6.1 等差数列（讲义）
目录
1
知识点01 等差数列的概念........................................................................2
2
知识点02 等差数列的通项公式................................................................2
3
知识点03 等差中项....................................................................................2
4
知识点04 等差数列的前n项和Sn.............................................................2
5
题型一、等差数列的首项、公差、通项公式.........................................2
6
题型二、等差中项.....................................................................................7
7
题型三、等差数列的前n项和Sn.............................................................11
1 知识点01 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用
字母d表示，定义表达式为an-an－1=d（常数）(n∈N
*，n≥2)．
2 知识点02 等差数列的通项公式
数列{an}的首项为a1，公差为d
①
通项公式为：an=a1+(n-1)d．
②
通
项
公
式
的
推
广
：
an=am+(n-m)d(n，m∈N
*)．
3 知识点03 等差中项
①等差中项：在数列{an}中，连续三项an-1，an，an+1，满足2an=an-1+an+1
②等差中项的推广：在等差数列{an}中，当m+n= p+q时，
am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N
*)．
③特别地，若m+n=2t，则am+an=2at(m，n，t ∈N
*)．
4 知识点04 等差数列的前n项和Sn
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d
其前n项和Sn=na1+ n(n-1)
2
d ，Sn= n(a1+an)
2
．
5 题型一、等差数列的首项、公差、通项公式
1．已知{an}是等差数列，a4=20,a5+a7=20，则a8=（ ）
A．0
B．5
C．10
D．15
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式求解.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
由a4=20可得，a1+3d =20，①
又由a5+a7=20可得，2a1+10d =20，即a1+5d =10，②
由①②解得a1=35,d =-5，
所以a8=a1+7 d =0，
故选:A.
2．已知数列{an}满足an+1-an=2，且a3=6，则a8=（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义可判断数列{an}为等差数列，从而可得d =2，
利用数列的通项公式即可求解.
【详解】根据题意an+1-an=2，因此数列{an}是等差数列，公差d =2，
已知a3=6， a3=a1+2d，
即6=a1+ 4，解得a1=2，
利用等差数列的通项公式得a8=2+(8-1)×2=2+14 =16.
因此，a8=16.
故选：B.
3．在等差数列{an}中，a2= 4，则a5-3a3=（ ）
A．-8
B．-6
C．- 4
D．-2
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式求解.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
因为a2= 4，所以a1+d = 4，
所以a5-3a3=a1+ 4 d -3(a1+2d)=-2a1-2d =-8，
故选:A.
4．已知等差数列{an}的首项a1=1，a4=7，则公差d等于（ ）
A．5
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式求解.
【详解】由a4=a1+3d，得7 =1+3d，解得d =2.
故选：C.
5．已知数列{an}是等差数列，a2=1，a3+a4=5，则a10=（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列通项公式由条件列方程
求d，再结合条件a2=1求a10.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
∵a2=1，a3+a4=5，
∴1+d +1+2d =5，则d =1，
∴a10=a2+8d =1+8=9，
故选：B．
6．已知在等差数列{an}中，a5=20,a10=35，则a20=（ ）
A．50
B．55
C．60
D．65
【答案】D
【分析】根据等差数列的基本量运算求解.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，由a10-a5=5d =15，得d =3，
∴a20=a10+10d =35+30=65.
故选：D.
7．在等差数列{an}中，若a6=7，a5+a8=15，则公差d =（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式，联立式子即可求解.
【详解】a5+a8=15，所以2a1+11d =15，
a6=a1+5d =7，所以2a1+10d =14，
所以d =1.
故选：A.
8．在等差数列{an}中，若a1=1，公差d =2， 则a8=（ ）
A．13
B．14
C．15
D．18
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式进行求解，得到答案.
【详解】a8=a1+7 d =1+14 =15.
故选：C
9．在等差数列{an}中，已知a5=11,a8=5，则a10=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据等差数列通项公式列方程，解出a1,d，进而可得a10.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
由题意得¿
解得¿．
∴a10=-2×10+21=1．
故选：C.
10．已知{ln an}(an>0)为等差数列，a1=3,a6=96，则a3=（ ）
A．12
B．201
5
C．99
2
D．12❑√2
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式，结合对数的运算法则求值.
【详解】因为{ln an}(an>0)为等差数列，设公差为d.
则ln a1= ln3，ln a6= ln a1+5d，所以ln 96= ln3+5d ⇒ d = ln 96- ln3
5
= ln2.
