4.7 正弦函数的图像与性质（讲义）
目录
1
知识点01 正弦函数的图像和性质.......................................................................2
2
知识点02 正弦型函数的性质...............................................................................2
3
题型一、正弦函数的周期性................................................................................3
4
题型二、正弦函数的奇偶性................................................................................6
5
题型三、正弦函数的对称性..............................................................................10
6
题型四、正弦函数的单调性..............................................................................14
1
知识点01 正弦函数的图像和性质
2
知识点02 正弦型函数的性质
函数
y =sin x
图象
定义域
R
值域
[-1，1]
周期性
2π
奇偶性
奇函数
递增区间
[2kπ - π
2 ，2kπ + π
2 ]
递减区间
[2kπ + π
2 ，2kπ + 3 π
2 ]
对称中心
(kπ ，0)
对称轴方程
x =kπ + π
2
注意：对于f (x)=asin ωx +bcosωx ，周期T = 2π
|ω|
3
题型一、正弦函数的周期性
1．函数f (x)=sin(π x - 2π
3 )，x∈R的最小正周期是（ ）
A．1
B．2
C．π
D．2π
【答案】B
【分析】由周期公式可得.
【详解】由f (x)=sin(π x - 2π
3 )，
则f ( x)的最小正周期是T = 2π
π
=2，
故选：B.
2．若a>0,b>0，则函数f (x)=asin bx的最小正周期为（ ）
函数
f (x)= A sin (ωx +φ)+b
定义域
R
值域
[-|A|+b，|A|+b]
周期性
T = 2π
|ω|
奇偶性
φ =0时，为奇函数； φ≠0时，利用定义判断
递增区间
[ 4 k π - π -2φ
2ω
，4 k π + π -2φ
2ω
]
递减区间
[ 4 k π + π -2φ
2ω
，4 k π +3 π -2φ
2ω
]
对称中心
(
-φ+kπ
ω
,0)
对称轴方程
x =
-φ+ π
2 +kπ
ω
A．2π
B．2abπ
C．2π
b
D．2π
a
【答案】C
【分析】利用正弦函数的周期公式即可求解.
【详解】∵a>0,b>0
∴函数f (x)=asin bx的最小正周期为2π
b .
故选：C.
3．函数f (x)=sin(- x
3)+cos(- x
3)的最小正周期是（ ）.
A．6 π
B．-6 π
C．- 3 π
2
D．3 π
2
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式求解即可.
【详解】由题意，f (x)=sin(- x
3)+cos(- x
3) =-(sin x
3 -cos x
3) =- ❑√2sin(
x
3 -π
4 )，
所以f (x)的最小正周期是|
2π
1
3 |
=6π.
故选：A.
4．函数f ( x)=3sin(2 x -π
3 )的最小正周期为（ ）
A．3π
B．2π
C．π
D．π
2
【答案】C
【分析】由正弦函数的周期公式求出即可；
【详解】由周期公式可得最小正周期为T = 2π
2 =π，
故选：C.
5．函数f (x)=-3sin(
π
3 -π
2 x)的最小正周期是（ ）
A．4π
B．6π
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据T = 2π
|ω| 求函数的最小正周期.
【详解】因为f (x)=-3sin(
π
3 -π
2 x)，所以函数f (x)的最小正周期T = 2π
π
2
= 4．
故选：C
6．已知函数f (x)=sin(2ωx -π
6 )的最小正周期为π
5 ，其中ω>0，则ω=（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
【答案】B
【分析】由三角函数周期公式可得.
【详解】由题可知2π
|2ω|= π
5 ，则|ω|=5，又ω>0，则ω=5．
故选：B.
7．y =2sin(
1
2 x +π
3 )的最小正周期为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【答案】D
【分析】根据T = 2π
ω 求最小正周期即可.
【详解】函数的最小正周期T = 2π
1
2
= 4π，
故选:D.
8．函数f (x)=sin 2 x
3 的最小正周期为（ ）
A．3π
B．2π
C．3π
2
D．π
【答案】A
【分析】利用三角函数的周期公式求解.
【详解】f (x)=sin 2 x
3 的最小正周期为
2π
2
3
=3π.
