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第 49 讲 直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂
直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语
图形语言 符号语言
言
一条直
线与一个平
面内的两条
判断定
相交直线都
理
垂直，则该
直线与此平
面垂直
两个平
面垂直，则
_
在一个平面
面⊥面
内垂直于交
⇒线⊥面 _a
线的直线与
另一个平面
垂直
一条直 _
线与两平行
平面中的一
平行与
个 平 面 垂
垂直的关系
直，则该直
线与另一个
平面也垂直
两平行 _a _b
直线中有一
平行与 条与平面垂
垂直的关系 直，则另一
条直线与该
平面也垂直
知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同
性 质 定
一平面的两条
理
直线平行
文字语
图形语言 符号语言
言
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_
垂直于
垂直与 同一直线的
平行的关系 两个平面平
行
如果一
条直线垂直
于 一 个 平
线垂直
面，则该直
于面的性质
线与平面内
所有直线都
垂直
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的
两 条 交 线 互 相 垂 直 ． （ 如 图 所 示 ， 若 ， 且
，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂
直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一 个 平 面
过另一个平面
_
的垂线，则这
两个平面垂直
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
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性质定理 两 个 平 面 垂
直，则一个平面内
垂直于交线的直线 _
与另一个平面垂直
_a
【解题方法总结】
判定定理 判定定理
线线 性质定理 线面 性质定理 面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；
③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关
系中处于核心位置．
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线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
必考题型全归纳
题型一：垂直性质的简单判定
例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，
则下列说法正确的是（）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【解析】当 ， 时，可能有 ，但也有可能 或 ，故A选项错误；
当 ， 时，可能有 ，但也有可能 或 ，故选项B错误；
在如图所示的正方体 中，
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取 为 ， 为 ， 为平面 ， 为平面 ，这时满足 ， ，
，但 不成立，故选项C错误；
当 ， ， 时，必有 ，从而 ，故选项D正确；
故选：D.
例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不同的
平面，则下列四个命题正确的是（）
A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】对于选项A：若 ，且 ，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，
故A错误；
对于选项B：若 ， ， ，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，
故B错误；
对于选项C：若 ，且 ，根据线面垂直可得： ，故C正确；
对于选项D：若 ， ，但不能得到 ，
所以虽然 ，不能得到 ，故D错误；
故选：C.
例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平
面，有以下四个命题：
①若 ∥ ， ，则 ∥ ， ②若 ， ，则 ，
③若 ， ，则 ∥ ， ④若 ， ， ，则
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其中正确的命题是（）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】对于①，当 ∥ ， 时， ∥ 或 ，所以①错误，
对于②，当 ， 时，由面面垂直的判定定理可得 ，所以②正确，
对于③，当 ， 时，有 ∥ ，所以③正确，
对于④，当 ， ， 时，如图所示， ∥ ，所以④错误，
故选：A
变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直
线，则下列命题中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，可能会出现 ，或 与 相交但不垂直的情况，所以A不正
确；
对于B， 可能平行、可能异面，所以B不正确；
对于C，若 ，仍然满足 且 ，所以C不正确；
对于D， ，则 ，再由 ，可得 ,可知D正确.
故选：D.
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变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形 中，
对角线 交于点 ，将 沿 折到 位置，使平面 平面 .以下
命题:
① ；
②平面 平面 ；
③平面 平面 ；
④三棱锥 体积为 .
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【解析】如图：
因为四边形 是菱形， ，
所以 ， 为 的中点，
所以 ， ， ， 面 ，
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所以 面 ，又 面 ，所以 ，即①正确；
由①知 面 ，又 面 ，所以平面 平面 ，即②正确；
如图：
取 的中点为 ，连接 ， ，依题意， ，
所 ， ，所以 是二面角 的平面角，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 面 ， 和 是边长为2的正三角形，
所以 ，且有 ，
所以在 中， ，
又 和 是两全等的等腰三角形， ，
的中点为 ，所以 ，
由已知可得 是边长为2的正三角形，得 ，
则在 中，容易算得 ， ， ，
所以 ，所以二面角 不是直二面角，故③错误；
由已知可得 是边长为2的正三角形，又由上得 面 ，
所以三棱锥 的高即为 ， ， 是边长为2的正三角形，
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所以三棱锥 的体积为 ，故④正确.
故选：D.
