文档内容
第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：垂直性质的简单判定............................................................................................................2
题型二：证明线线垂直........................................................................................................................4
题型三：证明线面垂直........................................................................................................................6
题型四：证明面面垂直........................................................................................................................9
题型五：面面垂直的性质定理..........................................................................................................12
题型六：垂直关系的综合应用..........................................................................................................15
题型七：鳖臑几何体中的垂直..........................................................................................................21
02 重难创新练....................................................................................................................................25
03 真题实战练....................................................................................................................................41题型一：垂直性质的简单判定
1．设 、 是两个平面， 、 是两条直线，且 ．下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 ，
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】对于①：若 ，因为 ， ，则 ，
若 ，因为 ， ，则 ，
若 不在 也不在 内，因为 ， ， ，
所以 且 ，故①正确；
对于②：若 ，则 与 ， 不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②错误；
对于③：过直线 分别作平面，与 ， 分别相交于直线 ，直线 ，
因为 ，过直线 的平面与平面 相交于直线 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，因为 ， ，则 ，
又因为 ，则 ，故③正确；
对于④： 与 和 所成的角相等，则 和 不一定垂直，比如：
正方体 中，平面 平面 ，
与平面 所成角为 ，
与平面 所成角为 ，又 ，
所以 ，但 与 不垂直，故④错误；
综上只有①③正确．
故选：A．
2．（2024·四川成都·三模）已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】对于A，若 ， ，则 平行、相交或异面；
对于B，若 ，则存在 ，使得 ，又因为 ， ，而 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 ， ，则 或 ，故C错误；
对于D，若 ， ， ，且如果 不在 内，则不会有 ，故D错误.
故选：B.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列命题
为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D． ， ， ，则
【答案】C
【解析】A：若 ，则 与 可能相交，可能平行，故A错误；
B：若 ，则 与 可能相交，可能平行，故B错误；
C：若 ，由线面垂直的性质知 ，故C正确；
D：若 ，则 与 可能相交，可能平行，故D错误.
故选：C题型二：证明线线垂直
4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，
， ，点E为线段 的中点，点F在线段AB上，且 ．
(1)求证： ；
(2)求三棱锥 的体积．
【解析】（1）证明：在正方形 中， ，又 ，∴
在 中，点E为线段PC的中点， ，DE平分 ，
在 中， ，
过E作 交CD于H，连接FH，则 ，
在正方形 中， ，∴四边形AFHD是矩形，
∴ ，又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ．
（2）法一：在 中，∵ ， ，∴ ，
在正方形 中， ，而 ，CD， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ，平面 平面 ，过P作 交CD于Q，∴ 平面 ，
∵ ，∴ ， ，
，
法二：在 中，∵ ， ，∴ ，
在正方形 中， ，而 ，CD， 平面 ，
∴ 平面 ， ，
．
5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台 中，底面四边形ABCD为菱形，
平面ABCD.
证明： ；
【解析】在四棱台 中， 延长后必交于一点，
故 四点共面，因为 平面 ， 平面 ，故 ，
连接 ，因为底面四边形 为菱形，故 ，
平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
6．如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的正方形， ， ．证明： ；
【解析】 侧面 是边长为2的正方形，
， ， ，
侧面 是平行四边形，
，
在 中，由余弦定理有 ，
解得 ， 是直角三角形，
， ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
；
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形 中， ， ，垂足为
，将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
【解析】由题意可知 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，则 .
题型三：证明线面垂直
8．如图所示， 是 的直径，点 是 上异于 ， 平面ABC， 、 分别为 ， 的中点，求证：EF⊥平面PBC；
【解析】证明：因为 平面ABC， 平面 。所以 ，
因为 是 的直径，知 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
由 分别是 的中点，所以 ，所以 平面 ．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 是 上的点，且 平面 ．
求证： 平面 ；
【解析】因为 平面 ， 面 ，所以 ，又 ，所以 ，
又三棱柱 是直三棱柱，所以 ，
又易知 与 相交， 面 ，所以 平面 .