故选：A
9．函数y =2sin3 x cos3 x的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．2，π
3
B．1，2π
3
C．1，π
3
D．2，2π
3
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数为y =sin6 x，根据正弦函数的图象和性质求
解即可.
【详解】函数y =2sin3 x cos3 x =sin6 x，
当6 x = π
2 +2kπ ,k ∈Z ，即x = π
12 + kπ
3 ,k ∈Z时，sin 6 x取最大为1，
所以函数y取最大值为1，
T = 2π
6 = π
3 ，所以函数y的周期为π
3 .
故选：C.
10．设k为正数，若函数f (x)=sin(kx -π
6 )的最小正周期为2π
3 ，则k =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可.
【详解】由f (x)=sin(kx -π
6 )，且k为正数，可得T = 2π
|ω| = 2π
k
= 2π
3 ，解得
k =3.
故选：C.
11．函数f ( x)=sin(2 x -π
3 )的最小正周期是（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【答案】C
【分析】根据y = A sin(ωx +φ)的周期概念求解．
【详解】由已知最小正周期是T = 2π
2 =π，
故选：C．
4
题型二、正弦函数的奇偶性
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．y =sin3 x
B．y =-sin5 x
C．y =|sin x|
D．y =sin x -3
【答案】C
【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】A 选项，f (x)=sin3 x的定义域为R，
且f (- x)=sin (-3 x)=-sin3 x =- f (x)，故f (x)=sin3 x为奇函数，A 错误；
B 选项，g(x)=-sin5 x的定义域为R，
且g(- x)=-sin (-5 x)=sin5 x =- g(x)，故g(x)=-sin5 x为奇函数，B 错误；
C 选项，h(x)=|sin x|的定义域为R，
且h(x)=|sin (- x)|=|sin x|=h(x)，故h(x)=|sin x|为偶函数，C 正确；
D 选项，u(x)=sin x -3的定义域为R，
且u(- x)=sin (- x)-3=-sin x -3≠u(x)，故u(x)=sin x -3不是偶函数，D 错误.
故选：C
2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）
A．y =sin x
B．y =sin2 x
C．y =cos x
D．y =cos2 x
【答案】B
【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解.
【详解】函数y =sin x、y =cos x的最小正周期为2π，AC 不是；
函数y =cos2 x是偶函数，D 不是，y =sin2 x是奇函数，且最小正周期为π，B
是.
故选：B
3．函数f (x)=2cos(2 x +π
2 )是（ ）.
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为f (x)=2cos(2 x +π
2 )=-2sin 2 x，
所以f (x)的最小正周期T = 2π
2 =π，且为奇函数.
故选：C
4．下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（ ）
A．y =sin x
B．y =cos2 x
C．y=sin2(x +π
4 )
D．y =tan x
【答案】D
【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项；
【详解】对于A.y =sin x周期是2π，A 错误；
对于B.y =cos2 x周期是2π
2 =π，因为cos(-2 x)=cos2 x是偶函数，B 错误；
对于C.y=sin2(x +π
4 )周期是2π
2 =π，因为
y=sin2(x +π
4 )=sin(2 x +π
2 )=cos2 x是偶函数，C 错误；
对于D.y =tan x周期是π，又是奇函数，D 正确；
故选：D.
5．函数y =cos
2( x -π
4 )-sin
2( x -π
4 )是（ ）
A．最小正周期为π
2 的偶函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π
2 的奇函数
D．最小正周期为π的奇函数
【答案】D
【分析】由二倍角公式、诱导公式得y =sin2 x，结合三角函数的周期性、奇偶
性即可判断.
【详解】y =cos
2( x -π
4 )-sin
2( x -π
4 )=cos(2 x -π
2 )=sin 2 x，
由于sin (-2 x)=-sin 2 x，且y =sin 2 x的定义域为全体实数，
所以y =sin2 x是奇函数，
注意到它的周期为2π
2 =π.
故选：D.
6．下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．f (x)=sin x
B．f (x)=cos x
C．f (x)= tan x
D．f (x)=2
x
【答案】B
【分析】利用基本初等函数的奇偶性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，函数f (x)=sin x为奇函数；
对于B 选项，函数f (x)=cos x为偶函数；
对于C 选项，函数f (x)= tan x为奇函数；
对于D 选项，函数f (x)=2
x为非奇非偶函数.
