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绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上 ､ . 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一选择题：本题共 ､ 12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理 得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入 平均值不超过6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间 3. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中是增函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 点 到双曲线 一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足 ．已知某同学视力的五分记录 法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 7. 在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 后，所得 多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. D. 8. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 3 9. 记 为等比数列 前n 项和.若 ， ，则 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 将3 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 11. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 12. 设 是定义域为R 的奇函数，且 .若 ，则 （ ） A. B. C. D. 二填空题：本题共 ､ 4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 若向量 满足 ，则 _________. 14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________. 15. 已知函数 的部分图像如图所示，则 _______________. 16. 已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________． 三解答题：共 ､ 70 分.解答应写出交字说明证明过程程或演算步骤，第 ､ 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60 分. 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分 别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99% 把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 记 为数列 的前n 项和，已知 ，且数列 是等差数列，证明： 是等差数 列. 19. 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F 分别为 和 的 中点， . （1）求三棱锥 的体积； （2）已知D 为棱 上的点，证明： . 20. 设函数 ，其中 . （1）讨论 的单调性； （2）若 的图象与 轴没有公共点，求a 的取值范围. 21. 抛物线C 的顶点为坐标原点O．焦点在x 轴上，直线l： 交C 于P，Q 两点，且 ．已知 点 ，且 与l 相切． （1）求C， 方程； （2）设 是C 上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系， 并说明理由． (二)选考题：共10 分.请考生在第22､23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A 的直角坐标为 ，M 为C 上的动点，点P 满足 ，写出Р 的轨迹 的参数方 程，并判断C 与 是否有公共点． [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数 ． （1）画出 和 的图像； （2）若 ，求a 的取值范围．
