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专题22.35 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】二次函数知识结构
【知识点二】二次函数有关概念
（1）定义：一般的，形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，自变量x的取
值范围为全体实数.
（2） 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项， 、b分别称为二次项系数和一次项
系数.
【知识点三】二次函数的解析式
（1）三类解析式
一般式： （a、b、c是常数， ）；
顶点式： （ ），二次函数的顶点坐标是（h，k）；
交点式： （ ），其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
（2）待定系数法求解析式①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
【知识点四】二次函数的图象与性质
开
口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方 a
向
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
（0，0） （0，k） （h，0） （h，k） − ,
顶 2a 4a
点
与
4ac−b2
最 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或 4a ）；
值 4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或 4a ）.
b b
− −
x<0（h或 2a）时，y随x的增大而减小；x>0（h或 2a）时，y随x的增大
a>0 而增大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
b b
性 − −
x<0（h或 2a）时，y随x的增大而增大；x>0（h或 2a）时，y随x的增大
a<0 而减小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
对 1.图象是轴对称图形；
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【知识点五】二次函数的图象与各项系数之间的关系
（1） 的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
（2） 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；
当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
（3）c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【知识点六】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a（x－h）2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的
基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平
移方法如下：
（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【知识点七】二次函数与一元二次方程
二次函数 （ ）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的
根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【知识点八】二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【知识点九】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范
围内.
（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题【考点一】二次函数➼➼➻有关概念
【例1】（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知函数 的图象是一条
抛物线，求这条抛物线表达式．
【答案】
【分析】根据题意知，函数 是二次函数，则 ，且 ，据此可
以求得 的值．
解：∵函数 的图象是一条抛物线，
∴函数 是二次函数，
，且 ，
解得， ，
该函数的解析式为： ．
【点拨】此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意 ．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当 时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中 不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．二次函数定义：一般
地，把形如 （a、b、c是常数，且 ）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数
式 的值为 ．
【答案】2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022
=2019．
故答案为：2019．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入
函数解析式得到有关m的代数式的值．
【考点二】二次函数➼➼➻求二次函数的解析式
【例2】（2022秋·九年级课时练习）求分别满足下列条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图像经过 三点．
（2）二次函数图像的顶点坐标是 ，并经过点 ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设二次函数的解析式为 ，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设二次函数的解析式为 ，将点 代入求得 的值即可求解．
（1）解：设二次函数的解析式为 ，将 代入得，
，解得 ，二次函数的解析式为 ；
（2）设二次函数的解析式为 ，将点 代入得，
，
解得 ，
二次函数的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握 二次函数解析式的方法是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022春·九年级课时练习）已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N
（2，3），求这个二次函数的解析式．
【答案】y＝5x2﹣10x+3
【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣2），设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2，将点（2，
3）代入求a即可．
解：设此二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∵其图象经过点（2，3），
∴a（2﹣1）2﹣2＝3，
∴a＝5，
∴y＝5（x﹣1）2﹣2，即y＝5x2﹣10x+3．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根
据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
【变式2】（2021春·九年级课时练习）已知抛物线 经过点A（3，0），B（﹣1，
0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1） ；（2）（1，4）
解：（1）∵抛物线 经过点A（3，0），B（－1，0），∴抛物线的解析式为； ，即 ，
（2）∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线 经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解
析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．
【考点三】二次函数➼➼➻二次函数的图象与性质
【例3】（2022·广东广州·统考中考真题）已知直线 ： 经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点P（ ， ）在直线 上，以P为顶点的抛物线G过点（0，-3），且开口向下
①求 的取值范围；
②设抛物线G与直线 的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单长度后得到的点Q' 也在G上时，求
G在 ≤ ≤ 的图象的最高点的坐标．
【答案】（1）直线 解析式： ；（2）①m＜10，且m≠0；②最高点坐标为（-2，9）或
（2，5）
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可；