故选：B.
7．函数f ( x)=
❑√2
2 sin 4 x是（ ）
A．周期为π
2 的奇函数
B．周期为π
2 的偶函数
C．周期为π
4 的奇函数
D．周期为π
4 的偶函数
【答案】A
【分析】根据给定的函数，利用正弦函数的性质求出周期，并判断奇偶性.
【详解】函数f ( x)=
❑√2
2 sin 4 x的定义域为R，
由f (- x)=
❑√2
2 sin(- 4 x)=-
❑√2
2 sin 4 x =- f ( x)，得f ( x)为奇函数，其周期
T = 2π
4 =π
2 .
故选：A
8．已知f ( x)=sin
2( x +π
4 )- 1
2，则f ( x)是（ ）
A．奇函数且最小正周期为π
B．偶函数且最小正周期为π
C．奇
函数且最小正周期为2π
D．偶函数且最小正周期为2π
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数f ( x)化简为1
2 sin 2 x，即可判断奇
偶性和周期性.
【详解】因f ( x)=sin
2( x +π
4 )- 1
2 =
1-cos(2 x +π
2 )
2
- 1
2 = 1
2 sin 2 x，
故f ( x)为奇函数，且最小正周期为T = 2π
2 =π.
故选：A.
9．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ）
A．y = tan 2 x
B．y = tan(x +π
4 )
C．y =cos(2 x + 3
2 π)
D．y =sin(2 x +π
2 )
【答案】C
【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断
即可.
【详解】对于A，y = tan 2 x的最小正周期T =π
2 ，故A 错误；
对于B，y = tan(x +π
4 )为非奇非偶函数，故B 错误；
对于C，y =cos(2 x + 3
2 π)=sin 2 x为奇函数，且最小正周期为T =2π
2 =π，故C
正确；
对于D，y =sin(2 x +π
2 )=cos2 x为偶函数，故D 错误.
故选：C.
10．函数y =sin3 x cos3 x是（ ）
A．最小正周期为π
3 的奇函数
B．最小正周期为π
3 的偶函数
C．最小正周期为2π
3 的奇函数
D．最小正周期为2π
3 的偶函数
【答案】A
【分析】利用二倍角正弦公式化简得y =sin3 x cos3 x = 1
2 sin 6 x，由此判断.
【详解】因为y =sin3 x cos3 x = 1
2 sin 6 x，
所以函数y =sin3 x cos3 x为奇函数，且周期为2π
6 =π
3 .
故选：A.
5
题型三、正弦函数的对称性
1．函数y =sin(2 x - π
3)图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x = π
6
B．x = 5
12 π
C．x = π
3
D．x = π
2
【答案】B
【分析】易知正弦函数的对称轴，因此用整体的思想可以列出方程求解.
【详解】令2 x - π
3 = π
2 +k π ,k ∈Z,
解得x = 5 π
12 + k π
2 ,k ∈Z,
所以y =sin(2 x - π
3 )的对称轴方程为x = 5 π
12 + k π
2 ,k ∈Z
当k =0时，其对称轴方程为x = 5 π
12 ，故B 正确；
因为A，C，D 均不满足对称轴方程，所以A，C，D 错误.
故选：B.
2．函数y =sin(2 x +π
4 )的一个对称中心的是（ ）
A．(-π
2 ,0)
B．(0,0)
C．(
π
8 ,0)
D．(
3π
8 ,0)
【答案】D
【分析】根据正弦函数对称中心计算求解.
【详解】令sin(2 x +π
4 )=0，则2 x +π
4 =k π, x =-π
8 + k π
2 ,k ∈Z,
当k =1时，对称中心为：(
3π
8 ,0)，结合选项，ABC 错误，
故选：D.
3．函数f (x)=sin(2 x +π
3 )的一个对称中心的横坐标是（ ）
A．0
B．π
2
C．π
D．π
3
【答案】D
【分析】由f (x)=0可求得对称中心的横坐标.
