 为偶函数， x0 F(x) 由题意可得 时， 有两个零点，x0 x0 f(x)ex 2mxm 当 时， ， x0 F(x) xex ex ex 2mxm xex 2mxm 即 时， ， F(x)0 xex 2mxm0 由 ，可得 ， y  xex,y m2x1  t,tet 由 相切，设切点为 ， y  xex y (x1)ex (t1)et 的导数为 ，可得切线的斜率为 ， ytet (t1)et(xt) 可得切线的方程为 ， 1  1   ,0  tet (t1)et  t  由切线经过点2 ，可得 2 ， 1  解得：t 1或 2 (舍去)，即有切线的斜率为2e，故2m2e,me， 故选：CD. f x x0 21、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， f xexx1 ，则下列命题正确的是( ) f xexx1 x0 A．当 时， f x B．函数 有3个零点 f x0 ,10,1 C． 的解集为x ,x R f x  f x  2 D． 1 2 ，都有 1 2 【答案】BCD f xexx1 x0 x0 【解析】(1)当 时， ，则由题意得 ， f x ∵ 函数 是奇函数， f 00 f xf x exx1 exx1 x0 ∴ ，且 时， ，A错； exx1,x0  ∴ f x0,x0 ，  exx1,x0  f xexx10 x0 x1 (2)当 时，由 得 ， f xexx10 x0 x1 当 时，由 得 ， f x 1,0,1 ∴ 函数 有3个零点 ，B对； f xexx10 x0 x1 (3)当 时，由 得 ， f xexx10 x0 0 x1 当 时，由 得 ， f x0 ,10,1 ∴ 的解集为 ，C对； f xexx1 f 'xexx2 x0 (4)当 时，由 得 ， f 'xexx20 f 'xexx20 x2 2 x0 由 得 ，由 得 ， f x ,2 2,0 ∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ,0 f 2e2 f xexx1 e0011 ∴函数在 上有最小值 ，且 ， f xexx10 ,0 x0 x1 又∵ 当 时， 时 ，函数在 上只有一个零点， f x e2,1  ∴当x0时，函数 的值域为 ，f x  1,e2e2,1  1,1 由奇函数的图象关于原点对称得函数 在R的值域为   ， x ,x R f x  f x  2 ∴ 对 1 2 ，都有 1 2 ，D对； 故选：BCD． 22、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数 ，以下结论正确的是( ) A． B． 在区间 上是增函数 C．若方程 恰有3个实根，则 D．若函数 在 上有6个零点 ，则 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】函数 的图象如图所示： 对A， ， ，所以 ，故A错误； 对B，由图象可知 在区间 上是增函数，故B正确； 对C，由图象可知 ，直线 与函数图象恰有3个交点，故C正确； 对D，由图象可得，当函数 在 上有6个零点 ，则 ，所以当 时， ；当 时， ，所以 的取值 范围是 ，故D正确. 故选：BCD.三、填空题 23、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知函数 ，若 ，则实数 _____ 【答案】 【解析】函数 ，若 ， 当 即 时， ，解得 舍去． 当 即 时， ，解得 ，成立． 故答案为： ． 24、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知 是定义在 上且周期为 的周期函数，当 时， ．若函数 ( )在 上恰有 个互不相同的零 点，则实数 的值__． 【答案】【解析】当 时，得 ， 且 是定义在 上且周期为 的周期函数， 函数 (a＞1)在(0， )上恰有4个互不相同的零点， 函数 与 (a＞1)在(0， )上恰有4个不同的交点， 分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x＝ 时，有 ＝1，所以 . 故答案为 25、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数 ，若方程 有 三个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数 的图象如下图所示， 作出直线l： ，平移直线l至 与 之间时，方程 有三个不同的实根，而由 得 ，当 时，即 ( 舍去)时，得直线 ， 当直线l： ，过点 时，得直线 ，此时 ， 所以要使方程 有三个不同的实根，则实数a的取值范围是： ， 故答案为： . 26、2020·山东省淄博实验中学高三上期末)设 ． (1)当 时，f(x)的最小值是_____； (2)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是_____． 【答案】 [0， ] 【解析】(1)当 时，当x≤0时，f(x)＝(x )2≥( )2 ， 当x＞0时，f(x)＝x 2 2，当且仅当x＝1时取等号， 则函数的最小值为 ， (2)由(1)知，当x＞0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，若a＜0，则当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝0，此时f(0)不是最小值，不满足条件． 若a≥0，则当x≤0时，函数f(x)＝(x﹣a)2为减函数， 则当x≤0时，函数f(x)的最小值为f(0)＝a2， 要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a2≤2，即0≤a ， 即实数a的取值范围是[0， ] 27、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)若函数 ， 存在零 点，则实数a的取值范围为____ 【答案】 【解析】因为函数 ， 存在零点， 等价于 ，在 上有解， 即 在 上有解， 即函数 与 在 上有交点， 令 当 时， ， ，即 在 上单调递增，所以 ； 当 时， ， ，令 ，解得 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ； 故 在 上的值域为 ， 所以 故答案为： 28、(2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模)已知函数 ，若存在实数 ， 使得函数 有6个零点，则实数 的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由题得函数 的图象和直线 有六个交点.