4.8 余弦函数的图像与性质（练习）
目录
1
题型一、余弦函数的周期性.....................................................................2
2
题型二、余弦函数的奇偶性.....................................................................5
3
题型三、余弦函数的最值.......................................................................10
4
题型四、余弦函数的对称性...................................................................13
5
题型五、余弦函数的单调性...................................................................16
1 题型一、余弦函数的周期性
1．函数f (x)=cos(
x
2 -π
3 )的最小正周期是（ ）
A．2
B．4
C．2π
D．4π
【答案】D
【分析】根据余弦函数性质可得最小正周期.
【详解】因为f (x)=cos(
x
2 -π
3 )，所以f (x)的最小正周期为
T =2π
1
2
=4π
.
故选：D.
2．函数y =cos(3 x +π
12)的最小正周期为（ ）
A．
B．2π
3
C．π
D．2π
【答案】B
【分析】由三角函数周期公式可得.
【详解】函数y =cos(3 x +π
12)的最小正周期为T = 2π
|ω| = 2π
3 ．
故选：B
3．函数f (x)=cos(
π
4 -2 x)的最小正周期T =（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的周期公式计算可得.
【详解】函数f (x)=cos(
π
4 -2 x)的最小正周期T = 2π
|-2|=π.
故选：B
4．下列函数中，周期是π，又是偶函数的是（ ）
A．y =sin x B．y = tan x
C．y =sin 2 x
D．y =cos2 x
【答案】D
【分析】由三角函数的周期以及奇偶性，可得答案.
【详解】对于A，易知函数y =sin x的周期为2π，又是奇函数，故A 错误；
对于B，易知函数y = tan x的周期为π，又是奇函数，故B 错误；
对于C，易知函数y =sin2 x的周期为π，又是奇函数，故C 错误；
对于D，易知函数y =cos2 x的周期为π，又是偶函数，故D 错误.
故选：D.
5．函数f ( x)=2sin
2 x的最小正周期是（ ）
A．π
2
B．π
C．2π
D．4π
【答案】B
【分析】由三角恒等变换化简后根据余弦型函数的周期求解.
【详解】∵f ( x)=2sin
2 x =1-cos2 x，
∴T = 2π
2 =π，
故选：B
6．下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A．f (x)=cos
2 x +sin x cos x
B．f (x)= 1-cos2 x
2sin x cos x
C．f (x)=cos(x +π
3 )+cos(x -π
3 )
D．f (x)=sin(x +π
6 )cos(x +π
6 )
【答案】C
【分析】结合二倍角、辅助角及和差角公式对选项进行化简，再计算周期
比较即可.
【详解】对于选项A，f (x)= 1-cos2 x
2
+ 1
2 sin 2 x =
❑√2
2 sin(2 x -π
4 )+ 1
2，∴
T =π
选项B：sin x≠0且cos x≠0，f (x)= 1-(1-2sin
2 x)
2sin x cos x
=
2sin
2 x
2sin x cos x = tan x∴
T =π
对于选项C，f (x)= 1
2 cos x -
❑√3
2 sin x + 1
2 cos x +
❑√3
2 sin x =cos x，∴T =2π
对于选项D，f (x)= 1
2 sin 2(x +π
6 )= 1
2 sin(2 x +π
3 )，∴T =π,
故选：C.
7．函数f (x)=cos
2 x -1是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数
【答案】C
【分析】利用倍角公式将函数转化为y = A cos(ωx +φ)+ B , A >0,ω>0的形式，
然后利用奇偶性的定义及周期公式可得答案.
【详解】∵f (x)=cos
2 x -1= 1+cos2 x
2
-1= 1
2 cos2 x - 1
2，
∴f (- x)= 1
2 cos(-2 x)- 1
2 = 1
2 cos2 x - 1
2 = f (x)，
即函数f (x)为偶函数，
又T = 2π
2 =π，
故函数f (x)为最小正周期为π的偶函数.
故选：C.
