文档文本内容
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解答题：数列及其综合应用
目录
题型一等差数列与等比数列证明1
题型二分组转化法求数列的前n 项和2
题型三裂项相消法求数列的前n 项和3
题型四错位相减法求数列的前n 项和4
题型五数列与不等式综合问题5
题型六数列中的探究问题7
必刷大题9
题型一
等差数列与等比数列证明
大题典例
1. (23 - 24 高三下·内蒙古包头·三模) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 3，Sn= 1 + an+1．
(1) 证明：数列Sn-1
是等比数列，并求Sn；
(2) 求数列
1
an
的前n 项和Tn．
2
变式训练
2. (24 - 25 高三上·上海·期中) 某人购买某种教育基金，今年5 月1 日交了10 万元，年利率5%，以后每年
5 月1 日续交2 万元，设从今年起每年5 月1 日的教育基金总额依次为a1，a2，a3，⋯⋯.
(1) 写出a2和a3，并求出an+1与an之间的递推关系式；
(2) 求证：数列an+40
为等比数列，并求出数列an
的通项公式.
3. (24 - 25 高三上·山东淄博·月考) 记Sn为数列an
的前n 项和，已知Sn= an
2 + n2+ 1，n ∈N *．
(1) 求a1+ a2，并证明an+an+1
是等差数列；
(2) 求S2n．
题型二
分组转化法求数列的前n 项和
大题典例
4. (24 - 25 高三上·北京·月考) 已知an
是各项均为正数的等比数列，a1 = 1，且a1，a2，-3a3 成等差数
列．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 求数列an-n
的前n 项和Sn．
3
变式训练
5. (24 - 25 高三上·河北衡水·月考) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 13，an+1= an-8,n为奇数
3an,n为偶数
．
(1) 证明：数列a2n-1-12
为等比数列；
(2) 若S2n+1= 16n + 1469，求n 的值．
6. (24 - 25 高三上·海南海口·月考) 已知数列an
是公差为3 的等差数列，数列bn
满足b1 = 1，b2 =
1
3 ，anbn+1+ bn+1= nbn，
(1) 求数列an
，bn
的通项公式；
(2) 求数列(-1)nan+bn
的前2n 项和S2n．
题型三
裂项相消法求数列的前n 项和
大题典例
7. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 记Sn 是等差数列an
的前n 项和，a1 = 2，且a2 - 2，a3 - 4，a4 - 6 成等比
数列.
(1) 求an和Sn；
(2) 若bnSn= 2，求数列bn
的前20 项和T20.
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变式训练
8. (24 - 25 高三上·广东深圳·模拟预测) 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是
一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列an
是一个二阶等差数列，其中a1 =
1,a2= 3,a3= 6．
(1) 求a4及an
的通项公式；
(2) 设bn=
8an-4n
8an-4n-1 ，求数列bn
的前n 项和Sn．
9. (24 - 25 高三上·宁夏石嘴山·月考) 已知数列an
的首项为1，且an+1= 2an n∈N ∗
.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若bn=
2n-1
an+1
an+1+1
，求数列bn
的前n 项和Tn.
题型四
错位相减法求数列的前n 项和
大题典例
10. (24 - 25 高三上·广东广州·模拟预测) 已知数列an
的前n 项和公式为Sn = 3n2 - 2n，数列bn
满足
b1= a1.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若an= 2n bn+1-bn
，求数列bn
的通项公式.
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变式训练
11. (24 - 25 高三上·贵州贵阳·月考) 已知数列an
满足：an = 2n - 10，数列bn
满足：b1 + b2
5 + b3
52 +⋯
+ bn
5n-1 = 5n,n ∈N *.
(1) 求数列
an
的前15 项和S15；
(2) 求数列
an
bn
的前n 项和Tn.
12. (24 - 25 高三上·湖北·期中) 已知an
是公差不为0 的等差数列，a4 = 21，且a1，a2，a5 成等比数列，数
列bn
满足：bn+1= 4bn- 3，且b1= 2a1- 1.
(1) 求an
和bn
的通项公式；
(2) 若Tn为数列
an
bn-1
的前n 项和，求Tn.
题型五
数列与不等式综合问题
大题典例
13. (23 - 24 高三下·河北邢台·二模) 已知数列an
的前n 项和为Sn，且Sn= 2an- 1, n≥1
．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 求证：1
S1
+ 1
S2
+ 1
S3
+⋯+ 1
Sn
< 2．
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变式训练
14. (24 - 25 高三上·吉林·模拟预测) 已知数列an
的首项a1= 4
5 ，且满足an+1=
4an
an+3 ，设bn= 1
an - 1．
(1) 求证：数列bn
为等比数列；
(2) 若1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+⋯+ 1
an > 2024，求满足条件的最小正整数n．
15. (24 - 25 高三上·辽宁·开学考试) 已知Sn 为数列an
的前n 项和，Tn 为数列bn
的前n 项和，an+2 =
2an+1- an,bn= 2an+1,n为奇数
2an-1,n为偶数
,b4=8,S5=15
.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若T2n- S2n< 2025，求n 的最大值；
(3) 设cn=
1
T2n-S2n
，证明：1
2 ≤
n
i=1
ci
< 3
4 .