【详解】由f (x)=sin(2 x +π
3 )=0，可得2 x +π
3 =k π，k ∈Z，
所以x = k π
2
-π
6 ，k ∈Z，所以当k =1时，x =π
3 ，
故选：D
4．已知函数f (x)=sin x +cos x的图象上距离原点最近的对称中心是（ ）
A．(-π
6 ,0)
B．(-π
4 ,0)
C．(
π
4 ,0)
D．(
3π
4 ,0)
【答案】B
【分析】利用辅助角公式，将原函数化成正弦型函数，结合正弦函数的图象求
出其对称中心坐标即得.
【详解】因f (x)=sin x +cos x = ❑√2sin( x +π
4 )，
由x +π
4 =k π,k ∈Z可得x =-π
4 +k π,k ∈Z，即函数f ( x)的对称中心为
(-π
4 +k π,0),k ∈Z，
故当k =0时，点(-π
4 ,0)为函数f ( x)距离原点最近的对称中心.
故选：B.
5．已知函数f (x)=sin (2 x +φ)(-π
2 <φ<π
2 )的图象关于x =π
3 对称，则φ =（ ）
A．-π
6
B．π
6
C．-π
3
D．π
3
【答案】A
【分析】由图象的对称性可得2π
3 +φ=k π+π
2
(k ∈Z)，由此结合范围求出φ值.
【详解】由题意得f(
π
3 )=sin(
2π
3 +φ)=±1，
则2π
3 +φ=π
2 +k π,k ∈Z，即φ =k π-π
6 ,k ∈Z，
又-π
2 <φ<π
2 ，所以当k =0时，φ=-π
6 .
故选：A.
6．下列函数中，最小正周期是π 且图象关于直线x =π
3 对称的是（ ）
A．y =2sin(2 x -π
6 )
B．y =2sin(2 x -π
3 )
C．y =2sin(2 x +π
6 )
D．y =2sin( x
2 +π
3 )
【答案】A
【分析】利用最小正周期及对称轴，逐项验证判断得解.
【详解】对于A，函数y =2sin(2 x -π
6 )的最小正周期为2π
2 =π，
当x =π
3 时，2sin(2×π
3 -π
6 )=2，即函数图象关于直线x =π
3 对称，A 是；
对于B，当x =π
3 时，2sin(2×π
3 -π
3 )= ❑√3≠±2，即函数图象不关于直线x =π
3
对称，B 不是；
对于C，当x =π
3 时，2sin(2×π
3 +π
6 )=1≠±2，即函数图象不关于直线x =π
3 对
称，C 不是；
对于D，函数y =2sin( x
2 +π
3 )的最小正周期为
2π
1
2
= 4π，D 不是.
故选：A
7．函数y =2sin(2 x +π
6 )的图象的一个对称中心是（ ）
A．(-π
12 ,0)
B．(-π
6 ,0)
C．(
π
12 ,0)
D．(
π
6 ,0)
【答案】A
【分析】根据y =2sin(2 x +π
6 )计算对称中心横坐标满足x =-π
12 + k
2 π,k ∈Z，
解得答案.
【详解】函数y =2sin(2 x +π
6 )对称中心横坐标满足：2 x + π
6 =kπ ,k ∈Z，
即x =-π
12 + k
2 π,k ∈Z，当k =0时，对称中心为(-π
12 ,0)，A 选项正确；
当k =1时，对称中心为(
5π
12 ,0)，当k =-1时，对称中心为(-7π
12 ,0)，B,C,D 选
项不正确；
故选：A.
8．已知函数f (x)=sin(3 x +φ)，若f(x +π
12)是偶函数，则f (x)图象对称轴方程可
能是（ ）
A．x =π
4
B．x =π
3
C．x = 2π
3
D．x = 3π
4
【答案】D
【分析】首先求函数f(x +π
12)=sin(3 x +π
4 +φ)，根据偶函数的性质求φ，再代
入函数的对称轴方程，即可求解.
【详解】函数f(x +π
12)=sin(3 x +π
4 +φ)是偶函数，
则π
4 +φ =π
2 + k π,k ∈Z，得φ =π
4 +k π,k ∈Z，
令3 x +φ=π
2 +k1π,k1∈Z，解得x = (k1-k)π
3
+π
12 (k1,k ∈Z).
因为k1,k ∈Z，则(k1-k)∈Z，经验证只有D 选项x = 3π
4 满足题意，此时
k1-k =2.
