文档文本内容
4.4 解三角形
目录
01 课标要求.....................................................................3
02 落实主干知识.................................................................4
一、正弦定理、余弦定理..........................................................4
二、三角形的面积公式............................................................4
三、实际应用问题................................................................4
常用二级结论....................................................................5
03 探究核心题型.................................................................7
题型一：利用公式解三角形........................................................7
题型二：判断三角形解的个数......................................................9
题型三：三角形的形状判断.......................................................12
题型四：三角形的面积...........................................................14
题型五：与平面几何有关的问题...................................................17
题型六：与三角函数性质的结合应用...............................................22
题型七：实际应用问题...........................................................27
题型八：周长问题...............................................................31
题型九：倍角问题...............................................................34
04 好题赏析（一题多解）........................................................37
05 数学思想方法................................................................42
①数形结合.....................................................................42
②转化与化归...................................................................44
③分类讨论.....................................................................46
06 课时精练（真题、模拟题）....................................................49
基础过关篇.....................................................................49
能力拓展篇.....................................................................60
1、掌握正弦定理、余弦定理及其变形.
2、理解三角形的面积公式并能应用.
3、能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
一、正弦定理、余弦定理
1、正弦定理和余弦定理：a，b，c指△ABC 的内角A，B，C 的对边，R 指△ABC 的外接圆半径
定理
正弦定理
余弦定理
基本
公式
；
；
．
常见
推论
（1）
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）a
b
c
：
：
=sin A ：sinB ：sinC；
（4）
．
；
；
．
二、三角形的面积公式
（1）
S=1
2 ab sinC=1
2 bc sin A=1
2 ac sin B
；
（2）
S=1
2 (a+b+c)r(r 为三角形内切圆半径)
；
（3）
S=√p( p−a)( p−b)( p−c)( p=a+b+c
2
)
；
（4）
S=2R2sin Asin BsinC=abc
4 R (R为三角形外接圆半径)
；
三、实际应用问题
（1）距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离
余弦定理
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
（2）高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，
AB＝a·tan C.
底部不可达
点
B
与
C，D 共线
测得CD＝a 及C 与∠ADB 的
度数.
先由正弦定理求出AC 或
AD，再解三角形得AB 的值.
点
B
与
C，D 不共
线
测得CD ＝a 及∠BCD ，
∠BDC，∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得
BC，再解三角形得AB 的值.
常用二级结论
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个
数
一解
两解
一解
一解
无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
3、三角形中的射影定理
在
中，
；
；
．
题型一：利用公式解三角形
【典例1-1】（2025·高三·四川·学业考试）已知
的内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】由余弦定理
可得
，
解得
.
故选：A
【典例1-2】（2025·陕西西安·模拟预测）
中内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
则
，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
由同角三角函数的基本关系得
，解得
，
由正弦定理得
，故A 正确.
故选：A.
【解题总结】
（1）涉及三角形两边以及对角的问题优先考虑正弦定理，其中包含①已知两边＋其中一边的对角类
型；②已知两角+其中一角的对边类型．
（2）涉及三角形三边加一个内角的问题选择余弦定理，其中包含①已知三边求一内角的类型；②已
知两边和一内角，求另一边的类型（若该内角为两边的夹角，直接使用公式求解；若内角不为夹角，则用
公式建立方程求解．）
【变式1-1】（2025·四川巴中·模拟预测）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可得
，
又
，所以
，
因为
，所以
，故
，
即
，即
因为
，所以
，所以
，即
.
故选：B
【变式1-2】（2025·广东梅州·模拟预测）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
中，
，由余弦定理得：
，所以
.
故选：C.
【变式1-3】（2025·高三·江苏常州·开学考试）在
中，已知
，则边
的长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由正弦定理，
，而
，
则得
，化简得
①，
又由余弦定理，
②，
将①与②联立消去
，即可解得
.
故选：D
【变式1-4】（2025·高三·河北衡水·开学考试）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，由正弦定理得
，
又
，由余弦定理得
，
.
故选：A.
题型二：判断三角形解的个数
【典例2-1】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在
中，内角
所对边分别为
，已知
，且三角形有两解，则角A 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得
,
,可得
,
由△ABC 有两解知，
有两个解，
故
，即
，
或
，
又
， ∴ A 为锐角，所以
，
故选:
.
