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第5 讲 客观题解法技巧
题型概述 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须
按规则进行切实地计算或者合乎逻辑地推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，
尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”
“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等.
方法一 直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础
知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的
方法.
例1 (1)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S9=1，则a3+a7等于( )
A.-2
B.7
3
C.1
D.2
9
思路分析 条件与问题涉及量之间，可运用等差数列的前n 项和Sn与通项公式an，转化为基本量a1，d，
整体求解.
答案 D
解析 方法一 (利用等差数列的基本量)
由S9=9a1+9×8
2
d=1，得9a1+36d=1，
则a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2
9(9a1+36d)=2
9.
方法二 (利用等差数列的性质)
根据等差数列的性质，a1+a9=a3+a7，
由S9=1，根据等差数列的求和公式，
S9=9(a1+a9)
2
=9(a3+a7)
2
=1，
故a3+a7=2
9.
(2)已知tan α+tan β=3，sin(α+β)=2sin αsin β，则tan(α+β)等于( )
A.4
B.6
C.-3
2
D.-6
思路分析 由正弦和正切的和、差角公式代入即可求值.
答案 D
解析 由sin(α+β)=2sin αsin β，得
sin αcos β+cos αsin β=2sin αsin β
⇒sin α cos β +cosα sin β
sin α sin β
=2⇒
1
tan α +
1
tan β =2
⇒tan α + tan β
tan α tan β =2⇒tan αtan β=3
2，
所以tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan α tan β =
3
1- 3
2
=-6.
[规律方法] 直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，
多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准
确地求解选择题、填空题的关键.
方法二 特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特
殊位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能
是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.
例2 (1)若a>b>c>1 且ac<b2，则( )
A.logab>logbc>logca
B.logcb>logba>logac
C.logbc>logab>logca
D.logba>logcb>logac
思路分析 利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.
答案 B
解析 取a=5，b=4，c=3 代入验证可知选项B 正确.
(2)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，⃗F1 A⊥⃗
F1B，⃗F2 A=-2
3⃗F2B，则C 的离心率为 .
思路分析 取特殊情况，设|BF2|=3，则|AF2|=2，|BF1|=3，故|AB|=5，利用勾股定理、双曲线的定义、余弦
定理进行求解.
答案 3√5
5
解析 设|BF2|=3，
则|AF2|=2，|BF1|=3，故|AB|=5，
因为⃗F1 A⊥⃗F1B，所以|AF1|=4，
由双曲线的定义，得|AF1|-|AF2|=2a=2⇒a=1，
在△BF1F2中，cos∠F1F2B=4 c
2+9-9
12c
=c
3，
在△AF1F2中，cos∠F1F2A=4 c
2+ 4 -16
8c
=c
2-3
2c ，
因为cos∠F1F2A=-cos∠F1F2B，
所以c
2-3
2c =-c
3⇒c=3√5
5
，故e=c
a=3√5
5
.
[规律方法] 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，
但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
(1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理.
(2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求
解.
方法三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推
理、计算、判断，排除不符合要求的选项.
例3 (1)函数f(x)=
x
1+ x
2-1
2x 的图象大致为( )
思路分析 利用排除法，先根据奇偶性排除部分选项，再取特值排除.
答案 A
解析 函数f(x)=
x
1+ x
2-1
2x 的定义域为R，
f(-x)=- x
1+ x
2+1
2x=-f(x)，
函数f(x)为奇函数，排除C，D；又f(1)=0，排除B.
(2)若函数f(x)=x-1
3sin 2x+asin x 为增函数，则a 的取值范围是( )
A.[-1，1]
B.[-1，1
3]
C.[- 1
3 ，1
3]
D.[-1，- 1
3]
思路分析 根据选项取特值排除.
答案 C
解析 方法一 (排除法)不妨取a=-1，
则f(x)=x-1
3sin 2x-sin x，
f'(x)=1-2
3cos 2x-cos x，但f'(0)=1-2
3-1=-2
3<0，不符合题意，排除A，B，D.
方法二 (综合法)∵函数f(x)=x-1
3sin 2x+asin x 为增函数，
∴f'(x)=1-2
3cos 2x+acos x
=1-2
3(2cos2x-1)+acos x
=-4
3 cos2x+acos x+5
3≥0，
即acos x≥4
3 cos2x-5
3恒成立.
当cos x=0 时，恒有0≥-5
3，得a∈R；
当0<cos x≤1 时，得a≥4
3 cos x-
5
3cos x ，
令t=cos x，g(t)=4
3 t- 5
3t 在(0，1]上单调递增，
得a≥g(1)=-1
3；
当-1≤cos x<0 时，得a≤4
3 cos x-
5
3cos x ，
令t=cos x，g(t)=4
3 t- 5
3t 在[-1，0)上单调递增，
得a≤g(-1)=1
3.