故选：D.
9．已知函数f (x)图象的一个对称中心为点(
π
3 ,1),f (x)的一个周期为4π，则
f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=sin(
1
2 x -π
6 )+1
B．f (x)=cos(
1
2 x -π
6 )+1
C．f (x)=sin(x +π
6 )+1
D．f (x)=cos(
1
4 x + 5π
12 )+1
【答案】A
【分析】通过验证f(
π
3 )=1，周期是否可以为4π可判断选项正误.
【详解】对于A，f(
π
3 )=sin0+1=1，最小正周期为
2π
1
2
= 4π，故A 正确；
对于B，f(
π
3 )=cos0+1=2，故B 错误；
对于C，f(
π
3 )=sinπ
2 +1=2，故C 错误；
对于D，f(
π
3 )=cosπ
2 +1=1，最小正周期为
2π
1
4
=8π，故D 错误.
故选：A
10．函数y =sin(x - π
3)的图象在区间(0,π ]上的对称轴方程为（ ）
A．x = π
6
B．x = π
3
C．x = 2π
3
D．x = 5 π
6
【答案】D
【分析】利用整体思想，结合正弦函数的对称轴，建立方程，可得答案.
【详解】令x - π
3 =kπ + π
2
(k ∈Z)，解得x =kπ + 5 π
6 ，当k =0时，x = 5 π
6 ，
故函数y =sin(x - π
3)在区间(0,π ]上的对称轴方程为x = 5 π
6 ．
故选：D.
6
题型四、正弦函数的单调性
1．已知函数f ( x)=sin(2 x +π
3 )，则（ ）
A．f ( x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递增
B．f ( x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递减
C．f ( x)在区间[π
6 ,π
2 ]上单调递增
D．f ( x)在区间[π
6 ,π
2 ]上单调递减
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性逐项判断即可.
【详解】函数f ( x)=sin(2 x +π
3 )，
对于AB，当x∈[-π
6 ,π
6 ]时，2 x +π
3 ∈[0,2π
3 ]，而正弦函数y =sin x在
[0,2π
3 ]上先递增后递减，
因此函数f ( x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上不单调，AB 错误；
对于CD，当x∈[π
6 ,π
2 ]时，2 x +π
3 ∈[2π
3 ,4π
3 ]，而正弦函数y =sin x在
[2π
3 ,4π
3 ]上单调递减，
因此f ( x)在区间[π
6 ,π
2 ]上单调递减，C 错误，D 正确.
故选：D
2．已知函数f (x)=cos(
π
3 - x)cos(
π
6 + x)，则（ ）
A．f (x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递增B．f (x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上单调递减
C．f (x)在区间[
π
6 ,π
2 ]上单调递增
D．f (x)在区间[
π
6 ,π
2 ]上单调递减
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换得f ( x)= 1
2 sin(2 x +π
3 )，利用正弦函数的单调性逐
项判断即可.
【详解】f ( x)=cos(
π
3 - x)cos(
π
6 + x)=(
1
2 cos x +
❑√3
2 sin x)(
❑√3
2 cos x - 1
2 sin x)
=
❑√3
4 cos2 x + 1
4 sin 2 x = 1
2 sin(2 x +π
3 )
对于AB，当x∈[-π
6 ,π
6 ]时，2 x +π
3 ∈[0,2π
3 ]，而正弦函数y =sin x在
[0,2π
3 ]上先递增后递减，
因此函数f ( x)在区间[-π
6 ,π
6 ]上不单调，AB 错误；
对于CD，当x∈[π
6 ,π
2 ]时，2 x +π
3 ∈[2π
3 ,4π
3 ]，而正弦函数y =sin x在
[2π
3 ,4π
3 ]上单调递减，
因此f ( x)在区间[π
6 ,π
2 ]上单调递减，C 错误，D 正确.
故选：D
3．下列区间为函数y =2sin(2 x +π
4 )的增区间的是（ ）
A．[-π
2 ,π
2 ]
B．[- 3π
4 ,π
4 ]
C．[- 3π
8 ,0]
D．[-π
4 , 3π
4 ]
【答案】C
【分析】利用整体代入法求得题设函数的单调递增区间，从而检验得解.
