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2021 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学
第一部分（选择题共40 分）
一、选择题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：
，即
.
故选：B.
2. 在复平面内，复数
满足
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：
.
故选：D.
3. 已知
是定义在上
的函数，那么“函数
在
上单调递增”是“函数
在
上的最
大值为
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数
在
上单调递增，则
在
上的最大值为
，
若
在
上的最大值为
，
比如
，
但
在
为减函数，在
为增函数，
故
在
上的最大值为
推不出
在
上单调递增，
故“函数
在
上单调递增”是“
在
上的最大值为
”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（ ）
A.
B. 4
C.
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.
【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥
，
其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，
由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，
故其表面积为
，
故选：A.
5. 双曲线
过点
，且离心率为
，则该双曲线的标准方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可得
，再将点
代入双曲线的方程，求出
的值，即可得出双曲线的标准方
程.
【详解】
，则
，
，则双曲线的方程为
，
将点
的坐标代入双曲线的方程可得
，解得
，故
，
因此，双曲线的方程为
.
故选：A.
6.
和
是两个等差数列，其中
为常值，
，
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件求出
的值，利用等差中项的性质可求得
的值.
【详解】由已知条件可得
，则
，因此，
.
故选：B.
7. 函数
，试判断函数的奇偶性及最大值（ ）
A. 奇函数，最大值为2
B. 偶函数，最大值为2
C. 奇函数，最大值为
D. 偶函数，最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意，
，所以该函数为偶函数，
又
，
所以当
时，
取最大值
.
故选：D.
8. 定义：24 小时内降水在平地上积水厚度（
）来判断降雨程度．其中小雨（
），中雨（
），大雨（
），暴雨（
），小明用一个圆锥形容器接了24 小时
的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ）
A. 小雨
B. 中雨
C. 大雨
D. 暴雨
【答案】B
【解析】
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为
的圆面内的降雨充满一个底面半径为
，高为
的圆锥，
所以积水厚度
，属于中雨
故选：B.
9. 已知圆
，直线
，当
变化时，截得圆
弦长的最小值为2，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为
，半径为2，
则圆心到直线的距离
，
则弦长为
，
则当
时，弦长取得最小值为
，解得
.
故选：C.
10. 数列
是递增的整数数列，且
，
，则
的最大值为（ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n 尽可能的大，则
，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列
是首项为3，公差为1 的等差数列，其前n 项和为
，
则
，
，
，
所以n 的最大值为11.
故选：C.
第二部分（非选择题共110 分）
二、填空题5 小题，每小题5 分，共25 分．
11.
展开式中常数项为__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：
的展开式的通项
令
得常数
项为
.
考点：二项式定理.
12. 已知抛物线
，焦点为
，点
为抛物线
上的点，且
，则
的横坐标是
_______；作
轴于
，则
_______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】根据焦半径公式可求
的横坐标，求出纵坐标后可求
.
【详解】因为抛物线的方程为
，故
且
.
因为
，
，解得
，故
，
所以
，
故答案为：5，
.
13.
，
，
，则
_______；
_______．
【答案】 ①. 0 ②. 3
【解析】
【分析】根据坐标求出
，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：0；3.
14. 若点
与点
关于
轴对称，写出一个符合题意的
___．
【答案】
（满足
即可）
【解析】
【分析】根据
在单位圆上，可得
关于
轴对称，得出
求解.
【详解】
与
关于
轴对称，
即
关于
轴对称，
，
则
，
当
时，可取
的一个值为
.
故答案为：
（满足
即可）.
15. 已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，则
有两个零点；
②
，使得
有一个零点；
③
，使得
有三个零点；
④
，使得
有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】由
可得出
，考查直线
与曲线
的左、右支分别相切
的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
三、解答题共6 小题，共85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知在
中，
，
．
（1）求
的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并求出
边上
中线的长度．
①
；②周长为
；③面积为
；
【答案】（1）
；（2）答案不唯一，具体见解析．
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1）
，则由正弦定理可得
，
，
，
，
，
，解得
；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得
，
与
矛盾，故这样的
不存在；
若选择②：由（1）可得
，
设
的外接圆半径为
，
则由正弦定理可得
，
，
则周长
，
解得
，则
，
由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得
，即
，
则
，解得
，
则由余弦定理可得
边上的中线的长度为：
.