10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面 是边长为2的正方形， 是 的中点.
(1)求该圆柱体的体积；
(2)证明： 平面 ；
【解析】（1）由已知可得圆柱的底面半径 ，高 ，故该圆柱体体积为 .
（2）∵ 是弧 中点，∴
由题可知 平面 ，且 平面 ，
∴
又因为 ， 平面 ， 平面
所以 平面 .
11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥 中，已知 是
的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，点 是 的中点，求点 到平面 的距离.
【解析】（1） 是 的中点 ，
连接 ， ， ，
在 和 中 ，
， ，
平面 ， 平面 .
（2）因为 是 的中点，
所以点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离的一半，
设点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ，
故 ，
设点 为 的中点，则 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，故 ，
所以点 到平面 的距离为 .
题型四：证明面面垂直
12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中， ， ，E，F
分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面 平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【解析】（1）
取CD的中点O，连接OA，OB，因为 ， ，所以 ，且 ，
又 ， ， ， ，
所以 ，可得 ，
又 ， 平面 ，所以 平面BCD，
又 平面ACD，所以平面 平面BCD；
（2）因为 ，所以由（1）可得 ， ，
，
，
又F为AC的中点，所以 ，
在△BDF中， ， ， ，
则 ，
所以 ，
则 .
设点A到平面BDF的距离为d，则 ，
解得 ，即点A到平面BDF的距离为 .
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， ．
(1)证明：平面 平面 ；(2)若 ， ， 为 中点，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ．
由 ，得 ，而 ， ，则 ，
又 平面EDB，因此 平面EDB，而 平面ABCD，
所以平面 平面ABCD．
（2）由F是EC中点，得 ．
由（1）知 平面EDB， 平面EDB，则 ，
而 ， 平面ABCD，则 平面ABCD，
因此 ．即 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
14．（2024·广西·模拟预测）在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ，
．
求证：平面 平面AEF；
【解析】 为长方体 平面
平面 ∴
又 ，且 ， 平面 ，
平面平面AEF
平面 平面
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， 为边 上
的点， ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且三棱柱 的体积为 .
证明：平面 平面 ；
【解析】证明：由 ， ， 为正三角形.
设 的中点为 ，连接 ，则 ，
则 .易知 ， ，
所以 .
所以， ， ，
故 平面 ， 平面 ，所以 .
又易知 中 ， ， ，
又 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
题型五：面面垂直的性质定理
16．如图，在四边形 中， 是边长为2的正三角形， .现将 沿 边折
起，使得平面 平面 ，点 是 的中点.
求证： 平面 ；【解析】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，因为 为 中点， 为正三角形，所以 ，
又因为 平面 ， ，所以 平面 .
17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱 的各棱长均为 ， 侧棱 与底面
所成角为 ，且侧面 底面 ．
证明：点 在平面 上的射影 为 的中点；
【解析】过 作 于 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ，得 平面 ，因此 ，
又 ，从而 为等边三角形， 为 中点．
18．如图1，在矩形 中，点 在边 上， ，将 沿 进行翻折，翻折后
点到达 点位置，且满足平面 平面 ，如图2．
(1)若点 在棱 上， 平面 ，求证： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
平面 ，所以 .
（2）取 的中点 ，连接 ，依题意 ，所以 且 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
连接 、 ，则 ，所以 ，
又 ， ， ， ，
所以
，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
则 ，
则 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
解得 ，即点 到平面 的距离为 .19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱 中，侧面 平面 ，
，侧面 为菱形，且 为 中点．
证明： 平面 ；
【解析】（根据题意 ，即 ，
又侧面 平面 ，面 平面 ， 平面 ，
所以 面 ，而 面 ，所以 ，
侧面 为菱形， 为 中点，所以 ，
平面 ，
所以 平面 ；
题型六：垂直关系的综合应用
20．如图，在直三棱柱： 中， ， ， 是 的中点， 在 上，
为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使 平面 ？并证明你的结论.① 为 的中点；
② ；③ .