8．下列函数中，以π为周期且在区间(
π
4 ,π
2 )单调递增的是（ ）
A．f (x)=|cos x|
B．f (x)=|sin x|
C．f (x)=cos|x|
D．f (x)=sin|x|
【答案】B
【分析】先根据周期为π排除CD 选项，再结合单调性可得答案.
【详解】因为f (x)=cos|x|=cos x，所以周期为2π，不符合题意；
对于f (x)=sin|x|，f (π
2 )=1,f ( 3π
2 )=-1，f (π
2 )≠f ( 3π
2 )，
所以周期不是π，不合题意；
对于f (x)=|cos x|，周期为π，但是在区间(
π
4 ,π
2 )单调递减，不合题意；
对于f (x)=|sin x|，周期为π，当x∈(0,π)时，f (x)=sin x，
在区间(
π
4 ,π
2 )单调递增，符合题意.
故选：B.
9．已知函数f (x)=2sin(ωx +π
6 ω+π
6 )(0<ω<π)图象恰好关于y轴对称，
则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)关于点(
5π
12 ,0)对称
C．f (x)在(-π
12 ,π
4 )上单调递增
D．若f (x)在区间[-π
12 ,a)上存在最大值，则实数a的取值范围为
(
π
6 ,+ ∞)
【答案】A
【分析】利用三角函数图象的对称性及诱导公式求得f (x)的解析式，再结
合三角函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】因为y =2sin(ωx +π
6 ω+π
6 )图象恰好关于y轴对称，即
y =2sin(ωx +π
6 ω+π
6 )为偶函数，
所以π
6 ω+π
6 = (2k -1)π
2
,k ∈Z，解得ω=6 k - 4 ,k ∈Z，
又因为0<ω<π，所以k =1,ω=2，f (x)=2sin(2 x +π
2 )=2cos2 x，
选项A：f (x)的最小正周期为T = 2π
|ω| =π，正确；
选项B：由f(
5π
12 )=2cos(2× 5π
12 )=2cos 5π
6 =- ❑√3可得(
5π
12 ,0)不是f (x)
的对称中心，错误；
选项C：当x∈(-π
12 ,π
4 )时，2 x∈(-π
6 ,π
2 )，
所以由余弦函数的图象可得f (x)=2cos2 x 在(-π
12 ,0)单调递增，在(0,π
4 )
单调递减，错误；
选项D：当x∈[-π
12 ,a)时，2 x∈[-π
6 ,2a)，
若f (x)在区间[-π
12 ,a)上存在最大值，则2a>0，解得a>0，
即实数a的取值范围为(0,+ ∞)，错误；
故选：A
2 题型二、余弦函数的奇偶性
1．已知函数f (x)= 1
2 cos2 x，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)是最小正周期为π的偶函数
B．f (x)是最小正周期为2π的偶函数
C．f (x)是最小正周期为π的奇函数
D．f (x)是最小正周期为2π的奇函数
【答案】A
【分析】根据余弦函数的周期性和奇偶性即可得解.
【详解】f ( x)定义域是R，关于原点对称，
因为f (- x)= 1
2 cos(-2 x)= 1
2 cos2 x = f (x)，
所以函数f (x)为偶函数，
又T = 2π
2 =π，
所以f (x)是最小正周期为π的偶函数.
故选：A.
2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A．y =sin x B．y =cos x
C．y =tan x D．y =|sin x|
【答案】D
【分析】利用三角函数的周期公式及奇偶性或图象逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，函数y =sin x是最小正周期为2π的奇函数；
对于B 选项，函数y =cos x是最小正周期为2π的偶函数；
对于C 选项，函数y =tan x是最小正周期为π的奇函数；
对于D 选项，作出函数y =|sin x|的图象如下图所示：
由图可知，函数y =|sin x|是最小正周期为π的偶函数.
故选：D.
3．下列四个函数中以π 为最小正周期且为奇函数的是（ ）
A．f ( x)=sin x
B．f ( x)=cos2 x
C．f ( x)=sin(2 x +π
3 )
D．f ( x)= tan(- x)
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项
判断.