【典例2-2】（2025·江西·二模）在
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【解析】A：
，
，
，
为钝角且
，有一解，故A 错误；
B：
，
，
，
为锐角，
，则无解，故B 错误；
C：
，
，
，
为钝角且
，则无解，故C 错误；
D：
，
，
，
为锐角，
，因
，故有两解，故D 正确.
故选：D
【解题总结】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的
对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【变式2-1】符合下列条件的三角形有2 个解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】C
【解析】对于A：因为
，不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A 错误；
对于B：因为
，所以
，所以无解，故B 错误；
对于C：由余弦定理得
，所以
，解得
或
，
即有2 个解，故C 正确；
对于D：因为
，所以
,故
，三角形只有一解，故D 不正确.
故选：C.
【变式2-2】在△ABC 中，内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，由
，
，可得
，所以三角形只有一解；
对于B，由
，可得
，所以
，此时三角形有唯一的解；
对于C，由正弦定理
，可得
，可得B 有两解，所以三角形有
两解；
对于D，由余弦定理得
，可得c 有唯一的解，所以三角形只有一
解．
故选：C．
【变式2-3】张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在
中，
，
，分别是
角
，
，
的对边，已知
，
，求边，显然缺少条件，若他打算补充
的大小，并使得
只有一解，
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知三角形只有一个解，
由上图可知：
若只有一解，可知以
为圆心，
为半径的圆弧与
有一个交点，
则
或
，即
或
，
所以
的取值不可能为
，
故选：B
【变式2-4】由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A．
，
，
，有两解
B．
，
，
，有两解
C．
，
，
，有两解
D．
，
，
，无解
【答案】B
【解析】对于A，因为
，可得
，
，
，
则
，故
只能有一个值，所以三角形有一解，故A 错误；
对于B，由于
，即
，所以三角形有两解，故B 正确；
对于C，由于
，故三角形为直角三角形，有一解，故C 错误；
对于D，因为
，
，
，有余弦定理
，可求得
唯一，所以三角形有
一解，故D 错误.
故选：B.
题型三：三角形的形状判断
【典例3-1】在
中，角A，B，C 所对的边分别为
，且
成等比数列，设
的面积为，
若
，则
的形状为（ ）．
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由
，可得
，解得
，
因为
，所以
，
又因为
成等比数列，可得
．
由余弦定理得
，所以
，
因为
，所以
，解得
，则
，可得
，
所以
，所以
为等边三角形．
故选：C.
【典例3-2】已知
的内角
所对的边分别为
，
，则
的形状为
（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】根据正弦定理可得：
.
因为
，所以
.
所以
或者
.
即
或者
.
所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
【解题总结】
(1)判断三角形形状的两种思路
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.
【变式3-1】已知
三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若
，则
的形状
是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因为
，故
，
整理得
，
即
，故
，
故
或
，故三角形为等腰或直角三角形，
故选：D.
【变式3-2】在
中， 若
， 则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理和
可得
，
故
,
由于
，故
,结合
为三角形的内角，故
，
故三角形为直角三角形，
故选：A
【变式3-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定的
【答案】A
【解析】由余弦定理可得
，
则
.
因为
，所以
，所以
是等腰三角形.
故选：A
【变式3-4】在
中，
，则“
”是“
是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
，
，即
，
所以
是钝角三角形，
当
是钝角三角形，且
时，
当
为钝角时，
，此时
.
所以“
”是“
是钝角三角形”的充分不必要条件.
故选：
.
题型四：三角形的面积
【典例4-1】在
中，
.
(1)求
；
(2)求c 以及
的值.
【解析】（1）由
，根据正弦定理得，
，
因为
，所以
，
由
，则
，解得
.
（2）由余弦定理得，
，
则
，解得
（负值舍去），
所以
.
【典例4-2】
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
．
(1)求角C 的值；
(2)求
的最大值；
(3)若AB 边上的中线CD 长为
，求
的面积．
【解析】（1）因为
，由正弦定理
,可得
，
整理可得
，由余弦定理得
，所以
,所以
.
因为在
中，
，所以
.
（2）因为
，由正弦定理可得
，可得
，
.
因为
,所以
.
,
所以
，其中
.
所以，当
时，
取得最大值，最大值为
.