（2）①设G的顶点式，根据点P在直线 上得出G的关系式，根据题意得出点（0，-3）不能成为抛
物线G的顶点，进而得出点P必须位于直线 的上方，可求m的取值范围，然后结合点P不能在 轴
上得出答案；
②先根据点Q，点 的对称，得QQ'=1，可表示点Q和 的坐标，再将点 的坐标的代入关系式，
求出a，再将点（0，-3）代入可求出m的值，然后分两种情况结合取值范围，求出函数最大值时，最高点
的坐标即可．
（1）解：∵直线 经过点（0，7）和点（1，6），∴ ，解得 ，
∴直线 解析式为： ；
（2）解：①设G： （ ），
∵点P（ ， ）在直线 上，
∴ ；
∴G： （ ）
∵（0，-3）不在直线 上，
∴（0，-3）不能成为抛物线G的顶点，
而以P为顶点的抛物线G开口向下，且经过（0，-3），
∴点P必须位于直线 的上方，
则 ， ，
另一方面，点P不能在 轴上，
∴ ，
∴所求 取值范围为： ，且 ；
②如图，QQ'关于直线 对称，且QQ'=1，
∴点Q横坐标为 ，
而点Q在 上，∴Q（ ， ），Q'（ ， ）；
∵Q'（ ， ）在G： 上，
∴ ， ，∴ G： ，或 ．
∵抛物线G过点（0，-3），
∴ ，
即 ，
， ；
当 时，抛物线G为 ，对称轴为直线 ，
对应区间为-2≤ ≤-1，整个区间在对称轴 的右侧，
此时，函数值 随着 的增大而减小，如图，
∴当 取区间左端点 时， 达最大值9，最高点坐标为（-2，9）；
当 时，对应区间为 ≤ ≤ ，最高点为顶点P（2，5），如图，
∴G在指定区间图象最高点的坐标为（-2，9）或（2，5）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，求二次函数的极
值等．解题的关键是掌握当 时，顶点在直线 与 轴的交点（0，7），此时抛物线不可能过点（0，-
3），因此， 可能会被忽视．
【举一反三】【变式1】（2018·四川成都·统考中考真题）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧
C．当 时， 的值随 值的增大而减小 D． 的最小值为-3
【答案】D
解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的
性质解答．
【变式2】（2022·山东枣庄·统考中考真题）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如
图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣
1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0
（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y），（﹣2，y），（3，y）均在二次函数图像上，则y
1 2 3 1
＜y＜y；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）
2 3
【答案】①②③
【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；
由抛物线的对称性可以判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可以判断④；对称轴可得b＝2a，由
抛物线过点（1，0），可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y＞y＞y，④错误．
2 1 3
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与
方程及不等式的关系．
【考点四】二次函数➼➼➻二次函数的图象与各项系数之间的关系
【例4】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线 与x轴交于点
对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③函数 的最大值为 ；
④若关于x的方数 无实数根，则 ．正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故 ，故b＞0，且 ，则
图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函
数取最大值，将x=1，代入 ，中得： ，计算出函数图象与x轴的另一交点为
（3,0）设函数解析式为： ，将交点坐标代入得化简得： ，将
x=1，代入可得： ，故函数的最大值为-4a，、 变形为：
要使方程无实数根，则 ，将c=-3a， ，代入得：
，因为a＜0，则 ，则 ，综上所述 ，结合以上结论可判断正确的项．
解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故 ，故b＞0，且 ，则
故②正确，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，则abc＜0，故①错误，
由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入 ，中得： ，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为
（3,0），设函数解析式为： ，
将交点坐标代入得： ，
故化简得： ，
将x=1，代入可得： ，故函数的最大值为-4a，故③正确，
变形为： 要使方程无实数根，则 ，将
c=-3a， ，代入得： ，因为a＜0，则 ，则 ，综上所述 ，故④
正确，
则②③④正确，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标
掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图像与 轴相交于
， 两点，对称轴是直线 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时， 的值随 值的增大而增大
C．点 的坐标为 D．
【答案】D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即 ，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为 ，当 ， 随 的增大而减小；当 ， 随 的增大
而增大，故当 时， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ，可
得对称轴 ，解得 ，即 ，故该选项不符合题意；
D、根据 可知，当 时， ，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与
轴交点 得到 是解决问题的关键．
【变式2】（2022·江苏徐州·校考二模）已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②⑤
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的图象与性质对每个选项依次进行判断即可．
解： 抛物线开口向下，
，
对称轴 ， 、 异号，故 ，
与 轴交点在正半轴，故 ，
，故①正确；
当 时， ，故②正确；
抛物线的对称轴为 ，与 轴的一个交点为3，则与 轴的另一个交点为 ，
当 时， ，故③错误；，
，
，故④错误；
， ，
，
，
，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键在于能结合图象灵活运用二次函数的性质进行
求解判断．
【考点五】二次函数➼➼➻二次函数图象的变换
【例5】（2021·贵州遵义·统考中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交
于点A（0， ）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x，x，当x2+x2＝10时，
1 2 1 2
求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值 ，求m的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得： 再利用根与系数的关系与可得关于 的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜ ＜ 结合函数图象，利
用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
解：（1）把 代入 中，
抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：
整理得：
∵x +x =4-3k，x •x =-3，
1 2 1 2
∴x 2+x 2=（4-3k）2+6=10，
1 2
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m＜2时，当x=m时，y有最大值， =- （m-2）2+3，
解得m=± ，∴m=- ，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴ =3，
∴m= ，
综上所述，m的值为- 或 ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与 轴的交点坐标，一元二次方
程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.