【详解】对于A，函数f ( x)=sin x的最小正周期为2π，A 不是；
对于B，函数f ( x)=cos2 x是偶函数，B 不是；
对于C，f (0)=
❑√3
2 ≠0，函数f ( x)=sin(2 x +π
3 )不是奇函数，C 不是；
对于D，函数f (- x)= tan x =- tan (- x)=- f (x)，所以f (x)为奇函数，且最小
正周期为π，D 是.
故选：D
4．函数y =sin(
3 π
2 - x)是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
【答案】D
【分析】利用诱导公式将函数解析式化简，即可求出函数的周期，并判断
出函数的奇偶性.
【详解】∵y =sin(
3 π
2 - x)，∴y =sin(
3 π
2 - x)=-cos x，则ω=1，
∴T = 2π
ω =2π
令f (x)=-cos x,定义域为R,则定义域关于坐标原点对称，
∴f (- x)=-cos(- x)=-cos x = f (x)，∴函数y =sin(
3 π
2 - x)是周期为2π 的偶函
数．
故选：D
5．函数y =2sin(2 x + π
2)是（ ）
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
【答案】B
【分析】由函数y =2sin(2 x + π
2)=2cos2 x判断.
【详解】因为函数y =2sin(2 x + π
2)=2cos2 x，
所以T = 2π
2 = π ,f (- x)=2cos(-2 x)=2cos2 x = f (x)，
所以函数是周期为π的偶函数，
故选：B
6．设函数f ( x)=sin(2 x + π
4 )+cos(2 x + π
4 )，则（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)在(0, π
2 )上单调递增
C．f (x)的最大值为2
D．函数f (x)的图象关于直线x = π
2 对称
【答案】D
【分析】化简函数为f ( x)= ❑√2cos2 x，结合余弦函数的图象与性质，逐项
判定，即可求解.
【详解】因为函数
f ( x)=sin(2 x + π
4 )+cos(2 x + π
4 )= ❑√2sin(2 x + π
4 + π
4 )= ❑√2cos2 x，
由f (- x)= ❑√2cos(-2 x)= ❑√2cos2 x = f (x)，所以函数f (x)为偶函数，所以A
错误；
由x∈(0, π
2 )，可得2 x∈(0,π )，根据余弦型函数的图象与性质，可得函数
f (x)在区间(0, π
2 )单调递减，所以B 错误；
由余弦函数的性质，可得当2 x =2kπ ,k ∈Z时，即x =kπ ,k ∈Z时，
函数f (x)取得最大值，最大值为❑√2，所以C 错误；
当x = π
2 时，可得f ( π
2 )= ❑√2cos π =- ❑√2，即函数f (x)min= f ( π
2 )，
所以函数f (x)关于x = π
2 对称，所以D 正确.
故选：D.
7．函数f (x)=cos x
4是（ ）
A．最小正周期为8 π的奇函数
B．最小正周期为4 π的奇函数
C．最小正周期为8 π的偶函数
D．最小正周期为4 π的偶函数
【答案】C
【分析】根据余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因为f (x)=cos x
4，所以函数的最小正周期T = 2π
1
4
=8 π，且
f (- x)=cos- x
4 =cos x
4 = f (x)，即f (x)是最小正周期为8 π的偶函数；
故选：C
8．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y =sin2 x
B．y =cos2 x
C．y =cos2 x +1
D．y =sin2 x +1
【答案】D
【分析】选项A 为奇函数；选项B 为偶函数；选项C 为偶函数；选项D 既
不是奇函数也不是偶函数.
【详解】选项A: sin 2(- x)=-sin 2 x，则y =sin2 x为奇函数.排除；
选项B: cos2(- x)=cos2 x，则y =cos2 x为偶函数.排除；
选项C: cos2(- x)+1=cos2 x +1，则y =cos2 x +1为偶函数.排除；
选项D: 令f ( x)=sin 2 x +1，f (-π
4 )=sin(-π
2 )+1=0，f (π
4 )=sinπ
2 +1=2
则f (-π
4 )≠f (π
4 )，f (-π
4 )≠- f (π
4 )，则y =sin2 x +1既不是奇函数也不是
偶函数．可选.