（3）由题可知，
，
由(1)知
，即
，①
因为
为
边上的中线，所以
，
两边平方得：
，
所以
，②
②
①可得
，可得
，
所以
的面积
．
【解题总结】
与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【变式4-1】（2025·湖南永州·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求
；
(2)若
，
面积为
，求c.
【解析】（1）
，
，
，又
，
，即
，解得
或
，
，
，
；
（2）由（1）知
，且
，
，
，
面积为
，
，
，
由余弦定理得，
，
，
.
【变式4-2】（2025·四川巴中·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，
，求
的面积.
【解析】（1）由正弦定理得，
，
因为
，所以
，即
，
又因为
，所以
，故
；
（2）由
知，
，
则有
，
即
，化简得
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
由
，则
，
则
，化简得
，
则
，即
，则
（负值舍去），
所以
.
【变式4-3】（2025·高三·河南商丘·开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
的外接圆半径
，求
的面积．
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，所以
．
（2）由正弦定理，得
，又
，所以
．
因为
，所以
，
由
，得
，所以
，
，又
，所以
．
所以
的面积为
．
【变式4-4】（2025·高三·广西桂林·开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积.
【解析】（1）在
中，由
及余弦定理得
，而
，
所以
.
（2）由
，得
，而
，且
，
则
，解得
，
所以
的面积
.
题型五：与平面几何有关的问题
【典例5-1】（2025·高三·山东·开学考试）如图， 在△ABC 中，
．取BC 边中点D，
连接AD，设E 为AD 中点，连接BE 并延长与△ABC 交于点F，则EF 的长为 ．
【答案】
/
【解析】作
交
于点
，
因为点
为
中点，所以点
为
中点，即
，
又因为
为
中点，即
，
又因为
，所以
，即
，
在
，由余弦定理可得
，
在
中，
，
则
，
所以
，则
.
故答案为：
.
【典例5-2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指
出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形
的四个顶点在
同一个圆的圆周上，
，
是两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为
．
【答案】
【解析】设
的边长为
，因为
为正三角形，所以
.
因为
，所以由托勒密定理，得
，即
，即
．
因为四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以
，又因为
，所
以
.
在
中，由余弦定理可得
，又
，
，则
，即
，又
，所以
.
因此
．
故答案为：
.
【变式5-1】（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形
与一个直角三角形
拼接成一
个平面四边形
，且
，
，
，则当
的长最大时，
的值为
.
【答案】
【解析】设
，
在
中，由余弦定理，得
.
因为
，所以
.
由正弦定理，得
，所以
.
因为
，所以
.
在
中，由余弦定理，得
，
其中
，
，所以当
时，
，
所以
.
综上，当
的长最大时，
的值为
.
故答案为：
.
【变式5-2】如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
【答案】
/
【解析】设
，在
中，由正弦定理可得
①，
由
可得
，则
，
，
在
中，由正弦定理可得
②，
①②两式相除，得
，即
，
整理得
，故
.
故答案为：
【变式5-3】如图，在
中，
，
，
、
是边
上的两点，且
，则
．
【答案】
/
【解析】因为
，
，则
，
不妨设
，则
，
因为
，则
，
所以，
，同理可得
，
因为
，则
，
故
，
由二倍角的余弦公式可得
，可得
，
所以，
.
故答案为：
.
【变式5-4】如图，在直角
中，
，
为
上的点，
为
上的点，若
，
，
，
，则
．
【答案】
/
【解析】由题意
，
，
所以有
，
一方面在
中运用正弦定理得
，即
，
另一方面由
以及
，
得
，又
，
所以
;
又在
中运用正弦定理得
，
即
，所以
；
注意到
，
所以有
.
故答案为：
题型六：与三角函数性质的结合应用
【典例6-1】（2025·高三·上海·期中）已知函数
．
(1)若
是三角形中一内角，且
，求
的值；
(2)若
，且
，求
的值．
【解析】（1）依题意，
，由
，
得
，而
为三角形内角，即
，则
，
因此
或
，所以
或
.
（2）由
，且
，得
，即
，
又
，则
，
所以
.
【典例6-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知
的内角A，
，
所对的边分别为
，
，，
的最大值为
.
(1)求角
；
(2)若点
在
上，满足
，且
，
，解这个三角形.
