文档文本内容
二
专题
数列
第四讲 等差等比基本量与性质
1.【解答】解：根据题意，数列
为等差数列，设其公差为
，
若
且
，
两式相减，则有
，则有
，
所以
，
则有
．
故选：
．
2.【解答】解：（1）
，
，
根据题意可得
，
，
，又
，
解得
，
，
，
；
（2）
为等差数列，
为等差数列，且
，
根据等差数列的通项公式的特点，可设
，则
，且
；
或设
，则
，且
，
①当
，
，
时，
则
，
，
，又
，
解得
；
②当
，
，
时，
则
，
，
，又
，
此时
无解，
综合可得
．
3.【解答】解：由题知
，
化为
，即
．
由题知
，解得
．
．
故选：
．
4.【解答】解：等比数列
中，
，
所以
，
，
设
，
，
由
可得
，
即
，
化简得，
，
所以
，
所以
，
故满足题意的最大
．
故选：
．
5.【解答】解：因为数列
是公差为
的等差数列，
，
则
，
故
，
因为
，所以
，
，
，
正确，
错误；
，
正确；
故当
时，
取得最小值，
正确．
故选：
．
6.【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于
，
，
正确；
对于
，当
，
为偶数时，
，
，
，
不是等比数列，
错误；
对于
，等比数列
中，若
，
，
成等差数列，
则有
，
变形可得
，
则有
，即
，
故对任意
都存在
，使得
，
，
成等差数列，
当
时，数列
为常数列，
此时
，
，
不会成等差数列，
正确；
对于
，若数列
递增，则有
，
由于
，则有
恒成立，必有
，
反之，若
，则
，
由于
，
，
，则有
，
故数列
递增；
综合可得：数列
递增的充要条件是
，
正确．
故选：
．
【精选练习】
7.【解答】解：不妨设
，
因为
，
所以
，
所以
，因为公差
，且
，
所以
，
所以
，所以
．
故选：
．
8.【解答】解：等差数列
中，
，
对于
，若
，则
，
正确；
对于
，
，则
，
，则
，
，
因此
，即
，
错误；
对于
，若
，
，
则
，即
，
此时
，不符合题意，
对于
，由
，得
，解得
，
则
，
，
正确．
故选：
．
9.【解答】
，
时，等比数列
单调递减，故
只有最大值
，没有最小值；
，
时，等比数列
为摆动数列，此时
为大值，
为最小值；
，
时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列
有最大值，也有最小值；
，
时，因为
，所以
无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.
故选：BC
第五讲 数列的通项与求和
1.【解答】解：（1）当
时，
，
当
时，
，
，
两式相减，得
，
，
当
时，
，
综上可知，
．
（2）由题意
，
，
，
．
2.【解答】解：（1）等差数列
的前
项和为
，设公差为
，
由
，
，可得
，
，即
，解得
．
，
则
；
（2）证明：
，
由
，可得
，
则
，对
也成立，
所以，
．
3.【解答】解：（1）证明：由
，
，
可得
时，
，解得
，
当
时，由
，可得
，
两式相减可得
，
化为
，
即有
，
则数列
首项为
，公比为
的等比数列；
（2）由（1）可得
，
即为
，
则数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，即有
，
则
，
，
可得数列
的前
项和为
；
（3）假设存在正整数
，
，使得
，
，
成等差数列．
由
，
由
，
，
成等差数列，可得
，即
，
当
，2，3，4 时，
，
，
当
时，
，
，
时，
，即
是单调递减，
又
，所以
，
所以存在
，
，使得
，
，
成等差数列．
4.【解答】解：（1）等差数列
的前
项和为
，设公差为
，
由
，可得
，
即有
，即
，
由
为等差数列，可得
，
即有
，
，解得
，
可得
；
（2）证明：在
与
之间插入
个数，使这
个数组成一个公差为
的等差数列，
可得
，
，
，
，
上面两式相减可得
，
则
，
由
，可得
．
5.【解答】解：（1）当
时，
，
，
整理得
，
（解法一）：假设存在常数
使数列
为等比数列，公比为
，
则
即
，
令
，解得
，
或
，
，
故当
时，
为首项为2，公比为3 的等比数列，
当
时，
为首项为1，公比为2 的等比数列．
（解法二）：假设存在常数
使数列
为等比数列，则有
，
由已知得
，
，
所以
，
，
，
所以
，解得
或
，
当
时，
，
则
为首项为2，公比为3 的等比数列，
当
时
，
则
为首项为1，公比为2 的等比数列．
（解法一）（2）由（1）知
，
解得
，
，则
，
又
也满足，
，
，
，
，
，
，
故
证毕；
（解法二）同解法一得到
，
由二项式定理得
，
当
时，
，
即
，
所以
时，
，
，
．
【精选练习】
6.【解答】解：因为
，
所以
，
正确；
因为
，
所以
，
正确；
，
故前10 项和为
，
错误；
因为
，
，
适合上式，
故
，
，
前10 项和为
，
正确．
故选：
．
7.【解答】解：数列
满足
，
，整理得：
，
转换为
，
故：
，所以
是以
为首项，2 为公比的等比数列．
故：
，整理得
．
则：
为递减数列．
进一步整理得：
，
所以
的前
项和：
，
故选：
．
8.【解答】解：（1）设数列
的公差为
，则
，
因为
是等差数列，所以
为常数，
又
，
所以
，解得
；
（2）因为
，所以
，
所以
，
所以
．
9.【解答】解：（1）由题意可得
，
故
，
即
，故数列
中
，且从第二项起单调递减．
（2）证明：由题意可得
，
，
有
，
即
，
令
，
则
，
则有
，
即有
，
即
，
故
，
又
，故
，
即
．
10.【解答】解：（1）
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
