4.7 正弦函数的图像与性质（讲义）
目录
1
知识点01 正弦函数的图像和性质.......................................................................2
2
知识点02 正弦型函数的性质...............................................................................2
3
题型一、正弦函数的周期性................................................................................3
4
题型二、正弦函数的奇偶性................................................................................6
5
题型三、正弦函数的对称性..............................................................................10
6
题型四、正弦函数的单调性..............................................................................14
1
知识点01 正弦函数的图像和性质
2
知识点02 正弦型函数的性质
函数
y =sin x
图象
定义域
R
值域
[-1，1]
周期性
2π
奇偶性
奇函数
递增区间
[2kπ - π
2 ，2kπ + π
2 ]
递减区间
[2kπ + π
2 ，2kπ + 3 π
2 ]
对称中心
(kπ ，0)
对称轴方程
x =kπ + π
2
注意：对于f (x)=asin ωx +bcosωx ，周期T = 2π
|ω|
3
题型一、正弦函数的周期性
1．函数f (x)=sin(π x - 2π
3 )
，x∈R的最小正周期是（ ）
A．1
B．2
C．π
D．2π
2．若a>0,b>0，则函数f (x)=asin bx的最小正周期为（ ）
A．2π
B．2abπ
C．2π
b
D．2π
a
3．函数f (x)=sin(- x
3)+cos(- x
3)
的最小正周期是（ ）.
A．6 π
B．-6 π
C．- 3 π
2
D．3 π
2
4．函数f ( x)=3sin(2 x -π
3 )的最小正周期为（ ）
函数
f (x)= A sin (ωx +φ)+b
定义域
R
值域
[-|A|+b，|A|+b]
周期性
T = 2π
|ω|
奇偶性
φ =0时，为奇函数； φ≠0时，利用定义判断
递增区间
[ 4 k π - π -2φ
2ω
，4 k π + π -2φ
2ω
]
递减区间
[ 4 k π + π -2φ
2ω
，4 k π +3 π -2φ
2ω
]
对称中心
(
-φ+kπ
ω
,0)
对称轴方程
x =
-φ+ π
2 +kπ
ω
A．3π
B．2π
C．π
D．π
2
5．函数f (x)=-3sin(
π
3 -π
2 x)的最小正周期是（ ）
A．4π
B．6π
C．4
D．6
6．已知函数f (x)=sin(2ωx -π
6 )的最小正周期为π
5 ，其中ω>0，则ω=（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
7．y =2sin(
1
2 x +π
3 )
的最小正周期为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
8．函数f (x)=sin 2 x
3 的最小正周期为（ ）
A．3π
B．2π
C．3π
2
D．π
9．函数y =2sin3 x cos3 x的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．2，π
3
B．1，2π
3
C．1，π
3
D．2，2π
3
10．设k为正数，若函数f (x)=sin(kx -π
6 )的最小正周期为2π
3 ，则k =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．函数f ( x)=sin(2 x -π
3 )的最小正周期是（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
4
题型二、正弦函数的奇偶性
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．y =sin3 x
B．y =-sin5 x
C．y =|sin x|
D．y =sin x -3
2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y =sin x
B．y =sin2 x
C．y =cos x
D．y =cos2 x
3．函数f (x)=2cos(2 x +π
2 )是（ ）.
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
4．下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（ ）
A．y =sin x
B．y =cos2 x
C．y=sin2(x +π
4 )
D．y =tan x
5．函数y =cos
2( x -π
4 )-sin
2( x -π
4 )是（ ）
A．最小正周期为π
2 的偶函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π
2 的奇函数
D．最小正周期为π的奇函数
6．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．f (x)=sin x
B．f (x)=cos x
C．f (x)= tan x
D．f (x)=2
x
7．函数f ( x)=
❑√2
2 sin 4 x是（ ）
A．周期为π
2 的奇函数
B．周期为π
2 的偶函数
C．周期为π
4 的奇函数
D．周期为π
4 的偶函数
8．已知f ( x)=sin
2( x +π
4 )- 1
2，则f ( x)是（ ）
A．奇函数且最小正周期为π
B．偶函数且最小正周期为π
C．奇
函数且最小正周期为2π
D．偶函数且最小正周期为2π
9．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ）
A．y = tan2 x
B．y = tan(x +π
4 )
C．y =cos(2 x + 3
2 π)