【解析】（1）由
由题意及三角函数的性质可知：
，即
，
又
，∴
；
（2）
如图所示，易得
，
∴
(负值舍去)，
由余弦定理可得：
，
，
显然：
，由勾股定理逆定理可得
.
综上
.
【解题总结】
正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定
理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以
进一步简化计算过程，提高解题效率。
【变式6-1】（2025·高三·上海虹口·期中）已知向量
.设
.
(1)求函数
的单调增区间；
(2)在
中，角
所对的边分别为
.若
，三角形
的面积为
，求边
的
长.
【解析】（1）因为
，
则
,
令
得
,
故函数
的单调增区间为
.
（2）因为
，
所以
，
又
,则
所以
，则
，又
，
，
所以
，
由余弦定理可得：
，
故
【变式6-2】已知函数
(1)当
时, 求函数
的值域;
(2)已知
的内角
满足
，点
是边
的中点，
，
，求三角形
的面积.
【解析】（1）
；
当
时，
，
，
，即
的值域为
.
（2）
，
，
，
，
，即
，
延长
到点
，使得
，连接
，
为
中点，
四边形
为平行四边形，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得：
，
解得：
，
.
【变式6-3】已知向量
，
，设函数
.
(1)求函数
的单调递增区间及其图象的对称轴方程；
(2)已知
分别为三角形
的内角
对应的三边长，
为锐角，
，且
恰是函数
在
上的最大值，求三角形
的面积.
【解析】（1）
，
由
，
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
，
，
令
，
，解得
，
所以曲线
的对称轴方程为
，
.
（2）由（1）知
，
当
时
，则当
即
时函数
取得最大值，
又
恰是函数
在
上的最大值，且
为锐角，可得
，
由余弦定理可得
，解得
或
，
当
时，三角形
的面积
，
当
时，三角形
的面积
.
所以三角形
的面积为
或
.
【变式6-4】（2025·上海宝山·一模）已知函数
，
.
(1)求函数
的单调增区间；
(2)在锐角
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，当
，
，且三角形ABC 的面积为
时，求a.
【解析】（1）由题意可得，
.
由
，
可得，
，
.
所以，函数
的单调增区间为
.
（2）由（1）知，
.
因为
，所以
，
，则
，
，
又
是锐角，所以
，
，解得
，则
.
又
，
，则
，所以，
.
根据余弦定理可得，
，所以
.
题型七：实际应用问题
【典例7-1】（2025·高三·福建·开学考试）崇妙保圣坚牢塔，位于福建省福州市鼓楼区乌石山东麓，塔用
花岗石砌建，风化后呈黑色，故俗称“乌塔”.崇妙保圣坚牢塔呈八角形，七层檐，塔心有曲尺形通道供登
攀，塔上浮雕佛像及碑刻，是研究五代闽国历史与艺术的珍贵资料.如图，某测绘小组为了测量崇妙保圣坚
牢塔的实际高度
，选取了与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
，现测得
m，在点
测得塔顶
的仰角为
.取
，
则塔高
约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，由正弦定理得
，
则
.
因为在点
测得塔顶
的仰角为
，所以
，
所以
，故塔高
约为
.
故选：B
【典例7-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）如图，两座山峰的高分别为
，
，为
测量峰顶M 和峰顶N 之间的距离，测量队在B 点（A，B，C 在同一水平面上）测得M 点的仰角为30°，N
点的仰角为60°，且
，则两座山峰峰顶之间的距离
（ ）
A．200m
B．
C．400m
D．600m
【答案】A
【解析】在
中，
，.
在
中，
.
在
中，
.
故选：A
【解题总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．
【变式7-1】镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A 级旅游
景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度
，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m 的建筑物
，在地面
上点C 处（B，C，N 在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M 的仰角分别为15°
和60°，在A 处测得镇国寺塔顶部M 的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（
）
A．37.52m
B．35.48m
C．33.26m
D．31.52m
【答案】B
【解析】因为
，
在
中，
，
在
中，
，
，
则
，
由正弦定理得
，则
，
所以
，
即镇国寺塔的高度约为35.48m．
故选：B.
【变式7-2】（2025·全国·模拟预测）某人在
点观察河对岸的建筑物
（
在同一水平面上，
在同一铅垂线上），已知在
点观察建筑物上的
点和
点的仰角分别为
和
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
如图所示，在
中，
，
,
由正弦定理可得
，
则
，
在
中，
.
