文档文本内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（考试时间120 分钟，满分150 分）
一、填空题（本大题共12 题，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分，共54 分.考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知全集
，集合
，则
_________．
【答案】
##
【解析】
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知
.
故答案为：
.
2. 不等式
的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】转化为一元二次不等式
，解出即可.
【详解】原不等式转化为
，解得
，
则其解集为
.
故答案为：
.
3. 己知等差数列
的首项
，公差
，则该数列的前6 项和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，
.
故答案为：
4. 在二项式
的展开式中，
的系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式
，
令
，得
，
可得
项的系数为
.
故答案为：
.
5. 函数
在
上的值域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数
在
上单调递增，在
单调递减，
且
，
故函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
6. 已知随机变量X 的分布为
，则期望
_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有
.
故答案为：
.
7. 如图，在正四棱柱
中，
，则该正四棱柱的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.
【详解】因为
且四边形
为正方形，故
，
而
，故
，故
，
故所求体积为
，
故答案为：
.
8. 设
，则
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】灵活利用“1”将
展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知
，
当且仅当
，即
时取得最小值.
故答案为：4
9. 4 个家长和2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有_________种．
【答案】288
【解析】
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有
种排法；再排对中的四人有
种排法，
故有
种排法.
故答案为：288
10. 已知复数z 满足
，则
的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先设
，利用复数
乘方运算及概念确定
，再根据复数的几何意义数形结合
计算即可.
【详解】设
，
由题意可知
，则
，
又
，由复数的几何意义知
在复平面内对应的点
在单位圆内部（含边界）的坐
标轴上运动，如图所示即线段
上运动，
设
，则
，由图象可知
，
所以
.
故答案为：
11. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1 米的垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：
其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45 米．则斜
面的底角
_________．（结果用角度制表示，精确到
）
【答案】
【解析】
【分析】先根据在
处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合
处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在
处，
，在
处满足
，
（其中
水平面，
是射过
处杆子最高点的光线，光线交斜面于
），
故设
，则
，
由勾股定理，
，解得
，
于是
故答案为：
12.
已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
可的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得
，再根据数量积关系设
出
坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若
，则
，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量
两两垂直，显然不成立；
故
.
不妨设
，则
，
不妨设
，
，
则
，则
，
则
，
由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
.
二、选择题（本大题共4 题，第13、14 题每题4 分，第15、16 题每题5 分，共18 分.每题有
且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13. 己知事件A、B 相互独立，事件A 发生的概率为
，事件B 发生的概率为
，则事件
发生的概率
为（ ）
A.
B.
C.
D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式可求
.
【详解】因为
相互独立，故
，
故选：B.
14. 设
．下列各项中，能推出
的一项是（ ）
A.
，且
B.
，且
C.
，且
D.
，且
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质分类讨论
与1 的关系即可判定选项.
【详解】∵
，∴
，
当
时，
定义域上严格单调递减，
此时若
，则一定有
成立，故D 正确，C 错误；
当
时，
定义域上严格单调递增，要满足
，需
，即A、B 错误.
故选：D
15. 已知
，C 在
上，则
的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值
B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值
D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】设出曲线上一点为
，得出
，将三角形的高转化成关于
的函数,分析其单调性，
从而求解.
【详解】设曲线上一点为
，则
，则
，
，
方程为：
，即
，
根据点到直线的距离公式，
到
的距离为：
，
设
，
由于
，显然
关于
单调递减，
，无最小值，
即
中，
边上的高有最大值，无最小值，
又
一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
16. 已知数列
、
、
的通项公式分别为
，
、，
.若对任
意的
，
、
、
的值均能构成三角形，则满足条件的正整数
有（ ）
A. 4 个
B. 3 个
C. 1 个
D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】由
可知
范围，再由三角形三边关系可得
的不等关系，结合函数零
点解不等式可得.
【详解】由题意
，不妨设
，
三点均在第一象限内，由
可知，
，
故点
恒在线段
上，则有
.
即对任意的
，
恒成立，
令
，构造函数
，
则
，由
单调递增，
又
，存在
，使
，
即当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
至多
个零点，
又由
，
可知
存在
个零点，不妨设
，且
.
①若
，即
时，此时
或
.
则
，可知
成立，
要使
、
、
的值均能构成三角形，
所以
恒成立，故
，
所以有
，解得
；
②若
，即
时，此时
.
则
，可知
成立，
要使
、
、
的值均能构成三角形，
所以
恒成立，故
，
所以有
，解得
或
；
综上可知，正整数
的个数有
个.
故选：B.
三、解答题（本大题共5 题，第17-19 题每题14 分，第20-21 题每题18 分，共78 分.解答下
列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）
17. 2024 年东京奥运会，中国获得了男子
米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子
米混
合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216
93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率；
（3）若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为
，年份x 的平均数为2006，预测2028 年冠军
队的成绩（精确到0.01 秒）．
【答案】（1）
；
；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；
（2）由古典概型概率公式可得；
（3）先求成绩平均数
，再由
在回归直线上，代入方程可得
，再代入年份预测可得.
