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微专题16 平面向量的基本运算及应用
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，
难度中低档； 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意
义，难度中低档.
【真题体验】
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝
n，则CB＝( )
A.3m－2n
B.－2m＋3n
C.3m＋2n
D.2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，
所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)
＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选B.
2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(
)
A.－2
B.－1
C.1
D.2
答案 D
解析 法一 因为b⊥(b－4a)，
所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.
因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b2＝4＋x2，a·b＝x，
得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，
解得x＝2，故选D.
法二 因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，
所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).
因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，
所以2×2＋x(x－4)＝0，
所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.
3.(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(
)
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由题意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，
所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝，故选B.
4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b 满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|
＝( )
A.
B.
C.
D.1
答案 B
解析 由(b－2a)⊥b，
得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
所以b2＝2a·b.
将|a＋2b|＝2 的两边同时平方，
得a2＋4a·b＋4b2＝4，
即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，
解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B.
【热点突破】
热点一 平面向量的线性运算
1.平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相
连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观
察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法
类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
例1 (1)(2024·西安模拟)已知点P 是△ABC 的重心，则AP＝( )
A.AP＝AB＋AC
B.AP＝AB＋AC
C.AP＝AC＋BC
D.AP＝AC－BC
(2)(2024·保定模拟)如图所示，△ABC 内有一点G 满足GA＋GB＋GC＝0，过点G
作一直线分别交AB，AC 于点D，E.若AD＝xAB，AE＝yAC(xy≠0)，则＋＝(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案 (1)D (2)B
解析 (1)延长AP 与BC 交于D 点，由重心的性质，知D 为BC 的中点，
且AP＝AD＝×(AB＋AC)＝(2AB＋BC)＝AB＋BC＝(AC＋CB)＋BC＝
AC－BC，由此可知A，B，C 错误，D 正确，故选D.
(2)因为GA＋GB＋GC＝0，
所以G 为△ABC 的重心，
又因为G，D，E 三点共线，
所以AG＝(AB＋AC)＝tAD＋(1－t)AE＝txAB＋(1－t)yAC，
所以tx＝且(1－t)y＝，
所以＋＝3，故选B.
易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基
底，变形要有方向，不能盲目转化.
训练1 (1)(2024·厦门调研)如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD＝λAC
＋μAE，则λ－μ 的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.－3
(2)(2024·太原模拟)已知在矩形ABCD 中，E 为AB 边的中点，线段AC 和DE 交于
点F，则BF＝( )
A.－AB＋AD
B.AB－AD
C.AB－AD
D.－AB＋AD
答案 (1)D (2)D
解析 (1)因为E 是DC 的中点，
所以AE＝(AC＋AD)，
即AD＝－AC＋2AE，
所以λ＝－1，μ＝2，
则λ－μ＝－1－2＝－3.
(2)如图，在矩形ABCD 中，AE＝EB，
所以△DFC∽△EFA，
则＝＝2，
所以CF＝2FA，即CF＝CA，
所以BF＝BA＋AF＝－AB＋(AB＋AD)＝－AB＋AD.故选D.
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进
行计算.
例2 (1)(2024·惠州模拟)已知非零向量a，b 满足(a＋2b)⊥(a－2b)，且向量b 在向
量a 上的投影向量是a，则向量a 与b 的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2024·常德模拟)已知平面向量a，b 均为单位向量，且夹角为60°，若向量c 与
a，b 共面，且满足a·c＝b·c＝1，则|c|＝( )
A.1
B.
C.
D.2
(3)如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，F 为AB 的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝
12，则EA·EB＝________.
答案 (1)B (2)B (3)13
解析 (1)∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2＝0，
即|a|＝2|b|.
向量b 在向量a 上的投影向量是a，则向量b 在向量a 上的投影向量为(|b|cos
〈a，b〉)＝a＝a＝a，
∴cos〈a，b〉＝，即cos〈a，b〉＝.
由〈a，b〉∈[0，π]，得〈a，b〉＝，即向量a 与b 的夹角是.故选B.
(2)设c＝ma＋nb，
因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×＝，
又a·c＝b·c＝1，
即
解得m＝n＝，所以c＝a＋b，
所以|c|＝＝，故选B.
