文档文本内容
绝密★启用前 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 注意事项: 1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上 无效． 3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1. 设集合 1 0 4 , 5 3 M x x N x x ，则M N I （ ） A. 1 0 3 x x B. 1 4 3 x x C. 4 5 x x D. 0 5 x x 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入 调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5 万元 农户比率估计为10% 的 的 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间 3. 已知 2 (1 ) 3 2 i z i ，则z （ ） A 3 1 2 i B. 3 1 2 i C. 3 2 i D. 3 2 i 4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足 5 lg L V ．已知某同学视力的五分记录法 的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（1010 1.259 ） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 5. 已知 1 2 , F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且 1 2 1 2 60 , 3 F PF PF PF ，则C 的离心率为（ ） A. 7 2 B. 13 2 C. 7 D. 13 6. 在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A EFG 后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列 na 的公比为q，前n 项和为 n S ，设甲： 0 q ，乙： n S 是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 . 8. 2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量 法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C 三点，且A，B，C 在同 一水平面上的投影 , , A B C 满足 45 A C B ， 60 A B C ．由C 点测得B 点的仰角为15，BB 与CC的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45，则A，C 两点到水平面A B C 的高度差AA CC 约 为（ 3 1.732 ）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 9. 若 cos 0, ,tan2 2 2 sin ，则tan（ ） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 10. 将4 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为（ ） A. 1 3 B. 2 5 C. 2 3 D. 4 5 11. 已如A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且 , 1 AC BC AC BC ，则三棱锥O ABC 的体积为（ ） A. 2 12 B. 3 12 C. 2 4 D. 3 4 12. 设函数 f x 的定义域为R， 1 f x 为奇函数， 2 f x 为偶函数，当 1,2 x 时， 2 ( ) f x ax b ．若 0 3 6 f f ，则 9 2 f （ ） A. 9 4 B. 3 2 C. 7 4 D. 5 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 曲线 2 1 2 x y x 在点 1, 3 处的切线方程为__________． 14. 已知向量 3,1 , 1,0 , a b c a kb r r r r r ．若a c r r ，则k ________． 15. 已知 1 2 , F F 为椭圆C： 2 2 1 16 4 x y 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且 1 2 PQ F F ，则四边形 1 2 PFQF 的面积为________． 16. 已知函数 2cos( ) f x x 的部分图像如图所示，则满足条件 7 4 ( ) ( ) 0 4 3 f x f f x f 的最小正整数x 为________． 三、解答题：共70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60 分． 17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别 用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc K a b c d a c b d 2 P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知数列 na 的各项均为正数，记 n S 为 na 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另 外一个成立． ①数列 na 是等差数列：②数列 n S 是等差数列；③ 2 1 3 a a ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 19. 已知直三棱柱 1 1 1 ABC A B C 中，侧面 1 1 AA B B 为正方形， 2 AB BC ，E，F 分别为AC 和 1 CC 中 点，D 为棱 1 1 A B 上的点． 1 1 BF A B （1）证明：BF DE ； （2）当 1 B D 为何值时，面 1 1 BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 20. 抛物线C 的顶点为坐标原点O．焦点在x 轴上，直线l： 1 x 交C 于P，Q 两点，且OP OQ ．已知 点 2,0 M ，且 M e 与l 相切． （1）求C， M e 的方程； （2）设 1 2 3 , , A A A 是C 上的三个点，直线 1 2 A A ， 1 3 A A 均与 M e 相切．判断直线 2 3 A A 与 M e 的位置关系， 并说明理由． 21. 已知 0 a 且 1 a ，函数 ( ) ( 0) a x x f x x a ． （1）当 2 a 时，求 f x 的单调区间； 的 （2）若曲线 y f x 与直线 1 y 有且仅有两个交点，求a 的取值范围． （二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2 cos ． （1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A 直角坐标为 1,0 ，M 为C 上的动点，点P 满足 2 AP AM uuur uuuur ，写出Р 的轨迹 1 C 的参数方 程，并判断C 与 1 C 是否有公共点． [选修4-5：不等式选讲]（10 分） 23. 已知函数 ( ) 2 , ( ) 2 3 2 1 f x x g x x x ． （1）画出 y f x 和 y g x 的图像； （2）若 f x a g x ，求a 的取值范围． 的