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题型六
数列中的探究问题
大题典例
16. (23 - 24 高三下·福建·模拟预测) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1 = 1，数列bn
满足Sn
an = bn，且
an,bn均为正整数.
(1) 是否存在数列an
，使得bn
是等差数列？若存在，求此时的Sn；若不存在，说明理由；
(2) 若bn> bn-1，求an
的通项公式.
变式训练
17. (24 - 25 高三上·天津·月考) 已知等比数列an
的前n 项和为Sn，且an+1= 2Sn+ 2 n∈N *
．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 在an与an+1之间插入n 个数，使这n + 2 个数组成一个公差为dn的等差数列．
(i) 求数列dn
的通项及
2n-1
k=1
(k+1)
dk；
(ii) 在数列dn
中是否存在3 项dm,dk,dp(其中m，k，p 成等差数列) 成等比数列？若存在，求出这样
的3 项；若不存在，请说明理由．
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18. (24 - 25 高三上·江苏无锡·期中) 在下面n 行、n 列n∈N *
的表格内填数：第一列所填各数自上而下
构成首项为1，公差为2 的等差数列an
；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2 的等比数
列bn
；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写. 设第2
行的数自左向右依次记为c1,c2,c3, ⋯,cn.
第1 列
第2 列
第3 列
⋯
第n 列
第1 行
1
2
22
⋯
2n-1
第2 行
3
5
9
第3 行
5
10
⋯
⋯
第n 行
2n - 1
(1) 求数列cn
通项公式;
(2) 对任意的m ∈N ∗，将数列an
中落入区间bm,cm
内项的个数记为dm，
①求d1和d10的值;
②设数列am⋅dm
的前m 项和Tm；是否存在m ∈N *，使得9 Tm+2
= 5m ⋅3m-1，若存在，求出所有m
的值，若不存在，请说明理由.
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必刷大题
刷模拟
1. (24 - 25 高三上·贵州铜仁·模拟预测) 已知正项等差数列an
满足：a1 = 1 且a1，a3，2a7 - 1 成等比数
列.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若数列bn
满足：bn= 2an，n ∈N *，求数列an+bn
的前n 项和Tn.
2. (24 - 25 高三上·江苏镇江·模拟预测) 已知数列an
满足a1= 1，an+1= an,n为奇数
an+4,n为偶数
(1) 记bn= a2n，写出b1，b2，证明数列{bn} 是等差数列，并求数列{bn} 的通项公式；
(2) 求an
的前20 项和．
3. (24 - 25 高三上·湖南长沙·月考) 已知数列an
的前n 项和为Sn，a1= 1，满足2Sn= nan+1．
(1) 求an；
(2) 若bn= 3n⋅an，求数列bn
的前n 项和Tn．
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4. (24 - 25 高三上·江西上饶·月考) 设函数f x
=
3x
2x+3 ，数列an
满足a1= 1，且an+1= f an
,n ∈N *.
(1) 求证：数列
1
an
是等差数列；
(2) 令bn= an-1⋅an n≥2
,b1= 3,Sn= b1+ b2+⋯+bn，若Sn< m-2015
2
对一切n ∈N *成立，求最小正
整数m 的值.
5. (24 - 25 高三上·江苏泰州·期中) 已知数列an
为等差数列，公差d ≠0，前n 项和为Sn，a2 为a1 和a5
的等比中项，S11= 121.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 是否存在正整数m，n 3<m<n
，使得1
a3
，1
am ，1
an 成等差数列？若存在，求出m，n 的值；若不
存在，请说明理由；
(3) 求证：数列∑
n+1
i=2
1
Si
< 2
3 .
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6. (24 - 25 高三上·山东青岛·月考) 已知数列an
的前n 项和Sn = 1
3
1-an
n∈N ∗
．若2 + bn =
3log 1
4an，且数列cn
满足cn= an⋅bn．
(1) 求证：数列bn
是等差数列；
(2) 求证：数列cn
的前n 项和Tn< 2
3 ；
(3) 若cn≤1
4
t2+t-1
对一切n ∈N ∗恒成立，求实数t 的取值范围．
刷真题
7. (2024·全国·高考真题) 已知等比数列an
的前n 项和为Sn，且2Sn= 3an+1- 3.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 求数列Sn
的前n 项和.
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8. (2024·全国·高考真题) 记Sn为数列an
的前n 项和，已知4Sn= 3an+ 4．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 设bn= (-1)n-1nan，求数列bn
的前n 项和Tn．
9. (2024·上海·高考真题) 若f x
= logax(a > 0,a ≠1)．
(1)y = f x
过4,2
，求f 2x-2
< f x
的解集；
(2) 存在x 使得f x+1
、f ax
、f x+2
成等差数列，求a 的取值范围．
10. (2024·天津·高考真题) 已知an
为公比大于0 的等比数列，其前n 项和为Sn，且a1= 1,S2= a3- 1．
(1) 求an
的通项公式及Sn；
(2) 设数列bn
满足bn= k,n=ak
bn-1+2k,ak<n<ak+1
，其中k ∈N *．
(ⅰ) 求证：当n = ak+1 k∈N *,且k>1
时，求证：bn-1≥ak⋅bn；
(ⅱ) 求
Sn
i=1
bi
．