综上，可得a 的取值范围是[- 1
3 ，1
3].
[规律方法] 排除法使用要点
(1)从选项出发，先确定容易判断对错的选项，再研究其他选项.
(2)当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些
条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，它与特值(例)法、验证法等常结合使用.
方法四 构造法
用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和
基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问
题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化.
例4 (1)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，
E，F 分别是PA，AB 的中点，EF⊥平面PAC，则球O 的体积为( )
A.√6 π
8
B.√6 π
4
C.√6 π
2
D.√6π
思路分析 根据条件，得到PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥P-ABC 放入正方体中，计算外接球半径即可
求解.
答案 D
解析 E，F 分别是PA，AB 的中点，则EF∥PB，因为EF⊥平面PAC，则PB⊥平面PAC，
PA，PC⊂平面PAC，故PB⊥PA，PB⊥PC，根据条件可知，△PAB≌△PAC，
故PA⊥PC，所以PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥P-ABC 放入正方体中，如图所示，
因为△ABC 是边长为2 的正三角形，所以正方体的棱长为√2，
故外接球半径R=√2+2+2
2
=√6
2 ，
所以球O 的体积V=4
3 πR3=√6π.
(2)若对于任意x>0，不等式2ae2x-ln x+ln a≥0 恒成立，则实数a 的最小值为 .
思路分析 设f(x)=2ae2x-ln x+ln a，f(x)≥0 恒成立，即f(x)min≥0，因此可以通过研究函数的单调性确定其最
小值.进一步观察式子结构，可以变形为2ae2x+ln a+2x≥ln x+2x，ln(ae2x)+2ae2x≥ln x+2x，不等式两边结构
相同，可以构造函数，利用函数的单调性求解.
答案 1
2e
解析 方法一 在不等式2ae2x-ln x+ln a≥0 的两边同时加2x，
变形得2ae2x+ln a+2x≥ln x+2x，
即ln(ae2x)+2ae2x≥ln x+2x.
构造函数g(x)=ln x+2x，可得g(ae2x)≥g(x).
因为g(x)在(0，+∞)上单调递增，因此ae2x≥x 对于任意x>0 恒成立，
即a≥x
e
2 x 对于任意x>0 恒成立.
构造函数h(x)= x
e
2 x，x>0，则h'(x)=1-2 x
e
2 x
，
所以h(x)在(0，1
2)上单调递增，在(
1
2 ，+∞)上单调递减，h(x)max=h(
1
2)= 1
2e ，
因此a≥1
2e ，故a 的最小值为1
2e .
方法二 2ae2x-ln x+ln a≥0⇔2ae2x≥ln x
a⇔2xe2x≥ln x
a· x
a⇔2xe2x≥ln x
a·e
ln x
a，
构造函数G(x)=xex，则G(2x)≥G(ln x
a)对任意x>0 恒成立.以下略.
方法三 2ae2x-ln x+ln a≥0⇔2ae2x≥ln x
a⇔2xe2x≥ln x
a· x
a⇔ln e2x·e2x≥ln x
a· x
a，
构造函数H(x)=xln x，则H(e2x)≥H(
x
a)对任意x>0 恒成立.以下略.
[规律方法] 构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定
构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.
方法五 估算法
因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答
案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省
了时间，从而显得更加快捷.
例5 (1)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
√5-1
2 (
√5-1
2
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头
顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-1
2
.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105
cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A.165 cm
B.175 cm
C.185 cm
D.190 cm
思路分析 估计身高→人体各部分长度大致范围→题中长度关系估算.
答案 B
解析 头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得咽喉至肚脐的长度小于42 cm，肚脐至足底的长度小于110
cm，则该人的身高小于178 cm，又由肚脐至足底的长度大于105 cm，可得头顶至肚脐的长度大于65 cm，
则该人的身高大于170 cm，所以该人的身高在170 cm~178 cm 之间.
(2)设A，B，C，D 是半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D-
ABC 体积的最大值为( )
A.12√3
B.18√3
C.24√3
D.54√3
思路分析 V 三棱锥D-ABC最大值→三棱锥高的最大值→依据三棱锥和球的关系估算.
答案 B
解析 等边三角形ABC 的面积为9√3，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥
的高h 应满足h∈(4，8)，
所以1
3×9√3×4<V 三棱锥D-ABC<1
3×9√3×8，
即12√3<V 三棱锥D-ABC<24√3.
[规律方法] 估算法使用要点
(1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值(例)法结合起来使用.
