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2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至4 页，
共4 页。满分150 分。考试时间120 分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、
草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50 分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10 小题。
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1．已知集合
，集合
为整数集，则
A．
B．
C．
D．
2．在
的展开式中，含
项的系数为
A．
B．
C．
D．
3．为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点
A．向左平行移动
个单位长度 B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
4．若
，
，则一定有
A．
B．
C．
D．
5． 执行如图1 所示的程序框图，如果输
入的
，则输出的
的最大值为
A． B． C． D．
6．六个人从左至右排成一行，最左端只能
排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排
法共有
A．
种 B．
种
C．
种 D．
种
7．平面向量
，
，
（
），且
与
的夹角等
于
与
的夹角，则
A．
B．
C． D．
8．如图，在正方体
中，点
为线段
的中点。设点
在线段
上，
直线
与平面
所成的角为
，则
的取值范围是
第1页 共11页
B
C
A．
B．
C．
D．
9．已知
，
。现有下列命题：
①
；②
；③
。
其中的所有正确命题的序号是
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
10．已知
是抛物线
的焦点，点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原点），则
与
面积之和的最小值是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非选择题 共100 分）
注意事项：
必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。作图题可
先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11 小题。
二．填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11．复数
。
12．设
是定义在R 上的周期为2 的函数，当
时，
，则
。
13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为
，
，此时气球的
高是
，则河流的宽度BC 约等于
。
（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：
，
，
，
，
）
14．设
，过定点A 的动直线
和
过定点B 的动直线
交于点
，则
的最大值是 。
15．以
表示值域为R 的函数组成的集合，表
示具有如下性质的函数
组成的集合：对于
函数
，存在一个正数
，使得函数
的值域包含于区间
。例如，当
，
时，
，
。现有如下命题：
①设函数
的定义域为
，则“
”的充要条件是“
，
，
”；
②函数
的充要条件是
有最大值和最小值；
第2页 共11页
③若函数
，
的定义域相同，且
，
，则
；
④若函数
（
，
）有最大值，则
。
其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．(本小题满分12 分)
已知函数
.
（1）求
的单调递增区间；
（2）若
是第二象限角，
，求
的值.
17．(本小题满分12 分)
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要
么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐获得20 分，
出现三次音乐获得100 分，没有出现音乐则扣除200 分（即获得
分）。设每次击鼓出现
音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立。
（1）设每盘游戏获得的分数为
，求
的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加
反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18．(本小题满分12 分)
三棱锥
及其侧视图、俯视图如图所示。设
，
分别为线段
，
的中点，
为线段
上的点，且
.
（1）证明：
为线段
的中点；
（2）求二面角
的余弦值.
19．(本小题满分12 分)
设等差数列
的公差为
，点
在函数
的图象上（
）.
（1）若
，点
在函数
的图象上，求数列
的前
项和
；
第3页 共11页
C
A
B
D
M
N
P
（2）若
，函数
的图象在点
处的切线在
轴上的截距为
，求数列
的前
项和
.
20．(本小题满分13 分)
已知椭圆C：
（
）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端
点构成正三角形.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线
上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于
点P，Q.
（i）证明：OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）；
（ii）当
最小时，求点T 的坐标.
21．(本小题满分14 分)
已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.
（1）设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；
（2）若
，函数
在区间
内有零点，求
的取值范围
2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）
参考答案
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的。
第4页 共11页
1.【答案】A
【解析】
，
，故
2.【答案】C
【解析】含
项为
3.【答案】A
【解析】因为
，故可由函数
的图象上所有的点
向左平行移动
个单位长度得到
4.【答案】D
【解析】由
，又
，由不等式性质知：
，
所以
5.【答案】C
【解析】当
时，函数
的最大值为2.
6.【答案】B
【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有
种；当最左端为乙时，不同的排法共有
种, 共有
+
种
7.【答案】D
【解析1】
因为
，
，所以
，又
所以
即
【解析2】由几何意义知
为以
，
为邻边的菱形的对角线向量，又
故
8.【答案】B
【解析】直线
与平面
所成的角为
的取值范围
，
由于
，
，
所以
的取值范围是
9.【答案】A
【解析】
故①正确
第5页 共11页
当
时，
令
（
）
因为
，所以
在
单增，
即
，又
与
为奇函数，所以
成立故③正确
10.【答案】B
【解析】设直线AB 的方程为：
，点
，
，又
，直线AB
与
轴的交点
（不妨假设
）
由
，所以
又
因为点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，所以
，故
于是
当且仅当
时取“
” ，所以
与
面积之和的最小值
是
二．填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11.【答案】
【解析】
12.【答案】
【解析】
13.【答案】
【解析】
，
14.【答案】
【解析】
，
，因为
，所以
第6页 共11页
故
（当且仅当
时取“
”）
15.【答案】①③④
三．解答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. 解：（1）由
所以
的单调递增区间为
（
）
（2）由
因为
所以
又
是第二象限角，所以
或
①由
（
）
所以
②由
所以
综上，
或
17.解：（1）
可能取值有
，10，20，100
，
，
，
故分布列为
10
20
100
P
（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是
第7页 共11页
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为
的数学期望是
分
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游
戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18. 解：（1）由三棱锥
及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥
中：
平面
平面
，
设
为
的中点，连接
，
于是
，
所以
平面
因为
，
分别为线段
，
的中点，所以
，又
，故
假设
不是线段
的中点，则直线
与直线
是平面
内相交直线
从而
平面
，这与
矛盾
所以
为线段
的中点
（2）以
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
于是
，
，
设平面
和平面
的法向量分别为
和
由
，设
，则
由
，设
，则
所以二面角
的余弦值
19. 解：（1）点
在函数
的图象上，所以
，又等差数列
的
公差为
，所以
因为点
在函数
的图象上，所以
，所以
第8页 共11页
又
，所以
（2）由
函数
的图象在点
处的切线方程为
所以切线在
轴上的截距为
，从而
，故
从而
，
，
所以
故
20.解：（1）依条件
所以椭圆C 的标准方程为
（2）设
，
，
，又设
中点为
（i）因为
，所以直线
的方程为：
所以
于是
，
所以
。因为
所以
，
，
三点共线
即OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）
第9页 共11页
（ii）
，
所以
，令
（
）
则
（当且仅当
时取“
”）
所以当
最小时，
即
或
，此时点T 的坐标为
或
21. 解：（1）因为
所以
又
因为
，
所以：
①若
，则
，
，
所以函数
在区间
上单增，
②若
，则
，
于是当
时
，当
时
，
所以函数
在区间
上单减，在区间
上单增，
③若
，则
，
所以函数
在区间
上单减，
综上：
在区间
上的最小值为
（2）由
，又
若函数
在区间
内有零点，则函数
在区间
内至少有三个单调区间
由（1）知当
或
时，函数
即
在区间
上单调，不可能满足
“函数
在区间
内至少有三个单调区间”这一要求。
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若
，则
令
（
）
则
。由
所以
在区间
上单增，在区间
上单减
即
恒成立
于是，函数
在区间
内至少有三个单调区间
又
所以
综上，
的取值范围为
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