(3)法一(坐标法) 建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0)，
易知CF＝＝10，即CE＝FC，FE＝FC，
所以BE＝BF＋FC＝(6，0)＋(－6，8)＝，
所以EA＝BA－BE＝(12，0)－＝，
而EB＝，
所以EA·EB＝×＋＝13.
法二(基底法) 由法一知EF＝CF，
且CF＝＝10，
故EA·EB＝(EF＋FA)·(EF＋FB)＝·
＝CF2－BA2＝×102－×122＝13.
法三(利用极化恒等式) 由法一知|EF|＝7，
由极化恒等式知
EA·EB＝|EF|2－|BA|2＝49－×144＝13.
易错提醒 1.由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0，π].
2.利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用已知的向量作基底.
训练2 (1)(多选)(2024·连云港调研)设a，b，c 是三个非零向量，且相互不共线，
则下列说法正确的是( )
A.若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
B.若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b)
C.若a·c＝b·c，则a－b 不与c 垂直
D.(b·c)a－(a·c)b 不与c 垂直
(2)(2024·郑州调研)在矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝2，点E 满足2DE＝3DC，则
AE·BD＝________.
答案 (1)AB (2)－14
解析 (1)a，b，c 是三个非零向量，
对于A，|a＋b|＝|a－b|两边平方得(a＋b)2＝(a－b)2，
即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，
故a·b＝0，则a⊥b，故A 正确；
对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，
因为|a|＝|b|，
所以(a＋b)·(a－b)＝0，
故(a＋b)⊥(a－b)，故B 正确；
对于C，a·c＝b·c，
故a·c－b·c＝(a－b)·c＝0，
又a 与b 不共线，有a≠b，
则a－b 与c 垂直，故C 错误；
对于D，[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，故(b·c)a－(a·c)b 与c 垂直，
故D 错误.
(2)由题意，以A 为坐标原点，AB，AD的方向分别为x，y 轴的正方向建立如图
所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，
所以DC＝(2，0)，BD＝(－2，2).
因为2DE＝3DC，设E(x，y)，
则2(x，y－2)＝3(2，0)，解得E(3，2)，
所以AE＝(3，2)，
所以AE·BD＝(3，2)·(－2，2)＝－14.
热点三 平面向量的综合应用
三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角
函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数
进行交汇.
例3 已知ω＞0，a＝(sin ωx，－cos ωx)，b＝(cos ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，x1，
x2是y＝f(x)－的两个零点，且|x1－x2|min＝π.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈，f＝，求sin 2α 的值.
解 (1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx
＝sin 2ωx－
＝sin 2ωx－cos 2ωx－＝sin－.
∵x1，x2是函数y＝f(x)－＝sin－1 的两个零点，
即x1，x2是方程sin＝1 的两个实根，
且|x1－x2|min＝π，
∴T＝＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝sin－.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)f＝sin－＝，
∴sin＝.
∵0＜α＜，∴－＜α－＜，
∴cos＝.
∵sin α＝sin＝sincos ＋cossin
＝，
cos α＝cos＝coscos －sinsin
＝，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
规律方法 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转
化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
训练3 (2024·武汉统考)如图所示，A，B，C，D 是正弦函数y＝sin x 图象上四个
点，且在A，C 两点函数值最大，在B，D 两点函数值最小，则(OA＋OB)·(OC＋
OD)＝________.
答案 12π2
解析 由题图知，A，B，C，D，
所以OA＝，OB＝，OC＝，OD＝，
所以OA＋OB＝(2π，0)，OC＋OD＝(6π，0)，
所以(OA＋OB)·(OC＋OD)＝2π×6π＋0×0＝12π2.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( )
A.x＝－3 是a⊥b 的必要条件
B.x＝－3 是a∥b 的必要条件
C.x＝0 是a⊥b 的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b 的充分条件
答案 C
解析 a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0 或x＝－3，
所以x＝－3 是a⊥b 的充分条件，x＝0 是a⊥b 的充分条件，故A 错误，C 正确.
a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D 错误.