故选：D．
【变式7-3】圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直
立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳
照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天
定为夏至.图2 是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即
）为
，夏至正午太阳高度角（即
）为
，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即
的长）为
a，则表高（即
的长）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知
，
在△BAD 中由正弦定理得：
，
即
，
又因为在
中，
，
所以
.
故选：D
【变式7-4】如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两点进行测量，
在
同一个铅垂平面内，在A 点测得
在A 的南偏东
的方向上，
在A 的南偏东
的方向上，在
点测
得
在
的南偏西
的方向上，
在
的南偏东
的方向上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可知：
，
所以
，
所以在
中，
,
在
中，
在
中，
.
故选：C
题型八：周长问题
【典例8-1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在
中，
分别为角
的对边.已知
是一个面
积为
的锐角三角形，且
，则
的周长为 .
【答案】
/
【解析】由于三角形的面积为
，所以
,
因为
，故
（锐角三角形），
当
时：
，
则
的周长为
.
故答案为：
.
【典例8-2】（2025·高三·江苏扬州·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
且
，则
的周长为 .
【答案】
【解析】由
得
，
即
，
即
，
由
以及诱导公式得
，
又
，
得
，
又
，由同角三角函数的基本关系得
，
因为
，根据正弦定理：
，
所以
，
，
由余弦定理得
，
将
代入上式得
，
解得
，所以
的周长为
故答案为:
【解题总结】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正
弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【变式8-1】
中，角
、
、
的对边分别为a、b、c，若
，则
的周长为 ．
【答案】11
【解析】
，即
，
由积化和差公式可得：
，
，
故
，也即
，
，则
，也即
，
又因为
，故可得
；
又
，则
，即
，则
；
故
，解得
；
故
的周长为
.
故答案为：
.
【变式8-2】（2025·河南·模拟预测）在
中，
的面积为
，则
的周长
为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
.
由余弦定理可得
.
则
，所以
的周长为
.
故答案为：
.
【变式8-3】在
中，若
，且
，则
的周长为 ．
【答案】
【解析】由
中，
，且
，
可得
，解得
，
又由余弦定理得
，即
，
可得
，则
，所以
，
所以
的周长为
．
故答案为：
．
【变式8-4】
中，
、
、
的对边分别为
、
、，且
，
，
则
的周长为
【答案】
【解析】由题意知，
，
由正弦定理，得
，
，
即
，又
，
所以
，得
，又
，
所以
；
由余弦定理，得
，即
，
由
，解得
，
所以
的周长为
.
故答案为：
题型九：倍角问题
【典例9-1】在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，由正弦定理得
，
则
，
而
，因此
，
所以
.
故选：B
【典例9-2】在锐角
中，
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在锐角
中，
，因为
，
，
，
所以
，
，解得
，
所以
，
，
而
，
所以
可得
，
所以由正弦定理可知：
，
因为
，所以
，
所以
，即
.
故选：A.
【解题总结】
解三角形中的倍角关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。这些公式允许我们通过已
知的一个角的大小，来求解其两倍角的大小所对应的三角函数值，从而在解三角形问题时提供更多的信息
和灵活性。
【变式9-1】已知
的三个角
的对边分别是
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又
，得
，
所以
.
故选：D.
【变式9-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知
的三个角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
.
故选：D．
【变式9-3】（2025·吉林长春·模拟预测）
的内角
所对的边分别为
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，故
，
由正弦定理可得
，
所以
，又
，
所以
，又
，
所以
，
，
故
由勾股定理可得
，
所以
，
故选：A.
【变式9-4】（2025·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】在
中，由正弦定理得
，
得
.
由余弦定理得
，
化简整理得
，得
.
故选：C
1．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，
故
，则
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
法二：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，故
，
所以
，则
，
不妨记
，
因为
，所以
，
即
，
则
，整理得
①，
又在
中，
，即
，则
②，
两式相加得
，故
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
故选：C.