所以ln a3= ln a1+2d = ln3+2ln2= ln12 ⇒ a3=12.
故选：A
11．已知{an}是等差数列，a1+a3=a6,a3与a5是方程x
2-12 x +m=0的两根，
则{an}的前n项和为（ ）
A．1
2 n(n+3)
B．1
2 n(n+ 4)
C．1
2 n(n+5)
D．1
2 n(n+6)
【答案】C
【分析】由题意，根据由根与系数的关系得a3+a5=12,再结合等差数列的下
标和性质求出a2= 4 ,a6=8,进而得到d =1, an=n+2, a1=3,代入等差数列前n项和
公式即可得到答案.
【详解】设等差数列{an}的公差为d ,∵a1+a3=a6,∴2a2=a6，
又由根与系数的关系得a3+a5=12=a2+a6,
∴a2= 4 ,a6=8,
∴d =1, an=a2+(n-2)d =n+2,
∴a1=3, Sn= 1
2 n(a1+an)= 1
2 n(n+5)，
故选：C.
12．在等差数列{an}中，a2=1，则a5-3a3=（ ）
A．-8
B．-6
C．- 4
D．-2
【答案】D
【分析】由等差数列通项公式即可求解.
【详解】a5-3a3=a1+ 4 d -3(a1+2d)=-2a1-2d =-2a2=-2，
故选：D
二、填空题
13．已知等差数列{an}的公差为-1，若a1,a3,a4成等比数列，则a1等于
．
【答案】4
【分析】应用等比中项结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】因为a1,a3,a4成等比数列，则a3
2=a1a4，
又因为等差数列{an}的公差为-1，所以(a1-2)
2=a1(a1-3)，
所以a1= 4.
故答案为：4.
14．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3-a4= 4,3a2+a5=25，则S20=
.
【答案】590
【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解.
【详解】设公差为d，
由2a3-a4= 4,3a2+a5=25可得¿解得a1=1,d =3，
故S20=20+ 20×19
2
×3=590，
故答案为：590
15．在等差数列{an}中，公差为d，且a1+a3+a5=30,a2+a4+a6=33，则d =
.
【答案】1
【分析】利用等差数列的基本概念计算求解.
【详解】由题意，数列{an}是等差数列，则
a2+a4+a6=(a1+d)+(a3+d)+(a5+d)=a1+a3+a5+3d =30+3d =33，
解得d =1.
故答案为：1.
16．已知等差数列{an}中，a5=10，a15=25，则a25= ．
【答案】40
【分析】根据等差数列的性质可得a5,a15,a25成等差数列，从而得所答案.
【详解】因为{an}为等差数列，a5=10，a15=25，
所以a5,a15,a25成等差数列，
则2a15=a5+a25，
所以a25=2a15-a5=2×25-10= 40.
故答案为：40.
6 题型二、等差中项
1．在等差数列{an}中，a4+a5+a6=15，则a2+a8=（ ）
A．5
B．6
C．7
D．10
【答案】D
【分析】利用等差中项即可求解.
【详解】由a4+a5+a6=15可得3a5=15⇒a5=5，
故a2+a8=2a5=10，
故选：D
2．{an}是等差数列，a5=5，则（ ）
A．a1=1
B．d =1
C．a1+a10=10
D．a3+a7=10
【答案】D
【分析】利用等差中项即可求解.
【详解】a3+a7=2a5=10，
故选：D
3．在等差数列{an}中，a3=5，a6=3，则a9=（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
【答案】A
【分析】利用等差数列的中项求解.
【详解】解：由等差数列的性质可知a3+a9=2a6，
所以a9=2a6-a3=2×3-5=1．
故选：A．
4．在等差数列{an}中，a2+a5=7 ,a7+a10=25，则a6=（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】根据等差中项的性质，建立方程求解即可.
【详解】因为{an}是等差数列，所以4 a6=a2+a5+a7+a10=32，则a6=8.
故选：C.
5．若3，a，27 成等差数列，则a=（ ）
A．9
B．15
C．±9
D．±15
【答案】B
【分析】利用等差中项可得答案.
【详解】若3，a，27 成等差数列，则2a=3+27=30，
解得a=15.
故选：B.
6．在等差数列{an}中，a1+a3=12，则a2=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C
【分析】根据等差中项性质直接求解,
【详解】根据题意，a1+a3=2a2=12，
所以a2=6.
故选：C
7．在等差数列{an}中，a1+a2+a3=6，a2+a3+a4=12，则{an}的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用等差中项结合条件计算即可.