2.(2024·唐山模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝(
)
A.2
B.4
C.2
D.20
答案 A
解析 a＋b＝(1，x－1)，因为a⊥(a＋b)，所以3×1－1×(x－1)＝0⇒x＝4，所
以b＝(－2，4)，所以|b|＝＝2，故选A.
3.(2024·合肥模拟)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(，1)，若a·b＝|b|，则tan θ
＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 由a·b＝|b|得sin θ＋cos θ＝，
又sin2θ＋cos2θ＝1，
故sin2θ＋(－sin θ)2＝1，
即3sin2θ－2sin θ＋2＝0，
解得sin θ＝，
故cos θ＝－sin θ＝－＝，
故tan θ＝＝×＝.
4.(2024·泰安模拟)在平面内，M，N 是两个定点，P 是动点，若MP·NP＝4，则点
P 的轨迹为( )
A.椭圆
B.抛物线
C.直线
D.圆
答案 D
解析 不妨设|MN|＝2c，以MN 为x 轴，MN 的中点O 为原点，过点O 且垂直于
MN 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，
设点P(x，y)，点M(－c，0)，N(c，0)，
则MP＝(x＋c，y)，NP＝(x－c，y).
由MP·NP＝4 可得(x＋c)(x－c)＋y2＝4，
即x2＋y2＝4＋c2.
所以点P 的轨迹为圆.
5.(2024·西安模拟)在△ABC 中，点D 是线段AC 上一点，点P 是线段BD 上一点，
且CD＝DA，AP＝AB＋λAC，则λ＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为CD＝DA，
所以AD＝AC，
即AC＝2AD，又AP＝AB＋λAC，
所以AP＝AB＋2λAD，
因为点P 是线段BD 上一点，
即B，P，D 三点共线，
所以＋2λ＝1，解得λ＝.
6.(2024·芜湖模拟)已知等边△ABC 的边长为2，点D，E 分别为AB，BC 的中点，
若DE＝2EF，则EF·AF＝( )
A.1
B.
C.
D.
答案 A
解析 在△ABC 中，取AC，AB为基底，
则|AC|＝|AB|＝2，〈AC，AB〉＝60°.
因为点D，E 分别为AB，BC 的中点，
EF＝DE＝AC，
AF＝AE＋EF＝(AB＋AC)＋AC＝AB＋AC，
EF·AF＝AC·＝AC·AB＋AC2
＝×2×2×cos 60°＋×4＝1.
7.(2024·石家庄联考)已知点列{Pn}中的所有点都在△ABC 内部，△ABPn的面积与
△ACPn的面积比值为.在数列{an}中，a1＝1，若∀n∈N*且n≥2，APn＝3anAB＋
(4an－1＋3)AC恒成立，那么a4＝( )
A.15
B.31
C.63
D.127
答案 D
解析 如图，延长APn交BC 于点D，
则＝＝.
又△ABPn的面积与△ACPn的面积比值为，
∴＝，∴＝，
∴点D 是边BC 上最靠近点B 的四等分点.
AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，
又APn＝3anAB＋(4an－1＋3)AC，AD∥APn，
∴＝，
∴an＝4an－1＋3(n≥2).
由a1＝1，依次计算得到a2＝7，a3＝31，a4＝4×31＋3＝127.故选D.
二、多选题
8.(2024·广州模拟)已知向量a，b 不共线，向量a＋b 平分a 与b 的夹角，则下列
结论一定正确的是( )
A.a·b＝0
B.(a＋b)⊥(a－b)
C.向量a，b 在a＋b 上的投影向量相等
D.|a＋b|＝|a－b|
答案 BC
解析 作向量OA＝a，OB＝b，
在▱OACB 中，OC＝a＋b，BA＝a－b，
由向量a＋b 平分a 与b 的夹角，
得▱OACB 是菱形，即|a|＝|b|，
对于A，a 与b 不一定垂直，A 错误；
对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
即(a＋b)⊥(a－b)，B 正确；
对于C，a 在a＋b 上的投影向量(a＋b)＝(a＋b)，
b 在a＋b 上的投影向量(a＋b)＝(a＋b)＝(a＋b)，C 正确；
对于D，由选项A 知，a·b 不一定为0，
则|a＋b|与|a－b|不一定相等，D 错误.
