文档内容
第3讲 空间向量与空间角（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................5
【考点一】异面直线所成的角.........................................................................................................5
【考点二】直线与平面的夹角.........................................................................................................7
【考点三】平面与平面的夹角.........................................................................................................9
【专题精练】...............................................................................................................................11
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间
向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等．
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
3．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ．点 分别
在棱 , 上， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
4．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥 中， ， ， ，
E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
5．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
6．（2022·全国·高考真题）在四棱锥 中， 底面
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
7．（2022·全国·高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
8．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
考点突破
【考点一】异面直线所成的角
核心梳理：
设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a，b，c)，b＝(a，b，c)，异面直线l与m的夹角为θ.
1 1 1 2 2 2
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝.
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 中， ， ， ，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南信阳·模拟预测）已知三棱柱 满足 ， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
3．（2024·四川南充·一模）如图，在边长为2的正方体 中，E为AD的中点，F为 的
中点，过点 、E、B作正方体的截面α，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 与 所成角的余弦值为
C．
D．二面角 的余弦值为
4．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中， 为平面 内一动
点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 在线段 上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为椭圆
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学科网（北京）股份有限公司D．对于给定的点 ，过 有且仅有3条直线与直线 所成角为
三、填空题
5．（2024·广东·一模）在正方体 中，点P、Q分别在 、 上，且 ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为
6．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知圆台的高为2，上底面圆 的半径为2，下底面圆 的半径为4，
， 两点分别在圆 、圆 上，若向量 与向量 的夹角为60°，则直线 与直线 所成角的
大小为 ．
规律方法：
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
【考点二】直线与平面所成的角
核心梳理：
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，
则(1)θ∈；(2)sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）已知正方体 的棱长为 ，点N是四边形 内一点，且满
足 ，则DN与平面 所成角的正切值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·全国·期中）PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线
PC与平面PAB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·福建泉州·模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：
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学科网（北京）股份有限公司多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧
度制）．已知正三棱台 中， ，棱 ， 的中点分别为 ， ．若该棱台顶点
， 的曲率之差为 ，则（ ）
A．
B． 平面
C．直线 与平面 所成角的正弦值等于
D．多面体 顶点D的曲率的余弦值等于
4．（2024·山西吕梁·三模）已知正方体 的棱长为 是空间中的一动点，下列结论正确的
是（ ）
A．若点 在正方形 内部，异面直线 与 所成角为 ，则 的范围为
B．平面 平面
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则平面 截正方体 所得截面面积的最大值
为
三、填空题
5．（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱 的底面是正方形， ， ，点
在底面 的射影为 中点H，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，动点 ， 分别在棱 ， 上，
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学科网（北京）股份有限公司且满足 ，当 的体积最小时， 与平面 所成角的正弦值是 ．
四、解答题
7．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为
2和4的正方形， ，且 底面 ，点P、Q分别是棱 的中点.
(1)在底面 内是否存在点 ，满足 平面 ?若存在，请说明点 的位置，若不存在，请说
明理由；
(2)设平面 交棱 于点T，平面 将四棱台 分成上，下两部分，求 与平面
所成角的正弦值.
8．（24-25高三上·安徽·开学考试）如图，在三棱台 中，上､下底面是边长分别为4和6的等
边三角形， 平面 ，设平面 平面 ，点 分别在直线 和直线 上，且满足
.
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 和平面 所成角的余弦值为 ，求该三棱台的体积.
规律方法：
(1)线面角θ与直线的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的关系是〈a，n〉＋θ＝或〈a，n〉
－θ＝，所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值．
(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心．
【考点三】平面与平面的夹角
核心梳理：
设平面α，β的法向量分别为u，v，平面α与平面β的夹角为θ，
则(1)θ∈；
(2)cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
一、单选题
1．（2024·江西宜春·模拟预测）在正方体 中，平面 经过点 ，平面 经过点 ，
当平面 分别截正方体所得截面面积最大时，平面 与平面 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·福建·阶段练习）在矩形 中， ， ， 将 沿着 翻折，使
点在平面 上的投影 恰好在直线AB上，则此时二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一下·浙江宁波·期中）如图，已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别为
， ， 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥
在RtΔPAC中tan∠ACP=
√6
=√3
的体积为 B． 平面
√2
C． 平面 D．二面角 的余弦值为
4．（2024·江西景德镇·三模）正方体 的棱长为6， ， 分别是棱 ， 的中点，过
， ， 作正方体的截面，则（ ）
A．该截面是五边形
B．四面体 外接球的球心在该截面上
C．该截面与底面 夹角的正切值为
D．该截面将正方体分成两部分，则较小部分的体积为75
三、填空题
5．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，设 ，若沿直线 把
平面直角坐标系折成大小为 的二面角后， ，则 的余弦值为 ．
四、解答题
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为等腰梯形，其
中 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明：平面 平面 ．
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
7．（2024·云南·模拟预测）如图，已知四棱锥 中， 平面 ， ，
．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求线段 的长．
规律方法：
平面与平面夹角的取值范围是，两向量夹角的取值范围是[0，π]，两平面的夹角与其对应的两法向量的夹
角不一定相等，而是相等或互补．
专题精练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）在正方体 中， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州贵阳·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如
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学科网（北京）股份有限公司图1，设圆锥轴截面的顶角为 ，用一个平面 去截该圆锥面，随着圆锥的轴和 所成角 的变化，截得
的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为 ，比如，当 时， ，此时截得的曲线是
抛物线．如图2，在底面半径为 ，高为 的圆锥 中， 、 是底面圆 上互相垂直的直径， 是
母线 上一点， ，平面 截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东·三模）已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 与 所成的角为
C．过 三点的平面截正方体所得截面图形为等腰梯形
D．平面 与平面 夹角的正切值为
4．（2024·重庆·三模）如图，已知正方体 中， 分别为棱 、
的中点，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 四点共面 B． 与 异面
C． D．RS与 所成角为
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，记异面直线 与 所
成角为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（2024·江苏连云港·模拟预测）在棱长为2的正方体 中，E，F，G分别为棱 ，
CD， 的中点，则（ ）
A．
B．平面EFG截正方体所得到的截面面积是
C．直线AB和直线 与平面EFG所成的角相等
D．点E到平面BFG的距离为
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，
，四边形 为直角梯形， ， ，给出下列结论：① 平面 ；
②三棱锥 的外接球的表面积为 ；③异面直线 与 所成角的余弦值为 ；④直线 与平面
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学科网（北京）股份有限公司所成角的正弦值为 .则所有正确结论的序号是 .
8．（2024·全国·模拟预测）在正四棱锥 中，点 分别为 的中点， ，异面直
线 所成角的余弦值为 ，则正四棱锥 的高为 ，外接球的表面积为
．
四、解答题
9．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，已知四棱锥 的底面 是边长为6的正方形，侧面
底面 ，点 分别是 的中点，点 在棱 上且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
10．（2024·安徽·一模）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，
，M是 的中点， .
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面 ；
(2)若点P是棱 上的动点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
11．（2024·广东广州·模拟预测）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是正三角
形， ．
(1)证明：平面 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值．
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形 中， ， ，垂足为
，将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.
(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
(2)在线段 上是否存在一点 （点 不与端点重合），使得二面角 的余弦值为 ？若存在，
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学科网（北京）股份有限公司求出 的值；若不存在，请说明理由.
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