【详解】对于y =2sin(2 x +π
4 )，
令2k π-π
2 ≤2 x +π
4 ≤2k π+π
2 ，k ∈Z，得k π- 3π
8 ≤x ≤k π+π
8 ，k ∈Z，
当k =-1时，- 11π
8
≤x ≤-7π
8 ，
当k =0时，- 3π
8 ≤x ≤π
8 ，
当k =1时，5π
8 ≤x ≤9π
8 ，
对于A，不满足[-π
2 ,π
2 ]⊆ [k π- 3π
8 ,k π+π
8 ],k ∈Z，故A 错误；
对于B，不满足[- 3π
4 ,π
4 ]⊆ [k π- 3π
8 ,k π+π
8 ],k ∈Z，故B 错误；
对于C，[- 3π
8 ,0]⊆ [k π- 3π
8 ,k π+π
8 ],k ∈Z，故C 正确；
对于D，不满足[-π
4 , 3π
4 ]⊆ [k π- 3π
8 ,k π+π
8 ],k ∈Z，故D 错误；
故选：C.
4．函数y =2sin(
π
6 -2 x)( x∈[0,π])的单调递增区间是（ ）
A．[0,π
3 ]
B．[
π
12 ,7π
12 ]
C．[
π
3
,5π
6 ]
D．[
5π
6
,π]
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简函数解析式，由正弦函数的图象性质求出函数的
单调增区间，再结合角的范围确定正确选项．
【详解】y =2sin(
π
6 -2 x)=-2sin(2 x -π
6 )，
由π
2 +2k π≤2 x -π
6 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z，解得π
3 +k π≤x ≤5π
6 +k π,k ∈Z，
即函数的单调递增区间为[
π
3 + k π, 5π
6 +k π],k ∈Z ,
当k =0时，可得函数的单调递增区间为[
π
3 , 5π
6 ]．
故选：C.
5．在下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(
π
2 ,π)上单调递减的是
（ ）
A．y =|sin x|
B．y =cos x
C．y = tan x
D．y =cos x
2
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.
【详解】对A：对A：y =|sin x|的图象是由y =sin x的图象将x轴下方的图象关于
x轴对称上去，
x轴及x轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：
则y =|sin x|的最小正周期为π，且在(
π
2 ,π)上单调递减，故A 正确；
对B：y =cos x的最小正周期为2π，故B 错误；
对C：y = tan x的最小正周期为π，但是在(
π
2 ,π)上单调递增，故C 错误；
对D：y =cos x
2的最小正周期为
2π
1
2
=4π，故D 错误.
故选：A.
6．已知函数f ( x)=2sin(ωx -π
6 )(ω>0)的最小正周期为π，则f ( x)的单调递增
区间为（ ）
A．[k π-π
3 ,k π+ 5π
6 ](k ∈Z )
B．[2k π-π
6 ,2k π+π
3 ](k ∈Z )
C．[k π-π
3 ,k π+π
6 ](k ∈Z )
D．[k π-π
6 ,k π+π
3 ](k ∈Z )
【答案】D
【分析】先根据周期计算ω，再根据正弦函数单调性求单调递增区间.
【详解】根据已知得2π
ω = π，得ω=2，则f ( x)=2sin(2 x - π
6 )，
由不等式2k π-π
2 ≤2 x -π
6 ≤2k π+π
2 (k ∈Z )，解得
k π-π
6 ≤x ≤k π+π
3 (k ∈Z )，
所以函数f ( x)的单调递增区间是[k π-π
6 ,k π+π
3 ](k ∈Z )．
故选：D.
7．已知函数f ( x)= ❑√3sin 2 x +sin(
π
2 +2 x)，则函数y = f ( x)的单调递增区间是
（ ）
A．[k π-π
3 ,k π+π
6 ],k ∈Z
B．[k π-π
6 ,k π+ 5π
6 ],k ∈Z
C．[2k π-π
3 ,2k π+π
6 ],k ∈Z
D．[2k π-π
6 ,2k π+ 5π
6 ],k ∈Z
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换得f ( x)=2sin(2 x + π
6)，再求出其单调区间即可.