显然有 . ,( )， 所以函数在 单调递减，在 单调递增，且 . 由题得 ， 三点的高度应满足 或 ,所以 或 ， 因为 所以 或 ， 综合得 . 故答案为： 四、解答题 29、(2019年北京高三月考)设函数 ①若 ，则 的最小值为 ； ②若 恰有2个零点，则实数 的取值范围是 ． 【解析】① 时， ，函数 在 上为增函数且 ，函 数 在 为减函数，在 为增函数，当 时， 取得最小值为-1； (2)①若函数 在 时与 轴有一个交点，则 ， ，则 ，函数 与 轴有一个交点，所以 ； ②若函数 与 轴有无交点，则函数 与 轴有两个交点，当时 与 轴有无交点， 在 与 轴有无交点，不合题意；当当 时 与 轴有无交点， 与 轴有两个交点， 和 ，由于 ，两交点横坐标均满足 ；综上所述 的取值范围 或 . 30、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)已知实数 ，设函数 ． (1)求函数 的单调区间； (2)当 时，若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围． 注： 为自然对数的底数． 【解析】 (1)由 ,解得 ． ①若 ,则当 时, ,故 在 内单调递增； 当 时, ,故 在 内单调递减． ②若 ,则当 时, ,故 在 内单调递增； 当 时, ,故 在 内单调递减． 综上所述, 在 内单调递减,在 内单调递增． (2) ,即 ． 令 ,得 ,则 ． 当 时,不等式 显然成立,当 时,两边取对数,即 恒成立． 令函数 ,即 在 内恒成立． 由 ,得 ． 故当 时, , 单调递增； 当 时, , 单调递减. 因此 ． 令函数 ,其中 , 则 ,得 , 故当 时, , 单调递减；当 时, , 单调递增． 又 , , 故当 时, 恒成立,因此 恒成立, 即当 时,对任意的 ,均有 成立． 31、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在经济学中，函数 的边际函数 定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产 台 的收益函数为 (单位：万元)，成本函数 (单位：万元)，该公司每月最多生产 台该医疗器材．(利润函数=收益函数－成本函数) (1)求利润函数 及边际利润函数 ； (2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?(精确到 ) (3)求 为何值时利润函数 取得最大值，并解释边际利润函数 的实际意义． 【解析】 (1)由题意知： 且 ， ， . (2)每台医疗器材的平均利润 ，当且仅当 时等 号成立. 因为 ，当每月生产 台机器时，每台平均约为 万元，每月生产 台时，每台平均约为 万元，故每月生产 台时，每台医疗器材的平均利润最大为 万元. (3) ， 由 ，得 ，此时 随 增大而增大， 由 得 ，此时 随 增大而减小，或 时， 取得最大值. 反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少. f x2lnx1sinx1 gxax1blnx 32、(2020届山东省临沂市高三上期末)已知函数 ，函数 a,bR,ab0 ( ). gx (1)讨论 的单调性； f x3x1 x0 (2)证明：当 时， . f x  x2 2x2  esinx (3)证明：当x1时， . 【解析】 axb gx 0, gx (1)解： 的定义域为 ， x ， gx0 gx 0, 当 a 0 ，b0时， ，则 在 上单调递增； b b  b 当a 0，b0时，令gx0，得 x a ，令gx0，得 0 x a ，则gx 在   0, a  上单调递 b  ,   减，在a 上单调递增； gx0 gx 0, 当a0， b0 时， ，则 在 上单调递减； b b  b 当 a0 ， b0 时，令gx0，得 0 x a ，令gx0，得 x a ，则gx 在   0, a  上单调递增， b  ,   在a 上单调递减；2 hx cosx3 hx f x3x1 (2)证明：设函数 ，则 x1 . 2 0,2 cosx1,1 因为x0，所以 x1 ， ， hx0 hx 0, 则 ，从而 在 上单调递减， hx f x3x1h00 f x3x1 所以 ，即 . gx x1lnx a b1 (3)证明：当 时， . gx  g10 gx x1lnx0 由(1)知， min ，所以 ， x1lnx 即 . x12 0 x12 esinx 0 当x1时， ， ， x12 esinx 1lnx12 esinx 则  ， x12 esinx 2lnx1sinx1 即 ，  x2 2x2  esinx x12 esinx 又 ，  x2 2x2  esinx 2lnx1sinx1 所以 ， f x  x2 2x2  esinx 即 . f xex ax 33、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知函数 ． f x ga ga1 a 0 (1)当 时，设函数 的最小值为 ，证明： ； 1 hx f x x2 x ,x x  x  hx hx 2 (2)若函数 2 有两个极值点 1 2 1 2 ，证明： 1 2 ． fxex aa0 fx0 xlna 【解析】(1) ，令 ，解得 ，fx0 fx0 xlna xlna 当 时， ，当 时， ，  f x  f lnaaalna gaaalnaa 0 min ， ， gx xxlnxx0 gxlnx 令 ，则 ， gx0 x1 令 ，解得 ， x0,1 gx0 x1， gx0 当 时， ，当 时， ， gx  g11 gx1 max ， ， ga1 当 a 0 时， ； 1 hxex ax x2 hxex ax (2) 2 ， ， xex ax xex 1 令 ，则 ， x0 x0 令 ，解得 ， x0 x0 x0 x0 当 时， ，当 时， ， x 01a min ， hx 1a0 又函数 有两个极值点，则 ， a 1 x 0 x ，且 1 2， x，x  hx xx，0 hx 当 1 时， 单调递增，当 1 时， 单调递减， x，0 hxhx  当 时， 1 ， x ,0 hx hx  又 2 ， 2 1 ， hx hx hx hx ex 2 ex 2 x2 1 2 2 2 2，1 mxex ex x2x0 mxex  2x 令 ，则 ex ， 1 nxmx nxex  20 令 ，则 ex ， nx 0, mxnxn00 在 上单调递增， ， mx 0, mxm02 在 上单调递增， ， x 0 mx ex 2 ex 2 x 2 2 hx hx 2  2 ， 2 2 ，即 2 2 ， hx hx 2 1 2 ．