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2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（考试时间120 分钟，满分150 分）
一、填空题（本大题共12 题，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分，共54 分.考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知全集
，集合
，则
_________．
2. 不等式
的解集为_________．
3. 己知等差数列
的首项
，公差
，则该数列的前6 项和为_________．
4. 在二项式
的展开式中，
的系数为_________．
5. 函数
在
上的值域为_________．
6. 已知随机变量X 的分布为
，则期望
_________．
7. 如图，在正四棱柱
中，
，则该正四棱柱的体积为_________．
8. 设
，则
的最小值为_________．
9. 4 个家长和2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有_________种．
10. 已知复数z 满足
，则
的最小值是_________．
11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1 米
垂直
于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行
光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45 米．
则斜面的底角
_________．（结果用角度制表示，精确到
）
12.
已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
可的取值范围是_______．
二、选择题（本大题共4 题，第13、14 题每题4 分，第15、16 题每题5 分，共18 分.每题有
且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13. 己知事件A、B 相互独立，事件A 发生的概率为
，事件B 发生的概率为
，则事件
发生的概率
为（ ）
A.
B.
C.
D. 0
14. 设
．下列各项中，能推出
的一项是（ ）
A.
，且
B.
，且
C.
，且
D.
，且
15. 已知
，C 在
上，则
面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值
B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值
D. 既没有最大值，也没有最小值
16. 已知数列
、
、
的通项公式分别为
，
、，
.若对任
意的
，
、
、
的值均能构成三角形，则满足条件的正整数
有（ ）
A. 4 个
B. 3 个
C. 1 个
D. 无数个
三、解答题（本大题共5 题，第17-19 题每题14 分，第20-21 题每题18 分，共78 分.解答下
列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 2024 年东京奥运会，中国获得了男子
米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子
米混
合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206
78
207.46
207.95
209.34
209.35
210
68
213.73
214.84
216.93
216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率；
（3）若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为
，年份x 的平均数为2006，预测2028 年冠军
队的成绩（精确到0.01 秒）．
18. 如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
（1）若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段
OC 上，证明：直线
平面PBD．
19. 已知
．
（1）若
，求不等式
的解集；
（2）若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
20. 已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
（1）若
的焦点
，求离心率e；
（2）若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
（3）已知AM
中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
21. 已知函数
的定义域为
．对于正实数a，定义集合
．
（1）若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
（2）若
，求a 的取值范围；
（3）若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