故选：D
9．若函数f (x)= 4 sin[ω(x - 3 π
4 )](ω>0)的最小正周期为3 π，则f (x)是
（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．是奇函数也是偶函数
【答案】B
【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得ω的值，化简函数f (x)的解析式，
利用余弦型函数的奇偶性可得出结论.
【详解】因为函数f (x)的最小正周期为2π
ω =3 π，解得ω= 2
3，
所以，f (x)= 4 sin[
2
3(x - 3 π
4 )]= 4 sin(
2 x
3 - π
2)=- 4 cos 2 x
3 ，
所以，函数f (x)为偶函数.
故选：B.
3 题型三、余弦函数的最值1．函数f ( x)=2cos
2 x
2 -cos( π
2 - x)+1的
最小值为
A．2- ❑√2
B．1- ❑√2
C．2+ ❑√2
D．1+ ❑√2
【答案】A
【解析】先利用二倍角公式与诱导公式化简，之后再借助辅助角得出最小
值．
【详解】由题可得f ( x)=cos x -sin x +2= ❑√2cos( x + π
4 )+2，所以函数f ( x)的
最小值为2- ❑√2，故选A．
【点睛】本题考查三角二倍角公式的化简，以及三角函数的值域问题．
2．函数f (x)=3-2cos 4 x的最大值为
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【分析】由-1≤cos 4 x ≤1可求得3-2cos 4 x所处的范围，进而得到函数最大
值.
【详解】∵-1≤cos 4 x ≤1 ∴-2≤2cos 4 x ≤2 ∴1≤3-2cos 4 x ≤5
∴f (x)=3-2cos 4 x的最大值为5
故选：D
【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是明确余弦型函数的值域，属于
基础题.
3．已知f ( x)=cos(2ωx + π )，ω>0，则下列说法正确的是（ ）
A．若f ( x)的最小正周期为π，则ω=2
B．若f ( x)的最小正周期为π，
则ω=1
C．若x =0，则f ( x)取值为0
D．若x =0，则f ( x)取得最大值-1
【答案】B
【解析】（1）利用周期公式计算ω即可
（2）f ( x)=cos(2ωx + π )的最小值为-1
【详解】若T = 2π
2ω = π，则ω=1；若x =0，则f ( x)=cos π =-1，此时它为函
数的最小值，
若x =0，则f ( x)取值为最小值-1
故选B
4．函数y =1+cos x的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】直接利用余弦函数的范围求最值即可．
【详解】因为-1≤cos x ≤1，
所以y =1+cos x的最大值为2，当x =2kπ，k ∈Z时，取得最大值．
故选：C．
5．函数y =acos x +b(a<0)的最大值是（ ）
A．a+b
B．-|a|+b
C．|a|+b
D．|a+b|
【答案】C
【分析】根据a<0以及余弦函数的最值可得结果.
【详解】因为a<0，-1≤cos x ≤1，
所以a≤acos x ≤-a，所以a+b≤y ≤-a+b=|a|+b，
所以函数y =acos x +b(a<0)的最大值是|a|+b.
故选：C
6．函数y =3- 4 cos3 x的最大值为（ ）
A．4
B．7
C．-1
D．15
【答案】B
【分析】利用余弦函数的性质求出最大值.
【详解】函数y =3- 4 cos3 x中，-1≤cos3 x ≤1，所以当cos3 x =-1时，
ymax=7.
故选：B
7． “x = π
2 ”是“函数y =cos2 x取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据余弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即
可求解.
【详解】当x = π
2 时，函数y =cos2 x =cos π =-1，故充分性不成立；
当函数y =cos2 x取得最大值时，2 x =2kπ ,k ∈Z，即x =kπ ,k ∈Z，故必要
性也不成立，
综上可得：“x = π
2 ”是“函数y =cos2 x取得最大值”的既不充分也不必要
条件．
故选：D．
8．函数y =2-cos x
3
(x∈R)的最大值和最小正周期分别是（ ）
A．ymax=2，T =3 π
B．ymax=1，T =6 π
C．ymax=3，T =3 π
D．ymax=3，T =6 π
【答案】D
【分析】由余弦函数的性质得出周期和最值.
