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微专题37 定值问题
高考定位 在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问
题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.
【难点突破】
[高考真题] (2020·新高考Ⅰ卷改编)已知点M，N，A(2，1)在椭圆C：＋＝1 上，
且AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直线MN 与x 轴不垂直，
设直线MN 的方程为y＝kx＋m，
代入＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由AM⊥AN，得AM·AN＝0，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式，可得(k2＋1)－
(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0，
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
所以m＝1－2k 或m＝－，
当m＝1－2k 时，y＝k(x－2)＋1，
过定点A(2，1)，不符合题意，舍去，
当m＝－时，y＝k－，
过定点P.
因为AD⊥MN，所以点D 在以AP 为直径的圆上，故当点Q 为AP 的中点，即Q
时，|DQ|＝为定值；
若直线MN 与x 轴垂直，
可得N(x1，－y1).由AM·AN＝0，
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＋＝1，所以3x－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去)，或x1＝.
所以D，此时|DQ|＝＝，为定值.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值.
样题1 已知抛物线C：x2＝4y，设点M(1，1)，过点M 作两条不同的直线分别交
抛物线C 于A，B 两点和D，E 两点，且满足|MA|·|MB|＝|MD|·|ME|，求证：kAB＋
kDE为定值.
证明 由题知直线AB，DE 的斜率存在，
所以设直线AB 的方程为y－1＝k1(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线DE 的方程为y－1＝k2(x－1)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则|MA|＝＝·|x1－1|，
|MB|＝·|x2－1|，
即|MA|·|MB|＝(1＋k)|x1－1|·|x2－1|＝(1＋k)|x1x2－(x1＋x2)＋1|.
将直线AB 的方程y－1＝k1(x－1)与抛物线的方程x2＝4y 联立，消去y 得x2－4k1x
＋4k1－4＝0，
则Δ＝16k－4(4k1－4)＝16(k－k1＋1)>0，
则x1＋x2＝4k1，x1x2＝4k1－4，
则|MA|·|MB|＝(1＋k)·|x1x2－(x1＋x2)＋1|＝3(1＋k).
同理可得|MD|·|ME|＝3(1＋k).
∵|MA|·|MB|＝|MD|·|ME|，
∴k＝k，即(k1＋k2)(k1－k2)＝0，
又∵k1≠k2，∴k1＋k2＝0，
即kAB＋kDE＝0 为定值.
样题2 (2024·天津模拟改编)已知椭圆C：＋y2＝1 的右焦点为F，过点F 作直线l
交C 于A，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M，使MA·MB为定值？若
存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.
解 假设存在符合条件的点M(m，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则MA＝(x1－m，y1)，MB＝(x2－m，y2)，
MA·MB＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2，
①当直线l 的斜率不为0 时，设直线l 的方程为x＝ty＋1，
由得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以x1x2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＝，
x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2＝.
因此MA·MB＝，
若对于任意的t 值，上式为定值，
则2m2－4m＋1＝2(m2－2)，解得m＝，
此时，MA·MB＝－为定值.
②当直线l 的斜率为0 时，MA·MB＝(－－m)(－m)＝m2－2＝－2＝－.
综合①②知，符合条件的点M 存在，其坐标为.
样题3 (2024·福州调研改编)已知椭圆C：＋＝1，若点A，B，D，E 在C 上，且
AB＝2DE，AD 与BE 交于点P，点P 在椭圆＋＝1 上，证明：△PAB 的面积为定
值.
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
由题意知＋＝1.
由AB＝2DE，可知D，E 分别为AP，BP 的中点，
所以，D，E.
由
得＋＋＋－3＝0，
∵＋＝1，∴＋＝3，
∴3x0x1＋4y0y1＝0.
同理3x0x2＋4y0y2＝0，
所以A，B 都在直线3x0x＋4y0y＝0 上.
由
得x2＝，y2＝，
又因为直线AB 过坐标原点，
所以|AB|＝2＝2，
又点P 到直线AB 的距离d＝，
所以S△PAB＝|AB|d＝×2·＝.
又∵＋＝1，∴3x＋4y＝36，
故S△PAB＝6.所以△PAB 的面积为定值.
规律方法 求解定值问题的两大途径
(1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明
待证式与参数(某些变量)无关.
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝
对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值.
训练 (2024·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2－y2
＝a2(a>0)的左、右焦点，过F2的直线l 与双曲线C 的右支交于A，B 两点.当l 与
x 轴垂直时，△ABF1面积为12.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D.试判断是否为定值.
