1
专题突破练7 数列求和的方法
1.(13 分)(2025 山东滨州模拟)已知数列{an}的前n 项和Sn=n2+2n.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{2
an+ 1
Sn}的前n 项和Tn.
2.(13 分)(2025 江苏扬州模拟)已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n 项和,满足
Sn+1=3Sn+n+1(n∈N*).
(1)证明:数列{an+ 1
2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3(2an+1),求数列{
(2an+1)(2n-1)
bnbn+1
}的前n 项和Tn.
3.(15 分)(2025 广东深圳模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn,a1=t(t≠-1),an+1-Sn=n.
(1)当t 为何值时,数列{an+1}是等比数列?
(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn,b1=1,点(Tn+1,Tn)在直线x
n+1 - y
n = 1
2
上,在(1)的条件下,若不
等式b1
a1+1 +
b2
a2+1+…+ bn
an+1≥m-
9
2+2an
对于n∈N*恒成立,求实数m 的最大值.
4.(15 分)(2025 浙江台州模拟)对于数列{an},记区间(1,an)内偶数的个数为bn,则称数列
{bn}为{an}的偶数列.
(1)若数列{dn}为数列{n3}的偶数列,求d3.
(2)若数列{cn}为数列{2n+1+3}的偶数列,证明:数列{cn-1}为等比数列.
(3)在(2)的前提下,若数列{bn}为等差数列{an}的偶数列,a1=5,a5=13,求数列{bncn}的前n 项
和Sn.
2
答案：
1.解 (1)因为Sn=n2+2n,
所以当n=1 时,a1=S1=3.
当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.
当n=1 时,上式也成立.所以an=2n+1.
(2)由(1)得,2
an+ 1
Sn
=22n+1+1
2 ( 1
n -
1
n+2
),所以Tn=23+1
2
(1-1
3
)+25+1
2 ( 1
2 - 1
4
)+…+22n+1+
1
2 ( 1
n -
1
n+2
),所以Tn=(23+25+…+22n+1)+1
2
(1-1
3 + 1
2 - 1
4 + 1
3 - 1
5
+…+1
n -
1
n+2
),所以Tn=
8(1- 4
n)
1- 4
+ 1
2
(1+1
2 -
1
n+1 -
1
n+2
),整理得Tn=2
3 ×4n+1-
2n+3
2(n+1)(n+2) - 23
12 .
2.解 (1)由题意,当n=1 时,S2=3S1+2,得a1+a2=3a1+2.
∵a1=1,∴a2=4.
当n≥2 时,Sn+1=3Sn+n+1,
①
Sn=3Sn-1+n,
②
①-②得an+1=3an+1(n≥2).
∵a2=4=3a1+1,∴an+1=3an+1(n≥1).则an+1+1
2
=3an+3
2
=3(an+1
2
),∵a1+1
2 = 3
2 ≠0,∴
an+1+ 1
2
an+ 1
2
=3,
∴{an+ 1
2}是以a1+1
2 = 3
2为首项,3 为公比的等比数列.
∴an+1
2 = 3
n
2
,则an=3
n-1
2
.
(2)由(1)得bn=log3(2an+1)=log33n=n,则(2an+1)(2n-1)
bnbn+1
= 3
n(2n-1)
n(n+1) = 3
n+1
n+1 - 3
n
n ,
∴{
(2an+1)(2n-1)
bnbn+1
}的前n 项和Tn=3
2
2 - 3
1 + 3
3
3 - 3
2
2 +…+ 3
n+1
n+1 - 3
n
n =-3
1 + 3
n+1
n+1 = 3
n+1
n+1-3.
3.解 (1)由an+1-Sn=n,得an-Sn-1=n-1(n≥2),
两式相减得an+1-an-(Sn-Sn-1)=1,即an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1)(n≥2),
由a1=t 及an+1-Sn=n,得a2=t+1.
3
因为数列{an+1}是等比数列,所以只需要a2+1
a1+1 = t +2
t +1=2,解得t=0,此时,数列{an+1}是以
a1+1=1 为首项,2 为公比的等比数列.
(2)由(1)得an=2n-1-1,因为点(Tn+1,Tn)在直线x
n+1 - y
n = 1
2上,所以T n+1
n+1 - T n
n = 1
2,故{
T n
n }是以
T 1
1
=1 为首项,1
2
为公差的等差数列,则T n
n
=1+1
2
(n-1),所以Tn=n(n+1)
2
.
当n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=n(n+1)
2
-(n-1)n
2
=n,
b1=1 满足该式,所以bn=n(n∈N*).
不等式b1
a1+1 +
b2
a2+1+…+ bn
an+1 ≥m-
9
2+2an
,
即为1+2
2 + 3
2
2+…+ n
2
n-1 ≥m- 9
2
n,
令Rn=1+2
2 + 3
2
2+…+ n
2
n-1,
则1
2
Rn=1
2 + 2
2
2 + 3
2
3+…+ n
2
n,
两式相减得1
2
Rn=1+1
2 + 1
2
2 + 1
2
3+…+ 1
2
n-1 - n
2
n =
1-( 1
2 )
n
1- 1
2
- n
2
n=2-n+2
2
n ,
所以Rn=4-n+2
2
n-1 ,
由Rn≥m- 9
2
n恒成立,即4-2n-5
2
n
≥m 恒成立,
又(4-2n-3
2
n+1 )-(4-2n-5
2
n
)=2n-7
2
n+1 ,
故当n≤3 时,{4 - 2n-5
2
n }单调递减;
当n≥4 时,{4 - 2n-5
2
n }单调递增,
4
当n=3 时,4-2×3-5
2
3
= 31
8 ;当n=4 时,4-2×4 -5
2
4
= 61
16,则4-2n-5
2
n
的最小值为61
16
,所以实数
m 的最大值是61
16 .
4.(1)解 在区间(1,33)内的偶数为2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,共13 个,所以d3=13.
(2)证明 在区间(1,2n+1+3)内的偶数为2,4,…,2n+1,2n+1+2,则cn=2
n+1+2-2
2
+1=2n+1.于是c1-
1=2,cn+1-1
cn-1 = 2
n+1
2
n =2,所以{cn-1}是首项为2,公比为2 的等比数列.
(3)解 依题意,等差数列{an}的公差d=a5-a1
5-1
=2,则an=5+2(n-1)=2n+3,bn=2n+2-2
2
+1=n+1,
由(2)知,cn=2n+1,则bncn=(n+1)(2n+1)=(n+1)·2n+(n+1),
令数列{(n+1)·2n}的前n 项和为Tn,则Tn=2×2+3×22+…+(n+1)·2n,
于是2Tn=2×22+3×23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,
两式相减得-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=4+2
2-2
n+1
1-2
-(n+1)·2n+1=-n·2n+1.
因此Tn=n·2n+1,而数列{n+1}的前n 项和为n[2+(n+1)]
2
= n
2+3n
2
,所以Sn=Tn+n
2+3n
2
=n·2n+1+n
2+3n
2
.