【解析】（1）连接 ，由于 是 的中点， 为 中点，则 且 ，故四边形为平行四边形，所以 ，
又 平面 , 平面 ，故 平面 ，
（2）若选①②，
由于 ，则 ,
故四边形 为矩形，此时 与 不垂直，
为 的中点， 为 的中点，故 ，故 与 不垂直，
因此不可能得到 平面
若选②③
由于 ， ，所以 ,
由于三棱柱 为直三棱柱，所以 ,此时不可能满足 ， ， ，
故无法得到 平面
选①③能证明 平面
连接 ， ， ，
在 中， ， ，
则 ，又 ，则 ，
又 ， ，
由于平面 平面 ，且两平面的交线为 ， 平面
所以 平面 ， 平面 ，
，又 平面 ，
平面 ．21．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， 为 的中点．
(1)求证： ；
(2)若 为 边的中点，能否在棱 上找到一点 ，使 ？请证明你的结论．
【解析】（1）连接 ，
四边形 为菱形， ，又 ， 为等边三角形，
为 中点， ；
， 为 中点， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（2）当 为 中点时， ，证明如下：
分别为 中点， ，又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
分别为 中点， ， ，
四边形 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ，平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 ，
由（1）知： 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
22．已知正方体 的棱长为 ， 分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由；
(3)求 到平面 的距离．
【解析】（1）
连接 ，
， ， 四边形 为平行四边形， ；
分别为 中点， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）取 中点为 ，， ，
， ，又 ，
， ，
又 ， ，则 ，
， 平面 ， 平面 ，此时 ，
则线段 上存在点 ， 为 中点，使得 平面 ，此时 .
（3） 平面 ， 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
由（2）知：当 为 中点时， 平面 ，则点 到平面 的距离即为 ，
又 ， 直线 到平面 的距离为 .
23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面 是菱
形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，因为 为 的中点，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 .
（2）当点 为 的中点时，平面 平面 ，
因为四边形 为矩形，则 ，因为 ，则 ，
因为四边形 为菱形，则 ，
因为 ，则 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以，平面 平面 ，
因此，当点 为 的中点时，平面 平面 .
24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，且
分别为棱 的中点，平面 与平面 交于直线 .
(1)求证： ；(2)若 与底面 所成角为 ，当 满足什么条件时， 平面 .
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
，
为 的中点，且 为矩形，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
.
（2） 底面 ，
为 与底面 所成角 ，
当 时，由（1）有 ，
，
且 ， 平面 ，
平面 ，
因为 平面 ，
，
， 面 ， 面 ，
由（1）有 ，
平面 .题型七：鳖臑几何体中的垂直
25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ， 是 上一点，
， ， ，将 沿着 翻折，使 运动到点 处，得到四棱锥 ．
证明： ；
【解析】（依题意得 ， ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为菱形，
如图，取 的中点 ，连接 ， ，
由 ，得 ， ，
又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，
可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，
在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解
立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，
其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体
中，PA⊥平面ACB.(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE 平面ABC；
(2)如图2，若 ，垂足为C，且 ，求直线PB与平面APC所成角的
大小；
(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体 为鳖臑.
【解析】（1）由D、E分别是PC、PB边的的中点，可得 ，
又 平面ABC， 平面ABC
则DE 平面ABC
（2）由PA⊥平面ACB， 平面ABC，可得
又 ， , 平面APC， 平面APC
则 平面APC，则 为直线PB与平面APC所成角.
又 ，可得
则 中， ， ，则
则直线PB与平面APC所成角为
（3）在 中，过点A作 于G，
又平面APC⊥平面BPC，平面APC 平面BPC
则 平面BPC，又 平面PBC，则 ，
由PA⊥平面ACB， 平面ABC，可得
又 ， 平面APC， 平面APC
则 平面APC，又 平面APC， 平面APC
则 , ，则 为直角三角形
又 为直角三角形，则四面体 为鳖臑.