D．y =sin(2 x +π
2 )
10．函数y =sin3 x cos3 x是（ ）
A．最小正周期为π
3 的奇函数
B．最小正周期为π
3 的偶函数
C．最小正周期为2π
3 的奇函数
D．最小正周期为2π
3 的偶函数
5
题型三、正弦函数的对称性
1．函数y =sin(2 x - π
3)
图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x = π
6
B．x = 5
12 π
C．x = π
3
D．x = π
2
2．函数y =sin(2 x +π
4 )的一个对称中心的是（ ）
A．(-π
2 ,0)
B．(0,0)
C．(
π
8 ,0)
D．(
3π
8 ,0)
3．函数f (x)=sin(2 x +π
3 )的一个对称中心的横坐标是（ ）
A．0
B．π
2
C．π
D．π
3
4．已知函数f (x)=sin x +cos x的图象上距离原点最近的对称中心是（ ）
A．(-π
6 ,0)
B．(-π
4 ,0)
C．(
π
4 ,0)
D．(
3π
4 ,0)
5．已知函数f (x)=sin (2 x +φ)(-π
2 <φ<π
2 )的图象关于x =π
3 对称，则φ =（ ）
A．-π
6
B．π
6
C．-π
3
D．π
3
6．下列函数中，最小正周期是π 且图象关于直线x =π
3 对称的是（ ）
A．y =2sin(2 x -π
6 )
B．y =2sin(2 x -π
3 )
C．y =2sin(2 x +π
6 )
D．y =2sin( x
2 +π
3 )
7．函数y =2sin(2 x +π
6 )的图象的一个对称中心是（ ）
A．(-π
12 ,0)
B．(-π
6 ,0)
C．(
π
12 ,0)
D．(
π
6 ,0)
8．已知函数f (x)=sin(3 x +φ)，若f(x +π
12)是偶函数，则f (x)图象对称轴方程可
能是（ ）
A．x =π
4
B．x =π
3
C．x = 2π
3
D．x = 3π
4
9．已知函数f (x)图象的一个对称中心为点(
π
3 ,1),f (x)的一个周期为4π，则
f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=sin(
1
2 x -π
6 )+1
B．f (x)=cos(
1
2 x -π
6 )+1
C．f (x)=sin(x +π
6 )+1
D．f (x)=cos(
1
4 x + 5π
12 )+1
10．函数y =sin(x - π
3)
的图象在区间(0,π ]上的对称轴方程为（ ）
A．x = π
6
B．x = π
3
C．x = 2π
3
D．x = 5 π
6
6
题型四、正弦函数的单调性
1．已知函数f ( x)=sin(2 x +π
3 )，则（ ）
A．f ( x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递增
B．f ( x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递减
C．f ( x)在区间[π
6 ,π
2 ]上单调递增
D．f ( x)在区间[π
6 ,π
2 ]上单调递减
2．已知函数f (x)=cos(
π
3 - x)cos(
π
6 + x)，则（ ）
A．f (x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递增B．f (x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递减
C．f (x)在区间[
π
6 ,π
2 ]上单调递增
D．f (x)在区间[
π
6 ,π
2 ]上单调递减
3．下列区间为函数y =2sin(2 x +π
4 )的增区间的是（ ）
A．[-π
2 ,π
2 ]
B．[- 3π
4 ,π
4 ]
C．[- 3π
8 ,0]
D．[-π
4 , 3π
4 ]
4．函数y =2sin(
π
6 -2 x)( x∈[0,π])的单调递增区间是（ ）
A．[0,π
3 ]
B．[
π
12 ,7π
12 ]
C．[
π
3 ,5π
6 ]
D．[
5π
6
,π]
5．在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(
π
2 ,π)上单调递减的是
（ ）
A．y =|sin x|
B．y =cos x
C．y = tan x
D．y =cos x
2
6．已知函数f ( x)=2sin(ωx -π
6 )(ω>0)的最小正周期为π，则f ( x)的单调递增
区间为（ ）
A．[k π-π
3 ,k π+ 5π
6 ](k ∈Z )
B．[2k π-π
6 ,2k π+π
3 ](k ∈Z )
C．[k π-π
3 ,k π+π
6 ](k ∈Z )
D．[k π-π
6 ,k π+π
3 ](k ∈Z )
7．已知函数f ( x)= ❑√3sin 2 x +sin(
π
2 +2 x)，则函数y = f ( x)的单调递增区间是
（ ）
A．[k π-π
3 ,k π+π
6 ],k ∈Z
B．[k π-π
6 ,k π+ 5π
6 ],k ∈Z
C．[2k π-π
3 ,2k π+π
6 ],k ∈Z
D．[2k π-π
6 ,2k π+ 5π
6 ],k ∈Z
8．奇函数f (x)=2cos(2 x +φ)(0<φ<π )的单调减区间可以是（ ）
A．[- π
4 , π
4]
B．[- π
2 ,- π
4]
C．[0, π
2]
D．[
π
4 , π
2]
9．下列函数中，最小正周期为π
2 ，且在(0,π
12)上单调递减的是（ ）
A．y =sin(4 x)
B．y =cos(
1
2 x)
C．y =-cos(4 x)
D．y =tan(-2 x)
10．函数f ( x)=- ❑√5sin(2 x +π
3 )的单调递增区间为（ ）
A．[π
12 + k π, 7π
12 +k π](k ∈Z )
B．[-π
3 +k π,π
6 +k π](k ∈Z )
C．[π
6 + k π, 2π
3 + k π](k ∈Z )
D．[- 5π
12 +k π,π
12 +k π](k ∈Z )
11．函数y =3sin(
π
3 -2 x)的单调递增区间是（ ）
A．[-π
2 +2k π,π
2 +2k π](k ∈Z) B．[
π
2 +2k π, 3π
2 +2k π](k ∈Z)
C．[
5π
12 + k π, 11π
12 + k π](k ∈Z) D．[-π
12 +k π, 5π
12 + k π](k ∈Z)