(2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进
行分割、拼凑、位置估算.
专题强化练
[分值：73 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.已知a=sin22，b=2sin 2，c=lo g1
2(sin 2)，则( )
A.b>a>c
B.b>c>a
C.a>b>c
D.c>b>a
答案 A
解析 ∵π
2 <2<3 π
4 ，∴√2
2 <sin 2<1，
∴b>1，1>a>(
√2
2 )
2
=1
2，0<c<log1
2
√2
2 =1
2，
∴b>a>c.
2.函数f(x)=(2-x-2x)cos x 在[-2，2]上的图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(x)+f(-x)
=(2-x-2x)cos x+(2x-2-x)cos(-x)
=(2-x-2x)cos x-(2-x-2x)cos x=0，
所以函数f(x)为奇函数，故B，D 错误；
又因为1∈(0，π
2)，所以cos 1>0，
则f(1)=(2-1-2)cos 1=-3
2cos 1<0，故C 错误.
3.在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a).若p∥q，则角C 的
大小为( )
A.π
6
B.π
3
C.π
2
D.2π
3
答案 B
解析 因为向量p=(a+c，b)，q=(b-a，c-a)，
p∥q，所以(a+c)(c-a)=b(b-a)，
即ab=a2+b2-c2，
由余弦定理可得cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
=1
2.
因为C∈(0，π)，所以C=π
3 .
4.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球O 的直径，
且SC=2，则此棱锥的体积是( )
A.√3
6
B.√2
6
C.√2
3
D.√2
2
答案 B
解析 容易得到△ABC 的面积为√3
4 ，
而三棱锥的高一定小于球的直径2，
所以V<1
3×√3
4 ×2=√3
6 ，
排除A，C，D，故选B.
5.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=f(x-6)，且当0≤x≤3 时，f(x)={
a+lo g0.5( x +1)，0≤x ≤1，
x( x -2)，1< x ≤3
(a 为
常数)，则f(2 023)+f(2 026)的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
答案 A
解析 由函数f(x)={
a+lo g0.5( x +1)，0≤x ≤1，
x( x -2)，1< x ≤3，
因为f(x)在R 上为奇函数，
可得f(0)=a+log0.51=0，解得a=0，
所以函数f(x)={
lo g0.5( x +1)，0≤x ≤1，
x( x -2)，1< x ≤3，
又因为f(x)=f(x-6)，所以函数f(x)的一个周期为6，
所以f(2 023)+f(2 026)=f(6×337+1)+f(6×338-2)=f(1)+f(-2)=f(1)-f(2)=log0.52-2×(2-2)=-1.
6.已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=60°，则椭圆
的离心率的取值范围是( )
A.(0，1
2]
B.[
1
2 ，1)
C.(0，√3
2 ]
D.[
√3
2 ，1)
答案 B
解析 当点P 位于短轴端点P0处时，∠F1P0F2最大，离心率最小为e=1
2，又0<e<1，所以离心率的取值范
围为[
1
2 ，1).
7.设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)，且满足f(x)>f'(x)+1，f(0)=2 026，则不等式e-xf(x)>e-x+2 025(其
中e 为自然对数的底数)的解集是( )
A.(2 024，+∞)
B.(-∞，2 025)
C.(0，2 024)
D.(-∞，0)
答案 D
解析 设g(x)=f ( x)-1
e
x
，
∵f(x)>f'(x)+1，即f'(x)-f(x)+1<0，
∴g'(x)=f '( x)- f ( x)+1
e
x
<0，
∴g(x)在R 上是减函数，又f(0)=2 026，
∴不等式e-xf(x)>e-x+2 025⇔f ( x)-1
e
x
>2 025
=f(0)-1=f (0)-1
e
0
，
即g(x)>g(0)，∴x<0，
∴原不等式的解集为(-∞，0).
8.如图，在三棱锥A-BCD 中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，P 为线段AD 上的动点(含端点).
设直线BP 与平面ABC 所成的角为α，二面角P-BC-D 的平面角为β，二面角P-BC-A 的平面角为γ，则
sin2α+sin2β+sin2γ( )
A.有最小值3
2
B.有最大值3
2
C.有最小值5
4
D.有最大值5
4
答案 B
解析 因为P 为线段AD 上的动点(含端点)，把点P 取在点A 处，则α=0°，β=90°，γ=0°，所以
sin2α+sin2β+sin2γ=1，排除A，C；
把点P 取在点D 处，则直线BP 与平面ABC 所成的角α 即为∠DBC=45°，β=0°，γ=90°，此时
sin2α+sin2β+sin2γ=3
2，排除D.