【详解】因为-1≤cos x
3 ≤1，所以ymax=2+1=3，T = 2π
1
3
=6 π.
故选：D
9．已知函数f (x)=2cos
2 x +cos2 x，则f (x)的最大值是（ ）
A．❑√5
B．3
C．3
2
D．1
【答案】B
【分析】根据题意利用倍角公式可得f (x)=2cos2 x +1，结合余弦函数的有
界性运算求解.
【详解】因为f (x)=2cos
2 x +cos2 x =2× 1+cos2 x
2
+cos2 x =2cos2 x +1，
当2 x =2k π,k ∈Z，即x =k π,k ∈Z时，f (x)的最大值是3.
故选：B.
4 题型四、余弦函数的对称性
1．下列各点中，可以作为函数f ( x)=2cos( x +π
3 )+1图象的对称中心的是
（ ）
A．(π
3 ,1) B．(π
6 ,1)
C．(π
3 ,0)
D．(π
6 ,0)
【答案】B
【分析】利用余弦函数的性质，逐项验证即可得解.
【详解】对于AC，f (π
3 )=2cos(π
3 +π
3 )+1=0≠1，AC 不是；
对于BD，f (π
6 )=2cos(π
6 +π
3 )+1=1，B 是，D 不是.
故选：B
2．将函数y =cos(2 x +π
3 )的对称中心是（ ）
A．(-π
6 ,0)
B．(
π
12 ,0)
C．(
π
6 ,0) D．
(-π
12 ,0)
【答案】B
【分析】利用余弦函数的对称性即可求解.
【详解】由2 x +π
3 =k π+π
2 ,k ∈Z，得x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z，
所以函数y =cos(2 x +π
3 )的对称中心是(
π
12 + k π
2 ,0),k ∈Z，
当k =0时，函数y =cos(2 x +π
3 )的对称中心是(
π
12 ,0).
故选：B.
3．函数y =sin(π
2 + x)图象的一条对称轴是（ ）
A．x 轴
B．y 轴
C．直线y = x
D．直线x =π
2
【答案】B
【分析】诱导公式变形后根据余弦函数性质判断．
【详解】由已知y =sin(π
2 + x)=cos x，四个选项中只有B 选项y轴是其图象
的一条对称轴，
故选：B．
4．函数f (x)=cos(x -π
7 )图象的对称轴方程是（ ）
A．x =9π
14 +k π(k ∈Z)
B．x =9π
14 +2k π(k ∈Z)
C．x =π
7 +k π(k ∈Z)
D．x =π
7 +2k π(k ∈Z)
【答案】C
【分析】采用整体对应法即可构造方程求得对称轴方程.
【详解】令x -π
7 =k π(k ∈Z)，解得：x =π
7 +k π(k ∈Z)，
∴f (x)的对称轴方程为x =π
7 +k π(k ∈Z).
故选：C.
5．函数y = 3
2 cos(x +π
2 )的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x =-π
2
B．x =-π
4
C．x =π
8
D．x =π
【答案】A
【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解.
【详解】依题意，
由x +π
2 =k π，k ∈Z，得x =-π
2 +k π，k ∈Z．
当k =0时，得x =-π
2 .
故选：A.
6．函数y =cos(2 x + π
3 )的图象（ ）
A．关于点( π
3 ,0)对称
B．关于点( π
6 ,0)对称
C．关于直线x = π
6 对称
D．关于直线x = π
3 对称
【答案】D
【分析】根据余弦函数的对称中心、对称轴，应用整体代入判断各选项的
正误.