若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
解 (1)双曲线3x2－y2＝a2可化为－＝1，
连接AF1，BF1，
而S△ABF1＝|F1F2|·|AB|＝××＝4a2＝12，
解得a2＝3，
故双曲线C 的标准方程为x2－＝1.
(2)∵F2(2，0)，
∴设直线l 的方程为x＝ty＋2(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M 为AB 的中点，
联立
消去x 可得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
因此y1＋y2＝，y1y2＝，
进而可得x1＋x2＝，
即AB 中点M 的坐标为，
线段AB 的中垂线方程为y＋＝－t，
令y＝0，则D，
所以|DF2|＝＝，
又|AB|＝×
＝×＝，
可得为定值1，即是定值，且该值为1.
【精准强化练】
1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右顶点分别为A1，A2，点P 是椭
圆C 上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P 与A1，A2连线的斜率的乘积为
定值，并求出该定值.
证明 设P(x0，y0)，则＋＝1，
所以y＝，
所以kPA1＝，kPA2＝(x0≠±a)，
所以kPA1·kPA2＝·＝＝＝－，
又因为e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以＝，所以－＝－，
所以点P 与A1，A2连线的斜率的乘积为定值－.
2.(2024·岳阳三模改编)若A，B 是C：y2＝8x 上异于点O 的两个动点，当∠AOB
＝90°时，过点O 作ON⊥AB 于N，问平面内是否存在一个定点Q，使得|NQ|为
定值？若存在，请求出定点Q 及该定值；若不存在，请说明理由.
解 设直线AB 的方程为x＝my＋n，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去x，得y2－8my－8n＝0，且Δ＝64m2＋32n>0，
则有y1＋y2＝8m，y1·y2＝－8n，
由∠BOA＝90°，即OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝0，
解得y1y2＝－64，
即y1·y2＝－8n＝－64⇒n＝8，
直线AB 恒过定点M(8，0)，
由ON⊥AB，即ON⊥NM，
故N 在以OM 为直径的圆上，
该圆方程为(x－4)2＋y2＝16，
即定点Q 为该圆心(4，0)时，|NQ|＝4 为定值.
3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，P 是椭
圆C 上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)直线PF1，PF2与椭圆C 分别相交于点A，B，求证：＋为定值.
(1)解 由题意得△PF1F2内切圆半径r 的最大值为，
设|F1F2|＝2c，
则
∴
∴椭圆C 的标准方程为＋＝1.
(2)证明 设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当y0≠0 时，设直线PF1，PF2的方程分别是x＝m1y－1，x＝m2y＋1.
联立消去x 并整理得(3m＋4)y2－6m1y－9＝0，
∴y0y1＝－.
∵x0＝m1y0－1，
∴m1＝，
又＋＝1，
∴＝－.
联立
同理可得＝－，
∴＋＝－－＝；
当y0＝0 时，直线PF1，PF2与x 轴重合，
易得＋＝3＋＝.
综上所述，＋＝为定值.
4.(2024·湖北名校联考)直角坐标系xOy 中，已知动点P 到定点F 的距离比动点P
到定直线y＝－的距离小1，记动点P 的轨迹为C.
(1)求轨迹C 的方程；
(2)点S，T 是曲线C 上位于直线y＝的上方的点，过点S，T 作曲线C 的切线交于
点Q，若FS⊥FT，证明：cos∠SQT 为定值.
(1)解 由题意，知动点P 到定点F 的距离与动点P 到定直线y＝－的距离相等，
由抛物线的定义知C 为抛物线，且焦点在y 轴上，设C：x2＝2py，p>0，则＝，
得p＝，则C 的方程为x2＝y.
(2)证明 设S(x1，x)，T(x2，x)，
则FS＝，FT＝，
∵FS⊥FT，
∴FS·FT＝x1x2＋＝0，
即xx＋＝－x1x2(*).
由y＝x2，可得y′＝2x，过点S(x1，x)的切线的斜率为k1＝2x1，
则切线SQ 的方程为y－x＝2x1(x－x1)，①
同理切线TQ 的方程为y－x＝2x2(x－x2)，②
联立①②解得Q，
由点S，T 是曲线C 上位于直线y＝的上方的点，可知x1x2<－.QS＝，QT＝，
则cos∠SQT＝
＝－
＝－＝
＝，
结合(*)化简，得cos∠SQT＝＝，
即cos∠SQT 为定值.