也满足上式，
．
（2）方法一：证明：由（1）可知：当
时，
，
．
又
，
，
．
方法二：由（1）可知：当
时，
，
．
当
时，
也成立，
．
11.【解答】解：（1）证明：由
，可得
时，
，
解得
；
当
时，由
，可得由
，
两式相减可得
，即
，
则
，
可得数列
是首项和和公比均为4 的等比数列，则
，
即有
；
（2）由点
在函数
的图象上，可得
，
即有
，
，
可得
．
12.【解答】解：（1）由
，
，
可得
，即为
，
可得数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
可得
，
即为
；
（2）证明：
，
则
；
又
，
所以
．
微专题5 数列的奇偶项问题与重构问题
1.【解答】解：（1）解：因为数列
满足
，
，
所以，
，
，
，即
，
所以，数列
是公差为3，首项为2 的等差数列，
因此，
．
（2）当
为偶数时，设
，则
，
，
所以，
，
此时，
；
当
为奇数时，设
，则
，
则
．
综上所述，
．
2.【解答】（1）解：由题意，当
时，
，可得
，
因为
，可得
，所以，
，所以数列
的奇数项和偶数项都是公比为9 的
等比数列，
所以当
为奇数时，设
，则
，
当
为偶数时，设
，则
，
因此，
；
（2）解：由（1）得
，
．
3.【解答】解：（1）由题意可知
，
，
，
由此可知
，故
是以公比为
的等比数列，所以
．
（2）由
得
，
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，
故
．
4.【解答】解：
，
，
数列
与数列
的公共项从小到大排列得到数列
，
则
，
数列
的前
项和
，
故选：
．
5.【解答】解：（Ⅰ）由
得
，
，
若数列
为单调递减数列，则满足
恒成立，
即
，得
恒成立，
解得：
，则
的取值范围为
；
（Ⅱ）根据题意数列
为：
1，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可将数列分组：
第一组为：1，
；
第二组为：
，
，
；
第三组为：
，
，
，
；
．
第
组为：
，
，
，
；
则前
组一共有
项，当
时，项数为90，
故
相当于是前12 组的和再加上
，1，2，
，
这五项，
即
，
可看成是数列
的前12 项和，
．
6.【解答】解：（1）
为等差数列且
，
则
，
，
，且
，
是首项为
，公差为
的等差数列，
，
整理得，
恒成立，
．
，
；
（2）因为
，记
，
，，
，
又
，
则
的元素个数即为
中元素个数，而
，3，
，
共
个，
，
则
．
【精选练习】
7.【解答】解：因为数列
是公比为2 的等比数列，且
，
所以
，①
所以
，②
由②
①得：
，
分别取
，4，6，
，2022 得，
，
，
，
，
，
以上各式左右分别相加得：
，
所以
．
故选：
．
8.【解答】解：依题意，由当
时，
，
可得当
为奇数时，
，
，
数列
的奇数项是以1 为首项，2 为公差的等差数列，
又当
时，
，
即当
为偶数时，
，
此时
，
故数列
的偶数项是以2 为最小正周期的周期数列，
，
，
数列
的偶数项为：1，
，1，
，
．
故选：
．
9.【解答】（1）
，
，
当
时，
，
当
时，
，即
，
而
，满足上式，
所以数列
的通项公式为
；
若数列
满足
，
（
，
），
则
，
从而数列
的通项公式为
；
（2）令
，解得
，这表明
，
从而只能
，
所以
，
所以数列
的通项公式为
.
10.【解答】解：（1）因为
为等差数列，则
，即
，
可得
，
，
所以
．
（2）因为在
与
，2，
之间插入
个3，
可知
在数列
中对应的项数为：
，
当
时，则
，即
；
当
时，则
，即
；
由题意可知：
，
所以
．
微专题6 斐波那契数列
1.【解答】解：对于选项
，由
知，
的前10 项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，
34，55，
其中，第一二项相等，不满足递增性，故
选项错误；
对于选项
，根据递推公式
，得
，故
选项正确；
对于选项
，
，
，
，
，
，
，即
，故
选项正确；
对于选项
，由递推式，得
，
，
，
，
累加得
，
，
，
即
，故
选项正确．
故选：
．
【精选练习】
2.【解答】解：由数列
，1，2，3，5，8，13，21，34，
，可得
，故
正确；
，故
正确；
，
即有
，故
错；
，故
正确．
故选：
．
跨章节综合1 数列与三角
1.【解答】证明：（1）正项数列
，
，满足
，
两式相减可得：
，
，
，
是以
为首项，
为公比的等比数列，
由
两式相加可得：
，
即
，因为
，
，
是以
为首项，
为公比的等比数列．
（2）
，由（1）得
是等比数列，
，即
，
由（1）知，
，
，
，
为常值数列0，故
，
由
，
，
等号不成立，
，
，
，
，
由正弦定理得△
外接圆的直径
，
，
．
（3）由（1）可知，
，
由（2）可知，
，
解得
，
，
随着
的增大而减小，又
，
随着
的增大而减小，
是递减数列，
，
是递增数列，
是递减数列，
数列
是递减数列．
【精选练习】
2.【解答】（1）解：
，
；
，且点
在线段
上，
，
由
，
；
，得
，
为
的角平分线，
又
，
．
若
，在
中，由余弦定理得，
，
得
．
由正弦定理可得，
，则
，解得
，
是最大边，
；
（2）记
．
解：当
时，
，
；
，
，
点
在线段
的延长线上，可得
，
可得
，解得
，即
，
，
，整理得
，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
而此时
，
，等号可以取到；
证明：当
时，
，
；
，
，
点
在线段
的延长线上，
，化简得：
，解得
，
，
．
当
时，
，
当
时，
，
．
综上所述，
．
