4.2 任意角的三角函数（讲义）
目录
1
知识点01 任意角的三角函数....................................................................2
2
知识点02 特殊角的三角函数值................................................................2
3
题型一、定义法求三角函数的值.............................................................3
4
题型二、判断三角函数的符号.................................................................6
1 知识点01 任意角的三角函数
(1)
定义：在平面直角坐标系中，在角α终边上取异于顶点的任一点P( x，y)，设点
P到原点O的距离为r，则sinα = y
r ，cosα = x
r ，tan α = y
x ( x≠0)，x
2+ y
2=r
2
(2)
三角函数的符号性质如下表：
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象
限符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α |α ≠kπ + π
2 ，k ∈
＋
－
＋
－
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2 知识点02 特殊角的三角函数值
角度
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
弧度
0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3 π
4
5 π
6
π
sinθ
0
1
2
❑√2
2
❑√3
2
1
❑√3
2
❑√2
2
1
2
0
cosθ
1
❑√3
2
❑√2
2
1
2
0
- 1
2
-
❑√2
2
-
❑√3
2
-1
tanθ
0
❑√3
3
1
❑√3
不存
在
- ❑√3
-1
-
❑√3
3
0
y
r
α
P( x，y)
x
O
3 题型一、定义法求三角函数的值
1．已知角α的终边经过点P(-1,2)，则tanα =（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【答案】B
【分析】由正切函数的定义计算即可.
【详解】由题意，得tanα = 2
-1 =-2.
故选：B.
2．若角α的终边和单位圆的交点坐标为(
1
2 ,-
❑√3
2 )
，则cosα =（ ）
A．- 1
2
B．-
❑√3
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】C
【分析】利用三角函数定义计算可得结果.
【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为(
1
2 ,-
❑√3
2 )
可得
cosα =
1
2
❑√( 1
2 )
2
+(-
❑√3
2 )
2 = 1
2
.
故选：C.
3．已知α 的终边经过点P(1, y)，且sin α =- 2❑√5
5 ，则tan α＝（ ）
A．-2
B．- 1
2
C．1
2
D．2
【答案】A
【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解．
【详解】因为α 的终边经过点P(1, y)，且sinα =- 2❑√5
5
=
y
❑√1
2+ y
2 <0，
所以y <0，再由4
5 =
y
2
1+ y
2
，解得y =-2，
由正切函数定义得：tanα =-2
1 =-2，
故选：A．
4．已知角α的终边经过点(7,7 ❑√3)，则角α的值可能为（ ）
A．π
3
B．π
6
C．2π
3
D．5π
6
【答案】A
【分析】求出tan α的值，即可得出角α的取值.
【详解】由题意得tanα = 7 ❑√3
7
= ❑√3，所以，α =π
3 +2k π(k ∈Z)，故角α的
值可能为π
3 ．
故选：A.
5．若角θ的终边经过点(-2,3)，则sinθ =（ ）
A．- 3
13
❑√13
B．- 2
13
❑√13
C．2
13
❑√13
D．
3
13
❑√13
【答案】D
【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果.
【详解】因为角θ的终边经过点(-2,3)，则sinθ =
3
❑√(-2)
2+3
3 = 3 ❑√13
13
.
故选：D
6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点
P(- 1
2 ,
❑√3
2 )
，则sin α =（ ）
A．- 1
2
B．
❑√3
2
C．-
❑√3
3
D．- ❑√3
【答案】B
【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果.
【详解】因为(- 1
2)
2
+(
❑√3
2 )
2
=1，由三角函数的定义可知，点P为角α的终边
与单位圆的交点，所以：sin α =
❑√3
2 .
故选：B.
7．若角α的终边经过点P(-3,4)，则sin α + tan α等于（ ）
A．- 8
15
B．8
15
C．- 29
15
D．- 11
15
【答案】A
【分析】根据三角函数定义可得.
【详解】因为角α的终边经过点P(-3,4)，则r =
❑√(-3)
2+ 4
2=5，
所以sin α = 4
5 ,tan α =- 4
3 ，
所以sin α + tan α = 4
5 - 4
3 =- 8
15.
故选：A
8．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点(
3
5 ,- 4
5)
，则sin α =（ ）
A．- 4
5
B．- 3
5
C．3
5
D．4
5
【答案】A
【分析】由任意角三角函数定义可得答案.
【详解】注意到(
3
5)
2
+(- 4
5)
2
=1，则(
3
5 ,- 4
5)
在单位圆上，则sin α =- 4
5
.
故选：A
9．已知角α的终边上有一点P的坐标是(3t ,4 t )，其中t ≠0，则（ ）
A．α =π
4
B．sinα = 4
5
C．cosα = 4
5
D．tanα = 4
3
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义求得tanα ,sinα ,cosα ,即可判断.
【详解】由题意得，OP =
❑√(3t )
2+(4 t )
2=5|t|
由三角函数的定义可得，tanα = 4t
3t = 4
3 .
若t >0，则OP =5t，sinα = 4
5 ，cosα = 3
5；
若t <0，则OP=-5t，sinα =- 4
5 ，cosα =- 3
5；
故选：D.