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.下列关于复数z1，z2的结论正确的是( )
A.|z1+z2|=|z1|+|z2|
B.z1+ z2=z1+z2
C.z1
n=| z1|
n(n∈N*)
D.z1·z1=|z1|·|z1|
答案 BD
解析 对于A，取z1=1-i，z2=1+i，
则|z1|+|z2|=2√2，|z1+z2|=2，
故|z1+z2|≠|z1|+|z2|，A 错误；
对于B，设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1+ z2=(a+c)-(b+d)i，z1=a-bi，z2=c-di，
则z1+z2=(a+c)-(b+d)i，
所以z1+ z2=z1+z2，B 正确；
对于C，不妨取z1=1+i，n=2，
则z1
2=(1+i)2=2i，|z1|=√2，|z1|2=2，
所以z1
2≠|z1|2，故z1
n=|z1|n(n∈N*)不恒成立，C 错误；
对于D，设z1=a+bi(a，b∈R)，则z1=a-bi，所以|z1|=|z1|=√a
2+b
2，
所以z1·z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=|z1|·|z1|，D 正确.
10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⃗OA=(5，-3)，⃗OB=(2，3)，点P 在直线AB 上，且|⃗AP|=1
2|⃗PB|，
则点P 的坐标可能为( )
A.(8，-9)
B.(4，-1)
C.(
8
3 ，-1)
D.(5，-6)
答案 AB
解析 设P(x，y)，由题意得A(5，-3)，B(2，3)，
且点P 在直线AB 上，由|⃗AP|=1
2|⃗PB|可得以下两种情况，
①⃗BP=2⃗PA，
此时有(x-2，y-3)=2(5-x，-3-y)，
可得{
x -2=2(5- x)，
y -3=2(-3- y)，解得{
x = 4，
y =-1.
②⃗BP=-2⃗PA，
此时有(x-2，y-3)=-2(5-x，-3-y)，
可得{
x -2=-2(5- x)，
y -3=-2(-3- y)，解得{
x =8，
y =-9.
综上所述，点P 的坐标为(4，-1)或(8，-9).
11.若(x2+mx+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，且a0+a1+a2+…+a10=1，则( )
A.m=-1
B.a0+2a1+4a2+…+210a10=243
C.a1+a3+a5+…+a9=121
D.a0+a2+a4+…+a10=122
答案 ABD
解析 令x=1，则(m+2)5=a0+a1+a2+…+a10=1，即m+2=1⇒m=-1，A 正确；
所以(x2-x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，
令x=2，则a0+2a1+4a2+…+210a10=(4-2+1)5=35=243，B 正确；
令x=-1，则a0-a1+a2-…+a10=(1+1+1)5=243，
①
而a0+a1+a2+…+a10=1，②
②-①，得2(a1+a3+a5+…+a9)=-242，
则a1+a3+a5+…+a9=-121，C 错误；
①+②，得2(a0+a2+a4+…+a10)=244，则a0+a2+a4+…+a10=122，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a，b，c 成等差数列，则cos A +cosC
1+cos A cosC =
.
答案 4
5
解析 显然△ABC 为等边三角形时符合题设条件，所以cos A +cosC
1+cos A cosC =cos60°+cos 60°
1+cos60°cos60° =
1
1+ 1
4
=4
5 .(或
者取a=3，b=4，c=5 也符合题设条件)
13.已知函数f(x)=√x
2- 4 x +13+√x
2-10 x +26，则f(x)的最小值为 .
答案 5
解析 由题意得f(x)=√( x -2)
2+(0-3)
2+√( x -5)
2+[0-(-1)]
2，f(x)的最小值转化为x 轴上的动点A 到两定
点B(2，3)，C(5，-1)的距离之和的最小值，
由图可知|AB|+|AC|≤|BC|，距离之和的最小值为|BC|=√(2-5)
2+[3-(-1)]
2=5.
14.已知实数x，y 满足(x-1)2+(y-2)2=1，则z= 2 x + y
√x
2+ y
2的最小值为 .
答案 1
解析 联想数量积公式cos θ=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2√x2
2+ y2
2，
得z= 2 x + y
√x
2+ y
2=√5×
2× x +1× y
√2
2+1
2×√x
2+ y
2，
①
记⃗OA=(2，1)，⃗OB=(x，y)，
则z 为向量⃗OA，⃗OB夹角的余弦值的√5倍，
由题意得点B 在以(1，2)为圆心，1 为半径的圆C 上，
如图所示，
若⃗OA与⃗OB夹角的余弦值要取得最小值，
则⃗OA与⃗OB的夹角需取得最大值，
由图象可知，当⃗OB=(0，2)时，⃗OA与⃗OB的夹角最大，
代入①式可得，zmin=1.
