专题突破练5 等差数列、等比数列
必备知识夯实练
1.(2025 新高考Ⅱ,7)记Sn为等差数列{an}的前n 项和.若S3=6,S5=-5,则S6=( )
A.-20
B.-15
C.-10
D.-5
2.(2025 河南安阳模拟)洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库,被联合国教科
文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378 个“浮雕像”,分为
6 层,对每一层来说,上一层的数量是该层的2 倍,则从下往上数,第4 层“浮雕像”的数量
为( )
A.16
B.32
C.48
D.64
3.(2025 江苏南京一模)已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…
+ak+9=214-24,则正整数k 的值是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
4.(2025 浙江温州模拟)已知数列{an}满足a1=-1
5 , 1
an+1
−1
an
=2,则数列{an}中的最小项为(
)
A.a2
B.a3
C.a4
D.a5
5.(2025 北京丰台一模)已知a1,a2,a3是公比不为1 的等比数列,将a1,a2,a3调整顺序后可构
成一个等差数列,则满足条件的一组a1,a2,a3的值依次为 .
6.(2025 福建厦门模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,若S3
S6
= 1
4,则
S12
S3+ S6
=
.
关键能力提升练
7.(多选题)(2025 湖南长沙模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n 项和,满足S3,S9,S6成等差数
列,则( )
A.a2,a5,a8成等比数列
B.a2,a8,a5成等差数列
C.S2,S5,S8成等比数列
D.S2,S8,S5成等差数列
8.(2025 浙江宁波模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2 的等比数列,且a2-b2=a3-
b3=b4-a4,则a5
b5
= .
9.(13 分)(2025 湖北武汉模拟)已知数列{an}的各项均不为0,其前n 项和为Sn,q 为不等于
0 的常数,且Sn=qSn-1+a1(n≥2).
(1)证明:{an}是等比数列.
(2)若S5,S11,S8成等差数列,则对于任意的正整数t,at+5,at+11,at+8是否成等差数列?若成等差
数列,请予以证明;若不成等差数列,请说明理由.
10.(15 分)已知等差数列{an}满足an+an-1=8n+2(n≥2),数列{bn}是公比为3 的等比数列,
a2+b2=20.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)将数列{an}和{bn}中的项从小到大排列后组成新的数列{cn},记数列{cn}的前n 项和为
Sn,求S50.
核心素养创新练
11.(2025 湖南岳阳模拟)若正整数m,n 的公约数只有1,则称m,n 互质.对于正整数n,φ(n)
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数.函数φ(n)以其首名研究者欧拉的名字
命名,称为欧拉函数,例如φ(3)=2,则φ(9)=6.若数列{φ(2
n)
φ(3
n)
}的前n 项和为Sn,则Sn=
.
答案：
1.B 解析 当n 为奇数时,由Sn=nan+1
2
有S3=3a2=6,S5=5a3=-5,解得a2=2,a3=-1,所以公差
d=-3.则a6=a2+4d=-10,所以S6=S5+a6=-15,故选B.
2.C 解析 由题意,从下往上“浮雕像”的数量成等比数列,设为{an},则S6=378,公比
q=2,所以S6=a1(1-2
6)
1-2
=63a1=378,所以a1=6,所以第4 层“浮雕像”的数量为
a4=6×23=48.
3.B 解析 因为数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3,所以a1+2a1=3,解得a1=1,故
an=2n-1.因为ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=ak(1+2+22+…+29)=2k-1· 1-2
10
1-2
=2k+9-2k-1=214-24,解得
k=5.
4.B 解析 由1
an+1
−1
an
=2 可知{ 1
an
}为等差数列,且公差为2,首项为1
a1
=-5,因此1
an
=2(n-1)-5=2n-7,即an=
1
2n-7
,由于a2=-1
3
,a3=-1 且∀n≥4,an>0,故{an}中的最小项为a3.
5.1,-2,4(答案不唯一) 解析 设等比数列a1,a2,a3的公比为q(q≠1),则等比数列为
a1,a1q,a1q2,不妨设调整顺序后的等差数列为a1q,a1,a1q2,则2a1=a1q+a1q2.∵a1≠0,∴2=q+q2,
解得q=-2 或q=1(舍).令a1=1,则a2=-2,a3=4,∴满足条件的一组a1,a2,a3的值依次为1,-2,4.
6.8 解析 因为S3
S6
= 1
4,所以S6=4S3,则S6-S3=3S3.因为数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是以S3为首
项,3 为公比的等比数列,所以S9-S6=32S3=9S3,即S9=9S3+S6=13S3,S12-S9=33S3=27S3,即
S12=27S3+S9=40S3,所以
S12
S3+ S6
=
40 S3
S3+ 4 S3
=8.