【举一反三】
【变式1】（2023·全国·九年级假期作业）假设将抛物线 向右平移3个单位得到抛物
线 ，那么抛物线C与 一定关于某条直线对称，这条直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把 配成顶点式，得到抛物线 的顶点坐标为 ，再根据点
平移的规律得到点 向右平移3个单位的对应点的坐标为 ，然后通过确定两顶点关于直线
对称得到两抛物线关于此直线对称．
解：∵ ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，
∵点 向右平移3个单位得到对应点的坐标为 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∵点 与点 关于直线 对称，∴抛物线C与 一定关于直线 对称．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出
解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式2】（2015秋·浙江金华·九年级阶段练习）（1）将抛物线y =2x2向右平移2个单位，得到抛物
1
线y 的图象，则y = ；
2 2
（2）如图，P是抛物线y 对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y 交于
2 2
点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=
．
【答案】 2x2﹣8x+8； 1或3或
解：（1）∵抛物线y =2x2向右平移2个单位，
1
∴抛物线y 的函数解析式为y=2（x-2）2
2
（2）∴抛物线y 的对称轴为直线x=2，
2
∵直线x=t与直线y=x、抛物线y 交于点A、B，
2
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2-8t+8），
∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t2-9t+8|=|t-2|，
∴2t2-9t+8=t-2①或2t2-9t+8=-（t-2）②，
整理①得，t2-5t+5=0，
解得 整理②得，t2-4t+3=0，解得t =1，t =3，
1 2
综上所述，满足条件的t值为：1或3或 ．
故答案为y=2（x-2）2 ； 3、1 , ,
【考点六】二次函数➼➼➻二次函数与一元二次方程
【例6】（2022春·九年级课时练习）如图，直线 与x轴交于点B．抛物线
与该直线交于A、B两点，交y轴于点D（0，4），顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标．
（2）求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当 时，x的取值范围．
【答案】（1）点A的坐标（－1， ），y＝－ ；（2）x≤－2或x=4
2
【分析】（1）根据直线 与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点
B的坐标，再根据抛物线 过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线
联立方程组，即可求得点A的坐标；
（2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，
可以写出当 时，x的取值范围．
解：（1）由直线 ＝－ 与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）．把点B（4，0）与点D（0，4）代入 ＝－ 得
解得 ，
∴ ＝－ ，
∵点A为直线 与抛物线 的交点，
∴解方程－ ＝－
得x=－1，
∴点A的坐标（－1， ）；
（2）当 =0时，－ =0，
解得 ，
∴点E的坐标为（-2，0），
结合图像，当 时，x的取值范围是x≤－2或x=4．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解
答是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·广东阳江·九年级统考期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）A．x＝﹣4，x＝2 B．x＝﹣3，x＝﹣1
1 2 1 2
C．x＝﹣4，x＝﹣2 D．x＝﹣2，x＝2
1 2 1 2
【答案】A
【分析】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象
与x轴的交点的横坐标．
解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的一个交点是（2，0），对称轴是直线x＝
−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则 ，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（－4，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根为x＝−4，x＝2．
1 2
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与关于x的一
元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）间的转换．
【变式2】（2022秋·重庆渝中·九年级重庆市求精中学校校考阶段练习）将抛物线y=x2+4x+3绕原点旋
转180°后，再分别向下、向右平移3个单位，此时该抛物线的解析式为 ．
【答案】y=-（x-5）2-2
【分析】先求出抛物线的顶点式解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移的
性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用
顶点式解析式写出即可．
解：y=x2+4x+3=（x+2）2-1．此时，该抛物线顶点坐标是（-2，-1）．
将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（2，1）．再分别向下、向右平移3个单位后
的顶点坐标是（2+3，1-3）即（5，-2）．
所以此时抛物线的解析式为：y=-（x-5）2-2．
故答案是：y=-（x-5）2-2．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用
顶点的变化求解更简便．
【考点七】二次函数➼➼➻二次函数与不等式
【例7】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是
多少元？
【答案】（1） ；（2）40元或20元；（3）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润
最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为 ，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，则
，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得： ；
∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的
关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【举一反三】
【变式1】（2021春·江苏·九年级专题练习）已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，
当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a的符号和关于
a的不等式，从而得到a的值．
解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），
∴抛物线的顶点为（5，9），
∵当7＜m＜8时，总有n＜1，
∴a不可能大于0，
则a＜0，
∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，
∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，
∴m＝3时，n≥1，m＝7时，n≤1，
∴ ,
∴4a+9＝1，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系
是解题关键．
【变式2】（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交
轴于点 ，点 是抛物线上的点，则点 关于直线 的对称点的坐标为 ．【答案】 或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点 代入抛物线的解析式，得出m的值，确定 的坐标，
再根据点 的坐标分情况画图求解，即可求出点 关于直线 的对称点坐标．
解：∵抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是抛物线上的点，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
①当 时，此时点 与点 重合，
如图1，设点 关于直线 对称点为 ，连接 ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，且 ，
∴ ，∴ ；
②当 时，
∴ 轴，
∴
如图2，设点 关于直线 的对称点为M，连接 ，
∵点 关于直线 的对称点为M，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上可得：点 关于直线 的对称点的坐标为 或 ．
故答案为： 或
【点拨】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次
函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
【考点八】二次函数➼➼➻实际问题与二次函数
【例8】（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，
该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为
1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】（1）x的值为2m；（2）当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36 ，列一元二次方程，
解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数
的性质求解即可．
（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= （24-BD）=8-x，
依题意得：3x（8-x）=36，
解得：x=2，x=6（不合题意，舍去），
1 2
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x（8-x）=-3（x-4）2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜ ，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ，
即当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·九年级单元测试）某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中，水池
的正中心有一支高度为 的喷水管，当喷出的抛物线水柱最大高度为 时，最高处距喷水管水平距离
为 ．
（1）求在如图所示的平面直角坐标系中的抛物线水柱的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）求这个 的喷水管的水柱落水处离水池中心的距离是多少？
【答案】（1） ；（2） 米
【分析】（1）利用解析式经过顶点坐标以及图象上（0,1），求出抛物线的解析式，进而即可求解抛
物线水柱的解析式；
（2）求出解析式与x轴交点坐标，即可得出答案．
（1）解：根据抛物线经过 ，
设 ，
又∵抛物线经过 ，将 代入 得，
，
解得 ，
∴抛物线水柱的解析式为 ；
（2）根据题意，当 时，解得 ， （不合题意，舍去），
答：水柱落水处离水池中心的距离为 米．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出抛物线解析式是解题关键．
【变式2】（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，
且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0：②2a﹣b＝0；③a＜﹣ ；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两
个根为x 和x，则（x+1）（x₂﹣3）＜0，正确的有 ．
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【答案】①③④
【分析】由图象可知，a＜0，c＞0，- =1＞0，b＞0，因此abc＜0，故①正确；-b=2a，2a-b=4a≠0，
故②错误；当x=-1时，a-b+c=0，3a+c=0，c=-3a＞2，a＜- ，故③正确；由对称轴直线x=1，抛物线与x轴
左侧交点（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），由图象可知，y=2时，x＞-1，x＜3，所以
1 2
x+1＞0，x-3＜0，因此（x+1）（x-3）＜0．
1 2 1 2
解：由图象可知，a＜0，c＞0，- =1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵-b=2a，
∴2a-b=4a≠0，故②错误；
x=-1时，a-b+c=0，
即3a+c=0，
c=-3a＞2，
∴a＜- ，故③正确；
由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），
由图象可知，y=2时，x＞-1，x＜3，
1 2
∴x+1＞0，x-3＜0，
1 2
∴（x+1）（x-3）＜0．故④正确．
1 2
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