【详解】由题可知a1+a2+a3=3a2=6，得a2=2，a2+a3+a4=3a3=12，得
a3= 4，
所以{an}的公差d =a3-a2=2.
故选：B
二、填空题
8．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a6等于 ．
【答案】8
【分析】根据等差数列的性质即可得到答案.
【详解】由等差数列的性质可知a4+a8=2a6，∴a6=8．
故答案为：8.
9．若等差数列{an}的前三项依次为1，a+1，a+3，则实数a的值为 .
【答案】2
【分析】根据等差中项的性质计算可得.
【详解】因为1，a+1，a+3为等差数列{an}的前三项，
所以1+a+3=2(a+1)，解得a=2.
故答案为：2
10．等差数列{an}的前三项依次为x，2 x +1，4 x +2，则x 的值为 ．
【答案】0
【分析】根据等差中项知识即可求解.
【详解】等差数列{an}的前三项依次为x，2 x +1，4 x +2，
∴ x + 4 x +2=2×(2 x +1)，则x =0.
故答案为：0.
11．等差数列{an}中，a7+a9= 4，则a8= .
【答案】2
【分析】根据等差中项分析求解即可.
【详解】因为{an}为等差数列，则a7+a9=2a8= 4，所以a8=2.
故答案为：2.
12．在△ABC中，若角A、B、C 成等差数列，则角B = .
【答案】π
3
【分析】利用等差数列的性质得出B =π
3 .
【详解】∵2B = A +C = π - B，∴B =π
3 .
故答案为：π
3 .
13．已知-1, x ,-5成等差数列，则x 的值是 ．
【答案】-3
【分析】根据等差数列性质即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得-1-5=2 x，解得x =-3.
故答案为：-3.
14．已知{an}为等差数列，且2a1+a4=6，则a2= .
【答案】2
【分析】方法一采用设公差的方法，将每一项表示为a1与d的线性组合即可
求解；
方法二两次利用等差中项公式，最后得到3a2=6，即可求出a2=2.
【详解】方法一：设公差为d，则2a1+a4=2a1+(a1+3d)=3(a1+d)=3a2=6，
所以a2=2.
方法二：因为2a1+a4=2a1+(2a3-a2)=2(a1+a3)-a2= 4 a2-a2=3a2=6，所以
a2=2.
故答案为：2
7 题型三、等差数列的前n项和Sn
1．Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=2,S3=15，则a4为（ ）
A．5
B．8
C．11
D．13
【答案】C
【分析】设出等差数列的公差，由已知列方程求得公差，代入等差数列的
通项公式得答案.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，由a1=2,S3=15，
得，S3=3a1+ 3×2
2
d =6+3d =15，解得d =3.
所以a4=2+3×3=11.
故选：C.
2．在等差数列{an}中，Sn是其前n 项和．若S5=20,S10=90，则公差d =
（ ）
A．2
B．4
C．1
D．0
【答案】A
【分析】根据等差数列求和公式基本量运算求解.
【详解】等差数列{an}中，Sn是其前n 项和．
若S5=5a1+10d =20,S10=10a1+ 45d =90，
则公差d =2.
故选：A.
3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4-a2=12，则2S6-3 S4=（ ）
A．24
B．36
C．48
D．72
【答案】D
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由已知可求得d =6，利用等差数列{an}
的前n项和求解即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，由a4-a2=12，
得a1+3d -(a1+d)=12，所以d =6，
所以2S6-3 S4=2×[6a1+ 6(6-1)
2
×6]-3[4 a1+ 4 (4 -1)
2
×6]=72.
故选：D.
4．等差数列{an}中Sn是其前n项和，a2+a5+a8=9，则S9=（ ）
A．27
B．36
C．54
D．81
【答案】A
【分析】运用等差数列性质即可.
【详解】由题知：a2+a5+a8=3a5=9，所以a5=3.
S9= 9(a1+a9)
2
= 9×2a5
2
=9a5=27.
故选：A.
5．在等差数列{an}中，已知a3+a4=12，则数列{an}的前6项之和为（ ）
A．12
B．32
C．36
D．72
【答案】C
【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等差数列{an}的前n项和为Sn，则
S6= 6(a1+a6)
2
= 6(a3+a4)
2
=3×12=36.
故选：C.
6．Sn为等差数列{an}的前n项和，如果S10=120，那么a4+a7的值为（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】B
【分析】利用等差数列求和公式结合等差中项的性质直接可得解.