变式3．（2024·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线， ，
是不同的平面，则下列条件中能推出 的是（）
A． ， ，且
B． ， ， ，且 ，
C． ， ， ，且
D． ， ，且
【答案】D
【解析】对于A， ， ，且 ， ， 可以平行、相交不垂直、垂直，A不
正确；
对于B， ， ， ，且 ， ，当 不相交时，l不一定与 垂直，
则 不一定与 垂直，B不正确；
对于C， ， ， ，且 ，显然直线 与 无关系， ， 可以平行、
相交不垂直、垂直，C不正确；
对于D，由 ， ，得 ，又 ，根据面面垂直的判定知 ，D正确．
故选：D
【解题方法总结】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
题型二：证明线线垂直
例4．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，
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， ．
(1)证明： ；
【解析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，
， ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
而 平面 ，
；
例5．（2024·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，
平面 ，点 是 的中点.
(1)证明： ；
【解析】（1）证明：因为 ，点 是 的中点，所以 .
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因为 平面 平面 ，所以平面 平面 ，
因为四边形 为矩形，所以 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
例6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
【解析】（1）证明：连接
， ， 是 的中点
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， 是 的中点
，
，
平面
平面 ， 平面 ， ，
在三棱柱 中， ，
， ，
，
平面 ，
平面 ， ．
变式4．（2024·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆
组成的平面图形， ， ， ．E是半圆上的一个动点，
当△CDE周长最大时，将半圆沿着CD折起，使平面 平面ABCD，此时的点E到达
点P的位置，如图2．
(1)求证： ；
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【解析】（1）如下图，过点D作 交 于点 ，连结 ，
因为 ， ， ．
所以 ， ， ，由 ,
所以 ，
因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 .
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱 中， ，
， ， 是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体
积.
【解析】（1）连接 ，
， 为 中点， .
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又 ， ， ，且 .
，
， ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， .
由已知 ， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 .
而 ， 平面 ， .
（2）由（1）可知 ， .
又 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ， .
所以 ，又 在棱 上移动，
当 时， 最小，此时 面积最小.
在 中， ， ，则 ， ， .
在 中，过 做 于 ，则 ，
， 平面 ，于是可得 .
.
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变式6．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形 中， ， ，
， ，如图1.沿对角线 将 折起，使点 到达点 的位置， 为
的中点，如图2.
(1)证明： .
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 为等边三角形，所以 ，又 为 的中点，
连接 交 于点 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
则折起后 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
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【解题方法总结】
题型三：证明线面垂直
13．（2024·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）如图，在四棱柱 中，
底面 ，底面 满足 ，且 ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积.
【解析】（1）由 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， .
满足 ，可得 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 .
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（2）由（1）中 ，且 ， ，可得 ，
因此 ，即 ，
又 平面 ， ，
可得 平面 ， 平面 ，
即 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 为四棱锥 的高，
即四棱锥 的体积. .
例7．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知
， .
(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）在 中， ，
所以 .
所以 ，故 ，则 .
又 ，即 .
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平面 ，
所以 平面 .
例8．（2024·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面ABD，
E为AB的中点， ， .
(1)证明： 平面CED；
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 为 的中点，所以 是 的中线，
所以 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 .
例9．（2024·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形 中，四边形
为正方形， ， ，如图2，将 沿 折起，使得A至 处，且
．
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(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）由题意得 ， ， ，
因为 ，则 ，
又 ， 面 ，所以 面 ，
又 面 ，则 ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
变式7．（2024·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥 中，已知 平面
，平面 平面 ．
(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）过点 作 于点 ，
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因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
变式8．（2024·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面与
平面 互相垂直，且 ， ， ．
(1)求证： 平面 ；
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【解析】（1）在矩形 中， ，
又平面 平面 ，平面 平面 = ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
在矩形 中， ,
又 ，所以 ,
所以 .
又 ， 平面 ，
所以 平面 ；
变式9．（2024·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱
中，平面 平面 ， 是 的中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
【解析】（1）连接 ，
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由题意可知： 为等边三角形，且 是 的中点，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
， 平面 ，
所以 平面 .
【解题方法总结】
垂直关系中线面垂直是重点．
①垂直两条相交线；
②垂直里面作垂线；
线垂面哪里找
③直（正）棱柱的侧棱是垂线；
④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.