2．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）在
中，
，
的角平
分线交BC 于D，则
．
【答案】
【解析】
如图所示：记
，
方法一：由余弦定理可得，
，
因为
，解得：
，
由
可得，
，
解得：
．
故答案为：
．
方法二：由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
由正弦定理可得，
，解得：
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
，即
．
故答案为：
．
3．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
①数形结合
1．在
中，
，
的角平分线AD 交BC 于点D，若
，则
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】解：如图：
在
中，设
、
、
因为
的角平分线AD 交BC 于点D，所以
，即
因为
，所以
、
，
因此
，即
，
所以由正弦定理得：
因为
，所以
，
因此
，
即
，
所以
，
即
，解得
或
在
中，因为
，所以
，因此
，即
，
所以
故选：
2．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅
存三级，它的底座是近似圆形的，如图
我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就
可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10 块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体
砖块底面较长的边长为1 个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为
，如图2，则此近似圆形墙面内部所能
容纳最大圆的半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题意分析可知当圆与长方形砖块较长的边相切时，且切点为中点时，圆的半径最大，
如图，设O 为内切圆的圆心，r 为内切圆的半径．
由
，
，
，
得
，解得
故选：
3．在平面凸四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题设，得如下示意图，
易知：
为等边三角形且
，
，
所以，由正弦定理，
在
中，
得
，
在
中，
，
而
，
所以
，
，
则
，
在
中，
所以
，
故选：
②转化与化归
4．在
中，角
所对的边分别为
，已知
，则下列结论一定正确的
是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由正弦定理可得
，
由于
，故
或
，故A、B 错误；
若
时，则
，
此时
，
若
时，则
，此时C 为三角形中最小的内角，故
，
故C 错误，D 正确．
故选：
5．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，
若
，D 为BC 边上的点，且
，
，
，则
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：因为
，
，所以
，
由题意知
，
即
，
解得
故选：
6．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
的最小值
是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：因为
，由正弦定理得
，
所以
，又因为
，
所以
，
所以
，即
，所以
，
，
显然
必为正，否则
和
都为负，就两个钝角，
所以
当且仅当
，即
，
取等号，
所以
的最小值是
，
故选：
③分类讨论
7．在
中，“
”是“C 为直角”的（ ）
A．充分但非必要条件
B．必要但非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
【答案】B
【解析】解：由正弦定理得，
，
由余弦定理得
，
则
，
①当
时，式子显然成立，必要性成立；
②当
时，
原式
，
则A 为钝角，B 为较小的锐角或反之，
，
当
时，
，则
或
，
，
，
，
则
一定有解，
此时C 不是直角，充分性不成立．
故选：
8．在
中，
，
，
，则角A 的大小为
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【解析】解：由正弦定理可得
，
，
，
故
或
，
则
或
故选
9．钝角
的内角A，B，C 的对边分别是
，若
，则
的面积为
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】解：由
及余弦定理可得，
，整理得
，
解得
或
又
是钝角三角形，比较三边
的大小可知，c 为最大边，
角C 为最大角，即C 为钝角．
①当
时，
，符合题意，
此时
的面积为
；
②当
时，
，不符合题意．
综上可知，
的面积为
故选
基础过关篇
1．（2025 年高考全国二卷数学真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）记
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则由正弦定理得
.
由余弦定理可得:
，
即:
，根据正弦定理得
，
所以
，
因为
为三角形内角，则
，则
.
故选：C.
3．（2023 年北京高考数学真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以由正弦定理得
，即
，
则
，故
，
又
，所以
.
故选：B.
4．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，由于
，故
，
据此可得
，
则
.
故选：C.
5．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三
角形，若二面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中点
，连接
，因为
是等腰直角三角形，且
为斜边，则有
，
又
是等边三角形，则
，从而
为二面角
的平面角，即
，
显然
平面
，于是
平面
，又
平面
，
因此平面
平面
，显然平面
平面
，
直线
平面
，则直线
在平面
内的射影为直线
，
从而
为直线
与平面
所成的角，令
，则
，在
中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得
，即
，
显然
是锐角，
，
所以直线
与平面
所成的角的正切为
.
故选：C
6．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，
,存在点A 满足
，则
(精确到0.1 度)
【答案】
【解析】设
，
在
中，由正弦定理得
，
即
’
即
①
在
中，由正弦定理得
，
即
，即
，②
因为
，
得
，
利用计算器即可得
，
故答案为：
.
7．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））在
中，已知
，
，
，则
．
【答案】
【解析】
，
A 为
的内角，
.
