文档内容
#$#%年!月广西高三调研考试卷
数学参考答案
!!&!!解析"本题考查集合的交集#考查数学运算的核心素养!
因为"’!!"#"(")#"#’!$"$###"所以"$#’!#"(")#!
#!&!!解析"本题考查复数的四则运算与实部#考查数学运算的核心素养!
#*+ $#*+%$)*+% "*-+ " - #*+ "
因为%’ ’ ’ ’ * +"所以%’ 的实部为 !
),+ $),+%$)*+% !" !" !" ),+ !"
(!.!!解析"本题考查平面向量的垂直与夹角公式#考查数学运算的核心素养!
"!"# !&"
由$!,("%%!"得$!,("%&!’!#,(!&"’$"即!&"’ "所以/01’!""(’ ’
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)!2!!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
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所以/01#!563#"’ 7 ’ !
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%!8!!解析"本题考查圆台体积的实际应用#考查直观想象的核心素养与应用意识!
!
当杯子盛满水时"设杯内水的高度为&/9"则杯子的容积为 &$(#*(7-*-#%’#!&!’
(
#%#!"解得&’!#"所以该杯子的高度为!#*!’!(/9!
-!.!!解析"本题考查对数函数与导数的综合#考查逻辑推理的核心素养!
$&’&(’:0;#&!")’:0; (’,:0;(’$,!"$%!*+$$%’($#,("当$’$,!"!%时"
( $!#% )
*+$$%&$"*$$%单调递减"因为,!&)&’&(&!"所以*$(%&*$’%&*$)%!
"!2!!解析"本题考查三角函数图象的变换与三角函数的性质#考查逻辑推理的核心素养!
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依题意可得,$$%’1+3##$, * !因为曲线-’,$$%关于直线$’ 对称"所以
- - !#
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所以,$$%的最小正周期的最大值为 ’ !
#7) )
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
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书书书 上单调递增"则,$$% ’, ’
= = 9+3 =
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,!"又*$$%’$#* ##槡#"所以*$$%*=$:3$##槡#,!(#7!!),!’!!<".正确!
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!#!#!!解析"本题考查双曲线的性质#考查数学运算的核心素养!
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依题意可得"*4’/*/*<"解得/’)"则6的离心率为槡!* ’#!
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!(! $或!%$?%!!解析"本题考查解三角形#考查数学运算的核心素养!
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由(1+3"*)1+3#’’1+31,槡()1+3"及正弦定理"得(#*)#’’#,槡(()"则/011’
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!)!#)$+ !!解析"本题考查五进制$古典概型与计数原理#考查数学抽象与逻辑推理的核心
(
素养!
若由数字!"#"(")组成的五位五进制数"要求!"#"(")每个数字都要出现"则需要先从!"
#"(")这)个数字中选取!个数字作为重复出现的数字"再将不重复出现的(个数字从%个
位置中选(个进行排列"最后剩余#个位置排重复数字"故所求不同的五位五进制数共有
&!2(’#)$个!
) %
数字#"(")组成的三位五进制数总共有((’#"个!设这个三位五进制数从左到右的数字分
别为(")"’"转化成十进制后此数为%#(*%)*’’#%(*%)*’’#)(*()*$(*#)*’%"此
数能被(整除等价于(*#)*’能被(整除!
因为(*#)*’’)<"!-*"所以能被(整除的只有4"!#"!%三种情况!
若(*#)*’’4"则$(")"’%的取值有$#"#"(%"$("#"#%这#种+若(*#)*’’!#"则$(")"
’%的取值有$#")"#%"$#"(")%"$)"("#%"$("("(%"$)"#")%这%种+若(*#)*’’!%"则$("
)"’%的取值有$)")"(%"$(")")%这#种!故能被(整除的数共有#*%*#’4个"所求概率为
4 !
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!%!解,$!%设甲生产线的2"8"&流程优秀分别记为事件7"8"9"甲生产线的三个流程中至少
有一个优秀为事件:"则0$7%’0$8%’$!4"0$9%’$!<"
则0$:%’!,0$789%’!,0$7%0$8%0$9%’!,$!,$!4%#7$!,$!<%’$!44的方程为-’$*!! ----------------------分
--’$*!"