17. 已知正方体
，点
为
中点，直线
交平面
于点
．
（1）证明：点
为
的中点；
（2）若点
为棱
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
【分析】(1)首先将平面
进行扩展，然后结合所得的平面与直线
的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数
的值.
【详解】(1)如图所示，取
的中点
，连结
，
由于
为正方体，
为中点，故
，
从而
四点共面，即平面CDE 即平面
，
据此可得：直线
交平面
于点
，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点
与点
重合，
即点
为
中点.
(2)以点
为坐标原点，
方向分别为
轴，
轴，
轴正方形，建立空间直角坐标系
，
不妨设正方体的棱长为2，设
，
则：
，
从而：
，
设平面
的法向量为：
，则：
，
令
可得：
，
设平面
的法向量为：
，则：
，
令
可得：
，
从而：
，
则：
，
整理可得：
，故
（
舍去）.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推
理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的
夹角公式求解.
18. 为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为
阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100 人，已
知其中2 人感染病毒．
（1）①若采用“10 合1 检测法”，且两名患者
同一组，求总检测次数；
②已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为
，定义随机变量X 为总检测次数，求
检测次数X 的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5 合1 检测法”，检测次数Y 的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
【答案】（1）①
次；②分布列见解析；期望为
；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X 的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出
，分类即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10 次；
所以总检测次数为20 次；
②由题意，
可以取20，30，
，
，
则
的分布列:
所以
；
（2）由题意，
可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p，
，
，
则
，
若
时，
；
若
时，
；
若
时，
.
19. 已知函数
．
（1）若
，求
在
处切线方程；
（2）若函数
在
处取得极值，求
的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1）
；（2）函数
的增区间为
、
，单调递减区间为
，
最大值为，最小值为
.
【解析】
【分析】（1）求出
、
的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由
可求得实数
的值，然后利用导数分析函数
的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
，
此时，曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）因为
，则
，
由题意可得
，解得
，
故
，
，列表如下：
增
极大值
减
极小值
增
所以，函数
的增区间为
、
，单调递减区间为
.
当
时，
；当
时，
.
所以，
，
.
20. 已知椭圆
过点
，以四个顶点围成的四边形面积为
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l 斜率为k，交椭圆E 于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y=-3 于点M、N，直
线AC 交y=-3 于点N，若|PM|+|PN|≤15，求k 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求
，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设
，求出直线
的方程后可得
的横坐标，从而可得
，
联立直线
的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简
，从而可求
的范围，注意判别式的
要求.
【详解】（1）因为椭圆过
，故
，
因为四个顶点围成的四边形的面积为
，故
，即
，
故椭圆的标准方程为：
.
（2）
设
，
因为直线
的斜率存在，故
，
故直线
，令
，则
，同理
.
直线
，由
可得
，
故
，解得
或
.
又
，故
，所以
又
故
即
，
综上，
或
21. 定义
数列
：对实数p，满足：①
，
；②
；③
，
．
（1）对于前4 项2，-2，0，1 的数列，可以是
数列吗？说明理由；
（2）若
是
数列，求
值；
（3）是否存在p，使得存在
数列
，对
？若存在，求出所有这样的p；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）不可以是
数列；理由见解析；（2）
；（3）存在；
．
【解析】
【分析】(1)由题意考查
的值即可说明数列不是
数列；
(2)由题意首先确定数列的前4 项，然后讨论计算即可确定
的值；
(3)构造数列
，易知数列
是
的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数
的值.
【详解】(1)由性质③结合题意可知
，
矛盾，故前4 项
的数列，不可能是
数列.
(2)性质①
，
由性质③
，因此
或
，
或
，
若
，由性质②可知
，即
或
，矛盾；
若
，由
有
，矛盾.
因此只能是
.
又因为
或
，所以
或
.
若
，则
，
不满足
，舍去.
当
，则
前四项为:0，0，0，1，
下面用纳法证明
：
当
时，经验证命题成立，假设当
时命题成立，
当
时：
若
，则
，利用性质③：
，此时可得：
；
否则，若
，取
可得：
，
而由性质②可得：
，与
矛盾.
同理可得：
，有
；
，有
；
，又因为
，有
即当
时命题成立，证毕.
综上可得：
，
.
(3)令
，由性质③可知：
，
由于
，
因此数列
为
数列.
由（2）可知:
若
；
，
，
因此
，此时
，
，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、
新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新
定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，
掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