故答案为:
.
8．（2025 年高考北京卷数学真题）在
中，
．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
【解析】（1）因为
，所以
，
由正弦定理有
，解得
；
（2）如图所示，若
存在，则设其
边上的高为
，
若选①，
，因为
，所以
，因为
，这表明此时三角形
有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形
不存在，故
边上的高也不存在；
若选②，
，由
有
，由正弦定理得
,所以
，
所以由余弦定理得
,
此时三角形
是存在的，且唯一确定，
所以
,即
，
所以
边上的高
；
若选③，
的面积是
，则
，
解得
，由余弦定理可得
可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得
也可以唯一确定，即
可以唯一确定，
这表明此时三角形
是存在的，且
边上的高满足：
，即
.
9．（2025 年高考天津卷数学真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
【解析】（1）已知
，由正弦定理
，
得
，显然
，
得
，由
，
故
；
（2）由（1）知
，且
，
，
由余弦定理
，
则
，
解得
（
舍去），
故
；
（3）由正弦定理
，且
，
得
，且
，则
为锐角，
故
，故
，
且
；
故
.
10．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【解析】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
11．（2024 年北京高考数学真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）由题意得
，因为
为钝角，
则
，则
，则
，解得
，
因为
为钝角，则
.
（2）选择①
，则
，因为
，则
为锐角，则
，
此时
，不合题意，舍弃；
选择②
，因为
为三角形内角，则
，
则代入
得
，解得
，
,
则
.
选择③
，则有
，解得
，
则由正弦定理得
，即
，解得
，
因为
为三角形内角，则
，
则
，
则
12．（2024 年天津高考数学真题）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
【解析】（1）设
，
，则根据余弦定理得
，
即
，解得
（负舍）；
则
.
（2）法一：因为
为三角形内角，所以
，
再根据正弦定理得
，即
，解得
，
法二：由余弦定理得
，
因为
，则
（3）法一：因为
，且
，所以
，
由（2）法一知
，
因为
，则
，所以
，
则
，
.
法二：
，
则
，
因为
为三角形内角，所以
，
所以
13．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
【解析】（1）因为
，所以
，解得：
．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：
，即
，
而
，所以
，又
，所以
，
故
的面积为
．
14．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
【解析】（1）由余弦定理可得：
，
则
，
，
.
（2）由三角形面积公式可得
，
则
.
15．（2023 年天津高考数学真题）在
中，角
所对的边分别是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
的值．
【解析】（1）由正弦定理可得，
，即
，解得：
；
（2）由余弦定理可得，
，即
，
解得：
或
（舍去）．
（3）由正弦定理可得，
，即
，解得：
，而
，
所以
都为锐角，因此
，
，
．
16．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
【解析】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
17．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积
为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【解析】（1）方法1：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，解得
，则
，
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，
，
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，有
，则
，
，过
作
于
，于是
，
，
所以
.
（2）方法1：在
与
中，由余弦定理得
，
整理得
，而
，则
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
方法2：在
中，因为
为
中点，则
，又
，
于是
，即
，解得
，
又
，解得
，而
，于是
，
所以
.
能力拓展篇
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别是
，若
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由正弦定理，
，
则
，
则
，
当且仅当
取等号，
又由于
，
，
所以
,
，
.
故选：B.
2．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，由
及正弦定理，
得
，
则
，
而
，
，则
，所以
.
故选：B
3．（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，设
为抛物线
的焦点，
是
上一点，点
，若
的延长线与
交于点
．记
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】依题意可得抛物线
的准线为
，
对于选项A，B，过点
作
垂直准线于
，则
，如图，
在
中，由正弦定理有
，得
，
在
中，
，且
，
则
，所以
，故选项A 正确；
所以当
时，
，即当
时，
，故选项B 错误；
对于选项C，D，过点
作
垂直准线于
，则
，如图，
在
中，由正弦定理有
，得
，
在
中，
，且
，
则
，所以
，故选项C 正确；
所以当
时，
，即当
时，
，故选项D 错误；
故选：AC．
4．（多选题）已知锐角三角形
中，角
的对边分别为
，有
，则
的取
值不可能是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由
，则
，
则
，
根据正弦定理得，
，
则
，所以
或
.
