专题突破练11 空间角、空间距离
1.(15 分)(2025 河北唐山一模)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1B1=1,
AB=AC=2,D 为BC 的中点,AC⊥C1D.
(1)证明:AC⊥AB;
(2)若AA1=❑√2,求平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值.
2.(15 分)(2025 山东菏泽一模)如图,在四棱锥P-ABCD 中,CD∥BE,∠BED=60°,
BC=CD=1,AE=2ED=2,PB=2❑√2,PE=EB,F 为PB 的中点.
(1)求证:CF∥平面PAD;
(2)若平面PBE⊥平面ABCD,求DF 与平面ABP 所成角的正弦值.
3.(15 分)(2025 山东烟台模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD
为菱形,二面角A-PD-C 的大小为120°,E,F 分别为AB,PD 的中点.
(1)求证:EF⊥CD.
(2)已知AD=2❑√3,二面角E-FC-D 的大小为60°.
(ⅰ)求PB 和AD 所成角的余弦值;
(ⅱ)求直线AC 与平面EFC 所成角的正弦值.
4.(17 分)(2025 山西临汾二模)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD, BC=
1
2
AD,M 为棱PD 的中点,四面体P-ABC 的体积为4
3
,△PBC 的面积为2❑√2.
(1)求证:CM∥平面PAB;
(2)求点D 到平面PBC 的距离;
(3)若AP=AB,平面PBC⊥平面ABP,点N 为棱PC 上一点,当平面ABN 与平面BNC 夹角
为60°时,求NC 的长.
答案：
1.(1)证明 在三棱台ABC-A1B1C1中,∵A1B1=1,AB=AC=2,∴A1C1=1,BC=2B1C1.
∵D 为BC 的中点,∴B1C1=BD,B1C1∥BD,∴四边形BDC1B1为平行四边形,故B1B∥C1D.
∵AC⊥C1D,∴AC⊥B1B.
∵AA1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AA1⊥AC.
∵AA1,BB1⊂平面ABB1A1,AA1,BB1为相交直线,∴AC⊥平面ABB1A1,
∵AB⊂平面ABB1A1,∴AC⊥AB.
(2)解 以A 为原点,以⃗AB ,⃗AC ,⃗AA1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空
间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,❑√2),C1(0,1,❑√2),D(1,1,0).
∴⃗BC=(-2,2,0),⃗B B1=(-1,0,❑√2),⃗AC1=(0,1,❑√2),⃗AD=(1,1,0).
设m=(x1,y1,z1)是平面BCC1B1的法向量,则{⃗
BC ·m=0,⃗
B B1·m=0, 即{
-2 x1+2 y1=0,
- x1+ ❑√2 z1=0,
令x1=❑√2,则y1=❑√2,z1=1,故m=(❑√2,❑√2,1).
设n=(x2,y2,z2)是平面ADC1的法向量,则{⃗
AD·n=0,⃗
A C1·n=0, 即{
x2+ y2=0,
y2+ ❑√2 z2=0,
令x2=❑√2,则y2=-❑√2,z2=1,故n=(❑√2,-❑√2,1).
∴cos<m,n>= m·n
|m||n| = 1
5 .∴平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值为1
5 .
2.(1)证明 由CD∥BE,BC=CD=DE=1,∠DEB=60°,易求BE=2.
取PE 的中点M,连接MF,F 为PB 的中点,所以MF∥BE,MF=1
2
BE,
所以MF=1,MF∥CD,所以四边形CDMF 为平行四边形.
所以CF∥DM,
又CD⊄平面PAD,DM⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
(2)解 由PE=EB=2,PB=2❑√2,所以PE2+EB2=PB2,所以PE⊥EB,又平面PBE⊥平面
ABCD,所以PE⊥平面ABCD,以E 为原点,EB 所在直线为y 轴,过E 与EB 垂直的直线为x
轴,EP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(
❑√3
2 , 1
2
,0),P(0,0,2),B(0,2,0),F(0,1,1),A(-❑√3,-1,0),⃗
PA=(-❑√3,-1,-2),⃗PB=(0,2,-2),⃗DF=(-
❑√3
2 , 1
2
,1).
设平面ABP 的法向量为n=(x,y,z),
则n⊥⃗PA,n⊥⃗PB,所以{
n·⃗PA =0,
n·⃗PB =0,所以{
- ❑√3 x - y -2 z =0,
2 y -2 z =0,
取z=-1,则x=❑√3,y=-1,
所以平面ABP 的一个法向量为n=(❑√3,-1,-1).
设DF 与平面ABP 所成角为θ,则sin θ=|n·⃗DF |
|n||⃗DF |
=
|- 3
2 - 1
2 -1|
❑√5 ❑√2
= 3 ❑√10
10
,
所以直线DF 与平面ABP 所成角的正弦值为3 ❑√10
10
.