27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 中，侧棱 底面ABCD，且 ，点
E是PC的中点，连接DE、BD、BE.证明： 平面 .试判断四面体 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若
不是，请说明理由；
【解析】因为 底面 ， 平面
所以 ，
因为 为长方形，所以 ，
因为 ， 平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 ，点E是PC的中点，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由 平面PCD， 平面PBC，
可知四面体 的四个面都是直角三角形，
即四面体 是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是 ， ， ， ；
28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的
中点 ，作 交 于点 ，连接 .证明： 平面 ；
【解析】因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
由底面 为长方形，有 ，而 ， ， 面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又因为 ，点 是 的中点，所以 ，
而 ， ， 面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
又 ， ， ， 面 ，所以 平面 .
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，
则下面结论中错误的是（ ）
A．
B． 平面
C．平面 平面
D． 平面【答案】D
【解析】因为四边形 是圆柱的轴截面，则线段 是直径， 都是母线．
又 是底面圆周上异于 的一点，
于是得 .
而 平面 ， 平面 ，则 .
因为 ， 平面 ，
则 平面 ，
因为 平面 ，因此得 ，A正确；
因为 , 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，B正确；
因为 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 ，C正确．
点 不在底面 内，而直线 在底面 内，即 是两条不同直线，
若 平面 ，因 平面 ，
则 ，与 矛盾，D不正确；
故选：D.
2．（2024·江西景德镇·三模）已知 ， 是空间内两条不同的直线， ， ， 是空间内三个不同的平面，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则 或
【答案】C
【解析】对于A，由 ， ，设 ，当 时，可得 ，故A错误；
对于B，由 ， 可得 或 ，故B错误；
对于C，如图，设 ， ，在平面 作不与 重合的直线 ，使 ，因 ，则 ，因 ， ，则 ，因 ，则 ，于是 ，故C正确；
对于D，当 ， ， 时，若 且 ，
则 可以和平面 成任意角度，故D错误.
故选：C.
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线 ， 和平面 ， ， ， ，则 的必要不充
分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，当 时，由线面垂直的性质定理可知 ；
只有当 且 时才能得到 .
所以 的必要不充分条件是 .
故选： .
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面
与棱 交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④
任意平面 都与平面 垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，因为平面 与棱 交于点 ，所以 四点共面，
在正方体 中，由平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
同理可得 ，故四边形 一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体 中， 面 ，
因为 面 ，所以 ，
若 是正方形， 有 ， ，若 不重合，则 与 矛盾，
若 重合，则 不成立，故②错误；
对于③，因为 平面 ， ，
若直线 与平面 垂直，则直线 ，显然矛盾，
所以平面 与直线 不可能垂直，故③错误
对于④，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
同理： ，又 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，故④正确.
综上所述，正确的有①④.
故选：C.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
【答案】C
【解析】对于A，当 ， 时，两平面α，β可能平行可能相交，所以A错误；
对于B， ， ，两平面β，γ可能平行可能相交，所以B错误；
对于C，当 ， ， 时，
设 ， ，在γ取一点O，过O分别作 于B， 于C，
则 ， ，因为 ，
所以 ， ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以C正确；对于D，当 ， ， ， 时，
可得 或 ，所以D错误.
故选：C.
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知 ， 为异面直线，直线 与 ， 都垂直，则下列说法不正确的是
（ ）
A．若 平面 ，则 ，
B．存在平面 ，使得 ， ，
C．有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ，
D．至少存在两对互相垂直的平面 和 ，其中 ，
【答案】A
【解析】对于A，如下图所示，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，平面 为平面 ，则
， ，故A错误；
对于B，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，平面 为平面 ，此时 ， ， ，
故B正确；
对于C，由线面垂直的判定可知， ， ，过直线 且与 垂直的平面只有一个，
过直线 且与 垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ， ，故C
正确；
对于D，在正方体中取 为 ， 为 ， 为 ，此时平面 平面 ，
平面 平面 ，即至少存在两对互相垂直的平面 和 ，其中 ， ，故D正确；
故选：A.