【详解】f ( x)= ❑√3sin 2 x +sin(
π
2 +2 x)= ❑√3sin 2 x +cos2 x =2sin(2 x + π
6)，
令2kπ - π
2 ≤2 x + π
6 ≤2kπ + π
2 ,k ∈Z，
解得k π-π
3 ≤x ≤k π+π
6 ,k ∈Z，所以其单调递增区间为
[k π-π
3 ,k π+π
6 ],k ∈Z.
故选：A.
8．奇函数f (x)=2cos(2 x +φ)(0<φ<π )的单调减区间可以是（ ）
A．[- π
4 , π
4]
B．[- π
2 ,- π
4]
C．[0, π
2]
D．[
π
4 , π
2]
【答案】A
【分析】奇函数条件确定φ 的值,化简后利用正弦函数的单调性求得.
【详解】由题f ( x)=2cos(2 x +φ) 为奇函数，需满足 f (- x)=- f ( x).
代入得：2cos(-2 x +φ)=-2cos(2 x +φ)⇔cos(2 x -φ)=-cos(2 x +φ),
利用余弦函数的性质，当且仅当 φ = π
2 时等式对所有 x 成立.
f (x)=2cos(2 x + π
2)=-2sin (2 x).
令2 x∈[- π
2 +2kπ , π
2 +2kπ], k ∈Z.
解得：x∈[- π
4 + kπ , π
4 + kπ].
当 k =0 时，减区间为 [- π
4 , π
4]，
故选: A.
9．下列函数中，最小正周期为π
2 ，且在(0,π
12)上单调递减的是（ ）
A．y =sin(4 x)
B．y =cos(
1
2 x)
C．y =-cos(4 x)
D．y =tan(-2 x)
【答案】D
【分析】根据正余弦函数，正切函数的周期性和单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，由x∈(0,π
12)，得4 x∈(0,π
3 )，
所以函数y =sin(4 x)在(0,π
12)上单调递增，故A 不符题意；
对于B，函数y =cos(
1
2 x)的周期T = 2π
1
2
= 4π，故B 不符题意；
对于C，由x∈(0,π
12)，得4 x∈(0,π
3 )，
所以函数y =-cos(4 x)在(0,π
12)上单调递增，故C 不符题意；
对于D，函数y =tan(-2 x)=- tan 2 x的周期T =π
2 ，
由x∈(0,π
12)，得2 x∈(0,π
6 )，
所以函数y =tan(-2 x)=- tan 2 x在(0,π
12)上单调递减，故D 符合题意.
故选：D.
10．函数f ( x)=- ❑√5sin(2 x +π
3 )的单调递增区间为（ ）
A．[π
12 +k π, 7π
12 +k π](k ∈Z )
B．[-π
3 + k π,π
6 +k π](k ∈Z )
C．[π
6 +k π, 2π
3 +k π](k ∈Z )
D．[- 5π
12 +k π,π
12 +k π](k ∈Z )
【答案】A
【分析】利用正弦函数的单调性列出不等式求解即可.
【详解】依题意，函数f ( x)的递增区间，即为函数y =sin(2 x + π
3 )的递减区间，
由π
2 +2k π≤2 x +π
3 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z，解得π
12 +k π≤x ≤7π
12 +k π,k ∈Z，
所以f ( x)的单调递增区间为[π
12 +k π, 7π
12 +k π](k ∈Z ).
故选：A.
11．函数y =3sin(
π
3 -2 x)的单调递增区间是（ ）
A．[-π
2 +2k π,π
2 +2k π](k ∈Z) B．[
π
2 +2k π, 3π
2 +2k π](k ∈Z)
C．[
5π
12 + k π, 11π
12 + k π](k ∈Z) D．[-π
12 +k π, 5π
12 + k π](k ∈Z)
【答案】C
【分析】根据诱导公式变形后，利用正弦函数的递减区间可得结果.
【详解】因为y =3sin(π
3 -2 x)=-3sin(2 x -π
3 )，
由π
2 +2k π≤2 x -π
3 ≤3π
2 +2k π(k ∈Z)，得5π
12 +k π≤x ≤11π
12 +k π(k ∈Z)，
所以函数y =3sin(
π
3 -2 x)的单调递增区间是[k π+ 5π
12 ,k π+ 11π
12 ],k ∈Z.
故选：C.