由,-# $# 得4$#*<$,!-’$!---------------------"分
* ’!"
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设"$$"-%"#$$"-%"则$’<#*(-7!-($"$*$’, "$$’, "---<分
! ! # # ! # 4 ! # 4
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则""#"’槡!*.#"$,$"’槡#&槡$$*$%#,)$$ ’槡#7 ’ !--!$分
! # ! # ! # 4 4
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设线段"#的中点为5$$"-%"则$’ ! # ’, "-’$*!’ " ----!!分
$ $ $ # 4 $ $ 4
% $ )%
所以线段"#的中垂线方程为-, ’, $* "--------------!#分
4 4
! $! %
令-’$"得$’ "则点7的坐标为 "$ !-----------------!(分
4 4
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因为点7到直线>的距离2’ ’ "
槡# 4
! <槡% %槡# )$槡!$
所以/"#7的面积为 ""#"2’ 7 ’ !------------!%分
# 4 4 的距离!
!
!"!$!%证明,取0"的中点="连接=7"=8"则=70 "5"
#
-----------------------!分
!
因为底面"#15是菱形"8为#1的中点"所以180 "5"
#
-----------------------#分
所以=7081"则四边形=718是平行四边形"所以171=8!---------(分
又因为172平面0"8"=83平面0"8"所以171平面0"8!---------%分
$#%解,取"5的中点:"连接0:"#:"因为0"’05"所以0:%"5"------分
因为平面0"5%平面"#15"且平面0"5$平面"#15’"5"所以0:%平面"#15!
-----------------------------------"分
!高三数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$%
!"#!$!%
{#{QQABRYAAggAoABAAABhCAwWgCEKQkhEACagGwBAAMAAACRFABCA=}#}!
因为底面"#15是菱形"45"#’ "所以/"#5为正三角形"所以#:%"5!
(
------------------------------------<分
以:为坐标原点":"":#":0所在直线分别为$"-"%轴建立如图所示的空间直角坐标
系"设0:’($(($%"则"$!"$"$%"0$$"$"(%"#$$"槡("$%"8$,!"槡("$%"----4分
665 665 665
"8’$,#"槡("$%""0’$,!"$"(%"0#’$$"槡(",(%!------------!$分
665
-#&"8’,#$*槡(-’$"
设平面0"8的法向量为#’$$"-"%%"则, ------!!分
665
.#&"0’,$*(%’$"
令$’槡(("则-’#("%’槡("则#’$槡(("#("槡(%!--------------!#分
设直线0#与平面0"8所成的角为%"
665
665 "0#&#" 槡(( 槡($
则1+3%’"/012#"0#3"’ 665 ’ ’ "--------!(分
"0#""#" 槡(#*(&槡"(#*( #$
4
解得(#’!或 ! ----------------------------!)分
"
槡#!$
故0#’槡(#*(’#或 !-----------------------!%分
"
评分细则,
.!/第$!%问中"未写0172平面0"8"=83平面0"81"扣!分!
.#/第$#%问中"证明00:%平面"#151时"未写0平面0"5$平面"#15’"51"扣!分!
# #=$ #
! !-------------------分
# #
#=$ #
$证明,,+$$%’($*#, ’ *($’*$$%"所以,+$$%为增函数!----"分
=$*! =$*!
# #
,+$,)%’ ,)("因为 &#")(##"所以,+$,)%&$" --------<分
=,)*! =,)*!