7．（2024·广东·一模）已知点 分别在平面 的两侧，四棱锥 与四棱锥 的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形 可能是 的菱形
B．四边形 一定是正方形
C．四边形 不可能是直角梯形
D．平面 不一定与平面 垂直
【答案】C
【解析】因为四棱锥 与四棱锥 的所有侧棱长均为2，可得点 在底面 上的投
影都是四边形 的外心，
所以两射影重合，即有 面 ，且四边形 有外接圆，
对于选项A，当四边形 是 的菱形时，此时四边形 没有有外接圆，所以选项A错
误，
对于选项B，当四边形 是矩形时，显然满足题意，所以选项B错误，
对于选项C，因为直角梯形没有外接圆，一定不合题意，所以选项C正确，
对于选项D，因为 面 ，又 面 ，所以平面 ，所以选项D错误，
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．
如图，已知直三棱柱 是堑堵，其中 ，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面C． D． 为锐角三角形
【答案】C
【解析】选项A：易知 ，又 平面 平面 ，所以 平面 ，故A正
确．
选项B：因为 ，所以 ，
又 ， 平面 ,
所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，故B正确．
选项C：设 的中点分别为 ，连接 ，
则 为异面直线 与 所成的角或其补角，
， ．
假设 ，则 ，即 ，化简可得 ，
故只有当 时 ，所以C不一定正确．
选项D：设 ，则 ，
所以 为锐角．同理可得 均为锐角，故D正确．
故选：C
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥 的平面展开图中， ， 分别是 ，
的中点，正方形 的边长为2，则在三棱锥 中（ ）A． 的面积为 B．
C．平面 平面 D．三棱锥 的体积为
【答案】ABD
【解析】
对于A，易知 ，故A正确；
对于B，连接 交 于G，根据正方形的性质易知 ，
所以有 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，故B正确；
对于C，由上可知 为平面 与平面 的夹角，
易知 ，则 不垂直，故C错误；
对于D，由题意可知 两两垂直，
则 ，故D正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正
确的有（ ）
A．若 ， ， ，则
B． ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】BCD
【解析】A. 若 ， ， ，不能推出 或 ，则不能推出 ，故A错误；
B.若 ， ，则 ，又 ，所以 ，故B正确；
C. 若 ， ，则 ，又 ，所以 ，故C正确；D. 若 ， ， ，说明与 和 垂直的法向量互相垂直，则 ，故D正确.
故选：BCD
11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体 中，底面 是正方形，
为 与 的交点，则下列条件中能成为“ ”的必要条件有（ ）
A．四边形 是矩形
B．平面 平面
C．平面 平面
D．直线 所成的角与直线 所成的角相等
【答案】ACD
【解析】要成为“ ”的必要条件，则该条件可由“ ”推出，
对于A，因为在平行六面体 中， ，
所以四边形 为平行四边形，又 ，
所以四边形 为矩形，故A正确；
对于B，假设平面 平面 ，
由选项A，可知四边形 为矩形，则 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，与四边形 为正方形矛盾，故B错误；
对于C，因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，故C正确；
对于D，因为四边形 为矩形， 为 的中点，易得 ，
又正方形 中， 是公共边，
所以 ，则 ，又 ，
所以 分别为直线 所成的角与直线 ， 所成的角（或其补角），
则直线 所成的角与直线 所成的角相等，故D正确.
故选：ACD.