【详解】由题设，由余弦函数的对称中心为(kπ + π
2 ,0)，令2 x + π
3 =kπ + π
2 ，
得x = kπ
2 + π
12，k ∈Z，易知A、B 错误；
由余弦函数的对称轴为x =kπ，令2 x + π
3 =kπ，得x = kπ
2 - π
6 ，k ∈Z，
当k =1时，x = π
3 ，易知C 错误，D 正确；
故选：D
7．设函数f ( x)=cos(2 x + π
3)+1，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数f ( x)的值域是[0,2]；
B．点(- 5
12 π ,0)是函数f ( x)的图像的一个对称中心；
C．直线x = π
3 是函数f ( x)的图像的一条对称轴；
D．将函数f ( x)的图像向右平移π
6 个单位长度后，所得图像对应的函数
是偶函数．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可；
【详解】解：因为f ( x)=cos(2 x + π
3)+1，-1≤cos(2 x + π
3)≤1，
所以f ( x)∈[0,2]，即函数f ( x)的值域是[0,2]，故A 正确；
因为f(- 5
12 π)=cos(- 5
6 π + π
3)+1=cos(- π
2)+1=1，所以函数关于
(- 5
12 π ,1)对称，故B 错误；
因为f(
π
3)=cos(2× π
3 + π
3)+1=0，所以函数关于直线x = π
3 对称，故C 正确；
将函数f ( x)的图像向右平移π
6 个单位长度得到
y =cos[2(x - π
6)+ π
3]+1=cos2 x +1为偶函数，故D 正确；
故选：B
8．关于函数f ( x)=cos(x + π
6), x∈R，有下述四个结论：
①f ( x)的一个周期为-2π； ②f ( x)的图象关于直线x = 4 π
3 对称；
③f ( x + π )的一个零点为x = π
3 ； ④f ( x)在(0, π
2)上单调递增．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．③④
【答案】A
【分析】由余弦函数的周期性、对称性、零点及单调性依次判断即可.
【详解】f ( x -2π )=cos(x -2π + π
6)=cos(x + π
6)= f ( x)，①正确；
f ( 4 π
3 )=cos(
4 π
3 + π
6)=cos 3 π
2 =0，则f ( x)的图象关于(
4 π
3 ,0)
对称，②错误；
f ( x + π )=cos(x + π + π
6)=-cos(x + π
6)
，-cos(
π
3 + π
6)=0，③正确；由x∈(0, π
2)
可得x + π
6 ∈(
π
6 , 2π
3 )
，f ( x)单调递减，④错误.
故选：A.
9．函数y =2cos
2(
x
2 + π
3)-1,(x∈R)的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x =- π
6
B．x = π
6
C．x =- π
3
D．x = π
3
【答案】D
【分析】化简可得y =cos(x + 2π
3 )，求出对称轴即可判断.
【详解】y =2cos
2(
x
2 + π
3)-1=cos(x + 2π
3 )，
由x + 2π
3 =kπ，可得对称轴为x =kπ - 2π
3 ，
当k =1时，可得对称轴方程为x = π
3 ，其它选项不符合.
故选：D.
5 题型五、余弦函数的单调性
1．已知函数f ( x)=cos2 x，下列结论中错误的是（ ）
A．f ( x)的最小正周期为π
B．f ( x)的图像关于直线x =0对称
C．f (x)在(
π
4 , 7 π
12)上单调递增
D．f ( x)的值域为 [-1，1]
【答案】C
【分析】根据周期公式的计算即可判断A，代入 x =0，f ( x)取最大值，即
可判断B,根据整体范围即可验证C,D.
【详解】f ( x)的最小正周期为T=2π
2
=π,故A 正确，当x =0时，f (0)=1，故
f ( x)的图像关于直线x =0对称，B 正确，当x∈(
π
4 ,7π
12 )时，
2 x∈(
π
2
,7π
6 )⊄(π,2π)，故C 错误，f ( x)∈[-1，1]，故D 正确.
故选：C
2．已知函数f ( x)=sin
2 x -cos
2 x( x ∈R),f
'( x)是f ( x)的导数，则以下结论中
正确的是（ ）
A．函数f(x +π
2 )是奇函数
B．函数f ( x)与f
' (x)的值域相同
C．函数f ( x)的图象关于直线x = π
4 对称
D．函数f ( x)在区间(
π
6 ,π
3 )上单调递增
【答案】D
【分析】化简f ( x)并求导，结合值域，对称性，单调性逐项判断即可.