又,+$$%’!($"所以,+$$%在$,)"$%上存在唯一的零点$!----------4分
$
当$&$ 时",+$$%&$",$$%单调递减"当$($ 时",+$$%($",$$%单调递增"
$ $
------------------------------------!$分
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#!$!%
{#{QQABRYAAggAoABAAABhCAwWgCEKQkhEACagGwBAAMAAACRFABCA=}#}所以,$$%存在唯一的极值点"且该极值点为极小值点!------------!!分
%解,由$!%知"曲线-’*$$%关于点$$"!%对称"所以&$$%’*$$%,!为奇函数"
------------------------------------!#分
由*$,$=$%**$/,#=$%&#"得*$,$=$%,!**$/,#=$%,!&$"所以&$,$=$%*
&$/,#=$%&$"-----------------------------!(分
即&$/,#=$%&,&$,$=$%’&$$=$%!-------------------!)分
因为*$$%为增函数"所以&$$%’*$$%,!为增函数"所以/,#=$&$=$"----!%分
即/&$$*#%=$"设函数?$$%’$$*#%=$"则?+$$%’$$*(%=$!
当$&,(时"?+$$%&$"?$$%单调递减"当$(,(时"?+$$%($"?$$%单调递增!
------------------------------------!-分
! $ !%
故/&?$$% ’?$,(%’, "即/的取值范围为 ,>", !-------!"分
9+3 =( =(
评分细则,
# # #=$
.!/第$!%问中"还可以这样表述,因为*$,$%**$$%’ ,($* *($’
=,$*! =$*! =$*!
# #=$*#
* ’ ’#"所以曲线-’*$$%关于点$$"!%对称!
=$*! =$*!
! !
.#/第$#%问中"若(的取值范围写为(# "/的取值范围写为/&, "均不扣分!
# =(
.(/第$#%问中"可以从$,>",)*中任取一个实数@"均可得到,+$@%&$!
!4!$!%解,因为数列!)#是$,#"(",)%和比等差数列"所以!),#7(A#是公差为,)的等差
A A
数列"----------------------------------!分
又)’!"所以),#7(’,%"所以),#7(A’,%,)$A,!%"---------#分
! ! A
则)’#7(A,)A,!!---------------------------(分
A
$#%#解,因为(’B’#(*!"所以(’,!!----------------)分
! ! ! !
当A##时"(’B,B ’#(,#( *#A,!"
A A A,! A A,!
即(’#( ,#A*!!---------------------------%分
A A,!
设(*$A*-’#)( *$$A,!%*-*$A##%"-----------------分
A A,!
!$’,#" !$’,#"
整理得(’#( *$A*-,#$"则 解得 ----------"分
A A,!
-,#$’!" -’,("
又(,#,(’,-"所以数列!(,#A,(#是首项为,-"公比为#的等比数列"---<分
! A
所以(,#A,(’,-7#A,!’,(7#A"即(’,(7#A*#A*(" --------4分
A A
所以(*(7#A’#A*("则数列!(*(7#A#是公差为#的等差数列"所以!(#是和比等差
A A A
数列"且该和比等差数列的系数为(!--------------------!$分
$证明,由#知"#A,(’($#A,!%#(7#A,!"----------------!!分
A
A ! A
所以 ) 7 !-------------------------!#分
#A,( ( #A,!
A
!高三数学"参考答案!第!!!!-页#共"页$%
!"#!$!%
{#{QQABRYAAggAoABAAABhCAwWgCEKQkhEACagGwBAAMAAACRFABCA=}#}A D ! # ( A
设C ’7 ’ * * *-* "
A D’!#D,! ! # ## #A,!
! ! # A,! A
则 C ’ * *-* * "---------------------!(分
# A # ## #A,! #A
!
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! ! ! ! A #A A A*#
所以C , C ’!* * *-* , ’ , ’#, "
A # A # ## #A,! #A ! #A #A
!,
#
A*#
即C ’), "----------------------------!%分
A #A,!
A D !A D ) A*# )
所以7 ) 7 ’ , & "
D’!#D,(
D
(D’!#D,! ( (7#A,! (
A D )
故7 & ! ----------------------------!"分
D’!#D,(
D
(
评分细则,
.!/第$!%问中"未写0!),#7(A#是公差为,)的等差数列1"直接由题意得到0),#7(A’
A A
!,-,)$A,!%1"不扣分!
.#/第$#%问中"由0(’#( ,#A*!1直接得到0(,#A,(’#)( ,#$A,!%,(*1"未
A A,! A A,!
用待定系数法求系数"不扣分!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
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