①垂直面里所有线（证线线垂直）；
线垂面有何用
②过垂线作垂面（证面面垂直）.
证明线面垂直常用两种方法．
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么
．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
题型四：证明面面垂直
例10．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，侧
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面 为菱形， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
【解析】（1）如图，连接 ，交 于 ，连接 .
因为侧面 为菱形，所以 ，且 为 的中点.又 ，故
.
又 ，且 ，所以 ，所以 .又
，所以 ，所以 .
因为 平面 ， ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
例11．（2024·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为直
角梯形， ， ， ， ， ， .
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(1)求证：平面 平面 ；
【解析】（1） 四边形 为直角梯形， ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ；
作 ，
， ， ， ，
又 ， ，
， ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 .
例12．（2024·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形 与 ，
， ， ，AD⊥AB， ，G是线段
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上一点.
(1)平面 ⊥平面ABF
【解析】（1）因为 ， ， ，AF、AB 平面ABF，
所以AD⊥平面ABF，又AD 平面ABCD，
所以平面 ⊥平面ABF.
变式10．（2024·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体 中， 平面 ，
点 在平面 的投影在线段 上 ， ， ， ，
平面 .
(1)证明：平面 平面 .
【解析】（1）由题知，平面 平面 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，
又因为平面 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，则 共面.
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
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所以 ，则四边形 为平行四边形，所以 .
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 , 平面 ，所以 平面 .
因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
变式11．（2024·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱 中，侧面 为
菱形， .
(1)证明：平面 平面 ；
【解析】（1）连 、 交于 ，则 为 、 的中点，连 ，
因为 ，所以 ，
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因为侧面 为菱形， ， ，
所以 ， ，所以 ，即 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 .
变式12．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体
中， 为棱 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)画出平面 与平面 的交线，并说明理由；
(3)求过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．
【解析】（1）在长方体 中， ，
与 都是等腰直角三角形，
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， ，
平面 平面 ， ，
又 面 ， 面 ，
又 平面 平面 平面 ；
（2）延长 与 的延长线相交于 ，连接 ，
则 即为平面 与平面 的交线，理由如下：
平面 ， 平面 ，
平面 与平面 的交线为 ；
（3）令 与 的交点为 ，
则三棱台 的体积为 ，
为棱 的中点， 为 的中点，
是 的中点， 是 的中点，
，
， ，
三棱台 的体积为 ，
过 三点的平面 将四棱柱分成的上部分的体积为 .
过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为 .
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变式13．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图， 为圆锥的顶点，A， 为底面
圆 上两点， ， 为 中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
【解析】（1）设圆O的半径为r，
在 中， ， ， ，
故 ，又 ，故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ；
圆锥中， 底面 ， 底面 ，故 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
变式14．（2024·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中，
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与 均是等边三角形，直线 平面 ，直线 平面 ， .
(1)求证：平面 平面 ；
【解析】（1）
如图1，设平面 与直线 的交点为 ，连接 ， .
因为直线 平面 ，直线 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， .
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， .
又因为 与 均是等边三角形，
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所以 为 中点，且二面角 的平面角为 .
在平面四边形 中，
因为 ，
所以 ，
所以平面 平面 .