【详解】由题意，f ( x)=sin
2 x -cos
2 x =-cos2 x ,f
'( x)=2sin 2 x，
对A, f(x +π
2 )=-cos2(x +π
2 )=cos2 x为偶函数，故A 错误；
对B，易知f ( x)的值域为[-1,1]，f
' (x)的值域为[-2,2]，故B 错误；
对C, f (π
4 )=-cosπ
2 =0,故C 错误；
对D, x∈(
π
6 ,π
3 ),2 x∈(
π
3 ,2π
3 )⊆(0,π),y =cos2 x单调递减，故f ( x)在
区间(
π
6 ,π
3 )上单调递增，故D 正确.
故选：D.
3．函数f (x)=-3cos(2 x +π
6 )的单调递增区间为（ ）
A．[k π-π
3 ,k π+π
6 ],k ∈Z
B．[k π+π
6 ,k π+ 2π
3 ],k ∈Z
C．[k π- 7π
12 ,k π-π
12],k ∈Z D．[k π-π
12 ,k π+ 5π
12 ],k ∈Z
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】f (x)=-3cos(2 x +π
6 )，令2k π≤2 x +π
6 ≤2k π+π,k ∈Z，
∴k π-π
12 ≤x ≤k π+ 5π
12 ,k ∈Z,
故函数f (x)的单调递增区间为[k π-π
12 ,k π+ 5π
12 ],k ∈Z.
故选：D．
4．已知函数f ( x)=1+2cos(2 x -π
3 )，则（ ）
A．f ( x)在(0,π
3 )上单调递减
B．f ( x)的图象关于直线x =-π
6 对称
C．f ( x)在(0,π
3 )上单调递增
D．f ( x)的图象关于点(-π
12 ,1)对称
【答案】D
【分析】由x∈(0,π
3 )求出2 x -π
3 的范围，结合余弦函数单调性判断AC；
代入验证确定对称性判断BD.
【详解】对于AC，当x∈(0,π
3 )时，2 x -π
3 ∈(-π
3 ,π
3 )，则函数f ( x)在
(0,π
3 )上先增后减，A，C 错误；
对于B，而f (-π
6 )-1=2cos(- 2π
3 )≠±2，则f ( x)的图象不关于直线x =-π
6
对称，B 错误；
对于D，f (-π
12 )-1=2cos(-π
2 )=0，则f ( x)的图象关于点(-π
12 ,1)对称，
D 正确．
故选：D
5．下列函数在(
π
4 , 3π
4 )上单调递减的是（ ）
A．y =sin 4 x
B．y =sin(2 x -π
12)
C．y =cos(2 x -π
3 )
D．y =cos(x -π
6 )
【答案】D
【分析】利用x∈(
π
4 , 3π
4 ),求解整体的范围，即可根据正余弦函数的性
质，结合选项逐一求解.
【详解】对于A，由于x∈(
π
4 , 3π
4 ),所以
4 x∈(π,3π)⊄[
π
2 +2k π,3π
2 +2k π,],k ∈Z,故y =sin 4 x在(
π
4 , 3π
4 )不是单
调递减，
对于B，由于x∈(
π
4 , 3π
4 ),所以
2 x -π
12 ∈(
5π
12 ,17π
12 )⊄[
π
2 +2k π,3π
2 +2k π,],k ∈Z,故y =sin(2 x -π
12)在
(
π
4 , 3π
4 )
不是单调递减，
对于C，由于x∈(
π
4 , 3π
4 ),所以
2 x -π
3 ∈(
π
6 ,7π
6 )⊄[2k π,π+2k π,],k ∈Z,故y =cos(2 x -π
3 )在(
π
4 , 3π
4 )
不是单调递减，
对于D，由于x∈(
π
4 , 3π
4 ),所以
x -π
6 ∈(
π
12 ,7π
12 )⊂[2k π,π+2k π,],k ∈Z,故y =cos(x -π
6 )在(
π
4 , 3π
4 )是
单调递减，
故选：D
6．若f ( x)=2sin
2 x，则f ( x)满足（ ）
A．在[0,π]上单调递增
B．在[0,π]上单调递减
C．在[0,π
2 ]上单调递增
D．在[0,π
2 ]上单调递减
【答案】C
【分析】利用二倍角公式将函数解析式化简，再根据余弦函数的性质判断
即可.