7.ABD 解析 因为数列{an}为等比数列,可设首项为a1(a1≠0),公比为q(q≠0),则a5
a2
= a8
a5
=q3,所以a2,a5,a8成等比数列,故A 正确;若等比数列的公比q=1,则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,
根据S3,S9,S6成等差数列,则2S9=S3+S6,即18a1=3a1+6a1⇒a1=0,这与a1≠0 矛盾,故q=1 不成
立;当q≠1 时,由2S9=S3+S6,得2× a1(1-q
9)
1-q
= a1(1-q
3)
1-q
+ a1(1-q
6)
1-q
⇒2q9=q3+q6.所以
2q6=1+q3,两边同乘a1q 得2a1q7=a1q+a1q4,即2a8=a2+a5,所以a2,a5,a8成等差数列,故B 正
确;若S2,S5,S8成等比数列,则S5
2=S2·S8,因为q≠1,所以[
a1(1-q
5)
1-q ]
2
= a1(1-q
2)
1-q
· a1(1-q
8)
1-q
,
又a1≠0,所以(1-q
5)
2=(1-q2)·(1-q8)⇒2q5=q2+q8,所以2q3=1+q6⇒(q
3-1)
2=0,解得q=1,这
与q≠1 矛盾,故S2,S5,S8不可能成等比数列,故C 错误;因为q≠1,且由上得2q6=1+q3,两边同
乘q2,得2q8=q2+q5,可得2× a1(1-q
8)
1-q
= a1(1-q
2)
1-q
+ a1(1-q
5)
1-q
,即2S8=S2+S5,所以S2,S8,S5
成等差数列,故D 正确.
8. 9
16
解析 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,q=2,
由a2-b2=a3-b3,得a1+d-b1q=a1+2d-b1q2,
即d=b1q2-b1q=4b1-2b1=2b1;
①
由a3-b3=b4-a4,得a1+2d-b1q2=b1q3-a1-3d,
即2a1+5d=b1q3+b1q2=12b1,
②
由①②,得a1=b1=d
2
,
所以a5
b5
= a1+ 4 d
b1q
4 =
d
2 + 4 d
d
2 ×2
4 = 9
16 .
9.(1)证明 因为Sn=qSn-1+a1(n≥2),
①
所以Sn+1=qSn+a1(n≥1),
②
②-①,得an+1=qan(n≥2),即an+1
an
=q(n≥2).
当n=2 时,S2=qS1+a1,即a2+a1=qa1+a1,所以a2
a1
=q,所以对∀n∈N*,an+1
an
=q,即{an}是公比为
q 的等比数列.
(2)解 对任意的正整数t,at+5,at+11,at+8成等差数列.证明如下:
由S5,S11,S8成等差数列,得q≠1,且2S11=S5+S8,即2× a1(1-q
11)
1-q
= a1(1-q
5)
1-q
+ a1(1-q
8)
1-q
,
化简得2q6-q3-1=0,即2q6=q3+1.
因为at+5+at+8=atq5+atq8=atq5(1+q3),2at+11=2atq11=atq5×2q6=atq5(1+q3),所以at+5+at+8=2at+11,
故对于任意的正整数t,at+5,at+11,at+8成等差数列.
10.解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
由an+an-1=8n+2(n≥2),
①
得an-1+an-2=8n-6(n≥3),
②
①-②得an-an-2=8(n≥3),∴2d=8,即d=4,又an+an-1=8n+2,即an+an-d=8n+2,∴an=4n+3.
∵数列{bn}是公比为3 的等比数列,∴b2=3b1,由a2+b2=20,得11+3b1=20,解得
b1=3,∴bn=3n.
(2)由(1)可知,an=4n+3,bn=3n,则b4=34=81,b5=35=243,a46=4×46+3=187,∴数列{cn}的前50
项中有46 项来自数列{an},有4 项来自数列{bn},则S50=c1+c2+…
+c50=(31+32+33+34)+(7+11+…+187)=120+4 462=4 582.
11. 3
2 −(
2
3)
n-1
解析 小于等于2n的正整数有1,2,…,2n,共2n个,与2n不互质的数是2 的倍
数,即2,4,…,2n,共2n-1个,所以与2n互质的数有2n-2n-1=2n-1个,即φ(2n)=2n-1.小于等于3n的正
整数有1,2,…,3n,共3n个.与3n不互质的数是3 的倍数,即3,6,…,3n,共3n-1个,所以与3n互质
的数有3n-3n-1=2·3n-1个,即φ(3n)=2·3n-1.所以φ(2
n)
φ(3
n)
=
2
n-1
2·3
n-1 = 1
2 ·(
2
3)
n-1
,故数列{φ(2
n)
φ(3
n)
}
是以1
2
为首项,2
3
为公比的等比数列,则Sn=
1
2 [1-(
2
3)
n
]
1- 2
3
= 3
2 −
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群
552511468 也可联系微信fjshuxue 加入百度网盘群4T 一线老师必备资料一键转存自动
更新永不过期