【解题方法总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现
有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
题型五：垂直关系的综合应用
例13．（2024·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ，
．
(1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；
【解析】（1）取棱BC的中点D，连接 ，AD．在等腰直角 ABC中， ，
△
又 ， 平面 ，故 平面 ．
又 平面 ，故平面 平面 ，这两个平面的交线为 ．
在 中，作 ，则有 平面 ；
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例14．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱 （侧棱垂直于底面，
且底面三角形 是等边三角形）中， ， 、 、 分别是 ， ， 的
中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，
也请说明理由．
【解析】（1）（1）证明： 、 、 分别是 ， ， 的中点．
，四边形 为平行四边形，可得 ，
因为 平面 ； 平面 ；
平面 ；
同理可得 平面 ；
又 ， 平面 ，
平面 平面 ．
（2）假设在线段 上存在一点 使 平面 ．
四边形 是正方形，因此点 为点 ．
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不妨取 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
，
， ，
， ．
所以 ， ，又 ， 平面 ，所以 平面
，
在线段 上存在一点 ，使 平面 ，其中点 为 点．
例15．（2024·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD
上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝ ，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．
（1）求证：AD⊥平面ABC；
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（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．
【解析】（1）因为顶点A在底面BCD上的投影O在棱BD上，
所以AO⊥平面BCD，
因为AO 平面ABD，
所以平面⊂ABD⊥平面BCD，
因为∠CBD＝90°，
所以BC⊥BD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面ABD， ⊂
又AD 平面ABD，
所以B⊂C⊥AD，
由AB＝AD＝ ，BD＝2，得 ，
所以AD⊥AB，
因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．⊂ ⊂
（2）连接OE，因为O为BD的中点，E为CD的中点，OE∥BC，所以OE⊥BD，
如图，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直
角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），
E
（1，0，0），
， ， ，
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设平面ABE的一个法向量 ＝（x，y，z），
取x＝1，得 ＝（1，﹣1，1），
设平面ACE的一个法向量 ＝（a，b，c），
取c＝1，则 ，
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，由图知二面角为锐角，
则cosθ＝ ＝ ．
所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为 ．
（3）设P（0，y，z），Q（ ，0， ），
因为PQ⊥平面ABE，∴ ．
∴ ， ＝λ（1，﹣1，1）．
∴ y＝ ，z＝0，∴ P（0， ，0）
∴ PQ＝
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变式15．（2024·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体 中，
， .
（1）求证： ；
（2）在线段 上，是否存在点 ，使得 平面 ？并说明理由.
【解析】（1）如图，连接 ，因为 ， ，所以 ， 分别为
， 的中点，所以 ，
又 ，所以 .
（2）如图，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 .
因为 ， ，所以 .
因为 ，所以 平面 ，
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所以在线段 上，存在点 ，使得 平面 .
变式16．（2024·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面
是矩形，侧面 是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线
段 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位
置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，
因为 为 的中点，则 且 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， 且 ，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ，
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因为 ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ，故 平面 .
（2）当点 为 的中点时，平面 平面 ，
因为四边形 为矩形，则 ，因为 ，则 ，
因为四边形 为菱形，则 ，
因为 ，则 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以，平面 平面 ，
因此，当点 为 的中点时，平面 平面 .
变式17．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，
侧面PAB是等边三角形， ， ， ．
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(1)求证：面 面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面BEQF，是
否存在点Q，使得平面 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理
由．
【解析】（1）在 中，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，则 ，即 ，
又 ， ， 面PAB，
所以 面PAB，又 面ABCD，
所以面 面ABCD；
（2）假设存在点Q，使得平面 平面PAD；
如图，以A为原点，分别以 ， 为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ，
， ， ， ，
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设 是平面PAD的法向量，则 ，取 ，
设 ，其中 ．
则
连接EF，因 平面BEQF， 平面PAC，平面 平面 ，故
，
取与 同向的单位向量 ，
设 是平面BEQF的法向量，
则 ，取 ．
由平面 平面PAD，知 ，有 ，解得 ．
故在侧棱PD上存在点Q且当 时，使得平面 平面PAD．
变式18．（2024·河北邯郸·统考二模）如图，直三棱柱ABCABC 中，D，E分别是棱
1 1 1
BC，AB的中点，点F在棱CC 上，已知AB＝AC，AA＝3，BC＝CF＝2．
1 1
（1）求证：C E 平面ADF；
1
（2）设点M在棱BB 上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF．
1
【解析】（1）证明：连接CE交AD于O，连接OF．
因为CE，AD为 ABC的中线，
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则O为 ABC的重心，
故 ，
故OF C E，
1
因为OF 平面ADF，C E⊄平面ADF，
1
⊂
所以C E 平面ADF；
1
（2）当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF．
证明如下：因为AB＝AC，D为BC的中点，
故AD⊥BC．在直三棱柱ABCABC 中，
1 1 1
BB⊥平面ABC，BB 平面BBCC ，
1 1 1 1
故平面B
1
BCC
1
⊥平面⊂ABC．
又平面BBCC ∩平面ABC＝BC，AD 平面ABC，
1 1
所以AD⊥平面B 1 BCC 1 ， ⊂
又CM 平面BBCC ，
1 1
故AD⊥⊂CM．
又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，
故Rt CBM≌Rt FCD．
易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD 平面ADF，
故CM⊥平面ADF． ⊂
又CM 平面CAM，
故平面⊂CAM⊥平面ADF．
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【解题方法总结】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系
的相关定理、性质进行推理论证
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