文档文本内容
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分
参考公式：
•如果事件A、B 互斥，那么
．
•如果事件A、B 相互独立，那么
．
•球的体积公式
，其中R 表示球的半径．
•圆锥的体积公式
，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不允分也不必要条件
3．函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．从某网格平台推荐的影视作品中抽取400 部，统计其评分分数据，将所得400 个评分
数据分为8 组：
，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分
在区间
内的影视作品数量是（ ）
A．20 B．40 C．64 D．80
5．设
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆
锥的高之比为
，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．
8．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，抛
物线的准线交双曲线于A，B 两点，交双曲钱的渐近线于C、D 两点，若
．
则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2 D．3
9．设
，函数
，若
在区间
内恰有6
个专点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
.
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第II 卷
注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11 小题，共105 分．
二、填空题，本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分，试题中包含两个空的，答
对1 个的给3 分，全部答对的给5 分．
10．i 是虚数单位，复数
_____________．
11．在
的展开式中，
的系数是__________．
12．若斜率为
的直线与y 轴交于点A，与圆
相切于点B，则
____________．
13．若
，则
的最小值为____________．
14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一
方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
和
，且每次活动
中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
____________，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________．
15．在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，
且交AB 于点
E．
且交AC 于点F,则
的值为____________；
的最小
值为____________．
三、解答题，本大题共5 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程成演
算步骤．
16．（本小题满分14 分）
在
，角
所对的边分别为
，已知
，
．
（I）求a 的值；
（II）求
的值；
（III）求
的值．
17．（本小题满分15 分）
如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．
（I）求证：
平面
；
（II）求直线
与平面
所成角的正正弦值．
（III）求二面角
的正弦值．
18．（本小题满分15 分）
已知椭圆
的右焦点为F,上顶点为B,离心率为
，且
．
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l 与椭圆有唯一的公共点M，与y 轴的正半轴交于点N，过N 与BF 垂直的直线
交x 轴于点P．若
，求直线l 的方程．
19．（本小题满分15 分）
已知
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
是公比大于0 的等比数列，
．
（I）求
和
的通项公式；
（II）记
.
（i）证明
是等比数列；
（ii）证明
20．（本小恩满分16 分）
已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