3.(1)证明 如图,连接BD,PE,
由PD⊥平面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD,得PD⊥AD,PD⊥CD,
∴∠ADC 是二面角A-PD-C 的平面角,即∠ADC=120°.
∵四边形ABCD 为菱形,∴∠DAB=60°,AB∥CD,故△ABD 为等边三角形,
∵E 为AB 的中点,∴AB⊥DE,故DE⊥CD.
∵DE⊥CD,PD⊥CD,DE∩PD=D,DE,PD⊂平面PDE,∴CD⊥平面PDE,
∵EF⊂平面PDE,∴EF⊥CD.
(2)解 (ⅰ)由CD⊥平面PDE,DE⊂平面PDE,得DE⊥CD.
以D 为原点,DE,DC,DP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,
∵△ADB 为正三角形,且AD=2❑√3,∴DE=3.
设PD=2a(a>0),则F(0,0,a),E(3,0,0),C(0,2❑√3,0),P(0,0,2a),B(3,❑√3,0),A(3,-❑√3,0),
∴⃗EF=(-3,0,a),⃗EC=(-3,2❑√3,0).
由题意得,平面FCD 的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面EFC 的法向量为n2=(x,y,z),则{
n2·⃗EF =-3 x +az =0,
n2·⃗EC =-3 x +2❑√3 y =0,
取x=2a,可得n2=(2a,❑√3a,6).
∴|cos<n1,n2>|=|n1·n2|
|n1||n2| =|2a|
1×
❑√4 a
2+3a
2+36
= 1
2,解得a=2,
∴⃗PB=(3,❑√3,-4),⃗AD=(-3,❑√3,0),
∴|cos<⃗PB ,⃗AD>|=|⃗PB·⃗AD|
|⃗PB||⃗AD|
=|-9+3|
❑√9+3+16×❑√9+3 =
❑√21
14 ,
即PB 和AD 所成成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资
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角的余弦值为
❑√21
14 .
(ⅱ)设直线AC 与平面EFC 所成的角为θ.
由(ⅰ)知,平面EFC 的一个法向量为n2=(4,2❑√3,6),∵⃗AC=(-3,3❑√3,0),
∴sin θ=|cos<⃗AC,n2>|=|⃗AC ·n2|
|⃗AC ||n2|
=|-12+18+0|
6×8
= 1
8,
即直线AC 与平面EFC 所成角的正弦值为1
8 .
4.(1)证明 在四棱锥P-ABCD 中,取PA 的中点E,连接EM,EB,在△PAD 中,由E,M 分别为
PA,PD 的中点,得EM∥AD,EM=1
2
AD,又BC∥AD,BC=1
2
AD,则EM∥BC,EM=BC,即四边
形BCME 为平行四边形,BE∥MC,而BE⊂平面PAB,MC⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.
(2)解 设点A 到平面PBC 的距离为h,由四面体P-ABC 的体积为4
3
,△PBC 的面积为2❑√2,
得1
3
S△PBC·h=1
3 ·2❑√2·h=4
3
,解得h=❑√2,而AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,则AD∥
平面PBC,所以点D 到平面PBC 的距离为❑√2.
(3)解 取PB 的中点F,连接AF,由AP=AB,得AF⊥PB,由平面PBC⊥平面ABP,平面
PBC∩平面ABP=PB,AF⊂平面ABP,得AF⊥平面PBC,即AF=h=❑√2,则AP=AB=2,BP=2
❑√2,由AF⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,得AF⊥BC,又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,则
PA⊥BC,而PA∩AF=A,PA,AF⊂平面ABP,因此BC⊥平面ABP,又AB,PB⊂平面ABP,则
AB⊥BC,PB⊥BC,而△PBC 的面积为2❑√2,BP=2❑√2,则BC=2,AD=4,PC=2❑√3,
由AD∥BC,得AD⊥AB,以A 为原点,直线AB,AD,AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),设⃗CN=λ⃗CP(0≤λ≤1),则N(2-2λ,2-2λ,2λ),⃗BC=(0,2,0),⃗
PB=(2,0,-2),⃗AB=(2,0,0),⃗AN=(2-2λ,2-2λ,2λ),设平面BNC 的法向量为n=(x1,y1,z1),则
{⃗
PB·n=2 x1-2 z1=0,⃗
BC ·n=2 y1=0,
取z1=1,得n=(1,0,1).
设平面ABN 的法向量为m=(x2,y2,z2),则
{⃗
AB·m=2 x2=0,⃗
AN ·m=(2-2 λ) x2+(2-2 λ) y2+2 λ z2=0,
取y2=2λ,得m=(0,2λ,2λ-2),
cos<m,n>=
2 λ -2
2❑√2·
❑√2 λ
2-2 λ+1
,由平面ABN 与平面BNC 的夹角为60°,
得
1- λ
❑√2·
❑√2 λ
2-2 λ+1
= 1
2,解得λ=1
2,即N 为BC 的中点,所以NC=