10．如图所示，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，且点
A的纵坐标为4
5 ，则cosα的值为（ ）
A．- 2
5
B．2
5
C．- 3
5
D．3
5
【答案】C
【分析】根据三角函数定义即可求解.
【详解】由题意及图示可知，A点的横坐标为- 3
5，
所以cosα =- 3
5.
故选：C.
4 题型二、判断三角函数的符号
1．已知cosα =- 5
13，且α为第二象限角，则sin α =（ ）
A．- 12
13
B．- 5
13
C．12
13
D．12
5
【答案】C
【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.
【详解】因为cosα =- 5
13,
所以sinα =±
❑√1-cos
2α =± 12
13，
因为α为第二象限角，
所以sinα = 12
13.
故选：C.
2．已知点P(tan α ,sin α )在第三象限，则角α在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数在各个象限中的符号即可求解.
【详解】∵点P(tan α ,sin α )在第三象限，∴¿，∴α在第四象限.
故选：D.
3．已知cosα =- 12
13，且α ∈(π,2π)，则tan α =（ ）
A．5
13
B．5
12
C．12
5
D．± 5
12
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得.
【详解】由cosα =- 12
13 <0，α ∈(π,2π)，得α ∈(π,3π
2 )，
则sin α =-
❑√1-cos
2α =-
❑√1-(- 12
13 )
2
=- 5
13
，
所以tan α = sin α
cosα = 5
12.
故选：B
4．已知角α终边上有一点P(2sin3,-2cos3)，则α为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】A
【分析】利用三角函数值的符号判断点P所在象限即可.
【详解】依题意，π
2
<3<π，则sin3>0,cos3<0，即2sin3>0,-2cos3>0，
所以点P在第一象限，即α为第一象限角.
故选：A
5．已知α为第四象限角，cosα = 3
5，则sinα =（ ）
A．4
5
B．- 4
5
C．3
4
D．- 3
4
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的平方式，根据象限角的性质，可得答案.
【详解】由题意可知sin α =-
❑√1-cos
2α =- ❑√1- 9
25 =- ❑√
16
25 =- 4
5 .
故选：B.
6．在△ABC中，A为钝角，则点P(cos A ,tan B)（ ）
A．在第一象限
B．在第二象限
C．在第三象限
D．在第四象限
【答案】B
【分析】根据角的范围确定三角函数的正负即可求解.
【详解】在△ABC中，A为钝角，则B为锐角，则cos A <0,tan B>0，
则点P(cos A ,tan B)在第二象限，
故选：B
7．若α ∈(- π
2 ,0)，则点(cosα ,tan α )在第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】D
【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置.
【详解】因为α ∈(- π
2 ,0)，所以cosα >0，tan α <0，
所以点(cosα ,tan α )在第四象限．
故选：D．
8．在△ABC中，B 为钝角，则点P(cos A ,tan B)（ ）
A．在第一象限
B．在第二象限
C．在第三象限
D．在第四象限
【答案】D
【分析】根据三角函数定义即可判断.
【详解】在△ABC中，因为B 为钝角，则A为锐角，
则cos A >0,tan B<0，则点P(cos A ,tan B)在第四象限.
故选：D.
9．已知点M (cosα ,tan α )在第二象限，则角α的终边在第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】C
【分析】由点M 所在的象限，确定α正切和余弦的符号，得角终边所在的
象限.
【详解】因为点M (cosα ，tan α )在第二象限，所以cosα <0，tan α >0，
所以α的终边在第三象限.
故选：C.
10．下列函数值其结果为负值的是（ ）
A．sin(-1000°)
B．cos(-2200°)
C．tan(-10)
D．sin 7π
10
【答案】C
【分析】判断选项所给的角是第几象限角，根据三角函数值在各个象限的
符合即可得结果.
【详解】-1000
∘=-360
∘×3+80
∘，所以-1000
∘为第一象限角，故
sin(-1000°)>0，故A不符合题意；
-2200
∘=-360
∘×6- 40
∘，所以-2200
∘为第四象限角，故cos(-2200°)>0，故
B不符合题意；
- 7π
2 <-10<-3π，所以-10为第二象限角，故tan(-10)<0，故C符合题意；
π
2 < 7π
10 <π，所以7π
10 为第二象限角，故sin 7π
10 >0，故D不符合题意；
故选：C.
11．下列三角函数值的符号为负的是（ ）
A．sin150°
B．sin(- 3π
2 )
C．cos(-200°)
D．tan 7π
3
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和诱导公式的应用以及三角函
数在各象限的符号求出结果.
【详解】因为150°角是第二象限角，所以sin150°>0，A 错误；
因为- 3 π
2
角的终边，在y轴正半轴上，所以sin(- 3 π
2 )=1>0，B 错误；
因为-200°角是第二象限角，所以cos(-200°)<0，C 正确；
因为7 π
3 =2π + π
3 ，所以7 π
3 角的终边在第一象限，所以tan 7 π
3 >0，D 错误．
故选：C.