【小问1 详解】
由题意，数据的最大值为
，最小值为
，
则极差为
；
数据中间两数为
与
，
则中位数为
.
故极差为
，中位数为
；
小问2 详解】
由题意，数据共
个，
以上数据共有
个，
故设事件
“恰有
个数据在
以上”，
则
，
故恰有
个数据在
以上的概率为
；
【小问3 详解】
由题意，成绩的平均数
，
由直线
过
，
则
，
故回归直线方程为
.
当
时,
.
故预测
年冠军队的成绩为
秒.
18. 如图，P 是圆锥的顶点，O 是底面圆心，AB 是底面直径，且
．
（1）若直线PA 与圆锥底面的所成角为
，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q 是母线PA 的中点，点C、D 在底面圆周上，且弧AC 的长为
，
．设点M 在线段
OC 上，证明：直线
平面PBD．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.
（2）证明平面
平面
，然后根据面面平行的性质可得.
【小问1 详解】
由题知，
，即轴截面
是等边三角形，故
，
底面周长为
，则侧面积为：
;
【小问2 详解】
由题知
，则根据中位线性质，
，
又
平面
，
平面
，则
平面
由于
，底面圆半径是，则
，又
，则
，
又
，则
为等边三角形，则
，
于是
且
，则四边形
是平行四边形，故
，
又
平面
，
平面
，故
平面
.
又
平面
，
根据面面平行的判定，于是平面
平面
，
又
，则
平面
，则
平面
19. 已知
．
（1）若
，求不等式
的解集；
（2）若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
【答案】（1）
（2）
且
【解析】
【分析】（1）先求出
，从而原不等式即为
，构建新函数
，由该函数为
增函数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就
分类讨论后可得参数的取值范围.
【小问1 详解】
因为
，故
，故
，故
，
故
即为
，
设
，则
，故
在
上为增函数，
而
即为
，故
，
故原不等式的解为
.
【小问2 详解】
在
有极大值即为有极大值点.
，
若
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极小值点，无极大值点，故舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
若
，则
时，
，
无极值点，舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
综上，
且
.
20. 已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
（1）若
的焦点
，求离心率e；
（2）若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
（3）已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由方程可得
，再由焦点坐标得
，从而求出
得离心率；
（2）设点
坐标，由向量关系
坐标化可解得
坐标，代入椭圆方程可得
；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不
等式
，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得
范围.
【小问1 详解】
由题意知，
，则
，
由右焦点
，可知
，则
，
故离心率
.
【小问2 详解】
由题意
，
由
得，
，
解得
，代入
，
得
，又
，解得
.
【小问3 详解】
由线段
的中垂线的斜率为
，所以直线
的斜率为
，
则
，解得
，
由
得
中点坐标为
，
故直线
，显然直线过椭圆内点
，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设
，
由
消
得
，
由韦达定理得
，
因为
为钝角，则
，且
，
则有
，
所以
，
即
，解得
，
又
，
故
，即
的取值范围是
.
21. 已知函数
的定义域为
．对于正实数a，定义集合
．
（1）若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
（2）若
，求a 的取值范围；
（3）若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
【答案】（1）不是； （2）
；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接代入计算
和
即可；
（2 ）法一：转化为在实数
使得
，分析得
，再计算得
，最后根据
的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线
与该函数
有两个交点，将
用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出
时解析式，再分析出
，最后对
的范
围进行分类讨论即可.
【小问1 详解】
（1）
，
，则
不是
中的元素.
【小问2 详解】
法一：因为
，则存在实数
使得
，且
，
当
时，
，其在
上严格单调递增，
当
时，
，其在
上也严格单调递增，
则
，则
，
令
，解得
，则
，
则
.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线
与该函数有两个交点，
由图知
，假设交点分别为
，
，
联立方程组
得
【小问3 详解】
（3）对任意
，因为其
偶函数，
则
，而
，
所以
，
所以
，因为
，则
，
所以
，所以
，
所以当
时，
，
，则
，
，则
，
而
，
，
则
，则
，
所以当
时，
，而
为偶函数，画出函数图象如下：
其中
，但其对应的
值均未知.
首先说明
，
若
，则
，易知此时
，
则
，所以
，而
时，
，
所以
，与
矛盾，所以
，即
，
令
，则
，
当
时，即使让
，此时最多7 个零点，
当
时，若
，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当
时，若
，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当
时，若
，此时有3 个零点，
若
，则
，易知此时
，
则
，所以
，而
时，
，
所以
，与
矛盾，所以
，
则最多在
之间取得6 个零点，
以及在
处成为零点，故不超过9 个零点.
综上，零点不超过9 个.