【详解】因为f ( x)=2sin
2 x =1-cos2 x，
当x∈[0,π]时2 x∈[0,2π]，因为y =cos x在[0,2π]上不单调，
所以f (x)在[0,π]上不单调，故A、B 错误；
当x∈[0,π
2 ]时2 x∈[0,π]，因为y =cos x在[0,π]上单调递减，
所以f (x)在[0,π
2 ]上单调递增，故C 正确、D 错误；
故选：C
7．函数y =3cos(x +π
2 )的单调递减区间为（ ）
A．[k π,k π+π
2 ]，k ∈Z
B．[2k π,2k π+π]，k ∈Z
C．[2k π-π
2 ,2k π+π
2 ]，k ∈Z
D．[k π-π
2 ,k π+π
2 ]，k ∈Z
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得y =3cos(x +π
2 )=-3sin x，结合正弦函数的单
调区间分析求解.
【详解】因为y =3cos(x +π
2 )=-3sin x，
且y =sin x的单调递增区间为[2k π-π
2 ,2k π+π
2 ]，k ∈Z，
所以函数y =3cos(x +π
2 )的单调递减区间为[2k π-π
2 ,2k π+π
2 ]，k ∈Z.
故选：C．
8．函数f (x)=2sin(x + π
2)的一个单调递增区间是（ ）
A．[- π ,0]
B．[- π ,π ]
C．[0,π ]
D．[0,2π ]
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简f (x)，再结合cos x的图象性质可得结果.
【详解】f (x)=2sin(x +π
2 )=2cos x，
由cos x的图象可知f (x)在[-π,0]，[π,2π]上单调递增，[0,π]上单调递减，
故A 正确，BCD 均错误.
故选：A.
9．下列函数中，在(0,π)上为减函数的是（ ）
A．y =sin x
B．y =cos(x -π
6 )
C．y =sin x
2
D．y =cos x
2
【答案】D
【分析】根据三角函数的单调性及复合函数的单调性性质判断．
【详解】y =sin x，y =cos(x -π
6 )，y =sin x
2在(0,π)上均不是单调函数，
x∈(0,π)时，x
2 ∈(0,π
2 )，
所以y =sin x
2在(0,π)上为增函数，y =cos x
2在(0,π)上为减函数.
故选：D．
10．已知函数f (x)=cos2 x +sin2 x，则下列说法中，正确的是（ ）
A．f (x)的最小值为-1
B．f (x)在区间[-π
4 ,π
4 ]上单调递增
C．f (x)的最小正周期为2π
D．f (x)的图象可由g(x)= ❑√2cos2 x的图象向右平移π
8 个单位得到
【答案】D
【分析】根据选项的内容，我们可以利用辅助角公式把函数解析式化为余
弦型函数形式，结合余弦型函数的最值性质、单调性性质、最小正周期公式、
图象平移的性质逐一判断即可.
【详解】f (x)=cos2 x +sin2 x = ❑√2cos(2 x -π
4 ).
A：当2 x -π
4 =2k π+π(k ∈Z)时，即当x =k π+5π
8
(k ∈Z)时，
函数f (x)的最小值为- ❑√2，所以本选项说法不正确；
B：由x∈[-π
4 ,π
4 ]⇒-3π
4 ≤2 x -π
4 ≤π
4 ，显然[-3π
4 ,π
4 ]不是[-π,0]的
子集，
所以本选项说法不正确；
C：f (x)的最小正周期为2π
2 =π，因此本选项说法不正确；
D：g(x)= ❑√2cos2 x的图象向右平移π
8 个单位得到
g(x -π
8 )= ❑√2cos[2(x -π
8 )]= ❑√2cos(2 x -π
4 )，所以本选项说法正确，
故选：D