12．（2024·陕西·三模）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 的一点，则下面
结论中正确的序号是 ．（填序号）
① ；② ；③ 平面 ；④平面 平面 ．
【答案】①②④
【解析】因为四边形 是圆柱的轴截面，则线段 是底面圆的直径， 都是母线．
又 是底面圆周上异于 的一点，于是得 ，而 平面 ， 平面 ，则 ．
因为 平面 ，则 平面 ，因为 平面 ，所以 ，①正
确：
同理可证 ，②正确：
点 不在底面 内，而直线 在底面 内，即 是两条不同直线，
若 平面 ，因 平面 ，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；
因为 平面 ，而 平面 ，于是得平面 平面 ，④正确．
故答案为：①②④
13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形 ，其中 ， ，点D沿着对角线 进行翻折，
形成三棱锥 ，如图所示，则下列说法正确的是 （填写序号即可）．
①点D在翻折过程中存在 的情况；
②三棱锥 可以四个面都是直角三角形；
③点D在翻折过程中，三棱锥 的表面积不变；
④点D在翻折过程中，三棱锥 的外接球的体积不变．
【答案】②④【解析】对于①：如图所示，过点B作 的垂线，垂足为E，连接 ，
若 成立，由 ， 与 都在平面 内且相交，
则 面 ，则 ，又因为 ，所以在原矩形中， ，
因为矩形的长宽不等，所以 显然不可能，①错误；
对于②：当面 面 时， ， ，此时四个面都是直角三角形，②正确；
对于③：由于在翻折过程中 与 都为锐角，且逐渐变小，
所以 变小，
同理 也同时变小，而另两个三角形和为矩形面积，③错误；
对于④：由于 ， 都为直角三角形，所以外接球的球心就是 中点，
点D在翻折过程中，其外接球的直径始终为 ，④正确.
故答案为：②④
14．如图，在平行四边形 中， ， ，且 交 于点 ，
现沿折痕 将 折起，直至折起后的 ，此时 的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，折起前，
，所以 ，
在直角 中，可得 ，
又由 ，因为 ，又因为 ，则 ，
由 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，则 平面 ，
又因为 平面 ，则平面 平面 ，
分别过点 作 的垂线 ，垂足分别为点 ，则 ，因为平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以
由 ，
可得 ，所以 ，
在 中，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为： .
15．（2024·四川·一模）如图，在矩形 中， ， ，点 为线段 的中点，沿直线 将
翻折，点 运动到点 的位置．当平面 平面 时，三棱锥 的体积为 ．
【答案】 /
【解析】如图，取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 ．易知四边形 为正方形，则
，
由翻折前后的不变性可知， ，
当平面 平面 时，又平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
由题意可知， ， ，
所以 ．
故答案为：
16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，侧面
是菱形， ，平面 平面 ．
(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）连接 ，由四边形 为菱形，得 ，由 ，得 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 面ABC，
则 平面 ，又 平面 ，于是 ，而 ，则 ，
又 ， 平面 ，因此 平面 ，又 平面 ，
所以
（2）点 到平面 的距离，即三棱锥 的底面 上的高，
由（1）知 平面 ，则三棱锥 的底面 上的高为 ，
设点 到平面 的距离为d，由 ，得 ，
而 ， ，则 的面积 ，由 ， ，得 ，又 ， ，则 ，
又 ， ，由余弦定理得 ，
则 ， 的面积 ，
则 ，即 ，所以点 到平面 的距离为 .
17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱 的侧棱垂直于底面， ， ，
点 ， 分别为 和 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)设 ，当 为何值时， 平面 ？试证明你的结论．
【解析】（1）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ，
则有 ， ， ，所以 ，
则 与 共面，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
平面 平面 ，
又 平面 ，∴ 平面 ；
（2）连接 ，不妨设 ，则 ，所以 ，
∵三棱柱 的侧棱垂直于底面，
∴平面 平面 ，
∵ ，∴ ，又点 是 的中点，所以 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，∴ ，
要使 平面 ，只需 即可，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ （负值舍去），即 时， 平面 .
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱 中，平面 和平面 均垂直于平
面 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为 的中点，底面 是正方形， ，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）在平面 内，过点 分别作 于点 ， 于点 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
同理可得 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由已知得四棱柱 ， 为正四棱柱，连接 ，
所以， ， ，
所以 ，所以 ．
同理可得 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台 中， 在 边上，平面 平面 ，
， ， ， ， .
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 ，求三棱锥 的体积.【解析】（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，则 ，
即 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ，则 ，又 ，
所以 .