9.已知△ABC 是边长为2 的等边三角形，D，E 分别是AC，AB 上的两点，且AE
＝EB，AD＝2DC，BD 与CE 交于点O，则下列说法正确的是( )
A.AB·CE＝－1
B.OE＋OC＝0
C.|OA＋OB＋OC|＝
D.ED在BC方向上的投影向量的长度为
答案 BCD
解析 因为AE＝EB，△ABC 是等边三角形，
所以CE⊥AB，
所以AB·CE＝0，A 错误；
以E 为坐标原点，EA，EC的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示，
所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，
设O(0，y)，y∈(0，)，
则BO＝(1，y)，DO＝，
又BO∥DO，所以y－＝－y，
解得y＝，
即O 是CE 的中点，OE＋OC＝0，
所以B 正确；
|OA＋OB＋OC|＝|2OE＋OC|＝|OE|＝.所以C 正确；
ED＝，BC＝(1，)，
ED在BC方向上的投影向量的长度为＝＝，所以D 正确.
三、填空题
10.若向量a，b 为单位向量，且|a－2b|＝，则向量a 与向量b 的夹角为________.
答案 120°
解析 因为|a－2b|＝，
所以|a|2－4a·b＋4|b|2＝7.
又向量a，b 为单位向量，
所以5－4cos〈a，b〉＝7，
所以cos〈a，b〉＝－，即〈a，b〉＝120°，
故向量a 与向量b 的夹角为120°.
11.写出一个同时满足下列条件①②的向量a＝________.
①|a|＝1；
②向量a 与b＝(1，－1)的夹角α∈.
答案 (答案不唯一)
解析 |a|＝1，
可设a＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，
又向量a 与b＝(1，－1)的夹角α∈，
所以θ∈∪，
在区间∪内任取一个角θ 即可，
不妨取θ＝，则a＝(答案不唯一).
12.(2024·镇江调研)大约在公元222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了
“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”
构造出图2：△ABC 为正三角形，AD，BE，CF 围成的△DEF 也为正三角形.若
D 为BE 的中点，①△DEF 与△ABC 的面积比为________；②设AD＝λAB＋
μAC，则λ＋μ＝________.
答案
解析 如图，连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F 分别为
BE，CF，AD 的中点.
所以S△DEF＝S△AEF＝S△AFC，
S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF，得＝.
AD＝AB＋BD＝AB＋BE＝AB＋(BC＋CE)＝AB＋，
又BC＝AC－AB，
CF＝AF－AC＝AD－AC，
化简得AD＝AB＋AC，
所以λ＋μ＝＋＝.
四、解答题
13.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x 的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x 的值.
解 (1)由题意，得－cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝，
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x＝2sin，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈[－，2]，
即f(x)的最大值为2，
此时x－＝，则x＝；
f(x)的最小值为－，
此时x－＝－，则x＝0.
14.在平面四边形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，对角线AC 与BD 交于点E，E 是
BD 的中点，且AE＝2EC.
(1)若∠ABD＝，求BC 的长；
(2)若AC＝3，求cos∠BAD.
解 (1)在△ABD 中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，
由正弦定理得＝，
所以sin∠ADB＝＝1，
因为0<∠ADB<π，
所以∠ADB＝.
所以BD＝2，
所以DE＝BE＝，AE＝.
所以cos∠AED＝cos∠BEC＝.
因为AE＝2EC，
所以EC＝.
在△BEC 中，由余弦定理得
BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，
所以BC＝.
(2)法一 因为AC＝3，AE＝2EC，
所以|AE|＝2，
在△ABD 中，E 为BD 的中点，
所以AB＋AD＝2AE，
平方得|AB|2＋|AD|2＋2AB·AD＝4|AE|2，
即16＋8＋2×4×2×cos∠BAD＝16，
解得cos∠BAD＝－.
法二 因为AC＝3，AE＝2EC，
所以AE＝2.
设DE＝BE＝x，在△ABD 中，由余弦定理得
cos∠ADB＝.
在△AED 中，由余弦定理得
cos∠ADB＝，
所以＝，
解得x＝2，
所以BD＝4.
在△ABD 中，由余弦定理得cos∠BAD＝
＝＝－.