当
时，
，
因为
为锐角三角形，
则
，解得
，
则
；
当
时，由
，则
，即
，此时条件中
的分母为0，表达式
无意义，故舍去.
综上所述，
的取值范围为
.
故选：ABD
5．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔
的正西方向且相距50 海里的
处有一艘甲船，需要海上加油，
位于灯塔
的东北方向的
处有一艘乙船在甲船的北偏东
方向上，则乙船前往支援
处的甲船需要航
行的最短距离是 海里.
【答案】
【解析】依题意，画出示意图如下，
，
，
在
中，
，由正弦定理得
，
因此
（海里），
故答案为：
.
6．（2025·江苏宿迁·三模）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，
为
边上一点，满足
，
①求
的周长；
②求
的长.
【解析】（1）由
，
可得，
，即
，
即
，又
，
则
，即
.
（2）①因为
，所以
.
由余弦定理：
，
则
，即
，则
，
所以
，即
为等边三角形，
则
的周长为
.
②由
，所以
，
在
中，由余弦定理得，
，
所以
.
7．（2025·河北邯郸·一模）在锐角
中，内角
满足
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围；
(3)证明：
.
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，
即
，所以
，
因为
，所以
，即
.
（2）由正弦定理
，
所以
，
因为
，则
，
又
为锐角三角形，则
，即
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
面积的取值范围是
.
（3）证明：由（1）可知，
，
要证
，
即证
，
而
，
即证
，
即证
，
即证
，
而
，显然满足上式，原式得证.
8．（2025·湖北武汉·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
【解析】（1）由已知得
，
所以
，
又
，
或
，
因
由
可得
，则得
，不合题意，
故得
；
（2）由正弦定理，
，即
，
则
，化简得
，
由余弦定理，
，
故得
，即
，
因
，故
，解得
，或
（舍去），
故
.
9．（2025·河北唐山·模拟预测）在
中，角
所对的边分别是
．已知
，
的面积为
．
(1)求
；
(2)
为边
上一点，
①若
是
的平分线，求线段
的长；
②若
，求
．
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，则
，故由
，可得
.
因为
，
，解得
，
由余弦定理得
，解得
.
（2）
①因
，
依题意有
，解得
.
②设
，所以
．
在
中，由正弦定理得，
，即
，
在
中，由正弦定理得，
，即
，
因
，代入化简得
，
即
，解得
，即
.
10．（2025·黑龙江大庆·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求
的周长.
【解析】（1）
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，则
，即
，
因为
，所以
.
（2）因为
，所以
，所以
.
由余弦定理可得
，
即
，所以
.
所以
.
则
的周长为
.
11．（2025·福建三明·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边是
，
，，已知
，
外接圆面积为
．
(1)求
的长；
(2)若
，求
的周长．
【解析】（1）由
可得
，即得
，
设
外接圆半径为
，依题意
，即
，
由正弦定理，
，则得
，解得
.
（2）由
（*），可知角
为钝角，
又由余弦定理，
，可得
.
由正弦定理，
，可得
，因角
为钝角，故
，
代入（*），可得
，故
，则
，
故
的周长为
.
12．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
平分
，点
在线段
上，且
，求
的长．
【解析】（1）由正弦定理得
，
又
，故
，
即
，
所以
，即
，
．
又
，故
，所以
，由正弦定理可得
．
（2）因为
，由（1）得
．由
平分
，得
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
，故
，
两式相除得
．
设
，由余弦定理，
在
中
，
所以
①．
在
中，
，
所以
②．
又
，②
①得
，则
，
所以
．
13．（2025·福建福州·一模）在
中，
，
为
的中点，
.
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的长.
【解析】（1）如图，在
中，
，
，
，
根据余弦定理，得
，
又在
中，
，
，
，
根据余弦定理，得
，
解得
；
（2）如图，延长
，使
，则
为等腰三角形，
，
，
又
，所以
，所以
，
所以
，则
，即
，
所以
，则
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，即
，解得
或
（舍）.
14．（2025·江苏连云港·模拟预测）在
中，点
在边
上，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【解析】（1）在
中，
，
由余弦定理，
，
得
，
所以
．
所以在
中，
．
（2）设
，
，（
），在
中，
由正弦定理得
，又因为
，
代入上式有：
，得
．
由余弦定理得
，
综上，
．