（2）在 中， ， ， ，则 ， ，
由 ，解得 ，由 ，得 ，
因此 ，
所以三棱锥 的体积是 .
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所成
的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正确.
故选：ABD
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，
， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
【解析】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
【解析】（1）因为 平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 为直角三角形，
又因为 ， ，
所以 ，则 为直角三角形，故 ，
又因为 ， ，
所以 平面 .
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱 中， 平面
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ,
所以 ,
又因为 ，即 ，
平面 ， ,
所以 平面 ，
又因为 平面 ,
所以平面 平面 .
（2）如图，
过点 作 ，垂足为 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以四棱锥 的高为 .
因为 平面 ， 平面 ,
所以 , ,
又因为 ， 为公共边，
所以 与 全等，所以 .
设 ，则 ，
所以 为 中点， ,
又因为 ,所以 ,
即 ，解得 ，
所以 ，
所以四棱锥 的高为 ．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
【解析】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面BEF；6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
【解析】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而
，∴ 平面 ，而 平面 ．
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体 中， ，
E为AC的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
【解析】（1）由于 ， 是 的中点，所以 .
由于 ，所以 ，
所以 ，故 ，
由于 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
（2）依题意 ， ，三角形 是等边三角形，
所以 ，
由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 .
，所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 .
由于 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以
过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ，
所以 .
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
【解析】（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
【解析】（1）因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
【解析】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；（2）已知D为棱 上的点，证明： .
【解析】（1）由于 ， ，所以 ，
又AB⊥BB， ，故 平面 ，
1
则 ， 为等腰直角三角形，
， .
（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体 ，如图所示，取棱
的中点 ，连结 ，
正方形 中， 为中点，则 ，
又 ，
故 平面 ，而 平面 ，
从而 .
13．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．
（1）证明： ；
【解析】（1）[方法一]：几何法
因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体，如图所示，
过E作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ，
因为E，F分别为 和 的中点，所以 是BC的中点，
易证 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
， ．
由题设 （ ）．
因为 ，
所以 ，所以 ．
[方法三]：因为 ， ，所以 ，故 ， ，所以，所以 ．
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
M为 的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面 ；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥 的体积．
【解析】（1）因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又PB⊥AM，PB∩PD=P，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面PAM⊥平面 ．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知 ．
AD AB
于是△ABD∽△BMA，故 = ．
AB BM
1 1
因为BM= BC,AD=BC,AB=1，所以 BC2=1，即 ．
2 2
1 √2
故四棱锥 的体积V = AB⋅BC⋅PD= ．
3 3
[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法
由（2）知 ,所以k ⋅k =−1．
AM BD
建立如图所示的平面直角坐标系，设BC=2a(a>0)．因为 ，所以 ， ，D(0,2a)，M(1,a)．
a−0 2a−0
从而k ⋅k = × =a×(−2a)=−2a2=−1．
AM BD 1−0 0−1
所以 ，即DA=√2．下同方法一.
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
【解析】（1）因为 ，O是 中点，所以 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 .
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点， 为 轴， 为y轴，垂直 且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标
系 ，则 ，设 ,
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则由 可求得平面 的一个法向量为 ．
又平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ．
又点C到平面 的距离为 ，所以 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作 ，垂足为点G．
作 ，垂足为点F，连结 ，则 ．
因为 平面 ，所以 平面 ，
为二面角 的平面角．
因为 ，所以 ．
由已知得 ，故 ．
又 ，所以 ．因为 ，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角 ，记 为 ， 为 ， ，
记二面角 为 ．据题意，得 ．
对 使用三面角的余弦公式，可得 ，
化简可得 ．①
使用三面角的正弦公式，可得 ，化简可得 ．②
将①②两式平方后相加，可得 ，
由此得 ，从而可得 ．
如图可知 ，即有 ，
根据三角形相似知，点G为 的三等分点，即可得 ，
结合 的正切值，
可得 从而可得三棱锥 的体积为 ．