【详解】由已知得S10= (a1+a10) 10
⋅
2
= (a4+a7) 10
⋅
2
=5(a4+a7)=120，
解得a4+a7=24，
故选：B.
7．已知Sn是等差数列{an}的前n项和， 若S9=36，则a5=（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】用等差数列前n项和的公式展开，结合等差数列的性质，整体代入
即可得到..
【详解】因为数列{an}为等差数列，∴a1+a9=2a5，
∴S9= 9(a1+a9)
2
=9a5=36，解得a5= 4.
故选：B
8．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7= 4，则S13=（ ）
A．39
B．65
C．52
D．78
【答案】C
【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，可得答案.
【详解】S13= 13×(a1+a13)
2
= 13×2a7
2
=13×4 =52.
故选：C.
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1013=1，则S2025=（ ）
A．1
B．2025
2
C．2025
D．4050
【答案】C
【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算可得S2025的值.
【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1013=1，
则a1+a2025=2a1013=2，所以S2025= 2025×(a1+a2025)
2
=2025a1013=2025.
故选：C.
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a8=16，a6a7= 48，则S7=（ ）
A．58
B．63
C．75
D．84
【答案】D
【分析】利用等差数列的中项性质及求和公式计算即可.
【详解】由a4+a8=2a6=16，所以a6=8，
又a6a7= 48，所以a7=6，
设该等差数列的公差为d，则由题意可知a7-a6=-2=d，
所以S7=7 a4=7(a7-3d)=7×12=84.
故选：D
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a10=a6+ 4，则S13=（ ）
A．4
B．60
C．68
D．52
【答案】D
【分析】由等差中项的推理求得a7，由等差数列的前n项和与等差中项求得
S13.
【详解】a3+a10=a6+a7=a6+ 4，∴a7= 4，∴S13=13 (a1+a13)
2
=13a7=52，
故选：D.
12．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且a2+a4=6，则S5=（ ）
A．0
B．10
C．15
D．30
【答案】C
【分析】利用等差数列的等差中项结合前n项和公式求解即可.
【详解】因为a2+a4=6,所以2a3=6,a3=3.
又因为S5= 5(a1+a5)
2
=5a3=15,
故选：C.
二、填空题
13．等差数列{an}中，前20 项和S20= 400，公差d =2，则a1+a3+⋯a19= .
【答案】190
【分析】根据等差数列的性质以及前n项和特点即可得解.
【详解】因为等差数列{an}中，S20= 400，公差d =2，
所以a1+a2+a3+a4+⋯+a19+a20= 400，
即a1+a1+d +a3+a3+d +⋯+a19+a19+d = 400，
所以a1+a3+⋯+a19= 400-10×2
2
=190，
故答案为：190.
14．记Sn为公差不为0 的等差数列{an}的前n项和．若S6=3a2，Sk =0，则k =
．
【答案】9
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式及等差数列性质列式计
算得解.
【详解】在等差数列{an}中，3a2= S6= 6(a1+a6)
2
=3(a2+a5)，则a5=0，
a1+a9=2a5=0，
由Sk =0，得k(a1+ak)
2
=0，即a1+ak =0，因此ak =a9，
又等差数列{an}的公差不为0，则等差数列{an}是单调数列，所以k =9.
故答案为：9
15．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S19
S9
=3，则a10
a5
= ．
【答案】27
19/1 8
19
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前n 项和计算得解.
【详解】等差数列{an}中，S2n-1= (2n-1)(a1+a2n-1)
2
=(2n-1)an，
由S19
S9
=3，得19a10
9a5
=3，所以a10
a5
= 27
19
.
故答案为：27
19
16．已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=2,S2=16，则{an}的公差为
.
【答案】12
【分析】先设等差数列{an}的公差为d，然后利用等差数列前n项和公式及
通项公式列方程求解即可.
【详解】设{an}的公差为d，由a1=2,S2=16得a1+a2=a1+a1+d = 4 +d =16，
解得d =12.
故答案为：12
17．已知Sn为等差数列{an}的前n 项和，a2=2,S4=14，则an= ．
【答案】3n- 4
【分析】根据题意，化为关于a1,d的二元一次方程，代入计算，再由等差
数列的通项公式代入计算，即可得到结果.
【详解】设等差数列的公差为d，
由题意得¿，解得¿，
则an=-1+(n-1)×3=3n- 4．
故答案为：3n- 4
