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绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 设集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确
率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3. 若
．则
（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（
）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
5. 将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到曲线C，若C 关于y 轴对称，
则
的最小值是（ ）
A
B.
C.
D.
6. 从分别写有1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到的2 张卡片上的数字之积是4
的倍数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 函数
在区间
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 1
9. 在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，则（ ）
A.
B. AB 与平面
所成的角为
C.
D.
与平面
所成的角为
10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 已知椭圆
离心率为
，
分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．
若
，则C 的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
12 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13. 已知向量
．若
，则
______________．
14. 设点M 在直线
上，点
和
均在
上，则
的方程为______________．
15. 记双曲线
的离心率为e，写出满足条件“直线
与C 无公共点”的e 的一
个值______________．
16. 已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，
________．
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分.
17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机
调查了甲、乙两城之间的500 个班次，得到下面列联表：
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：
，
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
18. 记
为数列
的前n 项和．已知
．
（1）证明：
等差数列；
（2）若
成等比数列，求
的最小值．
19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面
是边长为8
（单位：
）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的平面都与平面
垂直．
（1）证明：
平面
；
（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
20. 已知函数
，曲线
在点
处的切线也是曲线
的切
线．
（1）若
，求a；
（2）求a 的取值范围．
21. 设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD
垂直于x 轴时，
．
（1）求C 的方程；
（2）设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最大值时，求直线AB 的方程．
（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题
计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（t 为参数），曲线
的参数方程为
（s 为参数）．
（1）写出
的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，
求
与
交点的直角坐标，及
与
交点的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c 均为正数，且
，证明：
（1）
；
（2）若
，则
．
